復雜流體力學第二章

1、第二章第二章 場論和張量初步場論和張量初步21 矢量和標量的區(qū)別矢量和標量的區(qū)別一、概念的區(qū)別一、概念的區(qū)別在選定測量單位以后，僅需用數(shù)字表示大小的量叫標量；在選定測量單位后，除用數(shù)字表示其大小外，還需用一定的方向才能說明性質(zhì)，叫矢量。二、運算法則區(qū)別二、運算法則區(qū)別標量運算服從代數(shù)運算法則。矢量的運算要遵循平行四邊形法則或三角形法則。矢量常用帶有箭頭的直線段表示。線段的長度代表矢量大小，箭頭代表矢量的方向。 三、正負號區(qū)別三、正負號區(qū)別 矢量正負號：在選定一個正方向的前提下，矢量的正負號實質(zhì)上表示矢量的方向。若矢量為正，表示該矢量跟選定正方向相同；矢量為負表示跟選定正方向相反。 標量正負號：

2、雖然標量無方向，但有的標量也存在正、負號問題。標量常見的有以下幾種類型： 表示相對零點大小的正負號，如重力勢能、電勢能、電勢、分子勢能、攝氏溫度等這些物理量，它們的正負號，常表示大小的意義。 表示相反的物理過程的正負號，例如功、熱量、動能增量、勢能增量、內(nèi)能增量和機械能增量等過程物理量，它們的正負號就表示某一物理過程，即能量增加（或減小）過程。 表示物體特性的正負號，如電量、透鏡焦距、像距等物理量的正負號，表示物體的特性。如電量q0表示帶正電，否則帶負電；f0表示該鏡是凸透鏡，否則是凹透鏡；像距v0，表示成實像，否則成虛像。 四、矢量表達式與標量表達式的區(qū)別四、矢量表達式與標量表達式的區(qū)別矢量

3、可采用有向線段、文字、單位矢量、分量表示等多種方式來描述。在標量表達式如動能定理、機械能守恒、功能關(guān)系、透鏡成像公式等中，計算時只需直接將物理量即大小及正負號代入公式計算即可。五、矢量的運算五、矢量的運算2數(shù)量積cosxxyyzz=a ba ba ba ba b標量標量3矢量積sin=a ba b大小大小其矢量表達式其矢量表達式xyzxyzijkaaabbba b =方向用右手規(guī)則確方向用右手規(guī)則確定定1求和與差作圖法 遵循平行四邊形法則和 分量法2 22 2 場的定義、分類及幾何表示場的定義、分類及幾何表示一、場的定義一、場的定義設(shè)在空間的某個區(qū)域內(nèi)定義標量函數(shù)或矢量函數(shù)，則稱定義在此空間區(qū)

4、域內(nèi)的函數(shù)為場。二、場的分類二、場的分類1、根據(jù)所定義的函數(shù)、根據(jù)所定義的函數(shù)標量場：標量場：在指定的時刻，空間每一點可以用一個標量唯一地描述，則該標量函數(shù)定出標量場。例如物理系統(tǒng)中的溫度、壓力、密度等可以用標量場來表示。( , )( , , , )tx y z tr( , , , )( , , , )( , , , )TT x y z tpp x y z tx y z t矢量場：矢量場：在指定的時刻，空間每一點可以用一個矢量唯一地描述，則該矢量函數(shù)定出矢量場。例如流體空間中的流速分布等可以用矢量場來表示。( , )( , , , )tx y z traaa2、根據(jù)場內(nèi)同一時刻各點函數(shù)值是否相

5、等、根據(jù)場內(nèi)同一時刻各點函數(shù)值是否相等( ) t( ) taa均勻場：( , )( , , , )r tx y z t( , )( , , , )r tx y z taaa定常場：非均勻場：3、根據(jù)場內(nèi)函數(shù)值是否依賴于時間、根據(jù)場內(nèi)函數(shù)值是否依賴于時間( )r( )raa ( , )( , , , )tx y z tr( , )( , , , )tx y z traaa 非定常場：三、場的幾何表示三、場的幾何表示1、標量場的幾何表示、標量場的幾何表示空間內(nèi)標量值相等的點集合形成的曲面稱為等值面?？臻g內(nèi)標量值相等的點集合形成的曲面稱為等值面。0( ,)tcr其特點：（其特點：（1）疏密程度看出標

6、量函數(shù)的變）疏密程度看出標量函數(shù)的變 化狀況，靠得近的地方函數(shù)變化化狀況，靠得近的地方函數(shù)變化 得快。得快。 （2）函數(shù)值的改變主要在等值面的法線方向，沿等值面的切線方向移動）函數(shù)值的改變主要在等值面的法線方向，沿等值面的切線方向移動 時函數(shù)值并不改變。時函數(shù)值并不改變。大小和方向隨空間坐標而變的場大小和方向與坐標無關(guān)的場被稱為均勻場 等溫線等溫線 溫度云圖溫度云圖 2 2、矢量場的幾何表示、矢量場的幾何表示用一些有向曲線來形象表示矢量在空間的分布，稱為 矢量線。xyzdxdydzFFFxyzdxdydzVVV0d rF(r)0d s V(s)2 23 3 梯度梯度標量場不均勻性的度量標量場不

7、均勻性的度量一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù)( , )r t給定一標量場給定一標量場 在某一固定時刻在某一固定時刻tt0研究標量場研究標量場。M1MMns1CC0()()limMMMMsMM過過M點可以作無窮多個方向，每個方點可以作無窮多個方向，每個方向都有對應(yīng)的方向?qū)?shù)，且都可以用向都有對應(yīng)的方向?qū)?shù)，且都可以用過過M點的等位面法線方向點的等位面法線方向n上的方向?qū)系姆较驅(qū)?shù)數(shù) 及方向及方向n，s來表示。來表示。ncos( , )n ssn我們不僅要知道函數(shù)在坐標軸方向上的變化率（即偏導數(shù)），而且還要設(shè)法求我們不僅要知道函數(shù)在坐標軸方向上的變化率（即偏導數(shù)），而且還要設(shè)法求得函數(shù)在其他特定方向上的

8、變化率。而方向?qū)?shù)就是函數(shù)在其他特定方向上的得函數(shù)在其他特定方向上的變化率。而方向?qū)?shù)就是函數(shù)在其他特定方向上的變化率變化率證明：過M點作等位面M1MMns1CC( )()rMC1101()()limMMMMnMM0()()limMMMMsMM1cos( , )MMMMn s由此可證，cos( , )n ssn二、梯度二、梯度n大小為 方向為n的矢量稱為標量函數(shù)的梯度。gradnn梯度梯度描寫了描寫了M點鄰域內(nèi)函數(shù)點鄰域內(nèi)函數(shù)的變化狀況，是標量場不均勻性的的變化狀況，是標量場不均勻性的量度。量度。在直角坐標系中的表達式為：gradijkxyz三、梯度的主要性質(zhì)三、梯度的主要性質(zhì)1、梯度梯度描寫

9、了場內(nèi)任一點描寫了場內(nèi)任一點M鄰域內(nèi)函數(shù)的變化狀況，它是鄰域內(nèi)函數(shù)的變化狀況，它是標量場不均勻性的量度；標量場不均勻性的量度；2、梯度、梯度的方向與等位面的法線方向重合，且指向函數(shù)增大的的方向與等位面的法線方向重合，且指向函數(shù)增大的方向，大小是方向，大小是n方向上的方向?qū)?shù)方向上的方向?qū)?shù) ；n3、梯度矢量、梯度矢量在任一方向在任一方向s上的投影等于該方向的方向?qū)?shù)；上的投影等于該方向的方向?qū)?shù)；4、梯度、梯度的方向，即等位面的法線方向是函數(shù)變化最快的方向。的方向，即等位面的法線方向是函數(shù)變化最快的方向。定理定理1 梯度梯度 滿足關(guān)系式滿足關(guān)系式gradddgradr反之，若反之，若 ，則，則

10、a必為必為 。ddr agradr=x,y,zdgradfdr定理定理2 若 ，且，且 矢徑矢徑r的單值函數(shù)，則沿的單值函數(shù)，則沿任一封閉曲線任一封閉曲線L的線積分滿足關(guān)系式的線積分滿足關(guān)系式 grada0(0ddr即）LLa反之，若反之，若矢量矢量a沿任一封閉曲線沿任一封閉曲線L的線積分的線積分， 則則a必必為為某一標量函數(shù)的梯度，即某一標量函數(shù)的梯度，即 grada0drLa例例 題題:計算僅與矢徑大小計算僅與矢徑大小r有關(guān)的標量函數(shù)有關(guān)的標量函數(shù) 的梯度的梯度 。( ) rgrad(1)利用性質(zhì)利用性質(zhì),標量函數(shù)標量函數(shù) 的等位面是以坐標原點為心的的等位面是以坐標原點為心的球面，而球面的

11、法線方向，即矢徑球面，而球面的法線方向，即矢徑r的方向，故的方向，故 的方的方向就是矢徑向就是矢徑r的方向；其次的方向；其次 的大小是的大小是( ) rgradgrad( ) rr于是( )( )xi+ yj+ zkgradrrrrr(2)表示成分量形式：表示成分量形式：drxdrxyydrdrzzdrdr因2222rxyzryyrrzzrrxxr故于是x dxr dry dyr drz dzr dr( )xi+ yj+zk dgradijkrxyzrdrrr(3)利用定理1，( )( )( )rdrr drrdrr微分22drdrrr2222( ()()2222)d rd xyzxdxydy

12、zdzdrr即drdrrr于是( )( )rdrdr rr根據(jù)定理1可推出( )gradrrr= grada位勢場位勢場位勢函數(shù)位勢函數(shù)2 23 3矢量矢量a a通過通過S S的通量的通量 矢量矢量a的散的散度度 奧高定理奧高定理一、通量一、通量an代表矢量代表矢量a在法線方向的投影。在法線方向的投影。矢量矢量a通過面積元通過面積元dS的通量。的通量。矢量矢量a通過通過S面的通量。面的通量。cos( , )cos( , )cos( , )nxyzaan xan yan za nnSa dSna dS通量，是表示物質(zhì)分子移動量的大小，指某種物質(zhì)在每秒內(nèi)通過每平方厘米的假想平面的摩爾或毫爾數(shù)。定義

13、面積矢量定義面積矢量dSdS是大小為是大小為dS，方向為法線正方向，方向為法線正方向n n的量的量ddSSncos( , )cos( , )cos( , )dSn xdydzdSn ydzdxdSn zdxdycos( , )cos( , )cos( , )nxyzaan xan yan za ncos( , )cos( , )cos( , )()nSSSxyzSxyzSa dSdSdan xan yan z dSa dydza dzdxa dxdy dSa naS當當S是封閉曲面時，矢量是封閉曲面時，矢量a通過通過S面的通量面的通量nSa dS在場內(nèi)任取一點在場內(nèi)任取一點M，以體積，以體積V

14、包之，若包之，若V的界面為的界面為S，則，則0divlimnSVa dS=Va奧高定理的奧高定理的微分形式微分形式Gauss公式此極限存在，定義為矢量此極限存在，定義為矢量a a的散度。的散度。散度是一個不依賴于坐標系選取的數(shù)量，其為一個散度是一個不依賴于坐標系選取的數(shù)量，其為一個標量標量。二、散度二、散度散度（divergence）可用于表征空間各點矢量場發(fā)散的強弱程度，物理上，散度的意義是場的有源性。當div F0 ，表示該點有散發(fā)通量的正源（發(fā)散源）；當div F0 表示該點有吸收通量的負源（洞或匯）；當div F=0，表示該點無源。三、奧高定理三、奧高定理散度在直角坐標系中的表達式散度

15、在直角坐標系中的表達式這里這里是是的整個邊界曲面的外側(cè)，的整個邊界曲面的外側(cè)，cos、cos、cos是是上點上點(x,y,z)處的法向量的方向余弦。處的法向量的方向余弦。高斯定理高斯定理：設(shè)空間閉區(qū)域設(shè)空間閉區(qū)域是分片光滑的閉曲面是分片光滑的閉曲面所圍成，函所圍成，函數(shù)數(shù)P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在在上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則有有()PQRdVPdydzQdzdxRdxdyxyz()( coscoscos )PQRdVPQRdSxyz利用奧高定理，則有利用奧高定理，則有因體積分中的被積函數(shù)是連續(xù)的，根據(jù)中值公式，上式可因體積分中的被積函數(shù)是連續(xù)的

16、，根據(jù)中值公式，上式可改寫為改寫為cos( , )cos( , )cos( , )nxyzSSa dsan xan yan z dS()yxzVaaadVxyz()yxznQSaaaa dsVxyz0divlim()yxzQVaaa=xyza當當V向向M點收縮時，點收縮時，Q點最后與點最后與M重合，重合，divyxzaaaxyza =divnSVa dsdVa奧高定理的奧高定理的積分形式積分形式四、無源場及其性質(zhì)四、無源場及其性質(zhì)diva0的矢量場稱為無源場或管式場。1、無源矢量a經(jīng)過矢量管任一截面上的通量保持同一數(shù)值。2、矢量管不能在場內(nèi)發(fā)生或終止。一般說來它只可能伸延至無窮， 達到區(qū)域的邊

17、界上或自成封閉管路。3、無源矢量a經(jīng)過張于一已知周線L的所有曲面S上的通量均相等，亦即此通量只依賴于周線而與所張曲面的形狀無關(guān)。2 26 6矢量矢量a a沿回線的環(huán)量沿回線的環(huán)量. . 矢量矢量a a的的旋度旋度. . 斯托克斯定理斯托克斯定理一、環(huán)量一、環(huán)量給定一矢量場給定一矢量場a(r,t)，在場內(nèi)取任意一曲線，在場內(nèi)取任意一曲線L，作線積分，作線積分若是封閉曲線，則可表示為：若是封閉曲線，則可表示為：()xyzLLda dxa dya dzar稱之為矢量稱之為矢量a沿曲線沿曲線L的環(huán)量。的環(huán)量。()xyzLLda dxa dya dzar環(huán)量（circulation）是流體的速度沿著一條

18、閉曲線的路徑積分，通常用來表示。絕參馮潮清絕參馮潮清 趙愉深趙愉深 何浩法何浩法,矢量與張量分析矢量與張量分析,國防工業(yè)出版社國防工業(yè)出版社,1986年年12月第月第1版版二、旋度二、旋度設(shè)設(shè)M是場內(nèi)一點，在是場內(nèi)一點，在M點附近取無限小封閉回線點附近取無限小封閉回線L，取定某一，取定某一方向為方向為L的正方向。的正方向。設(shè)張于周線設(shè)張于周線L上的曲面是上的曲面是S，作，作S的法線方向的法線方向n，其根據(jù)，其根據(jù)L的正方的正方向及右手螺旋定則來確定。向及右手螺旋定則來確定。0rotlimLnSa dr=Sa矢量a的旋度矢量rota在n方向的投影。三、斯托克斯公式三、斯托克斯公式斯托克斯公式（定

19、理）：設(shè)斯托克斯公式（定理）：設(shè)為分段光滑的空間有向閉曲線，為分段光滑的空間有向閉曲線，是以是以為邊界的分片光滑的有向曲面，為邊界的分片光滑的有向曲面，的正向與的正向與的外側(cè)符的外側(cè)符合右手規(guī)則，函數(shù)合右手規(guī)則，函數(shù)P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在包含曲面在包含曲面在在內(nèi)的一個空間區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則有內(nèi)的一個空間區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則有()()()RQPRQPdydzdzdxdxdyyzzxxyPdxQdyRdz()xyzLLda dxa dya dzar()cos( , )()cos( , )()cos( , )yyxxzzSaaaaaan xn yn

20、z dSyzzxxy利用中值公式，有利用中值公式，有()cos( , )()cos( , )()cos( , )yyxxzzLaaaaaadSn xn yn zyzzxxy環(huán)量ar0rotlim()cos( , )()cos( , )()cos( , )yLznSyxxza draa=n xSyzaaaan yn zzxxyarotrotrotyzxxzyyxzaayzaazxaaxyaaarotxyzijkxyzaaaa四、無旋場及其性質(zhì)四、無旋場及其性質(zhì)1 1、定義、定義rota0的矢量場稱為無旋場。2 2、性質(zhì)、性質(zhì)= grada無旋場和位勢場(有勢場)的等價性，即若a是位勢場，= gr

21、ada則a必為無旋場，rota0反之，若rota0，則。 3 3、證明、證明= grada設(shè) ，則= gradarot0ijkxyzxyza即rotrotgrad0=a反之，設(shè)rota0，則由斯托克斯公式有rot0LSdrdSaa其中L是任意封閉周界，于是矢量a沿任意封閉回線L的線積分為零，根據(jù)1.3中定理定理2可得 2 27 7 基本運算公式基本運算公式一、拉普拉斯算子一、拉普拉斯算子二、哈密頓算子二、哈密頓算子一個具有矢量和微分雙重性質(zhì)的符號，一方面它是一個矢量，一個具有矢量和微分雙重性質(zhì)的符號，一方面它是一個矢量，另一方面它是一個微分算子，但必須是對其右邊的量發(fā)生微另一方面它是一個微分算

22、子，但必須是對其右邊的量發(fā)生微分作用。分作用。222xyz ijkxyz ()ijkxyzgradijkxyz() ()xyzijka ia ja kxyzadivyxzaaaxyza()()rotxyzijka ia ja kxyzaa2()() ()ijkijkxyzxyz 2 28 8 張量初步張量初步一、迪卡爾張量一、迪卡爾張量(1)標量是只有數(shù)值大小而無方向的量，只需用標量是只有數(shù)值大小而無方向的量，只需用一個實數(shù)一個實數(shù)來表來表示。示。(2)矢量則是既有大小，又有方向的量，（在三維空間中）有矢量則是既有大小，又有方向的量，（在三維空間中）有三個分量，需要用三個分量，需要用三個實數(shù)三

23、個實數(shù)來表示。來表示。(3)比標量和矢量更復雜的量，稱為張量。比標量和矢量更復雜的量，稱為張量。在三維空間中，在三維空間中，r階張量具有階張量具有3r個分量。個分量。零階張量（即標量）有零階張量（即標量）有30=1個分量；個分量；一階張量（即矢量）有一階張量（即矢量）有31=3個分量；個分量；二階張量有二階張量有32=9個分量；個分量；三階張量有三階張量有33=27個分量；個分量；在在n維空間中，維空間中，r階張量具有階張量具有nr個分量。個分量。張起的平行四邊形或平行六面體的對角線才能表示的量，所以叫做張量。只不過矢量是一階張量，我們習慣上仍稱之為矢量或向量，而通常把二階張量及三階以上的高階

24、張量才稱之為張量。定義：在三維空間中，二階迪卡爾張量定義：在三維空間中，二階迪卡爾張量A是由是由32個分量個分量Aij組組成的量。成的量。2 29 9 張量表示法張量表示法在張量表示法中，將坐標改寫成在張量表示法中，將坐標改寫成x x1 1，x x2 2，x x3 3一、指標記法一、指標記法Rxiyjzk把i，j，k分別寫成i1，i2，i3，則1 12 23 3Rx ix ix igrad的張量表示法為ix1 12 23 3(1,2,3)i iRx ix ix ix ii二、求和約定及啞標二、求和約定及啞標1 122nnSa xa xa x1niiiSa x (1,2,. )iiSa xiN略

25、去了求和記號略去了求和記號求和約定：求和約定：若某個指標在某一項中重復出現(xiàn)，而且僅重復出現(xiàn)若某個指標在某一項中重復出現(xiàn)，而且僅重復出現(xiàn)一次，則該項代表一個和式，按重復指標的取值范圍求和一次，則該項代表一個和式，按重復指標的取值范圍求和。（愛因斯坦）（愛因斯坦）例：例：ijijSa x x,1,2.i jN11 NNijijijSa x x啞標啞標：表示求和的重復指標。而啞標采用什么字母來表示表示求和的重復指標。而啞標采用什么字母來表示對結(jié)果沒有影響。對結(jié)果沒有影響。例如：例如：iimma xa xiikkaai jijja x x xi是啞標，j不是啞標。3311 i jijjija x x

26、x31 i jijjia x x x三、自由指標三、自由指標設(shè)有方程組111 1122133221 1222233331 1322333ya xa xa xya xa xa xya xa xa x112233mmmmmmya xyaxyax(1,2,3)iimmya xi自由指標自由指標：凡不屬于啞標的指標凡不屬于啞標的指標。在同一方程中，每一項的。在同一方程中，每一項的自由指標必須相同。自由指標必須相同。例如：(1,2,3)0(1,2,3)( ,1,2,3)iiiiijjijimjmabciabc diTA Ai jijmmab x沒有意義。沒有意義。四、克羅尼克爾符號四、克羅尼克爾符號1(

27、)0()ijijij(1)ijji(2)1122333ii(3)111 112213312233mmmmmmaaaaaaaaaimmiaa(4)111 112213312233mmjjjjjmmjjmmjjTTTTTTTTTimmjijTTmijmjiimmjijimmjjkikTT (5) iiijij五、置換符號五、置換符號（1）置換符號）置換符號eijk的定義的定義110ijke , ,123, ,123, ,環(huán)逆環(huán)標。i j ki j ki j k若形成， ， 的循序列（,）;若形成， ， 的循序列（,）;若中有相同的指123231312321132213ee, eeeeeijk共代表

28、共代表27個量，其中個量，其中21個為零。個為零。ijk123（2）置換符號）置換符號eijk的作用的作用利用置換符號eijk可將兩矢量的矢積AB表示成簡單的分量形式。ii iCABCiijkjkCe A B112323132322332223131213133113331212321211221CeA BeA BA BA BCeA BeA BA BA BCeA BeA BA BA B六、指標記法的運算特點六、指標記法的運算特點(1)求和：凡自由指標完全相同的項才能相加（或減）。,ijijijiimmikkabCabC d,ijikiijabab無意義無意義(2)代入：iimmaU biimm

29、bV CiimmnnaU V C(3)乘積：mmpa bmmqC dmmnnpqa b C d(4)因子分解：因子分解：0ijjiT nnnj作為公因子提出來作為公因子提出來ni寫成寫成ijnj()0ijjiijjijjijijjT nnT nnTnimmiaaimmjijTT一、迪卡爾張量的代數(shù)運算一、迪卡爾張量的代數(shù)運算1、張量的和、張量的和定義：兩個定義：兩個r階張量的和仍是階張量的和仍是r階張量，其分量是原來兩張階張量，其分量是原來兩張量分量之和。量分量之和。2、對稱張量和反對稱張量、對稱張量和反對稱張量設(shè)設(shè)Tij為二階張量，若為二階張量，若TijTji，則稱該張量為對稱張量；若，則稱

30、該張量為對稱張量；若TijTji，則稱該張量為反對稱張量。，則稱該張量為反對稱張量。3、張量和矩陣、張量和矩陣矩陣與張量有許多相似的性矩陣與張量有許多相似的性質(zhì)，張量的一些運算法則可質(zhì)，張量的一些運算法則可通過矩陣來表示。通過矩陣來表示。ijijijijijijjiABCABDA BE2 210 10 張量運算張量運算4、張量的外積、張量的外積定義：一個定義：一個r階張量和一個階張量和一個s階張量的外積是一個階張量的外積是一個r+s階張量，階張量，其分量由原來兩個張量的各個分量的乘積組成。其分量由原來兩個張量的各個分量的乘積組成。5、張量的縮并、張量的縮并定義：使定義：使r（2）階張量分量的兩

31、個指標相同，并對該重）階張量分量的兩個指標相同，并對該重復指標求和，這種運算稱為縮并。復指標求和，這種運算稱為縮并。ijkmnijkmnA BC112233iikkkkkAAAAC若將若將r（2）階張量進行一次縮并，結(jié)果仍是張量，但將為）階張量進行一次縮并，結(jié)果仍是張量，但將為r-2階。張量的縮并可反復進行，直到運算結(jié)果降為一階張階。張量的縮并可反復進行，直到運算結(jié)果降為一階張量（矢量）或零階張量（標量）。量（矢量）或零階張量（標量）。6、張量的內(nèi)積、張量的內(nèi)積定義：兩個張量的內(nèi)積就是將兩個張量的外積進行縮并。定義：兩個張量的內(nèi)積就是將兩個張量的外積進行縮并。如二階張量如二階張量Cij和和Dm

32、n，它們可構(gòu)成四種內(nèi)積，即，它們可構(gòu)成四種內(nèi)積，即,ijinjnijjninijmijmijmjimC DEC DF C DGC DH7、對稱張量場、對稱張量場ijjiAA反對稱張量場反對稱張量場ijjiAA ijkjikAAijkA關(guān)于前兩個指標對稱關(guān)于前兩個指標對稱二、迪卡爾張量的微分二、迪卡爾張量的微分1、張量場、張量場標量場或矢量場由給定區(qū)域的點組成，并且在每一點上有標量場或矢量場由給定區(qū)域的點組成，并且在每一點上有該標量或矢量的對應(yīng)值。該標量或矢量的對應(yīng)值。溫度分布溫度分布T(x1，x2，x3)是標量場（通常稱為溫度是標量場（通常稱為溫度場場）速度分布速度分布v(x1，x2，x3)是

33、矢量場（通常稱為速度場）是矢量場（通常稱為速度場）任何一個任何一個r2的的r階張量均可分解為一個對稱張量和一個反階張量均可分解為一個對稱張量和一個反對稱張量之和對稱張量之和。1122ijijjiijjiAAAAA應(yīng)變率張量：描述變形的特征量應(yīng)變率張量：描述變形的特征量1122iiiiijjijiuuuuuxxxxx給定區(qū)域的每一點上定義一個張量，就是張量場。給定區(qū)域的每一點上定義一個張量，就是張量場。應(yīng)力分布應(yīng)力分布(x1，x2，x3)便是二階張量場。便是二階張量場。標量場和矢量場分別為零階和一階張量場。標量場和矢量場分別為零階和一階張量場。2、張量場的表示方法、張量場的表示方法標量場標量場可寫成可寫成(xk)或或(xk，t)矢量場矢量場A可寫成可寫成Ai(xk)或或Ai(xk，t)二階張量場二階張量場T可寫成可寫成Tij(xk)或或Tij (xk，t) 3、張量場的梯度、張量場的梯度grad ()(/)ikiixx /ix標量場的偏導數(shù)標量場的偏導數(shù) 為矢量場的分量，即為矢量場的分量，即3、張量場的散