兩角差的余弦公式教學特色

1、“兩角差的余弦公式教學設計浙江省臺州第一中學胡小莉浙江省臺州市教育局教研室李昌官一、教學內(nèi)容解析三角恒等變換處于三角函數(shù)與數(shù)學變換的結合點和交匯點上，是前面所學三角函數(shù)知識的繼續(xù)與開展，是培養(yǎng)學生推理能力和運算能力的重要素材兩角差的余弦公式是?三角恒等變換?這一章的根底和出發(fā)點，公式的發(fā)現(xiàn)和證明是本節(jié)課的重點，也是難點由于和與差內(nèi)在的聯(lián)系性與統(tǒng)一性，我們可以在獲得其中一個公式的根底上，通過角的變換得到另一個公式我們可以用“隨機、自然進入的方式選擇其中的一個作為突破口教材選擇兩角差的余弦公式作為根底，其根本出發(fā)點是使公式的證明過程盡量簡潔明了，易于學生理解和掌握，同時也有利于提高學生運用向量解決

2、相關問題的意識和能力教材沒有直接給出兩角差的余弦公式，而是分探求結果、證明結果兩步進行探究，并從簡單情況入手得出結果這樣的安排不僅使探究更加真實，也有利于學生學會探究、思維開展由于本節(jié)課可以從不同的角度提出不同的問題，并且可以用不同的途徑與方法解決問題，因此本節(jié)課為學生的思維開展提供了很好的空間和平臺，教師要注意引導學生用觀察、聯(lián)想、比照、化歸等方法分析、處理問題，尋找解決問題的思路二、教學目標解析1掌握兩角差的余弦公式，并能簡單運用這個公式求解教材上的練習和習題2全體學生能理解“探求結果，證明結果這一常用的探究的步驟；多數(shù)學生能在兩角差余弦公式的探究過程中體會以退求進、割補思想、分類討論、觀

3、察聯(lián)想等數(shù)學思想方法和思維方法，能體會到數(shù)學思維的合理性與條理性3能理解怎樣運用向量解決問題，充分認識和感受向量的工具價值；課堂上能樂于思考和主動探究，并有愉悅的情感體驗三、教學問題診斷分析1按常規(guī)，學生很可能想到先探究兩角和的正弦公式，怎樣想到先研究兩角差的余弦公式是一個難點(但非重點)，教學時可以直接提出研究兩角差的余弦公式，但這樣探究會顯得預設太多，而生成缺乏，也不夠自然，不利于學生思維的開展2兩角和正弦余弦公式的猜測與發(fā)現(xiàn)也是一個難點因為學生可能不明白為什么要添輔助線和如何添輔助線，也不會想到用“割補法求正弦線、余弦線3盡管教材在前面的習題中，已經(jīng)為用向量法證明兩角差的余弦公式做了鋪墊

4、，但多數(shù)學生仍難以想到教師需要在引導學生仔細觀察cos(+=coscossinsin或cos(=coscos+sinsin的構成要素和結構特征的根底上，聯(lián)想到單位圓上點的坐標特點和向量的數(shù)量積公式，努力使數(shù)學思維顯得自然、合理4用向量的數(shù)量積公式證明兩角差的余弦公式時，學生容易犯思維不嚴謹、不嚴密的錯誤，教學時需要引導學生搞清楚兩角差與相應向量的夾角的聯(lián)系與區(qū)別四、教學支持條件分析 1學生認知根底：學生對用舉反例推翻猜測、以退求進、單位圓、割補法、用向量解決三角問題已經(jīng)有一定的根底，但還遠未到達綜合運用這些方法自主探究和證明兩角差余弦公式的水平2教學設備：整節(jié)課借助多媒體進行輔助教學，但關鍵的

5、探究過程和推理過程要借助黑板在當、+都是銳角時得到兩角和的正弦、余弦公式后，設計多媒體軟件取任意角進行驗證五、教學過程設計(一)提出問題 問題1：觀察誘導公式，我們會發(fā)現(xiàn)：當角變成+或者+時，其正弦、余弦的三角函數(shù)值都與角的正弦、余弦有關，那大家有沒有想過當角變成或者+時，其正弦、余弦與、的正弦、余弦又有怎樣的聯(lián)系呢？設計意圖引導學生從聯(lián)系的角度與變換的角度自然地提出接近研究水平的問題，增強學生的問題意識不直接提出先研究cos(-)，是為了使探究更真實、更自然；不用教材上的實際問題情境而改為開門見山直奔主題，是為了不讓學生在情境的理解上花過多的時間，同時離本節(jié)課的主題更近(二)探究問題1明確探

6、究的思路與步驟問題2：我們應該用怎樣的思路和方法進行探究？ 學生可能會說：把探究分為兩個步驟，一是探求表示結果；二是對結果的正確性加以證明設計意圖引導學生搞清楚探究的大背景、大思路，學會從宏觀到微觀、理性地、有條理地思考和探究問題，防止盲目性2猜測結果問題3：同學們第一反響這個結果可能是什么？如果有學生提出sin(+)=sin+sin，cos(+)=cos+cos，那么引導學生取特殊值進行驗證，同時分析錯誤的原因：正弦、余弦函數(shù)名與角之間并不是相乘關系，因此類比乘法分配律在思維方法上是錯誤的設計意圖讓學生體驗如何用反例進行反駁，同時搞清錯誤的原因，防止以后犯類似的錯誤問題4：對這個問題，老師也

7、曾猜測， ,其中都是常數(shù)但最后發(fā)現(xiàn)都不成立那我們該怎么辦呢？引導學生以退求進，先討論、+都是銳角的情況設計意圖進一步強化學生的猜測與探究意識，同時讓學生感受或學會思維受阻時如何“拐彎問題5：當、+都是銳角時，我們又該怎么辦？引導學生在直角三角形或單位圓中構造這些角進行討論問題6：怎樣用、的三角函數(shù)來表示sin(+)，cos(+)?引導學生構造如下直角三角形，并用割、補的方法得到sin(+)=sincos+cossin，cos(+)=coscossinsin設計意圖讓學生感受如何化陌生問題為熟悉問題，如何通過作輔助線，用“割補法尋找量與量之間的聯(lián)系問題7：那上面兩個式子是否對任意角、都成立呢？引

8、導學生再用非銳角的特殊角或任意角進行驗證，而教師借助事先設計的多媒體軟件，由學生提出任意角進行驗證3證明結果問題8：數(shù)學是嚴謹?shù)?，?shù)學結論必須經(jīng)過嚴格的邏輯證明現(xiàn)在初步結果已經(jīng)出來，目標和方向已經(jīng)明確請大家仔細觀察上面兩式的構成要素和結構特征，看看從中會得到什么樣的啟發(fā)？產(chǎn)生怎樣的聯(lián)想？或有什么新的發(fā)現(xiàn)？設計意圖 讓學生通過觀察，聯(lián)想到,終邊與單位圓的交點分別為A(cos,sin),B(cos,sin),同時發(fā)現(xiàn)的右邊與向量數(shù)量積公式的坐標表示十分相近，進而聯(lián)想到=這樣有助于強化“為什么想到和“怎樣想到，凸顯數(shù)學思維的自然性與合理性，并突破思維難點，同時再現(xiàn)“有心栽花花不開，無心插柳柳成蔭這種

9、真實的探究過程 問題9：如何證明？設計意圖引導學生關注兩個向量的夾角與是的聯(lián)系與區(qū)別，并通過觀察和討論搞清楚，增強學生用數(shù)形結合、分類討論的方法解決問題的意識，感受數(shù)學思維的嚴謹性問題10：時間關系，我們把兩角和的余弦公式、兩角和與差的正弦公式的證明與探究留給大家課外去完成剛剛我們經(jīng)歷了完整、曲折的探索過程，回憶來看，大家有什么啟發(fā)和感悟？教材為什么要先提出求cos(-)？設計意圖引導學生從探究思路、數(shù)學思想方法、所用到的數(shù)學知識等方面進行回憶與反思，強化學生的思維開展，突出向量的工具價值問題11：兩角差的余弦公式有什么特點：引導學生總結公式的特點：左邊是兩角差的余弦，右邊同名三角函數(shù)的積的和

10、(三)穩(wěn)固應用例1 利用差角余弦公式求cos15°的值引導學生用15°=45°-30°，和15°=60°-45°兩種方法求解穩(wěn)固練習求值：(1)cos15°cos105°+sin15°sin105°= (2)cos(+21°)cos(-24°)+sin(+21°)sin(-24°)= 例2 是第三象限角，求cos(-)的值設計說明如果學生根底比擬好，這兩個例題可以讓學生獨立完成同時在完成例2后提出，如果去掉這一條件，又該怎么辦？(四)回憶小結1學生小結：引導學生從學到了什么知識、怎么獲得這些知識和有什么感悟與體會三方面進行小結2教師小結：(1)本節(jié)課所走過的路：(2)兩位數(shù)學大家的名言很好地概括了本節(jié)課的探究思路與學習感悟：G·波利亞：“在你證明一個數(shù)學定理之前，你必須猜測到這個定理；在你搞清證明細節(jié)之前，你必須猜測出證明的主導思想高斯所說：“一個人在無結果地深思一個真理后能夠用迂回的方法證明它，并且最后找到了它的最簡明而又最自然的證法，那是極其令