多邊形及其內(nèi)角和知識點匯編

1、多邊形知識要點梳理定義：由三條或三條以上的線段首位順次連接所組成的封閉圖形叫做多邊形.凸多邊形凹多邊形正多邊形：各邊相等,各角也相等的多邊形叫做正多邊形.分類2:多邊形非正多邊形:1、n邊形的內(nèi)角和等于180°(n-2).多邊形的定理2、任意凸形多邊形的外角和等于360°.3、n邊形的對角線條數(shù)等于1/2n(n-3)鑲嵌只用一種正多邊形:3、4、6/.,拼成360度的角只用一種非正多邊形(全等)：3、4.知識點一：多邊形及有關(guān)概念1、多邊形的定義：在平面內(nèi),由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形(1)多邊形的一些要素：邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊.頂點內(nèi)角外角

2、每相鄰兩條邊的公共端點叫做多邊形的頂點.多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角,一個n邊形有n個內(nèi)角.多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角o(2)在定義中應(yīng)注意：一些線段(多邊形的邊數(shù)是大于等于3的正整數(shù))；首尾順次相連,二者缺一不可理解時要特別注意“在同一平面內(nèi)這個條件,其目的是為了排除幾個點不共面的情況,即空間多邊形.2、多邊形的分類：(1)多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形,畫出多邊形的任何一條邊所在的直線,如果整個多邊形都在這條直線的同一側(cè),那么此多邊形為凸多邊形,反之為凹多邊形(見圖多邊形.1).本章所講的多邊形都是指凸凸多邊形(2)多邊形通常還以邊數(shù)命名,多邊形有形是邊數(shù)

3、最少的多邊形.圖1n條邊就叫做n邊形.三角形、四邊形都屬于多邊形,其中三角知識點二：正多邊形各個角都相等、各個邊都相等的多邊形叫做正多邊形.如正三角形、正方形、正五邊形等.正三角形正五邊形正六邊形正十二邊形要點詮釋：各角相等、各邊也相等是正多邊形白必備條件,二者缺一不可.如四條邊都相等的四邊形不一定是正方形,四個角都相等的四邊形也不一定是正方形,只有滿足四邊都相等且四個角也都相等的四邊形才是正方形知識點三：多邊形的對角線.如圖2,BD為四邊形ABCD的多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段,叫做多邊形的對角線一條對角線.要點詮釋：(1)從n邊形一個頂點可以引(n-3)條對角線,將多邊

4、形分成(n2)個三角形.摘-3)(2)n邊形共有2條對角線.證實：過一個頂點有n3條對角線(n>3的正整數(shù)),又共有n個頂點,共有n(n-3)條對角線,但過兩個不相鄰頂點的對角線重復(fù)了一次,凸n邊形,共有2條對角線.知識點四：多邊形的內(nèi)角和公式i.公式：村邊形的內(nèi)角和為(并-2)-18.,23).2.公式的證實：證法1：在R邊形內(nèi)任取一點,并把這點與各個頂點連接起來,共構(gòu)成R個三角形,這為個三角形的內(nèi)角和為fllSO",再減去一個周角,即得到用邊形的內(nèi)角和為6-2)18.證法2：從口邊形一個頂點作對角線,可以作("3條對角線,并且n邊形被分成例-2)個三角形,這(&q

5、uot;2)個三角形內(nèi)角和恰好是R邊形的內(nèi)角和,等于例7)皿.證?t3：在力邊形的一邊上取一點與各個頂點相連,得MT)個三角形,力邊形內(nèi)角和等于這("T)個三角形的內(nèi)角和減去所取的一點處的一個平角的度數(shù),即(n-1)聯(lián)儆.要點詮釋：(1)注意：以上各推導(dǎo)方法表達出將多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決的根底思想.(2)內(nèi)角和定理的應(yīng)用：多邊形的邊數(shù),求其內(nèi)角和；多邊形內(nèi)角和,求其邊數(shù).知識點五：多邊形的外角和公式1 .公式：多邊形的外角和等于360°.2.多邊形外角和公式的證實：多邊形的每個內(nèi)角和與它相鄰的外角都是鄰補角,所以耳邊形的內(nèi)角和加外角和為小18,外角和等于甩,即&#

6、171;-2),18=36.注意：門邊形的外角和恒等于360.,它與邊數(shù)的多少無關(guān).要點詮釋：(1)外角和公式的應(yīng)用：外角度數(shù),求正多邊形邊數(shù)；學(xué)習(xí)-好資料正多邊形邊數(shù),求外角度數(shù).(2)多邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和、外角和的關(guān)系：n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)-180°(n>3,n是正整數(shù)),可見多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)n有關(guān),每增加1條邊,內(nèi)角和增加180°.多邊形的外角和等于360°,與邊數(shù)的多少無關(guān).知識點六：鑲嵌的概念和特征1、定義：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一局部完全覆蓋,通常把這類問題叫做用多邊形覆蓋平面(或平面鑲嵌).這里的多邊形可以形狀相同,也可以形

7、狀不相同.2、實現(xiàn)鑲嵌的條件：拼接在同一點的各個角的和恰好等于360.；相鄰的多邊形有公共邊.3、常見的一些正多邊形的鑲嵌問題：(1)用正多邊形實現(xiàn)鑲嵌的條件：邊長相等；頂點公用；在一個頂點處各正多邊形的內(nèi)角之和為360.(2)只用一種正多邊形鑲嵌地面對于給定的某種正多邊形,怎樣判斷它能否拼成一個平面圖形,且不留一點空隙？解決問題的關(guān)鍵在于正多邊形的內(nèi)角特點.當(dāng)圍繞一點拼在一起的幾個正多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角360°時,就能鋪成一個平面圖形.(2)1期事實上,正n邊形的每一個內(nèi)角為舒,要求k個正n邊形各有一個內(nèi)角拼于一點,恰好覆蓋地面,這樣i(w-2)-18002n436

8、0°=鍛,由此導(dǎo)出k=融-2=2+也-2,而k是正整數(shù),所以n只能取3,4,6.因而,用相同的正多邊形地磚鋪地面,只有正三角形、正方形、正六邊形的地磚可以用.注意：任意四邊形的內(nèi)角和都等于360.所以用一批形狀、大小完全相同但不規(guī)那么的四邊形地磚也可以鋪成無空隙的地板,用任意相同的三角形也可以鋪滿地面.(3)用兩種或兩種以上的正多邊形鑲嵌地面用兩種或兩種以上邊長相等的正多邊形組合成平面圖形,關(guān)鍵是相關(guān)正多邊形“交接處各角之和能否拼成一個周角的問題.例如,用正三角形與正方形、正三角形與正六邊形、正三角形與正十二邊形、正四邊形與正八邊形都可以作平面鑲嵌,見以下圖：又如,用一個正三角形、兩

9、個正方形、一個正六邊形結(jié)合在一起恰好能夠鋪滿地面,由于它們的交接處各角之和恰好為一個周角360°.規(guī)律方法指導(dǎo)1 .內(nèi)角和與邊數(shù)成正比：邊數(shù)增加,內(nèi)角和增加；邊數(shù)減少,內(nèi)角和減少.每增加一條邊,內(nèi)角的和就增加180°(反過來也成立),且多邊形的內(nèi)角和必須是180°的整數(shù)倍.2 .多邊形外角和恒等于360°,與邊數(shù)的多少無關(guān)3 .多邊形最多有三個內(nèi)角為銳角,最少沒有銳角(如矩形)；多邊形的外角中最多有三個鈍角,最少沒有鈍角.4 .在運用多邊形的內(nèi)角和公式與外角的性質(zhì)求值時,常與方程思想相結(jié)合,運用方程思想是解決本節(jié)問題的常用方法.5 .在解決多邊形的內(nèi)角和

10、問題時,通常轉(zhuǎn)化為與三角形相關(guān)的角來解決.三角形是一種根本圖形,是研究復(fù)雜圖形的根底,同時注意轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用經(jīng)典例題透析類型一：多邊形內(nèi)角和及外角和定理應(yīng)用1 .一個多邊形的內(nèi)角和等于匕的外角和的5倍,匕是幾邊形？總結(jié)升華：此題是多邊形的內(nèi)角和定理和外角和定理的綜合運用.只要設(shè)出邊數(shù)n,根據(jù)條件列出關(guān)于n的方程,求出n的值即可,這是一種常用的解題思路.舉一反三：【變式1】假設(shè)一個多邊形的內(nèi)角和與外角和的總度數(shù)為1800.,求這個多邊形的邊數(shù).【變式2一個多邊形除了一個內(nèi)角外,其余各內(nèi)角和為27500,求這個多邊形的內(nèi)角和是多少？【答案】設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n,這個內(nèi)角為X,【變式3】一

11、個多邊形的內(nèi)角和與某一個外角的度數(shù)總和為1350.,求這個多邊形的邊數(shù).類型二：多邊形對角線公式的運用【變式1】一個多邊形共有20條對角線,那么多邊形的邊數(shù)是.A.6B.7C.8D.9【變式2一個十二邊形有幾條對角線.確-3總結(jié)升華：對于一個n邊形的對角線的條數(shù),我們可以總結(jié)出規(guī)律2條,牢記這個公式,以后只要用相應(yīng)的n的值代入即可求出對角線的條數(shù),要記住這個公式只有在理解的根底之上才能記得牢.類型三：可轉(zhuǎn)化為多邊形內(nèi)角和問題【變式1】如下圖,/1+/2+/3+/4+/5+/6=.A【變式2】如下圖,求/A+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF的度數(shù).P市出發(fā),先到B市,再到C市,再L最i到A市,最后返

12、回P類型四：實際應(yīng)用題4.如圖,一輛小汽車從市,這輛小汽車共轉(zhuǎn)了多少度角？學(xué)習(xí)-好資料思路點撥：根據(jù)多邊形的外角和定理解決舉一反三：【變式1】如下圖,小亮從A點出發(fā)前進10m,向右轉(zhuǎn)15°,再前進10m,又向右轉(zhuǎn)15°,這樣一直走下去,當(dāng)他第一次回到出發(fā)點時,一共走了m.【變式2小華從點A出發(fā)向前走10米,向右轉(zhuǎn)36.,然后繼續(xù)向前走10米,再向右轉(zhuǎn)36.,他以同樣的方法繼續(xù)走下去,他能回到點A嗎？假設(shè)能,當(dāng)他走回點A時共走了多少米？假設(shè)不能,寫出理由.【變式3如下圖是某廠生產(chǎn)的一塊模板,該模板的邊AB/CF,CD/AE.按規(guī)定AB、CD的延長線相交成80.角,因交點不在模

13、板上,不便測量.這時師傅告訴徒弟只需測一個角,便知道AB、CD的延長線的夾角是否符合規(guī)定,你知道需測哪一個角嗎？說明理由思路點撥：此題中將AB、CD延長后會得到一個五邊形,根據(jù)五邊形內(nèi)角和為/540°,又由AB/CF,CD/AE,可知/BAE+/AEF+/EFC=360°,從540°中/減去80.再減去360.,剩下/C的度數(shù)為100.,所以只需測/C的度數(shù)即可,V同理還可直接測/A的度數(shù)./總結(jié)升華：此題實際上是多邊形內(nèi)角和的逆運算,關(guān)鍵在于正確添加輔助線類型五：鑲嵌問題C5,分別畫出用相同邊長的以下正多邊形組合鋪滿地面的設(shè)計圖.隹J(1)正方形和正八邊形；(2

14、)正三角形和正十二邊形；(3)正三角形、正方形和正六邊形.思路點撥：只要在拼接處各多邊形的內(nèi)角的和能構(gòu)成一個周角,那么這些多邊形就能作平面鑲嵌.解析：正三角形、正方形、正六邊形、正八邊形、正十二邊形的每一個內(nèi)角分別是60°、90°、120°、135°、150(1)由于90+2X135=360,所以一個頂點處有1個正方形、2個正八邊形,如圖(1)所示.(2)由于60+2X150=360,所以一個頂點處有1個正三角形、2個正十二邊形,如圖(2)所示.由于60+2X90+120=360,所以一個頂點處有1個正三角形、1個正六邊形和2個正方形,如圖總結(jié)升華：用兩

15、種以上邊長相等的正多邊“交接處各角之和能否拼成一個周角的問/題.舉一反三：【變式1】分別用形狀、大小完全相同的三角形木板；四邊形木板；正五邊形木1?)(Ji板；正六邊形木板作平面鑲嵌,其中不能鑲嵌成地板的是()A、B、C、D、解析：用同一種多邊形木板鋪地面,只有正三角形、四邊形、正六邊形的木板可以用,不能用正五邊形木板,故【變式2用三塊正多邊形的木板鋪地,拼在一起并相交于一點的各邊完全吻合,其中兩塊木板的邊數(shù)都是8,那么第三塊木板的邊數(shù)應(yīng)是()A、4B、5C、6D、8【答案】A(提示：先算出正八邊形一個內(nèi)角的度數(shù),再乘以2,然后用360°減去剛剛得到的積,便得到第三學(xué)習(xí)-好資料塊木板一個