固體物理第二章習(xí)題

1、1第二章第二章 習(xí)題習(xí)題21. 有一晶體，平衡時(shí)體積為V0，原子間總的相互作用勢(shì)為U0。如果相距為r的兩原子互作用勢(shì)為（2）求出體心立方結(jié)構(gòu)惰性氣體分子晶體的 體積彈性模量。（1）證明體積彈性模量為( )mnu rrr 00 9mnKUV分析分析先要寫出總的互作用能U、平衡條件R0利用體積彈性模量公式022020()9RRUKVR31( ) ( )2ijU ru ij ( )2jNUu ijijjra R設(shè)晶體共有N個(gè)原子，則總能量為 證明證明由于晶體表面層的原子數(shù)目與晶體內(nèi)原子數(shù)目相比少得多，因此可忽略它們之間的差異，于是上式簡(jiǎn)化為設(shè)最鄰近原子間的距離為R則有( )mnu rrr 411,m

2、nmnjjjjAAaa()2mnmnAANURR再令得到平衡時(shí)，R=R0，則由已知條件U(R0)=U0，得000()2mnmnAANURR0( )0RdU RdR由平衡條件1100()02mnmnm An ANRR得（1）（2）5由（1），（2）兩式可解得002()mmUAnRN mn002()nnUAmRN mn利用體積彈性模量公式022020()9RRUKVR000(1)(1)1()92mnmnm mAn nANKVRR000000000221(1)(1)92()()9mnmnU nRU mRNm mn nmnUVRN mnRN mnV 由于U00，因此00UU 009mnKUV于是()2

3、mnmnAANURR6（2）一對(duì)惰性氣體分子的相互作用勢(shì)能為612( )u rrr 0( )0RdU RdR由平衡條件若令則N個(gè)惰性氣體分子的互作用勢(shì)能可表示為24AB16()BA126126( )2()() U RNAARR1 612062()ARA可得009mnKUV7進(jìn)一步得026012()N AUU RA 009mnKUV代入并取m=6，n=12， 得30043 3NVR5 261231223 3()2AKAA對(duì)體心立方晶體有61212.25,9.11AA370.1K1 612062()ARA82. 一維原子鏈，正負(fù)離子間距為a，試證：馬德隆常數(shù)為 = 2ln2。1()jja+、-號(hào)分

4、別對(duì)應(yīng)于與參考離子相異和相同離子離子晶體的馬德隆常數(shù)分析分析對(duì)于三維的問題，用埃夫琴晶胞，近似求解920( )4ijnijijqbu rrr相距rij的兩個(gè)離子間的互作用勢(shì)能可表示成證明設(shè)最鄰近原子間的距離為R，則有則總的離子間的互作用勢(shì)能其中1()jja+、-號(hào)分別對(duì)應(yīng)于與參考離子相異和相同離子為離子晶體的馬德隆常數(shù)Rarjji1)1(42)(202jnjnjjjijabRaRqNruNU10任選一正離子作為參考離子，在求和中對(duì)負(fù)離子取正號(hào)，對(duì)正離子取負(fù)號(hào)，考慮到對(duì)一維離子鏈，參考離子兩邊的離子正負(fù)對(duì)稱分布。則有11111()21234jja234ln(1)234xxxxx利用展開式并令x=

5、1得1111ln(1 1)ln2234于是一維離子鏈的馬德隆常數(shù)為 = 2ln2n-2n-1nn+1n+2一維單原子鏈a113. 計(jì)算面心立方簡(jiǎn)單格子的A6和A12（1）只計(jì)最近鄰；（2）計(jì)算到次近鄰；（3）計(jì)算到次次近鄰。A6、A12是惰性分子晶體總互作用能表達(dá)式中兩參數(shù)分析分析1261262()() UNAARR與結(jié)構(gòu)有關(guān)661()jjAa12121()jjAa12面心立方簡(jiǎn)單格子一個(gè)晶胞，角頂O原子周圍有8個(gè)這樣的晶胞。1為原子O的最近鄰，有12個(gè)；2為原子O的次近鄰，6個(gè)；3為原子O的次次近鄰，24個(gè)。以最近距離度量，其距離分別為解解1,2,3jjjaaa13661()jjAa1212

6、1()jjAa由（1）只計(jì)最近鄰時(shí)661(1)12 ( )121A12121(1)12 ( )121A（2）計(jì)算到次近鄰時(shí)66611(2)12 ( )6 ()12.75012A 12121211(2)12 ( )6 ()12.09412A （3）計(jì)算到次次近鄰時(shí)6666111(3)12 ( )6 ()24 ()12312.7500.88913.639A 12121212111(3)12 ( )6 ()24 ()12312.0940.03312.127A A6=14.45A12=12.1314由以上可看出，由于A12中的冪指數(shù)較大，收斂得很快，而A6中的冪指數(shù)較小，收斂得較慢。通常所采用的面心立

7、方簡(jiǎn)單格子的A6和A12的數(shù)值分別是14.45與12.13。157. 設(shè)離子晶體中，離子間的互作用勢(shì)為22( )mebRRu rer110()()mmU RZ最近鄰最近鄰以外（1）求晶體平衡時(shí)，離子間總相互作用勢(shì)能U(R0)（2）證明 ：其中是馬德隆常數(shù)，Z是晶體配位數(shù)16設(shè)離子數(shù)目為2N，以rij=ajR表示第j個(gè)離子到參考離子的距離，忽略表面效應(yīng)，則總的相互作用能表示為分析分析2()mjjebUNa RR 最近鄰2mebNZRR其中 為馬德隆常數(shù)，+號(hào)對(duì)應(yīng)于異號(hào)離子，-號(hào) 對(duì)應(yīng)于同號(hào)離子；Z為任一離子的最近鄰數(shù)目。1()jja ( )2jNUu ij17設(shè)平衡時(shí)R=R0，由平衡條件0221

8、00( )0mRdU ReZmbNdrRR210mZmbeR1102()mZmbRe得于是，晶體平衡時(shí)離子間總的相互作用勢(shì)能（1）解）解) 1(0000mRNZbRbZRZmbNUmmm18（2）證明）證明 晶體平衡時(shí)離子間總的相互作用勢(shì)能可進(jìn)一步化為110()()mmU RZ由上式知1102()mZmbRe11111212110)() 1() 1(mmmmmmmmmmmbZeNbmeZmbZNbmU) 1(00mRNZbUm19當(dāng)兩原子構(gòu)成一穩(wěn)定分子時(shí)，核間距為3，解離能為4eV，求和。10. 兩原子間互作用勢(shì)為28( )U rrr 20當(dāng)兩原子構(gòu)成一穩(wěn)定分子即平衡時(shí)，其相互作用勢(shì)能取極小值

9、，于是有解答解答03900( )280r rdU rdrrr1604r由此得平衡時(shí)兩原子間的距離為21而平衡時(shí)的勢(shì)能為根據(jù)定義，解離能為物體全部離解成單個(gè)原子時(shí)所需要的能量，其值等于u(r0)02820003( )4u rrrr 2727227.96 10,1.40 10erg cmerg cm20344eVr已知解離能為4eV，因此得再將r0=3，1eV=1.60210-12erg代入得1604r22證明：（1）r=1.12時(shí)，勢(shì)能最小，且u(r)=-；（2）當(dāng)r=時(shí)，u(r)=0；（3）說明和的物理意義12. 雷納德瓊斯勢(shì)為126( )4,u rrr23（1）當(dāng)rr0時(shí)，u(r)取最小值u(r0)，由極值條件解答解答得00r rdudr1261370041260rr于是有16021.12r再代入u的表達(dá)式得12600011( )4442u rrr 24（2）當(dāng)r=時(shí)，則有126( )40u（3）由于u(r0)是兩分子間的結(jié)合能，所以即是兩分子處于平衡時(shí)的結(jié)合能具有長(zhǎng)度的量綱它的物理意義是，是互作用勢(shì)能為0時(shí)兩分子的間距126( )4,u rrr0( )u r 25 13如果離子晶體中離子總的相互作用勢(shì)能為求晶體的壓縮系數(shù)，其中，為常數(shù)，為配位數(shù)20( )4RqU rNZ eR 0220209RRUKVRk=1/K分析分析26壓縮系數(shù)k等