偏導(dǎo)數(shù)及其經(jīng)濟(jì)應(yīng)用

1、 §8.2 偏導(dǎo)數(shù)及其經(jīng)濟(jì)應(yīng)用教學(xué)目的：理解并掌握偏導(dǎo)數(shù)概念，能正確求出所給函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和高階偏導(dǎo)數(shù)了解偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義了解偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用重點：正確求出所給函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)難點：分清常量與變量，正確運用一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)教學(xué)方法：啟發(fā)式講授與指導(dǎo)練習(xí)相結(jié)合教學(xué)過程：一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算方法 1.二元函數(shù)的全增量全改變量 .二元函數(shù)對的偏增量偏改變量 .二元函數(shù)對的偏增量 .2.二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的定義【定義8.4】設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，假設(shè)一元函數(shù)在處存在導(dǎo)數(shù),那么稱為在點處對的偏導(dǎo)數(shù)，并記作，或.其中 .(2) 類似可定義函數(shù)在點處對的偏導(dǎo)數(shù):

2、 結(jié)論(1)當(dāng)在點處同時存在對，的偏導(dǎo)數(shù)時，簡稱在點可偏導(dǎo).(2)當(dāng)在平面某一區(qū)域內(nèi)每一點處都存在對，的偏導(dǎo)數(shù)時，那么稱函數(shù)在該區(qū)域內(nèi)有偏導(dǎo)函數(shù)，記作也簡稱偏導(dǎo)數(shù)3.多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的定義設(shè),假設(shè)一元函數(shù)在處存在極,那么稱此極限為在點處對的偏導(dǎo)數(shù)，并記作，或.提問：用定義表示三元函數(shù)在點處的三個偏導(dǎo)數(shù).；.結(jié)論：多元函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)時，只將一個變量看作未知量，而其余變量均看作常量，按照一元函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的法那么求導(dǎo)數(shù)即是.即將中所有看作常量而對求導(dǎo)可得.4.偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)設(shè)區(qū)域,假設(shè)在內(nèi)每一點對的偏導(dǎo)數(shù)或都存在,那么或就稱為對的偏導(dǎo)函數(shù)，它仍是的函數(shù).記作 ，或或，或或或.可見,函數(shù)在處的值為偏導(dǎo)數(shù).以后在

3、不混淆的情況下,將偏導(dǎo)函數(shù)也稱為偏導(dǎo)數(shù).例1(1) 求 在點處的偏導(dǎo)數(shù)分析：二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 將中的看作常量而對求導(dǎo)可得. 將中的看作常量而對求導(dǎo)可得.解 , , (2)，那么 ， .(3) 09.3.4設(shè)，那么.例2求以下函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 注意 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么:層層求導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)相乘的含義(1) 求 解 , 2解 3設(shè)，其中可微，求解 4考慮兩層復(fù)合的函數(shù)解 ,.5考慮三層復(fù)合的函數(shù)解 6解 ，7解 提問2012-2-4-11設(shè)，其中可微，那么 .提示：，.練習(xí)：1提示：2設(shè)函數(shù)，求偏導(dǎo)數(shù) .提示：.3(95.3) 設(shè),可導(dǎo),那么 .提示.提問:二元函數(shù)的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在,且,，那么【 】.(A)

4、 關(guān)于是減函數(shù)，關(guān)于是增函數(shù)；(B) 關(guān)于是增函數(shù)，關(guān)于是增函數(shù)；(C) 關(guān)于是增函數(shù)，關(guān)于是增函數(shù)；(D) 關(guān)于是增函數(shù)，關(guān)于是減函數(shù).答(D).因為表示當(dāng)保持不變時,是的單調(diào)增加函數(shù)表示當(dāng)保持不變時,是的單調(diào)減少函數(shù).例3 設(shè)，求證 .證明 因 , , 所以 例4 理想氣體的狀態(tài)方程(為常數(shù)),求證:.證明 因 , , .所以 .二、偏導(dǎo)數(shù)存在與函數(shù)連續(xù)的關(guān)系函數(shù)在一點的偏導(dǎo)數(shù)存在時并不一定在該點連續(xù)，但在點對的偏導(dǎo)數(shù)存在，一定關(guān)于是連續(xù)函數(shù)，同樣函數(shù)在一點對的偏導(dǎo)數(shù)存在，一定關(guān)于是連續(xù)函數(shù).并且有關(guān)于一元函數(shù)的增減性.偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系1一元函數(shù)在某點可導(dǎo)連續(xù)，2多元函數(shù)中在某點偏導(dǎo)數(shù)存

5、在 連續(xù).例如:設(shè) 由于,.即在點兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在,但在點顯然間斷 因為. 又如，在點處兩個偏導(dǎo)數(shù)均存在且為0，用以下方法可求,但是在點不連續(xù)，因為極限不存在.結(jié)論：多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)沒有必然關(guān)系.三、二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)就是曲面被平面所截得的曲線在點處的切線對軸的斜率.偏導(dǎo)數(shù)就是曲面被平面所截得的曲線在點處的切線對軸的斜率.提問：是否存在一個函數(shù)，使得，？分析：，所以這樣的不存在.四、高階偏導(dǎo)數(shù) 1.高階偏導(dǎo)數(shù): 偏導(dǎo)函數(shù)，還是的函數(shù)，假設(shè)，在區(qū)域內(nèi)對存在有偏導(dǎo)數(shù),那么稱此偏導(dǎo)數(shù)為的二階偏導(dǎo)數(shù),并記作 ,，, 同理有,等等.2.【定理】如果函數(shù)的兩個二階混合偏導(dǎo)，在區(qū)域內(nèi)連續(xù)

6、，那么在該區(qū)域內(nèi)必.二階混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)情況下與求導(dǎo)數(shù)的順序無關(guān).此性質(zhì)可以推廣到高階混合偏導(dǎo)數(shù).例5 設(shè),于是 ， ； ， ； , .例6 求函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù).解 ，練習(xí):求函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù).解 ;.例7(05.8) 設(shè)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且,求.解由條件知, , 故.練習(xí) 求以下函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，例8 證明函數(shù)滿足方程 其中.證明: , ；同理, .自學(xué)內(nèi)容、偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用交叉彈性(一元函數(shù)彈性)我們知道一元函數(shù)邊際與彈性分別表示經(jīng)濟(jì)函數(shù)在一點的變化率與相對變化率.將邊際與彈性概念推廣到多元函數(shù)微積分學(xué)中并被賦予經(jīng)濟(jì)含義,如某商品銷售是它的價格及其它商品價格的函數(shù),稱為對的交叉彈性

7、.交叉彈性反映了兩種商品間的相關(guān)性當(dāng)交叉彈性大于零時,兩商品為互為替代品； 當(dāng)交叉彈性小于零時,兩商品為為互補(bǔ)品；當(dāng)交叉彈性等于零時,兩商品為相互獨立商品.【偏彈性定義】設(shè)函數(shù)在點處偏導(dǎo)數(shù)存在，函數(shù)對的相對改變量與自變量的相對改變量之比稱為函數(shù)對從到兩點間的彈性當(dāng)時，的極限值稱為函數(shù)在點處對的彈性，記作，即.類似可以定義函數(shù)在處對的彈性為.特別地，如果中表示需求量，表示價格，表示消費者收入，那么表示需求對價格的彈性，表示需求對收入的彈性.( 恒為正)【交叉彈性概念】設(shè)兩種商品彼此相關(guān)，它們的需求量分別為兩種商品價格及其消費者收入的函數(shù)即，那么直接價格偏彈性；交叉價格彈性.當(dāng)那么說明兩種商品中任

8、一價格減少都將使其中一個需求量增加且另一個需求量減少此時稱互為替代品；如蘋果與香蕉.當(dāng)那么說明兩種商品中任一價格減少都將使其中一個需求量同時增加此時稱互為互補(bǔ)品；如汽車與汽油.例 某種數(shù)碼相機(jī)的銷售量除與它自身的價格有關(guān)外，還與彩色噴墨打印機(jī)的價格有關(guān),具體求 ，時1對的彈性；2對的交叉彈性.解：1對的彈性為當(dāng)=50，=5時2對的交叉彈性為 =50，=5時小結(jié)：1多元函數(shù)求對偏導(dǎo)數(shù)，就把函數(shù)看作的一元函數(shù)，求函數(shù)對的導(dǎo)數(shù)即為所求偏導(dǎo)數(shù)2一元函數(shù)的可導(dǎo)必連續(xù)在多元函數(shù)中不再成立，即在一點存在偏導(dǎo)數(shù)，但在這一點不一定連續(xù).偏導(dǎo)數(shù)存在，那么有在點連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在，那么在點連續(xù). 3. 二階混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)情況下與求