對(duì)數(shù)概念教學(xué)設(shè)計(jì)

1、基于數(shù)學(xué)史的對(duì)數(shù)概念教學(xué)設(shè)計(jì)教材人教A版普通高中數(shù)學(xué)必修一2.2.1【課時(shí)安排】第1課時(shí)教材分析本節(jié)包括對(duì)數(shù)概念、對(duì)數(shù)與指數(shù)的互化和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),這是學(xué)生學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)的根底.教材借助例題中的指數(shù)函數(shù),由“底數(shù)和幕的值,求指數(shù)直接引出對(duì)數(shù)的概念.這種引入方式雖然直截了當(dāng)?shù)刂赋鲋笖?shù)和對(duì)數(shù)的互逆關(guān)系,但是對(duì)于大局部學(xué)生而言太過于抽象,學(xué)生難以通過定義了解對(duì)數(shù)是如何計(jì)算,和它最初是如何被創(chuàng)造的,也就很難體會(huì)到對(duì)數(shù)強(qiáng)大的簡化運(yùn)算的功能,以及引入對(duì)數(shù)的必要性.學(xué)情分析1 .認(rèn)知根底：學(xué)生已學(xué)習(xí)了指數(shù)的知識(shí),以及加法和減法、乘法和除法、乘方與開方之間的互逆關(guān)系,因此可以較容易地接受指數(shù)與對(duì)數(shù)的互逆關(guān)系,并

2、由此得到對(duì)數(shù)的概念.2 .認(rèn)知障礙：用對(duì)數(shù)符號(hào)來表示指數(shù)x.教學(xué)目標(biāo)1 .知識(shí)與技能理解對(duì)數(shù)的概念(即：對(duì)數(shù)logaN是一個(gè)數(shù),底a的logaN次幕等于真數(shù)N)以及指數(shù)與對(duì)數(shù)的互逆關(guān)系.2 .過程與方法(1)經(jīng)歷對(duì)數(shù)概念的提出過程,學(xué)習(xí)將乘法和除法轉(zhuǎn)化為指數(shù)的加減以及乘方和開方轉(zhuǎn)化為指數(shù)的乘除運(yùn)算的化歸思想；(2)通過類比減法、除法、開方運(yùn)算學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)概念的過程,學(xué)習(xí)類比思想和垂直數(shù)學(xué)化的思想.3 .情感態(tài)度與價(jià)值觀(1)感受引入對(duì)數(shù)十分必要；(2)領(lǐng)悟?qū)?shù)強(qiáng)大的簡化運(yùn)算的功能；(3)體會(huì)對(duì)數(shù)源于生活中數(shù)學(xué)運(yùn)算的需要,它有較高的科學(xué)價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值.教學(xué)重點(diǎn)：理解對(duì)數(shù)的概念以及指數(shù)與對(duì)數(shù)的互逆關(guān)系

3、.教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)數(shù)概念；底數(shù)和真數(shù)的限制條件.關(guān)鍵：把logaN當(dāng)成一個(gè)數(shù)口,底a的次幕等于真數(shù)N.教學(xué)方法：問題驅(qū)動(dòng)、引導(dǎo)探究.教學(xué)手段：計(jì)算機(jī)、PPT幾何畫板.教學(xué)流程設(shè)計(jì)問題引入探究發(fā)現(xiàn)設(shè)計(jì)意圖：通過一組運(yùn)算量較大的計(jì)算題使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知障礙,結(jié)合對(duì)數(shù)產(chǎn)生的歷史背景,使學(xué)生體會(huì)到現(xiàn)實(shí)生活對(duì)數(shù)學(xué)開展的推動(dòng)作用,激發(fā)學(xué)生尋找新的運(yùn)算方法的動(dòng)力.設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生尚未形成對(duì)數(shù)的概念時(shí),先給出一組比擬特殊的數(shù)字,通過尋找規(guī)律并將其運(yùn)用到化簡計(jì)算的探究過程,使學(xué)生初步體會(huì)到對(duì)數(shù)在化簡一些復(fù)雜計(jì)算時(shí)的作用.設(shè)計(jì)意圖：對(duì)算式進(jìn)行變形,激發(fā)學(xué)生繼續(xù)思考的動(dòng)力.回憶數(shù)學(xué)史上對(duì)數(shù)表的創(chuàng)造,使學(xué)生了解數(shù)學(xué)家在解決問

4、題的過程中所做的努力,培養(yǎng)學(xué)生鍥而不舍的探究精神和科學(xué)態(tài)度.設(shè)計(jì)意圖：通過類比數(shù)的運(yùn)算的開展規(guī)律,引出對(duì)數(shù),揭示指數(shù)和對(duì)數(shù)的互逆關(guān)系,培養(yǎng)學(xué)生的類比思想.通過分析底數(shù)和真數(shù)的限制條件,使學(xué)生更深刻地理解對(duì)數(shù)的概念,強(qiáng)化指數(shù)和對(duì)數(shù)的聯(lián)系.設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)桑代克的練習(xí)律與斯金納的強(qiáng)化原理設(shè)計(jì)該練習(xí),使學(xué)生熟練掌握指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化.設(shè)計(jì)意圖：通過介紹科學(xué)家們對(duì)對(duì)數(shù)的高度評(píng)價(jià)和對(duì)數(shù)在科學(xué)領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用,使學(xué)生了解對(duì)數(shù)的科學(xué)價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值.:設(shè)計(jì)意圖：小結(jié)意在穩(wěn)固本節(jié)課所學(xué)知識(shí),回憶探索：歷程,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想；作業(yè)意在使學(xué)生進(jìn)一步熟悉對(duì)：數(shù)的概念及指數(shù)和對(duì)數(shù)的互化.教學(xué)過程設(shè)計(jì)(一)問題引入問題1:請(qǐng)計(jì)

5、算下面的式子(不使用計(jì)算器)：(1)32X256(2)4096-128(3)163(4)J16384教師活動(dòng)：請(qǐng)學(xué)生答復(fù)計(jì)算結(jié)果并談?wù)動(dòng)?jì)算的感受.學(xué)生活動(dòng)：計(jì)算并發(fā)表感受(計(jì)算量大).歷史上,科學(xué)家也曾經(jīng)遇到相同的問題！背景介紹1:在16世紀(jì),隨著哥白尼“日心說的盛行,天文學(xué)也蓬勃發(fā)展.歐洲人漸漸熱衷于地理探險(xiǎn)和海洋貿(mào)易,特別是地理探險(xiǎn)需要更準(zhǔn)確的天文知識(shí),需要對(duì)龐大的“天文數(shù)據(jù)進(jìn)行快速和準(zhǔn)確的計(jì)算.但那時(shí)候還沒有計(jì)算機(jī),人們迫切需要找到一種方法提升運(yùn)算效率.那該怎么辦呢？設(shè)計(jì)意圖：通過一組運(yùn)算量較大的計(jì)算題使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知障礙,結(jié)合對(duì)數(shù)產(chǎn)生的歷史背景,使學(xué)生體會(huì)到現(xiàn)實(shí)生活對(duì)數(shù)學(xué)開展的推動(dòng)作用,

6、激發(fā)學(xué)生尋找新的運(yùn)算方法的動(dòng)力.(二)探究發(fā)現(xiàn)問題2:閱讀以下資料,答復(fù)以下問題：1714年,德國數(shù)學(xué)家斯蒂菲爾研究了下面的兩行數(shù)：012345678910111213141248163264128256512102420484096819216384請(qǐng)大家想一想,斯蒂菲爾會(huì)發(fā)現(xiàn)其中什么規(guī)律呢？學(xué)生活動(dòng)：思考并發(fā)現(xiàn)規(guī)律.教師活動(dòng)：歸納結(jié)論：假設(shè)設(shè)第一行的數(shù)為n的話,那么第二行對(duì)應(yīng)的數(shù)那么為2n.問題3:后來,英國數(shù)學(xué)家納皮爾受到這個(gè)表格的啟發(fā),發(fā)現(xiàn)了可以利用這個(gè)規(guī)律來簡便計(jì)算問題1中的題目！同學(xué)們,你們知道他是怎么做的嗎？學(xué)生活動(dòng)：思考問題并進(jìn)行猜測.教師活動(dòng)：肯定學(xué)生的發(fā)現(xiàn),并總結(jié)納皮爾的發(fā)

7、現(xiàn)：第一列數(shù)的加減運(yùn)算結(jié)果與第二列數(shù)的乘除運(yùn)算結(jié)果之間存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系.例如,要計(jì)算32黑256,那么計(jì)算其對(duì)應(yīng)的第一行的數(shù)5和8的和得到13,再找到13對(duì)應(yīng)的第二行的結(jié)果8192即可.引導(dǎo)學(xué)生給出簡化算法：(1) 32M256=25父28=25*=213=8192;(2) 4096128=212+27=212一7=25=32;(3) 163=(24)3=212=4096;(4),16384=(214)2=27=128.問題4:這四個(gè)式子的運(yùn)算方法有什么共同特點(diǎn)嗎？學(xué)生活動(dòng)：思考問題,并嘗試作出答復(fù).教師活動(dòng)：補(bǔ)充學(xué)生的想法,共同特點(diǎn)：把每個(gè)要運(yùn)算的數(shù)轉(zhuǎn)化為2x.這樣就可以將整數(shù)的乘法、除法、乘

8、方和開方轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)指數(shù)的加法、減法、乘法和除法,起到簡化簡運(yùn)算的作用.設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生尚未形成對(duì)數(shù)的概念時(shí),先給出一組比擬特殊的數(shù)字,通過尋找規(guī)律并將其運(yùn)用到化簡計(jì)算的探究過程,使學(xué)生初步體會(huì)到對(duì)數(shù)在化簡一些復(fù)雜計(jì)算時(shí)的作用.(三)變式思考問題5:把原來的第(1)問改成132M156,還能否用同樣的方法解決呢？學(xué)生活動(dòng)：可能質(zhì)疑原來的方法行不通,也可能想到利用非整數(shù)的指數(shù)幕知識(shí),需要對(duì)龐大的“天文數(shù)據(jù)進(jìn)行快速和準(zhǔn)確的計(jì)算.但那時(shí)候還沒有計(jì)算機(jī),人們迫切需要找到一種方法提升運(yùn)算效率.那該怎么辦呢？設(shè)計(jì)意圖：通過一組運(yùn)算量較大的計(jì)算題使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知障礙,結(jié)合對(duì)數(shù)產(chǎn)生的歷史背景,使學(xué)生體會(huì)到現(xiàn)實(shí)生活

9、對(duì)數(shù)學(xué)開展的推動(dòng)作用,激發(fā)學(xué)生尋找新的運(yùn)算方法的動(dòng)力.(二)探究發(fā)現(xiàn)問題2:閱讀以下資料,答復(fù)以下問題：1714年,德國數(shù)學(xué)家斯蒂菲爾研究了下面的兩行數(shù)：012345678910111213141248163264128256512102420484096819216384請(qǐng)大家想一想,斯蒂菲爾會(huì)發(fā)現(xiàn)其中什么規(guī)律呢？學(xué)生活動(dòng)：思考并發(fā)現(xiàn)規(guī)律.教師活動(dòng)：歸納結(jié)論：假設(shè)設(shè)第一行的數(shù)為n的話,那么第二行對(duì)應(yīng)的數(shù)那么為2n.問題3:后來,英國數(shù)學(xué)家納皮爾受到這個(gè)表格的啟發(fā),發(fā)現(xiàn)了可以利用這個(gè)規(guī)律來簡便計(jì)算問題1中的題目！同學(xué)們,你們知道他是怎么做的嗎？學(xué)生活動(dòng)：思考問題并進(jìn)行猜測.教師活動(dòng)：肯定學(xué)生的

10、發(fā)現(xiàn),并總結(jié)納皮爾的發(fā)現(xiàn)：第一列數(shù)的加減運(yùn)算結(jié)果與第二列數(shù)的乘除運(yùn)算結(jié)果之間存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系.例如,要計(jì)算32256,那么計(jì)算其對(duì)應(yīng)的第一行的數(shù)5和8的和得到13,再找到13對(duì)應(yīng)的第二行的結(jié)果8192即可.引導(dǎo)學(xué)生給出簡化算法：(1) 3225625282582138192;(2) 409612821227212'7=2532;(3) 163(24)32124096;,八1417(4) 16384(2)22128.問題4:這四個(gè)式子的運(yùn)算方法有什么共同特點(diǎn)嗎？學(xué)生活動(dòng)：思考問題,并嘗試作出答復(fù).教師活動(dòng)：補(bǔ)充學(xué)生的想法,共同特點(diǎn)：把每個(gè)要運(yùn)算的數(shù)轉(zhuǎn)化為2x.這樣就可以將整數(shù)的乘法、除法、

11、乘方和開方轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)指數(shù)的加法、減法、乘法和除法,起到簡化簡運(yùn)算的作用.設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生尚未形成對(duì)數(shù)的概念時(shí),先給出一組比擬特殊的數(shù)字,通過尋找規(guī)律并將其運(yùn)用到化簡計(jì)算的探究過程,使學(xué)生初步體會(huì)到對(duì)數(shù)在化簡一些復(fù)雜計(jì)算時(shí)的作用.(三)變式思考問題5:把原來的第(1)問改成132156,還能否用同樣的方法解決呢？學(xué)生活動(dòng)：可能質(zhì)疑原來的方法行不通,也可能想到利用非整數(shù)的指數(shù)幕.在剛剛的探究中,我們發(fā)現(xiàn)簡化運(yùn)算不一定以2為底,也可以以其它數(shù)為底,如布里格斯就是以10為底.一般地,可以以a為底,這樣化簡運(yùn)算的關(guān)鍵是：給定a,對(duì)于每個(gè)N(N>0),把N寫成ax(a>0,且a#1).問題6:

12、如何將N=ax中的x準(zhǔn)確表示出來呢？學(xué)生活動(dòng)：不知所措,有預(yù)習(xí)的學(xué)生可能會(huì)說用對(duì)數(shù)來表示.問題7:觀察數(shù)的運(yùn)算的開展,思考問題：“、口分口.*引入減法2(1)a+x=N,求xx=N-a/c、n7mwc、卡引入除法M.(2)ax=N(a00),求xx=Nan1kl3.弓I入開方ni(3)x=N,求xx=CNx(4)a=N,求x?學(xué)生活動(dòng)：觀察并思考問題.教師活動(dòng)：提出概念：一般地,如果ax=N(a>0,且a#1),那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù),記作x=logaN(a>0,且a#1,N>0),其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù).在此,強(qiáng)調(diào)“對(duì)數(shù)是一個(gè)數(shù)"！logaN=？,

13、a?=N.根據(jù)定義,可以得到對(duì)數(shù)和指數(shù)間的關(guān)系：當(dāng)a>0,a#1時(shí),ax=Nux=logaN.通常,我們將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù),并把10g10N記為lgN.將以e為底的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù),把logeN記為lnN.背景介紹3:由此可知,對(duì)數(shù)是指數(shù)的逆運(yùn)算.但有趣的是,在數(shù)學(xué)史上,對(duì)數(shù)卻是先于指數(shù)被發(fā)現(xiàn)的.1614年,納皮爾創(chuàng)造了對(duì)數(shù)和對(duì)數(shù)表.1637年,法國數(shù)學(xué)家笛卡兒創(chuàng)造了指數(shù),比對(duì)數(shù)晚了20多年,當(dāng)時(shí)人們并沒有發(fā)現(xiàn)指數(shù)和對(duì)數(shù)之間的關(guān)系.后來,數(shù)學(xué)家歐拉才提出“對(duì)數(shù)源于指數(shù),這一說法得到了數(shù)學(xué)家們的廣泛認(rèn)可.至此,對(duì)數(shù)逐漸得到完善,成為我們今天所用的對(duì)數(shù).設(shè)計(jì)意圖：通過觀察數(shù)的運(yùn)算

14、的開展規(guī)律,類比聯(lián)想到提出新的概念來解決新的運(yùn)算問題,引出對(duì)數(shù),揭示指數(shù)和對(duì)數(shù)的互逆關(guān)系,培養(yǎng)學(xué)生的類比思想.問題8:為什么對(duì)數(shù)的定義中要滿足底數(shù)a>0,且a=1,Na0呢？學(xué)生活動(dòng)：思考問題并答復(fù).教師活動(dòng)：提示學(xué)生根據(jù)指數(shù)和對(duì)數(shù)的互逆關(guān)系,舉反例分析限制條件.logaN=xuax=N(a>0,且a=1)1當(dāng)a<0,在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)logaN=沒有意義,即找不到對(duì)應(yīng)的N使得2聲=N;當(dāng)a=1,N#1時(shí),10glN是沒有意義的；同理可得a=0的情況.而指數(shù)函數(shù)白定義域?yàn)?0,y),所以N的取值范圍是N>0.總結(jié)：負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù).設(shè)計(jì)意圖：通過分析對(duì)數(shù)定義中的底數(shù)和真數(shù)的限

15、制條件,使學(xué)生更深刻地理解對(duì)數(shù)的概念,強(qiáng)化指數(shù)和對(duì)數(shù)的聯(lián)系.(五)穩(wěn)固運(yùn)用問題9:根據(jù)對(duì)數(shù)的定義,計(jì)算：(1) 10g28;(2)10g2I;(3)logal；(3)logaa.(a>0,a#1)學(xué)生活動(dòng)：通過上面的計(jì)算題,發(fā)現(xiàn)兩個(gè)結(jié)論：1oga1=0,1ogaa=1.教師活動(dòng)：通過例題的講解,強(qiáng)化對(duì)數(shù)的本質(zhì)：對(duì)數(shù)是一個(gè)數(shù)！1ogaN=?ta?=N.例如,1og28=?T2?=8.問題10:求以下各式中x的值：22(1) 1og64x=;(2)10gx8=6;(3)1g100=x;(4)1ne=x.3設(shè)計(jì)意圖：通過練習(xí)題,讓學(xué)生熟練掌握指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化.(六)知識(shí)拓展背景介紹4:自從

16、有了計(jì)算機(jī),對(duì)數(shù)在簡化計(jì)算上的作用已經(jīng)大大降低,但是它在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用卻遍布各大領(lǐng)域：在生物領(lǐng)域,利用“半衰期求生物死亡年數(shù)；在化學(xué)領(lǐng)域,Xt數(shù)用于測量PH值；在地理領(lǐng)域,對(duì)數(shù)用于計(jì)算地震強(qiáng)度；在物理領(lǐng)域,對(duì)數(shù)用于測量聲音的分貝.總結(jié)：對(duì)數(shù)之所以有如此廣泛的應(yīng)用,是由于在這些領(lǐng)域涉及了復(fù)雜的運(yùn)算,這就表達(dá)了對(duì)數(shù)強(qiáng)大的簡化運(yùn)算的功能！這就難怪歷史上許多科學(xué)家對(duì)對(duì)數(shù)的創(chuàng)造給予了高度評(píng)價(jià)：拉普拉斯說：(對(duì)數(shù))用縮短計(jì)算時(shí)間延長了天文學(xué)家的壽命.伽利略說：給我空間、時(shí)間及對(duì)數(shù),我可以創(chuàng)造一個(gè)宇宙.恩格斯說：對(duì)數(shù)的創(chuàng)造與解析幾何的創(chuàng)立、微積分的建立是17世紀(jì)數(shù)學(xué)史上的3大成就.設(shè)計(jì)意圖：通過介紹對(duì)數(shù)在

17、科學(xué)領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用和科學(xué)家們對(duì)對(duì)數(shù)的高度評(píng)價(jià),使學(xué)生了解對(duì)數(shù)的科學(xué)價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值.(七)小結(jié)及作業(yè)小結(jié)：(2) 32M256=25父28=25H8=213=8192;(3) 4096+128=212-27=212-7=25=32;(4) 163=(24)3=212=4096;1r(5) /T6384=(214)2=27=128.實(shí)現(xiàn)簡便運(yùn)算的關(guān)鍵：就是把整數(shù)的乘法、除法、乘方和開方運(yùn)算轉(zhuǎn)化為指數(shù)的加法、減法、乘法和除法.這表達(dá)了重要的數(shù)學(xué)思想一一化歸思想.一般地,可以以a為底,把N寫成ax(a>0,且a=1),IPN=ax,那如何將x準(zhǔn)確表示出來呢？觀察數(shù)的運(yùn)算的開展：“、口加.十引入減

18、法.(1)a+x=N,求xx=Na/c、口加Kl/八、十引入除法Kl(2)ax=N(a00),求xx=N+a.c引入開方L(3)x=N,求x>x=n/N,v,引入什么？,一(4)a=N,求x對(duì)數(shù)！通過類比逆運(yùn)算的關(guān)系和引入新的運(yùn)算的解決方法,提出引入對(duì)數(shù)這個(gè)重要的概念.這表達(dá)了類比的數(shù)學(xué)思想.問：對(duì)數(shù)是什么？對(duì)數(shù)是一個(gè)數(shù)！logaN=?；a?=N作業(yè)：1 .上網(wǎng)搜索了解對(duì)數(shù)的開展史；2 .課本練習(xí)題P64第1,2,3題.設(shè)計(jì)意圖：小結(jié)意在穩(wěn)固本節(jié)課所學(xué)知識(shí),回憶探索歷程,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想；作業(yè)意在使學(xué)生進(jìn)一步熟悉對(duì)數(shù)的概念及指數(shù)和對(duì)數(shù)的互化.附：本教學(xué)設(shè)計(jì)的創(chuàng)新之處1 .過去的“對(duì)數(shù)及其運(yùn)算的教學(xué)大多僅限于“知其然不知其所以然或者說只會(huì)形式計(jì)算而不理解本質(zhì)的水平.本設(shè)計(jì)從數(shù)學(xué)史的角度引入對(duì)數(shù)概念,實(shí)現(xiàn)了由工具性理解向關(guān)系性理解的轉(zhuǎn)變提升；2 .從垂直數(shù)學(xué)化的角度引入對(duì)數(shù)概念,為弗賴登塔爾所倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)化原那么提供了一個(gè)具體的案例；3 .在“過程與方法與“情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)上實(shí)現(xiàn)了可操作的創(chuàng)新.致謝：感謝華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院馮偉貞教授對(duì)本文的指導(dǎo)意見以及佛山市南海桂城中學(xué)蔣愛國教師對(duì)本文的文獻(xiàn)幫助.參考文獻(xiàn)1何小亞,姚靜.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)M.北京：科學(xué)出版社,2021.2王華民,侯斌.從一堂概念課的不同導(dǎo)入談數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)J.