概率論第一章

1、任課教師：任課教師： 莫榮華莫榮華 聯(lián)系方式：聯(lián)系方式： QQ QQ號或微信號號或微信號: 5159110: 5159110 2015 2015年年3 3月月-6-6月月 第一章第一章基本概念基本概念1.11.1Random experimentRandom experiment1.21.2Random EventsRandom Events 1.31.3ProbabilityProbability 緒言緒言1717世紀，法國的世紀，法國的 一賭徒一賭徒Chevalies DemereChevalies Demere在賭博在賭博中感覺到，如果上拋一對骰子中感覺到，如果上拋一對骰子2525次，則

2、把賭注押到次，則把賭注押到“ “ 至少至少出現(xiàn)一次雙六出現(xiàn)一次雙六”比把賭注押到比把賭注押到“完全不出現(xiàn)雙六完全不出現(xiàn)雙六”更有利，更有利，但他本人找不出原因，后來請當時著名的數學家但他本人找不出原因，后來請當時著名的數學家 pascal pascal 解解決了這一問題決了這一問題, ,從此，奠定了概率研究的開始。從此，奠定了概率研究的開始。分賭本問題分賭本問題: 1654年年,一個名叫梅累的騎士就一個名叫梅累的騎士就“兩個賭徒約定賭若干兩個賭徒約定賭若干局局, 且誰先贏且誰先贏 c 局便算贏家局便算贏家, 若一賭徒勝若一賭徒勝 a 局局 ( ac ),另一另一賭徒勝賭徒勝b局局(b3C=x|

3、x9D=x|x0） A=x20，B=x20 A=x22，B=x19課堂練習課堂練習AB A與與B對立對立A與與B互斥互斥AB記號記號概率論概率論集合論集合論 、樣本空間樣本空間, ,必然事件必然事件不可能事件不可能事件基本事件基本事件隨機事件隨機事件A A的對立事件的對立事件A A出現(xiàn)必然導致出現(xiàn)必然導致B B出現(xiàn)出現(xiàn)事件事件A A與事件與事件B B相等相等空間空間( (全集全集) )空集空集元素元素子集子集A A的補集的補集A A是是B B的子集的子集A A集合與集合與B B集合相等集合相等ABABABA 事件事件A A與事件與事件B B 的差的差A A與與B B兩集合的差集兩集合的差集AB

4、 事件事件A A與與B B互不相容互不相容A A、B B 兩集合沒有相同元素兩集合沒有相同元素事件事件A A與事件與事件B B的和的和A A集合與集合與B B集合的并集集合的并集AB 事件事件A A與與B B的積事件的積事件 A A集合與集合與B B集合的交集集合的交集 1.3 1.3 事件的概率事件的概率 (Probability(Probability） 隨機事件在一次試驗中有可能發(fā)生也可能不發(fā)生隨機事件在一次試驗中有可能發(fā)生也可能不發(fā)生, ,但多次但多次重復時重復時, ,會發(fā)現(xiàn)有的事件發(fā)生多些會發(fā)現(xiàn)有的事件發(fā)生多些, ,有的少些有的少些, ,這數量上的區(qū)這數量上的區(qū)別反映了隨機事件的內在

5、的一種規(guī)律別反映了隨機事件的內在的一種規(guī)律. . : :設設E E為任一隨機試驗，為任一隨機試驗，A為其中任為其中任一事件，在相同條件下，把一事件，在相同條件下，把E E獨立的重復做獨立的重復做n次，次，vA表示表示事件事件A在這在這n次試驗中出現(xiàn)的次數次試驗中出現(xiàn)的次數( (稱為頻數稱為頻數) )。比值。比值vA/n 稱為事件稱為事件A在這在這n次試驗中出現(xiàn)的頻率次試驗中出現(xiàn)的頻率(Frequency).(Frequency).一、一、 頻率的定義頻率的定義(Frequency)(Frequency) 頻率的性質頻率的性質設事件設事件A在在n次試驗中發(fā)生次試驗中發(fā)生nA次，頻率次，頻率fn(

6、A)=vA /n1. 非負性非負性 fn(A)02. 規(guī)范性規(guī)范性 fn()=13. 有限可加性有限可加性 若事件若事件A和和B互不相容互不相容，則，則fn(AB)= fn(A) +fn(B)( )AnvAfn則AB性質性質3的證明：的證明：設在設在n次重復試驗中次重復試驗中A發(fā)生了發(fā)生了vA 次次 B發(fā)生了發(fā)生了vB次次 由于由于A ,B不能同時發(fā)生不能同時發(fā)生, 故故AB發(fā)生了發(fā)生了vA+ vB 次次 所以所以 fn(AB)= (vA+ vB )/n =fn(A) +fn(B)3. 有限可加性有限可加性 若事件若事件A和和B互不相容互不相容，則，則fn(AB)= fn(A) +fn(B)B

7、(B)nvfn則BBv 個樣本點落在 內AAv 個樣本點落在 內 頻率的性質頻率的性質設事件設事件A在在n次試驗中發(fā)生次試驗中發(fā)生nA次，頻率次，頻率fn(A)=vA /n1. 非負性非負性 fn(A)02. 規(guī)范性規(guī)范性 fn()=13. 有限可加性有限可加性 若事件若事件A和和B互不相容互不相容，則，則fn(AB)= fn(A) +fn(B)()()()(2121AfnAfnAfnAAAfkkn 由定義及以上性質還可以得到由定義及以上性質還可以得到: : fn( )=0 A B, fn(A) fn(B) fn(A)121,kA AA是是互互不不相相容容事事件件若若兩兩兩兩則則實例實例 將一

8、枚硬幣拋擲將一枚硬幣拋擲 5 次、次、50 次、次、500 次次, 各做各做 7 遍遍, 觀察正觀察正面出現(xiàn)的次數及頻率面出現(xiàn)的次數及頻率.數據波動較大試驗試驗序號序號5 nHnf1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4Hnf50 n22252125241827Hn500 n2512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.54f0.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502波動最小波動最小 0.5n=50n=500f5(A)f50(A)f500(A)n=5實踐證明實踐證明:

9、:當試驗次數當試驗次數n n增大時增大時, ,隨機事件的頻隨機事件的頻率率f fn n(A)(A)逐漸趨向穩(wěn)定逐漸趨向穩(wěn)定2 2、 頻率的穩(wěn)定性頻率的穩(wěn)定性試驗者試驗者拋擲次數拋擲次數n正面出現(xiàn)次正面出現(xiàn)次數數m正面出現(xiàn)頻率正面出現(xiàn)頻率m/n德德.摩爾根摩爾根204810610.518蒲豐蒲豐404020480.5069皮爾遜皮爾遜1200060190.5016皮爾遜皮爾遜24000120120.5005維尼維尼30000149940.4998()nfH的的增增大大n.21新生兒性別統(tǒng)計表新生兒性別統(tǒng)計表出生年份出生年份新生兒新生兒總數總數n新生兒分類數新生兒分類數頻率頻率(%)男孩數男孩數m

10、1女孩數女孩數m2男孩男孩女孩女孩197736701883178751.3148.69197842502177207351.2248.78197940552138191752.7347.27198058442955288950.5649.44198163443271307351.5648.44198272313722350951.4748.536年總計年總計31394161461524851.4848.52二、二、 概率的統(tǒng)計定義概率的統(tǒng)計定義(The statistic definition ofprobability)(The statistic definition ofprobabil

11、ity)定義定義 1.4 1.4 設有隨機試驗，若當試驗的次數充分大時，事件設有隨機試驗，若當試驗的次數充分大時，事件的發(fā)生頻率穩(wěn)定在某數的發(fā)生頻率穩(wěn)定在某數P P附近擺動，則稱數為事件的概率附近擺動，則稱數為事件的概率(Probability)(Probability)為為P P，記為：，記為：pAP)(說明說明1.1.頻率的穩(wěn)定性是概率的經驗基礎，但并不是說概頻率的穩(wěn)定性是概率的經驗基礎，但并不是說概率決定于經驗率決定于經驗. . 一個事件發(fā)生的概率完全決定于事件本身一個事件發(fā)生的概率完全決定于事件本身的結構的結構, ,是先于試驗而客觀存在的是先于試驗而客觀存在的. .2 2 概率的統(tǒng)計定

12、義只是描述性的。概率的統(tǒng)計定義只是描述性的。3 3 通常只能在充分大時，以事件出現(xiàn)的頻率作為事通常只能在充分大時，以事件出現(xiàn)的頻率作為事件概率的近似值。件概率的近似值。 概率的性質概率的性質( (概率統(tǒng)計定義的性質概率統(tǒng)計定義的性質) )3AB()()()P ABP AP B質質 ：若若 、 互互不不相相容容，則則有有性性1212()()()()kkPPPPA AAAAA 21,kA AA是是兩兩兩兩互互不不相相容容事事件件 則則若若1();P()0;p A性質性質1 1 非負性：對任一事件非負性：對任一事件A ,A ,有有性質性質2 2 規(guī)范性：對必然事件規(guī)范性：對必然事件 , ,有有121

13、()()kkkPP AAAA .完全可加性完全可加性 概率性質的與推廣概率性質的與推廣1.()0;P 對任一事件，對任一事件， 與與A不相容，且不相容，且AA 所以所以P(A)P(A)P( )即即P( )012,kA AA，. . . . 成成立立特別地，由于可給碰到可列個事件的運算，故要求（公理性特別地，由于可給碰到可列個事件的運算，故要求（公理性定義）對一系列互不相容事件定義）對一系列互不相容事件).()()(),()(, APBPABPBPAPBABA則則且且為為兩兩個個事事件件設設2證明證明BA,BA 因因為為).(ABAB 所以所以,)( AAB又又)()()(ABPAPBP 得得,

14、 0)( ABP又又因因).()(BPAP 故故).()()(APBPABP 于于是是BA).(AB BABAAB如如果果不不成成立立，注注意意：即即一一般般地地，BABABB2AB事事實實上上， ，且且，由由 得得證證(A)( )-()P BP BP BA ).()(, APA PAA13 則則的對立事件的對立事件是是設設,)(,1 PAAAA因因為為).(1)(APAP 證明證明)()(AAPP 1所以所以)()(APAP 注意到不論是對概率的直觀理解，還是頻率定義方式，注意到不論是對概率的直觀理解，還是頻率定義方式，作為事件的概率，都應具有前述三條基本性質，在數學上，作為事件的概率，都應

15、具有前述三條基本性質，在數學上，我們就可以從這些性質出發(fā)，給出概率的公理化定義（略）我們就可以從這些性質出發(fā)，給出概率的公理化定義（略）基本計數原理基本計數原理 這里我們先簡要復習計算古典概率所用到的這里我們先簡要復習計算古典概率所用到的1. 1. 加法原理加法原理設完成一件事有設完成一件事有m m 種方式，種方式，第一種方式有第一種方式有n n1 1種方法，種方法，第二種方式有第二種方式有n n2 2種方法種方法, ,； 第第m m 種方式有種方式有n nm m種方法種方法, ,無論通過哪種方法都可以完成這件事，無論通過哪種方法都可以完成這件事，n n1 1 n n2 2 n nm m:則完

16、成這件事總共有則完成這件事總共有n n1 1+ +n n2 2+n nm m 種方法種方法 . .例如，某人要從甲地到乙地去例如，某人要從甲地到乙地去, ,甲地甲地乙地乙地可以乘火車可以乘火車, ,也可以乘輪船也可以乘輪船. .火車有兩班火車有兩班輪船有三班輪船有三班乘坐不同班次的火車和輪船，共有幾種方法乘坐不同班次的火車和輪船，共有幾種方法? ?3 3 + 2+ 2 種方法種方法基本計數原理基本計數原理則完成這件事共有則完成這件事共有種不同的方法種不同的方法 . .mnnn212. 2. 乘法原理乘法原理設完成一件事有設完成一件事有m m個步驟，個步驟，第一個步驟有第一個步驟有n1種方法，種

17、方法，第二個步驟有第二個步驟有n2種方法種方法, ,； 第第m m個步驟有個步驟有nm種方法種方法, ,必須通過每一步驟必須通過每一步驟, ,才算完成這件事，才算完成這件事，12mnnn種 種種例如，若一個男人有三頂帽子和兩件背心，問他例如，若一個男人有三頂帽子和兩件背心，問他可以有多少種打扮？可以有多少種打扮？可以有可以有3 32 2 種打扮種打扮 加法原理和乘法原理是兩個很重要計數原理，它們不但加法原理和乘法原理是兩個很重要計數原理，它們不但可以直接解決不少具體問題，同時也是推導下面常用排列可以直接解決不少具體問題，同時也是推導下面常用排列組合公式的基礎組合公式的基礎 . .三、排列、組合

18、的幾個簡單公式三、排列、組合的幾個簡單公式排列和組合的區(qū)別：排列和組合的區(qū)別：順序不同屬于順序不同屬于不同的排列！不同的排列！3 3把不同的鑰匙的排列把不同的鑰匙的排列6 6種種而組合不管順序而組合不管順序,只要包含的元素一樣就是同一種組合只要包含的元素一樣就是同一種組合從從3 3個元素取出個元素取出2 2個個的排列總數有的排列總數有6 6種種從從3 3個元素取出個元素取出2 2個個組合總數有組合總數有3 3種種236A 323C只有三種不只有三種不同的組合！同的組合！1 1、排列、排列: : 從從n個不同元素取個不同元素取 k個的不同排列總數為：個的不同排列總數為：(1)knk = n時稱全

19、排列時稱全排列122 1()()!nnnpAn nnn 121!()()()()!knnAn nnnknk123k.n(n-1) (n-2) (n-k+1)2.重復排列：重復排列：從從n個不同元素有放回地取個不同元素有放回地取 k個個（允許重復）（允許重復）的不同排列總數為：的不同排列總數為：kn nnn（種種）例如：從裝有例如：從裝有4 4張卡片的盒中有放回地摸取張卡片的盒中有放回地摸取3 3張張3241n=4,k =3123第第1 1張張4123第第2 2張張4123第第3 3張張4共有共有4 4. .4 4. .4=44=43 3種可能取法種可能取法123k.n n nn!()! !kk

20、nnAnCknkk3 3、組合、組合: : 從從n個不同元素取個不同元素取 k個（個（1 k n) )的不同組合的不同組合總數為：總數為：knC常記作常記作kn，稱為組合系數。，稱為組合系數。!kknnACk又常稱為二項式系數，因為它是二項式展開公式中的系數：又常稱為二項式系數，因為它是二項式展開公式中的系數：knknknbaknba0)(組合和排列的關系組合和排列的關系1 2 3 4 5（1，3）1 2 3 4 51 2 3 4 5（2，4）（1，5）共有共有C52種不同組合種不同組合1 2 3 4 55 5個位置中取到個位置中取到1 1，4 4號放置白球號放置白球對應組合（對應組合（1 1

21、，4 4）共有不同排列數共有不同排列數Cnn+m 或或C Cmn+m 4. 4. m個不可辨元素與個不可辨元素與n的不可辨元素排成一列的不可辨元素排成一列例例2個白球和個白球和3個黃球的不同排列個黃球的不同排列兩類元素的排列問題兩類元素的排列問題現(xiàn)設有現(xiàn)設有r r個白球（不可辯），個白球（不可辯），n-r 個黃球個黃球（不可辯）（不可辯）排成一列，排成一列，計算其不同排列總數計算其不同排列總數. .先將先將r個白球編號，分別為個白球編號，分別為1,2，,r號號n-r個黃球編號，分別為個黃球編號，分別為r1 ,r+2，,n號號這這n個不同球的排列共有（全排列數）個不同球的排列共有（全排列數）n!

22、種種下面用另一方法構成上面的排列，先進行兩類球的排列下面用另一方法構成上面的排列，先進行兩類球的排列（即認為白球、黃球不可辯），設共有不同的排列數為（即認為白球、黃球不可辯），設共有不同的排列數為x,由乘法原理，共有不同的排列數由乘法原理，共有不同的排列數 x r! (n-r)!然后對白球進行排列，共有然后對白球進行排列，共有r！方式，！方式，對黃球進行排列共有（對黃球進行排列共有（n-r）!種方式，種方式，n! = x r! (n-r)!兩種方法兩種方法的排列種的排列種數相同數相同 !()!nnxrnrr5 5、n個不同元素分為個不同元素分為k組，各組元素數目分別為組，各組元素數目分別為r1

23、,r2,rk的的分法總數為分法總數為: :12kr rr n r1個個元素元素r2個個元素元素rk個個元素元素n個元素個元素1rnC!21krrrn21rn rCkkrrCkkrrrrnrnCCC211特別地，當特別地，當k組元素個數相同時，不同的分組有組元素個數相同時，不同的分組有121kkrrrnn rrCCCk！-多項式（多項式（x1+x2+xk)n的系數的系數令令 x=-1得得01210nnnnnn)(nnnnnn2210可得到許多有用的組合公式：可得到許多有用的組合公式：以以 x=1代入代入01 ()nnn rknxxr 2.由展開式由展開式二項式系數的有關性質二項式系數的有關性質1

24、. 由公式直接得到由公式直接得到nnrnr 111()() ()a babxxx3.由由000ababnijnijababxxxnij有有比較兩邊比較兩邊 xn 次冪的系數，可得次冪的系數，可得 0110.a babababnnnn 運用二項式展開運用二項式展開特別地，有特別地，有20110.nnnnnnnnnnn 在許多場合，由對稱性和均衡性，我們就可以認為在許多場合，由對稱性和均衡性，我們就可以認為基本事件是等可能的，并在此基礎上事件的概率可以直基本事件是等可能的，并在此基礎上事件的概率可以直接算出接算出. .古典概型古典概型(Classical Probability)1.3.2 1.3

25、.2 概率的直接計算概率的直接計算如果一個隨機試驗如果一個隨機試驗E E具有以下特征具有以下特征 1 1、試驗的樣本空間中僅含有有限個樣本點，、試驗的樣本空間中僅含有有限個樣本點，12,.n 2 2、每個樣本點出現(xiàn)的可能性相同、每個樣本點出現(xiàn)的可能性相同則稱則稱具有上述特性的概型為具有上述特性的概型為古典概型。古典概型。12()().()nPPP 討論相應的概率問題稱為古典要型問題討論相應的概率問題稱為古典要型問題 等可能概型中事件概率的計算：等可能概型中事件概率的計算：1()iPn1 1. .基基本本事事件件的的概概率率1212()(.) ()().() =()nniPPPPPnp 12,.

26、設設mnnnA 2 2 若若A A包含基本事件數為包含基本事件數為m,12,.設設n 12()().()nPPP 1212( )(.)()().() mmnnnnnnP APPPPmn A A所所包包含含的的樣樣本本點點數數= = 中中的的樣樣本本點點總總數數因為因為38( )P A 2 2、“等可能性等可能性”是一種假設，在實際應用中，我們需要根是一種假設，在實際應用中，我們需要根據實際情況去判斷是否可以認為各基本事件或樣本點是等可據實際情況去判斷是否可以認為各基本事件或樣本點是等可能的能的. .1 1、在應用古典概型時必須注意、在應用古典概型時必須注意“等可能性等可能性”的條件的條件. .

27、 例例 將一枚硬幣上拋三次，設事件將一枚硬幣上拋三次，設事件A =“A =“恰有一次出現(xiàn)正恰有一次出現(xiàn)正面面”，B=“B=“至少有一次出現(xiàn)正面至少有一次出現(xiàn)正面” ” 則則(HHH),(HHT),(HTH),(HTT),(THH),(THT),(TTH),(TTT)(HHH),(HHT),(HTH),(HTT),(THH),(THT),(TTH),(TTT)注：例注：例E E3 3中，將一枚硬幣上拋三次，觀察正面向上的次數，中，將一枚硬幣上拋三次，觀察正面向上的次數， 3 0, 1, 2 , 3 , 記記A Ai i “ “正面出現(xiàn)正面出現(xiàn)i 次次” 則則P(A0)1/8 ，P(A1)3/8

28、，P(A2)3/8， P(A3)1/8 所以以所以以Ai作為基本事件，則非等可能概型。作為基本事件，則非等可能概型。78( )P B例例9 9一部四卷文集，按任意次序排列在一級書架上，問各一部四卷文集，按任意次序排列在一級書架上，問各冊自右至左或自左至右恰成冊自右至左或自左至右恰成1,21,2，3,43,4順序的概率是多少？順序的概率是多少？解：樣本點為四卷書書號的任一可能的排列，解：樣本點為四卷書書號的任一可能的排列，總數總數n=4321A A的有利場合數（的有利場合數（A A包含的樣本點數）為包含的樣本點數）為2 21234，432121412( )!P A n1010= =3 3 4 4

29、有有種種取取法法; ;1 1例例10有有10個外觀相同的電阻，其電阻分別是個外觀相同的電阻，其電阻分別是1歐、歐、2歐、歐、10歐歐.現(xiàn)從中任意取出現(xiàn)從中任意取出3個，希望一個電阻值小于個，希望一個電阻值小于5歐，一個電阻歐，一個電阻值等于值等于5歐一歐一,個電阻值大于個電阻值大于5歐，問一次抽取就能達到要求的歐，問一次抽取就能達到要求的概率概率.解：樣本點為從解：樣本點為從1010個不同電阻中任取三個的組合個不同電阻中任取三個的組合樣本空間總數為樣本空間總數為計算有利場合數：計算有利場合數：有利場合數為有利場合數為構成一個有利場合可分三個步驟：構成一個有利場合可分三個步驟：第一步，從小于第一

30、步，從小于5歐的電阻值中任取出一個，歐的電阻值中任取出一個，第二步，從等于第二步，從等于5歐的電阻值中任取出一個歐的電阻值中任取出一個;第三步，從大于第三步，從大于5歐的電阻值中任取出一個歐的電阻值中任取出一個; 5 5有有種種取取法法; ;1 1有有1 1種種取取法法; ; 4154151111111( )6P A 41541511111110103 3 11().()rn nnrn( )!()()!rrrnnP Ann nr16r2345123n-1n例例1111將將r r個球置于個球置于n n個箱中（每個球以個箱中（每個球以1/n1/n的概率被置入某一的概率被置入某一特定箱中）特定箱中）

31、, ,若若nr,nr,試求任一箱內的球數均不超過試求任一箱內的球數均不超過1 1的概率。的概率。解：先計算樣本空間總數解：先計算樣本空間總數第一個球置于一箱中，第一個球置于一箱中，共有共有n n種放法種放法; ;相繼將每一個球置于一箱中都有相繼將每一個球置于一箱中都有n n種放法；種放法；11111111nnn n=這樣放完這樣放完r r個球構成一個可能的結果（樣本點），個球構成一個可能的結果（樣本點），nr再計算有利場合數：再計算有利場合數：第一個球置于一箱中，共有第一個球置于一箱中，共有n n種放法種放法; ;第二個球由于不能放到第一個球所在箱，所以只有第二個球由于不能放到第一個球所在箱，

32、所以只有n-1n-1種放法種放法第第r r個球不能放到前個球不能放到前r-1r-1個球所在箱，所以只有個球所在箱，所以只有n-r+1n-r+1種放法種放法有利場合數有利場合數!()!nnr由乘法原理，由乘法原理，r r個球的個球的 不同的放法有不同的放法有 許多表面上提法不同的問題實質上屬于同一類型：許多表面上提法不同的問題實質上屬于同一類型： 有有n個人，設每個人的生日是任一天的概率為個人，設每個人的生日是任一天的概率為1/365. 1/365. 求這求這n ( (n 365) 365)個人沒有兩個人的生日相同（個人沒有兩個人的生日相同（n n人生日互人生日互不相同）的概率不相同）的概率.

33、.人人任一天任一天365365365365 365()!()!nnnPn根據上公式得可計算當可計算當n=40=40時，時，P0.1090.109( )!( )()!rrrnnP Ann nr我敢打睹，我我敢打睹，我們班至少有兩們班至少有兩人生日在同一人生日在同一天！天！許多表面上提法不同的問題實質上屬于同一類型：許多表面上提法不同的問題實質上屬于同一類型： 有有n個旅客，乘火車途經個旅客，乘火車途經N N個車站，設每個人在每站下車個車站，設每個人在每站下車的概率為的概率為1/ N(N n) ，求指定的，求指定的n個站各有一人下車的概率個站各有一人下車的概率. .旅客旅客車站車站()!( )()

34、!nnnNNP ANNNn 某城市每周發(fā)生某城市每周發(fā)生7 7次車禍，假設每天發(fā)生車禍的概率相同次車禍，假設每天發(fā)生車禍的概率相同. . 求每天恰好發(fā)生一次車禍的概率求每天恰好發(fā)生一次車禍的概率. .車禍車禍天天7777777( )!( )P A 123k.a+b 例例12 12 袋中有大小相同的袋中有大小相同的 a 個黃球，個黃球，b 個白球現(xiàn)將球從袋個白球現(xiàn)將球從袋中一一隨機摸出來，試求第中一一隨機摸出來，試求第 k 次摸出的球是黃球的概率次摸出的球是黃球的概率113a234b2解法一解法一: : 認為球是不相同的（可辯的），認為球是不相同的（可辯的），黃球編號為黃球編號為1 1 a, ,

35、白球編號為白球編號為1 1 b設樣本點為：依次取出的設樣本點為：依次取出的a+b個球的排列個球的排列樣本空間總數為樣本空間總數為 (a+b)!事件事件A構成構成A A的有利場合分兩步：的有利場合分兩步：從從a a個黃球中任取出一個放到第個黃球中任取出一個放到第k k個位置，個位置， 有有a種方式種方式113a234b2第第k個位置個位置其余其余a ab-1b-1個位置是個位置是( (a+b-1)-1)個球的任意排列，個球的任意排列，有有( (a+b-1)!)!種方式種方式13a234b2有利場合數為有利場合數為 a( (a+b-1)!)!1()!()!a abaPabab123k.a+b 例例

36、12 12 袋中有大小相同的袋中有大小相同的 a 個黃球，個黃球，b 個白球現(xiàn)將球從袋個白球現(xiàn)將球從袋中一一隨機摸出來，試求第中一一隨機摸出來，試求第 k 次摸出的球是黃球的概率次摸出的球是黃球的概率aba113a234b2解法二：解法二：認為黃球及白球分別是沒有區(qū)別的（不可辯的）認為黃球及白球分別是沒有區(qū)別的（不可辯的）總數：總數：事件事件A構成構成A的有利場合分兩步：的有利場合分兩步：從從a個黃球中任取出一個放到第個黃球中任取出一個放到第k個位置，個位置，有有1種方式種方式113a234b2第第k個位置個位置其余其余ab-1個位置是（個位置是（a-1）個黃球和）個黃球和b個白球的兩類排列，

37、個白球的兩類排列，把依次取出的把依次取出的a+b個球成一列個球成一列樣本點為：兩類元素樣本點為：兩類元素( (a 個黃球和個黃球和b 個白球個白球) ) 的排列的排列11abaaPababa有有 種方式種方式11aba例例1313 設設100100件產品中有件產品中有5 5件次品件次品, ,現(xiàn)從中任意抽出現(xiàn)從中任意抽出3 3件，求件，求恰有恰有2 2件是次品被抽出的概率件是次品被抽出的概率. .解法一：設樣本點為從解法一：設樣本點為從100件產品抽出件產品抽出3件的組合件的組合( )MNMknkP ANn正品正品 95M件件次品次品100100件產品件產品A1003總數：總數：構成構成A的有利

38、場合分兩步：的有利場合分兩步：從從5件次品中抽出件次品中抽出2件，件，從從95件正品中抽出件正品中抽出3件件25 種種方方式式95 1種種方方式式59521()1003P A N N件產品件產品次品次品 5件件次品次品 M件件正品正品 N-M例例13 13 設設100100件產品中有件產品中有5 5件次品件次品, ,現(xiàn)從中任意抽出現(xiàn)從中任意抽出3 3件，求件，求恰有恰有2 2件是次品被抽出的概率件是次品被抽出的概率. .這是一種無放回抽樣情形，這是一種無放回抽樣情形，有放回抽樣時有放回抽樣時P(A)=P(A)=？解法二：設樣本點為從解法二：設樣本點為從100件產品抽出件產品抽出3件的排列件的排

39、列次品次品 5件件正品正品 95件件M件件次品次品100100件產品件產品A3 31 10 00 0! !1 10 00 0= = =1 10 00 09 99 9 9 98 89 97 7! !總數：總數：構成構成A的有利場合分兩步：的有利場合分兩步：先確定正品次品的位置先確定正品次品的位置(即兩類元素即兩類元素(一個一個正品和兩個次品正品和兩個次品)的排列問題的排列問題)，正品從正品從95件中取出一件有件中取出一件有32 種種方方式式95種種方方式式395 5 42( )100 99 98P A 123第一件次品從第一件次品從5件中取出一件件中取出一件5種種方方式式第二件次品從第二件次品從

40、4件中取出一件件中取出一件4種種方方式式能用組合能用組合作為樣本作為樣本點嗎？點嗎？ 395552( )100 100 100P A 把把C、C、E、E、I、N、S七個字母分別寫在七張同七個字母分別寫在七張同樣的卡片上，并且將卡片放入同一盒中，現(xiàn)從盒中任意一樣的卡片上，并且將卡片放入同一盒中，現(xiàn)從盒中任意一張一張地將卡片取出，并將其按取到的順序排成一列，求張一張地將卡片取出，并將其按取到的順序排成一列，求排列結果恰好拼成一個英文單詞的概率：排列結果恰好拼成一個英文單詞的概率：拼成英文單詞拼成英文單詞SCIENCESCIENCE 的情況數的情況數( (有利場合數）為有利場合數）為故該結果出現(xiàn)的概

41、率為：故該結果出現(xiàn)的概率為： 這個概率很小，這里算出的概率有如下的實際意義：這個概率很小，這里算出的概率有如下的實際意義：如果多次重復這一抽卡試驗，則我們所關心的事件在如果多次重復這一抽卡試驗，則我們所關心的事件在12601260次試驗中大約出現(xiàn)次試驗中大約出現(xiàn)1 1次次 . .224解：七個字母的排列總數為解：七個字母的排列總數為7 7！更多的例子更多的例子41=0 0007971260.!p 這樣小概率的事件在一次抽卡的試驗中就發(fā)生了，人這樣小概率的事件在一次抽卡的試驗中就發(fā)生了，人們有比較大的把握懷疑這是魔術們有比較大的把握懷疑這是魔術. . 具體地說，可以具體地說，可以99.921%9

42、9.921%的把握懷疑這是魔術的把握懷疑這是魔術. .（錯誤（錯誤的概率是的概率是0.000790.00079） 小概率事件通?？梢詷嫵梢粋€假設檢驗的依據，通小概率事件通?？梢詷嫵梢粋€假設檢驗的依據，通常假定某常假定某“假設假設H”H”為真，在該前提下建立一小概率事為真，在該前提下建立一小概率事件，如果在一次試驗中該小概率事件發(fā)生，則判斷該件，如果在一次試驗中該小概率事件發(fā)生，則判斷該“假設假設H”H”不真。這是概率統(tǒng)計中假設檢驗的基本原理。不真。這是概率統(tǒng)計中假設檢驗的基本原理。實際推斷原理：小概率事件在一實際推斷原理：小概率事件在一次試驗不會出現(xiàn)，因而可將次試驗不會出現(xiàn)，因而可將A A看成

43、看成一（實際上）不可能事件。一（實際上）不可能事件。上推斷過程是：上推斷過程是：假設假設H H：設取到每：設取到每一張牌的可能性相一張牌的可能性相等等假設假設H H不真，即認不真，即認為到每一張牌的可為到每一張牌的可能性不相等能性不相等小概率事件發(fā)生小概率事件發(fā)生解：把解：把2n只鞋分成只鞋分成n堆堆,每堆每堆2只的分法總數只的分法總數為為而出現(xiàn)事件而出現(xiàn)事件A的分法數為的分法數為n!,故故nnn2)!2(! 2! 2 ! 2)!2()!2(2 !2/)!2(!)(nnnnAPnn例例 n雙相異的鞋共雙相異的鞋共2n只，隨機地分成只，隨機地分成n堆，每堆堆，每堆2只只 . 問問:“各堆都自成一

44、雙鞋各堆都自成一雙鞋”(事件事件A)的概率是多少？的概率是多少？ “等可能性等可能性”是一種假設，在實際應用中，我們需要根是一種假設，在實際應用中，我們需要根據實際情況去判斷是否可以認為各基本事件或樣本點是等據實際情況去判斷是否可以認為各基本事件或樣本點是等可能的可能的.1、在應用古典概型時必須注意、在應用古典概型時必須注意“等可能性等可能性”的條件的條件.需要注意的是：需要注意的是： 在許多場合，由對稱性和均衡性，我們就可以認在許多場合，由對稱性和均衡性，我們就可以認為基本事件是等可能的并在此基礎上計算事件的概率為基本事件是等可能的并在此基礎上計算事件的概率. .2 2、在用排列組合公式計算

45、古典概率時，必須注意不要重復計、在用排列組合公式計算古典概率時，必須注意不要重復計數，也不要遺漏數，也不要遺漏. .例如：從例如：從5 5雙不同的鞋子中任取雙不同的鞋子中任取4 4只，這只，這4 4只鞋子中只鞋子中“至少有至少有兩只配成一雙兩只配成一雙”（事件（事件A A）的概率是多少？）的概率是多少？ 下面的算法錯在哪里？下面的算法錯在哪里？4102815)(AP錯在同樣的錯在同樣的“4 4只配成兩雙只配成兩雙”算了兩次算了兩次. .97321456810從從5雙中取雙中取1雙，從剩雙，從剩下的下的 8只中取只中取2只只410252815)(AP請思考：請思考：還有其它解法嗎？還有其它解法嗎

46、？成一雙成一雙只鞋子中至少有兩只配只鞋子中至少有兩只配設設解解4A一雙一雙只鞋子中恰有兩只配成只鞋子中恰有兩只配成41A雙雙只鞋子恰好配成只鞋子恰好配成242A2121AAA,AA且于是)()()()(2121APAPAAPAP則則41025410224152CCCCC2113只只鞋鞋子子都都不不能能配配成成雙雙設設另另解解4A4104252)(CCAP218)(1)(APAP則則21132181例如：從例如：從5 5雙不同的鞋子中任取雙不同的鞋子中任取4 4只，這只，這4 4只鞋子中只鞋子中“至少有至少有兩只配成一雙兩只配成一雙”（事件（事件A A）的概率是多少？）的概率是多少？ 97321

47、456810 幾何概型幾何概型( (Geometric probability) ) 把古典概型推廣到無限個樣本點又具有把古典概型推廣到無限個樣本點又具有“等可能等可能”場合場合, ,人們引入了幾何概型人們引入了幾何概型. . 由此形成了確定概率的另一方法由此形成了確定概率的另一方法幾何方法幾何方法. .如果一個試驗具有以下兩個特點：如果一個試驗具有以下兩個特點：樣本空間樣本空間是一個大小可以計量的幾何區(qū)域（如線段、是一個大小可以計量的幾何區(qū)域（如線段、 平面、立體）。平面、立體）。向區(qū)域內任意投一點，落在區(qū)域內任意點處都是向區(qū)域內任意投一點，落在區(qū)域內任意點處都是“等可等可能的能的”。那么，

48、事件那么，事件A的概率由下式計算：的概率由下式計算： ()AP A 的的的的 測度測度測度測度研究相應的概率問題為幾何概型問題研究相應的概率問題為幾何概型問題1 1、向區(qū)域、向區(qū)域上隨機投擲一點，這里上隨機投擲一點，這里“任意投擲一點任意投擲一點”的的含義是指該點落入含義是指該點落入內任何部分區(qū)域內的可能性只與這部內任何部分區(qū)域內的可能性只與這部分區(qū)域的面積成比例，而與這部分區(qū)域的位置和形狀無關分區(qū)域的面積成比例，而與這部分區(qū)域的位置和形狀無關. .2 2、假如樣本空間、假如樣本空間可用一線段，或空間中某個區(qū)域表示，可用一線段，或空間中某個區(qū)域表示，并且向并且向上隨機投擲一點的含義如前述，則事

49、件上隨機投擲一點的含義如前述，則事件A A的概率仍的概率仍可用公式確定，只不過把事件的測度理解為長度或體積即可用公式確定，只不過把事件的測度理解為長度或體積即可可. . 那么那么024024,.xy當兩船相會時，所求的事件發(fā)生當兩船相會時，所求的事件發(fā)生06yx， 甲、乙兩船甲、乙兩船 將在同一天的將在同一天的0 0點到點到2424點之間隨機地到達碼點之間隨機地到達碼 頭，設該碼頭只有一個泊位頭，設該碼頭只有一個泊位. .若甲先到，需?？咳艏紫鹊?，需停靠6 6小時后小時后才離開碼頭，若乙先到，則要?？坎烹x開碼頭，若乙先到，則要停靠8 8小時后格離開碼頭。問這兩小時后格離開碼頭。問這兩船中有船需

50、等候泊位空出的概率？船中有船需等候泊位空出的概率？例例14 14 會面問題會面問題解解: :2222124(1816 )2( )24P A設甲船、乙船到達碼頭的時間分別是設甲船、乙船到達碼頭的時間分別是x 和和 y. 兩船到碼頭時刻，相當于向方形區(qū)域內投點兩船到碼頭時刻，相當于向方形區(qū)域內投點2424xy0即乙比甲晚到即乙比甲晚到6小時小時或甲比乙晚到或甲比乙晚到8小時小時08xy，即即A發(fā)生發(fā)生( , )0600)(0)的一些平行直線的一些平行直線, ,現(xiàn)向此現(xiàn)向此平面任意投擲一根長為平面任意投擲一根長為l( (l a ) )的針的針, ,試求針與任一平行直試求針與任一平行直線相交的概率線相

51、交的概率P. .解：解：,xM以以 表表示示針針投投到到平平面面上上時時 針針的的中中點點到到最最近近的的一一條條平平行行直直線線的的距距離離ax M. 表表示示針針與與該該平平行行直直線線的的夾夾角角( , ). x 那那么么針針落落在在平平面面上上的的位位置置可可由由完完全全確確定定( , )x ( , )|0,02axx 投投針針試試驗驗的的樣樣本本空空間間由投擲的任意性可知由投擲的任意性可知, ,這是一個幾何概型問題這是一個幾何概型問題. .xa/20ax M0 02sin ,lx0d22sinla 22.llaa則則A A發(fā)生的充分必要發(fā)生的充分必要 條件是條件是( )GgP A 的

52、的面面積積的的面面積積G a/2蒲豐投針試驗的應用及意義蒲豐投針試驗的應用及意義2( )lP Aa,( ),NnnP AN根根據據頻頻率率的的穩(wěn)穩(wěn)定定性性當當投投針針試試驗驗次次數數 很很大大時時 算算出出針針與與平平行行直直線線相相交交的的次次數數則則頻頻率率值值即即可可作作為為的的近近似似值值代代入入上上式式 那那么么, ,2nlNa2.lNan . 利利用用上上式式可可計計算算圓圓周周率率的的近近似似值值蒲豐投針試驗的應用及意義蒲豐投針試驗的應用及意義2( )lP Aa,( ), NnnNP A根根據據頻頻率率的的穩(wěn)穩(wěn)定定性性當當投投針針試試驗驗次次數數很很大大時時算算出出針針與與平平行

53、行直直線線相相交交的的次次數數則則頻頻率率值值即即可可作作為為的的近近似似值值代代入入上上式式 那那么么2,nlNa2.lNan . 利利用用上上式式可可計計算算圓圓周周率率的的近近似似值值歷史上一些學者的計算結果歷史上一些學者的計算結果( (直線距離直線距離a=1)=1) 3.179585925200.54191925Reina 3.1415929180834080.831901Lazzerini 3.159548910300.751884Fox 3.1373826001.01860De Morgan 3.1554121832040.61855Smith 3.1596253250000.81

54、850Wolf相交次數相交次數投擲次數投擲次數針長針長時間時間試驗者試驗者的近似值的近似值 1933年年 , 蘇聯(lián)數學家柯爾莫哥洛夫提出了概率論的蘇聯(lián)數學家柯爾莫哥洛夫提出了概率論的公理化結構公理化結構 ,給出了概率的嚴格定義給出了概率的嚴格定義 ,使概率論有了迅速使概率論有了迅速的發(fā)展的發(fā)展.二、概率的公理化定義與性質二、概率的公理化定義與性質附;)A(P,A:(1)10 有有對于每一個事件對于每一個事件性性有界有界 ;)(,:(2)1 P 有有對對于于必必然然事事件件規(guī)規(guī)范范性性則則有有即即對對于于事事件件是是兩兩兩兩互互不不相相容容的的設設,j, i ,AA, ji,A,A:(3)ji2

55、121 , 可可列列可可加加性性 )()()(2121APAPAAP概率的可列可加性概率的可列可加性1. 概率的定義概率的定義1.71.7:)(P.A),A(P,AE.,E滿足下列條件滿足下列條件如果集合函數如果集合函數的概率的概率稱為事件稱為事件記為記為賦予一個實數賦予一個實數每一事件每一事件的的對于對于是它得樣本空間是它得樣本空間是隨機試驗是隨機試驗設設 . 0)()1( P證明證明), 2 , 1( nAn.,1jiAAAjinn 且且則則 由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得 nnAPP1)( 1)(nnAP 1)(nP0)( P. 0)( P2. 性質性質概率的有限可加性概率的有限可加性證明證明,21 nnAA令令., 2 , 1, jijiAAji由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得)(21nAAAP)(1kkAP 1)(kkAP0)(1 nkkAP).()()(21nAPAPAP 則則有有是是兩兩兩兩互互不不相相容容的的事事件件若若,)2(21nAAA).()()()(2121nnAPAPAPAAAP ).()()(),()