圓的專題講義全

1、與圓有關的證實及計算1 .,如圖,直線MNft.于A,B兩點,AC是直徑,AD平分/CA眼OO于D,過D作DnMNfE.(1)求證：DE是.0的切線；(2)假設DE=6cmAE=3cnp求OO的半徑.2 .如圖,在ABCAB=AC以AB為直徑的.O分別交ACBC于點DE,點F在AC的延長線上,且/CBF=l/CAB2(1)求證：直線BF是.的切線；(2)假設AB=5sin/CBF,求BC和BF的長.53 .如圖,四邊形ABCM接于.O,BD是.的直徑,AE±CD垂足為E,DA平分/BDE(1)求證：AE是.O的切線；(2)假設/DBC=30,DE=1cm求BD的長.4 .如圖,ABC

2、ft接于.O,AC是.的直徑,D是靛的中點,過點D作直線BC的垂線,分別交CBCA的延長線E、F.(1)求證：EF是.的切線；(2)假設EF=8,EC=6求.的半徑.5 .如圖,AB是.的直徑,弦CDLAB與點E,點P在.O上,/1=/C,(1)求證：CB/PD(2)假設BC=3sinZP=3-,求.的直徑.56 .如圖,直線EF交.于A、B兩點,AC是.O直徑,DE是.的切線,且DELEF,垂足為E.(1)求證：A葉分/CAE(2)假設DE=4cmAE=2cnp求OO的半徑.7 .如圖,RtAABC,/ABC=90,以AB為直徑作半圓.O交AC與點D,點E為BC的中點,連接DE(1)求證：D

3、E是半圓.O的切線.(2)假設/BAC=30,DE=2求AD的長.8 .如圖,在RtABC中,/ACB=90,以AC為直徑作.交AB于點D點,連接CD(1)求證：/A=/BCD(2)假設M為線段BC上一點,試問當點M在什么位置時,直線DM與.相切?并說明理由.9 .如圖,AB是.O的直徑,點P在BA的延長線上,PD切.O于點D,過點B作BE垂直于PD交PD的延長線于點C,連接A印延長,交BE于點E.(1)求證：AB=BE(2)假設PA=2cosB碎,求.O半徑的長.10 .如圖AB是.的直徑,PAPC與.O分別相切于點A,C,PC交AB的延長線于點D,DHPO交PO的延長線于點E.一(1)求證

4、：/EPD=EDO(2)假設PC=6tan/PDA豆,求OE的長.圓的動態(tài)探究題11 .如圖,OO半徑為4cm,其內(nèi)接正六邊形ABCDEF點P,Q同時分別從A,D兩點出發(fā),以1cm/s速度沿AF,DC向中點QE設運動時間為t(s).(1)求證：四邊形PEQEfe平行四邊形；(2)填空：當t=s時,四邊形PBQ助菱形;當t=s時,四邊形PBQ助矩形.12 .如圖,AB為.O的直徑,點C為AB延長線上一點,動點P從點A出發(fā)沿AC方向以lcm/s的速度運動,同時動點Q從點C出發(fā)以相同的速度沿CA方向運動,當兩點相遇時停止運動,過點P作AB的垂線,分別交.O于點M和點N,.O的半徑為l,設運動時間為t

5、秒.(1)假設AC=5那么當t=時,四邊形AMQNfc菱形；當t=時,NQ與.O相切；(2)當AC的長為多少時,存在t的值,使四邊形amqm正方形請說明理由,并求出此時/t的值.且K7o1b二c13 .如圖,在RtABC中,/BAC=90,/B=60°,以邊上AC上一點O為圓心,OA為半徑作.O,.恰好經(jīng)過邊BC的中點D,并與邊AC相交于另一點F.(1)求證：BDb.0的切線；(2)假設BC=%,E是半圓而上一動點,連接AEAD.DE填空：當標的長度是時,四邊形ABDE1菱形；當代的長度是時,AADE直角三角形.14 .如圖,點A,B,C分別是.上的點,且/B=60°,CD

6、是.0的直徑,P是CD®長線上的一點,且AP=AC(1)求證：AP是.的切線；(2)假設AC=3填空：當前的長為時,以A,C,B,D為頂點的四邊形為矩形；當前的長為時,ABC勺面積最大,最大面積為.ABC電菱形.ABD的面積(S1)(32)CBD16.在圓O中,AC是圓的弦,AB是圓的直徑,AB=q/ABC=30,過點C作圓的切線交BA的延長線于點P,(1)求證：PASAPCB連接BC(2)點Q在半圓ADB上運動,填空:15.四邊形ABCD勺對角線交于點E,且AE=ECBE=ED以AB為直徑的半圓過點E,圓心為O(1)利用圖1,求證：四邊形(2)如圖2,假設CD的延長線與半圓相切于點

7、F,且直徑AB=8.史的當AQ=當AQ=時,四邊形AQBC勺面積最大;時,ABCtABC&等.17 .如圖,AB是.O的直徑,點P是弦AC上一動點(不與A,C重合),過點P作P已AB,垂足為E,射線EP交標于點F,交過點C的切線于點D.(1)求證：DC=DP(2)假設直徑AB=12cm/CAB=30,當E是半徑OA中點時,切線長DC=cm當AE=cm時,以A,O,C,F為頂點的四邊形是菱形.18 .如圖,OO的直徑AB=4,點C為.上的一個動點,連接OC過點A作.O的切線,與BC的延長線交于點D,點E為AD的中點,連接CE(1)求證：CE是.的切線；(2)填空：當CE=時,四邊形AOC

8、的正方形；當CE=時,CDE等邊三角形.19 .如圖,ABC是半徑為2的.的內(nèi)接三角形,連接OAOB點DE、F、G分別是CAOAOBCB的中點.(1)試判斷四邊形DEFG勺形狀,并說明理由；(2)填空：假設AB=3當CA=CB寸,四邊形DEFG勺面積是;假設AB=Z當/CAB的度數(shù)為時,四邊形DEFB正方形.20 .如圖,在ABC中,AB=AC點O為邊AB的中點,ODLBC于點D,AMLBC于點M,以點O為圓心,線段OD為半徑白圓與AMt目切于點N.(1)求證：AN=BD(2)填空：點P是.上的一個動點,假設AB=4,連結(jié)OC那么PC的最大值是;當/BOP=時,以O,D,B,P為頂點四邊形是平

9、行四邊形.學習參考AD平分/CAMfc©01.,如圖,直線MNft.于A,B兩點,AC是直徑,于D,過D作DnMNfE.(1)求證：DE是.0的切線；(2)假設DE=6cmAE=3cnp求O0的半徑.【解答】(1)證實：連接0Dv0A=0D丁./0AD=0DAvZ0AD=DAE丁./0DA=DAED0/MNvDELMN0DE=DEM=90.即0DLDE.D在.0上,0M.的半徑, .DE是.的切線.(2)解：./AED=90,DE=6AE=3AD=JDE2+AE2=762+,連接CD.AC是.的直徑, ./ADCWAED=90.vZCADWDAE .ACMAADE"D屋二=

10、AE-AD-1_-,3375那么AC=15(cnrj).0的半徑是7.5cm.2 .如圖,在ABCAB=AC以AB為直徑的.0分別交ACBC于點DE,點F在AC的延長線上,且/CBF/CAB2(1)求證：直線BF是.的切線；(2)假設AB=5sin/CBF或,求BC和BF的長.5【解答】(1)證實：連接AE,:AB是.的直徑, ./AEB=90, /1+/2=90°.vAB=AC./11/CAB2/CBF=VCAB ./1=/CBF ./CBF吆2=90°即/ABF=90.AB是.的直徑,直線BF是.的切線.(2)解：過點C作CGLAB于G,.sinZCBF=1,/1=/C

11、BF5sin/1!,5.在RtAEB中,/AEB=90,AB=5BE=A?sin/1=立,vAB=AC/AEB=90,BC=2BE=2二,在ABE中,由勾月£定理得AE=/7i百9=2芯,sin/2=L,cos/2=5=5,AB5BCAB5BC在RtACBGK可求得GC=4GB=2vGC/BF,.AG8AABFGCAGdc-CC'AB20AG3BF=3 .如圖,四邊形ABCLrt接于.O,BD是.的直徑,AE±CD垂足為E,DA平分/BDE(1)求證：AE是.的切線；(2)假設/DBC=30,DE=1cm求BD的長.【解答】(1)證實：連接OAvDA平分/BDE丁/

12、BDAWEDAvOA=OD丁./ODA=OAD丁./OAD=EDAOA/CEvAE!CE,AE!OAAE是.O的切線.(2)解：:B皿直徑,丁/BCDWBAD=90.vZDBC=30,/BDC=60, ./BDE=120.vDA平分/BDE丁/BDAWEDA=60. ./ABDWEAD=30.在RtAED中,/AED=90,/EAD=30, .AD=2DE.在RtABD中,/BAD=90,/ABD=30,BD=2AD=4DE.DE的長是1cm,.BD的長是4cm4.如圖,ABCft接于.O,AC是.的直徑,D是0的中點,過點D作直線BC的垂線,分別交CBCA的延長線E、F.(1)求證：EF是.

13、的切線；(2)假設EF=8,EC=6求.的半徑.【解答】(1)證實：連接OD交于AB于點G.D是標的中點,OM半徑, .AG=BG .AO=OC .0%ABC的中位線. .OG/BC,即OD/CE又;CELEF,ODLEF,EF是.O的切線.(2)解：在RtCEF中,CE=6EF=8,.CF=10設半徑OC=OD=rWJOF=10-r,.OD/CE.FOMFCEJ"-5FCCE10-r=r=106.'.r=L4即：.的半徑為UL4cFs5.如圖,AB是.的直徑,弦CDLAB與點E,點P在.O上,(1)求證：CB/PD(2)假設BC=3sin/P衛(wèi),求.的直徑.1=/C,【解答

14、】(1)證實：:/C=/P又:/1=/C./1=/PCB/PD;(2)解：連接AC.AB為.的直徑,./ACB=90又;CDLAB,.BC=BD,./P=/CAB又.sin/P,5sin/CAB=,5gpBC_J_AB5又知,BC=3.AB=5直徑為5.6.如圖,直線EF交.于A、B兩點,AC是.O直徑,DE是.的切線,且DE1EF,垂足為E.(1)求證：A葉分/CAE(2)假設DE=4cmAE=2cnp求OO的半徑.【解答】1證實：連接ODvOD=OA丁./ODA_OADvDE是.的切線,./ODE=90,ODLDE又;DELEF,OD/EF,丁./ODA_DAE丁/DAEWOAD.A葉分/

15、CAE(2)解：連接CD.AC是.直徑, ./ADC=90,在RtADE中,DE=4cmAE=2crp根據(jù)勾股定理得：AD=ncm,由(1)知：/DAEWOAD/AEDWADC=90,.AD6AAED 旦螞,即組口%AEAD2275 .AC=10 .OO的半徑是5.7.如圖,RtAABC,/ABC=90,以AB為直徑作半圓.O交AC與點D,點E為BC的中點,連接DE(1)求證：DE是半圓.O的切線.(2)假設/BAC=30,DE=2求AD的長.【解答】(1)證實：連接ODOEBD,.AB為圓O的直徑,丁/ADBWBDC=90,在RtBDC,E為斜邊BC的中點,DE=BE在OBEffiAODEt

16、,fOB=OD*OE=OE,MERE.OB軍ODE(SSS,./ODE=ABC=90,那么DE為圓O的切線；(2)在RtABC中,/BAC=30,BC=ACvBC=2DE=4.AC=8又./C=60,DE=CE.DEC等邊三角形,即DC=DE=2貝UAD=AGDC=6C8.如圖,在RtABC中,/ACB=90,以AC為直徑作.交AB于點D點,連接CD(1)求證：/A=/BCD(2)假設M為線段BC上一點,試問當點M在什么位置時,直線DM與.相切并說明理由.3【解答】1證實：:AC為直徑, ./ADC=90,./A+/DCA=90,ZACB=90, ./DCB+ACD=90, ./DCB=A;2

17、當MC=MD或點M是BC的中點時,直線DMW.相切;解：連接DQ DO=Cp/1=/2,vDM=CM；/4=/3, .Z2+74=90°, /1+/3=90°, 直線DMf.相切,故當MC=MD或點M是BC的中點時,直線DMf.相切.B9.如圖,AB是.O的直徑,點P在BA的延長線上,PD切.O于點D,過點B作BE垂直于PD交PD的延長線于點C,連接A印延長,交BE于點E.(1)求證：AB=BE(2)假設PA=2cosB=l,求.O半徑的長.【解答】1證實：連接ODVPD®.于點D,ODLPD,vBE!PC,OD/BE, ./ADO=E,vOA=OD ./OAD=

18、ADO丁./OAD=E, .AB=BE2解：由1知,OD/BE,./POD=B,cos/POD=cosB=,5在PODt,cos/POD駁=g,OP5vOD=OAPO=PA+OA=2+OA,OA3B=二)2+OA5OA=3.0O半徑=3.10.如圖AB是.的直徑,PA,PC與.O分別相切于點A,C,線于點D,DHPO交PO的延長線于點E.PC交AB的延長(1)求證：/EPD=EDO(2)假設PC=6tanZPDA=-,求OE的長.【解答】1證實：PAPC與.分別相切于點A,C,./APOWEPDaPALAQ丁./PAO=90,vZAOPWEOD/PAOWE=90°,./APOWEDO

19、./EPDWEDO(2)解：連接OG .PA=PC=6vtanZPDA=,4 在RtPAD中,AD=8PD=1Q .CD=4vtan/PDA上,4,ftRtAOCLfr,OC=OA=3OD=5/EPDWODE.DEPAOED.：=J=2,DODEOEDE=2OE在RtOEDt,OE+DE=OD,即5OE=52,.OE鈣.11.如圖,OO半徑為4cm,其內(nèi)接正六邊形ABCDEF點P,Q同時分別從A,D兩點出發(fā),以1cm/s速度沿AF,DC向中點F,G運動.連接PBQE設運動時問為t(s).(1)求證：四邊形PEQEfe平行四邊形；(2)填空：當t=2s時,四邊形PBQ助菱形；當t=Q或4s時,四

20、邊形PBQEfe矩形.【解答】(1)證實：.正六邊形ABCDE內(nèi)接于.O,AB=BC=CD=DE=EF=FAA=ZABCWC=ZD=ZDE*F,.點P,Q同時分別從A,D兩點出發(fā),以1cm/s速度,運動時間為t(s),AP=DQ=tWJPF=QC=4t,在AB所口DEQtfAB=DE,ZA-ZDAP=DQ.AB國ADE(Q(SASBP=EQ同理可證,PE=QB一四邊形PEQ更平行四邊形.(2)解：當四邊形PBQ助菱形時,PB=PE=EQ=QB.AB國ADE隼APFEQCBAP=PF=DQ=QC即t=4-1,得t=2,故答案為：2;當t=0時,/EPFWPEF=30, ./BPE=120-30&

21、#176;=90°,此時四邊形PBQ助矩形；當t=4時,/ABP=/APB=30, ./BPE=120-30°=90°,此時四邊形PBQ助矩形.故答案為：0或4.12.如圖,AB為.O的直徑,點C為AB延長線上一點,動點P從點A出發(fā)沿AC方向以lcm/s的速度運動,同時動點Q從點C出發(fā)以相同的速度沿CA方向運動,當兩點相遇時停止運動,過點P作AB的垂線,分別交.O于點M和點N,.O的半徑為l,設運動時間為t秒.(1)假設AC=5那么當t=$時,四邊形AMQN；菱形；當t=三亞時,NQ一且一一2一與.O相切；(2)當AC的長為多少時,存在t的值,使四邊形AMQM正方

22、形請說明理由,并求出此時t的值.【解答】解：(1)AP=t,CQ=t那么PQ=5-2t,vNMLAB,.PM=PN當pA=PQ寸,四邊形AMQM菱形,即t=5-2t,解得唱當/ONQ=90時,NQ與.相切,如圖,OP=t-1,OQ=ACOA-QC=5-1-t=4-t,NOP=QONRtAONPRtAOQN.03,即上上！,1<t<2.5,故舍去),OQON54-t1'整理得t25t+5=0,解得11=K52即當t=E乎時,NQ與.相切；故答案為白,巨*;(2)當AC的長為3時,存在t=1,使四邊形AMQ的正方形.理由如下:四邊形AMQM正方形.丁./MAN=90,MNfy.

23、的直徑,而/MQN=g0, 點Q在.O上, AQ直徑, 點P在圓心,MN=AQ=2AP=1 .t=AP=1,CQ=t=1, .AC=AQ+CQ=2+1.=313.如圖,在RtABC中,/BAC=90,/B=60°,以邊上AC上一點O為圓心,OA為半徑作.O,.恰好經(jīng)過邊BC的中點D,并與邊AC相交于另一點F.(1)求證：BDOO的切線；(2)假設BC=2,E是半圓市上一動點,連接AE、ADDE填空：當籥的長度是_時,四邊形ABDE1菱形；3當籥的長度是工冗或冗時,ADEM直角三角形.3G【解答】(1)證實：連接OD如圖,/BAC=90,點D為BC的中點,DB=DA=DC./B=60&

24、#176;,.ABM等邊三角形,./DAB=ADB=60,/DAC=C=30,而OA=OD丁./ODA=OAD=30,丁./ODB=60+300=90°,ODLBC,BD是.的切線；(2)解：ABM等邊三角形,ab=bd=ad=cd=,在ODg,OD=1cD=13當DE/AB時,DELAC,AD=AE /ADEWBAD=60, .AD助等邊三角形,AD=AE=DE/ADE=60,./AOE=2ADE=120,ab=bd=de=ae 四邊形ABDE菱形,此時褊的長度=12.冗1上幾；1803當/ADE=90時,AE為直徑,點E與點F重合,此時代的長度也土L=兀；180當/DAE=90時

25、,DE為直徑,/AOE=2ADE=60,此時標的長度型工冗,1803所以當標的長度為/或冗時,MD式直角三角形.故答案為巧九；冗或九.B14.如圖,點A,B,C分別是.上的點,且/B=60°,CD是.的直徑,P是CD延長線上的一點,且AP=AC(1)求證：AP是.的切線；(2)假設AC=3填空：當前的長為匹冗時,以A,C,B,D為頂點的四邊形為矩形；3當代的長為巫r時,ABC勺面積最大,最大面積為之旦._3_4一P【解答】1證實：連接OA/B=60°,./AOC=2B=120°,又=OA=OC丁./ACP=CAO=30,丁./AOP=60,vAP=AC.P=/AC

26、P=30,丁./OAP=90,OALAP,AP是.O的切線,(2)連接AR:/ADCWB=60°,CD是直徑,丁./DAC=90,vAC=3.ad=/3,cd=25,OC市,當AB是直徑時,四邊形ADB久矩形,此時前=8.遮=在冗.ISO3./B=60°,當BA=BC寸,ABC勺面積最大,此時ABC是等邊三角形,代'abc=X322.ISO34415.四邊形ABCD勺對角線交于點E,且AE=ECBE=ER以AB為直徑的半圓過點E,圓心為O.(1)利用圖1,求證：四邊形ABCD1菱形.(2)如圖2,假設CD的延長線與半圓相切于點F,且直徑AB=8ABD勺面積為16.標

27、的長2冗.3DOB(51)(£2)【解答】解：(1).AE=ECBE=ER一四邊形ABC北平行四邊形.AB為直徑,且過點E, ./AEB=90,即AdBD四邊形ABC北平行四邊形,一四邊形ABC此菱形.(2)連結(jié)OF:CD的延長線與半圓相切于點F,OFLCF.vFC/AB,OF即為ABD中AB邊上的高. .Saab=!aBXOF=Lx8X4=16,22 點O是AB中點,點E是BD的中點,-Saob=Saab=4.4過點D作DHLAB于點H.AB/CDOFLCF,FCLAB,/F=/FOBWDHO=90.四邊形OHD叨矩形,即DH=OF=4.在RtDAHfr,sinZDAB=,AD2丁

28、./DAH=30.點O,E分別為AB,BD中點,OE/AD,丁/EOBWDAH=30,.欣的長度也鬻!春.18039故答案為：16,w兀.,J16.在圓O中,AC是圓的弦,AB是圓的直徑,AB=q/ABC=30,過點C作圓的切線交BA的延長線于點P,連接BC(1)求證：PASAPCB(2)點Q在半圓ADB上運動,填空：當AQ1迎_時,四邊形AQBC勺面積最大；當AQ=3或3直時,ABCfABQir等.【解答】(1)證實：如圖1所示,連接OC.PC是圓O的切線,OC是半徑,OCLPC,丁./PCO=90 ./PCA+ACO=90,:AB是直徑, ./ACB=90,/B+/CAB=90, OC=O

29、A ./OAC=OCA/B+/OCA=90,丁./PCA=B,又p=/p,.PA必APCB(2)解：當點Q運動到OQLAB時,四邊形AQBC勺面積最大;如圖2所示：連接AQBQ.OA=OBOQLAB,OQ=BQ:AB是直徑, ./AQB=90, .ABQt等腰直角三角形,.-.AQ=.AB=3/2,2故答案為：3&如圖3所示：丁/ACB=90,/ABC=30,.ACAB=3BC=3AC=3/s,2分兩種情況：a.當AQ=AC=3f,在RtAABC口RtAABCF,研二研,iAC=AQ .ABCAABQ(HD;b.當AQ=BC避時,同理AB登ABAQ綜上所述：當AQ=M3、用時,ABCt

30、ABQir等.17.如圖,AB是.O的直徑,點P是弦AC上一動點不與A,C重合,過點P作PnAB,垂足為E,射線EP交立于點F,交過點C的切線于點D.(1)求證：DC=DP(2)假設直徑AB=12cm/CAB=30,當E是半徑OA中點時,切線長DC=喳cm當AE=3cm時,以A,O,C,F為頂點的四邊形是菱形.口【解答】解：(1)連接OC.CD.的切線,丁./OCD=90,vOA=OC丁./OAC=OCAvPEIAB, ./PEA=90, ./OAC+APE=90,/OCA+PCD=90, ./APEWPCD /APEWCPD ./PCD=CPDDC=DP(2)連接BC:AB是直徑, ./AC

31、B=90 /A=30°,AB=12 AC=ABcos30°=6/3,在RtAPE中,vAE=kOA=3 .AP=A3cos30°=2技 .PC=AGAP=47,vZAPE=/DPC=60,DP=DC .DPO等邊三角形,DC=4三,故答案為4a.當AE=EO寸,四邊形AOC龍菱形.理由：連接AF、OFvAE=EOFE±OAFA=FO=OA.AFO等邊三角形,丁./FAO=60,vZCAB=30,丁./FAC=30,/FOC=2FAC=60,.FOO等邊三角形,CF=CO=OA=AF一四邊形AOC光菱形,.AE=3cM寸,四邊形AECF1菱形.故答案為3.

32、18.如圖,OO的直徑AB=4,點C為.上的一個動點,連接OC過點A作.O的切線,與BC的延長線交于點D,點E為AD的中點,連接CE(1)求證：CE是.的切線；(2)填空：當CE=2時,四邊形AOC時正方形;當CE=時,ZXCDE為等邊三角形.一3一【解答】(1)證實：連接ACOE如圖(1),AB為直徑,./ACB=90,.ACM直角三角形,又E為AD的中點,EA=EC在OCEJ口OAE,r0C=0A,OE=OE,lEC=EA.OC摩AOAE(SSS,丁./OCE=OAE=90,.CELOC.CE是.的切線；理由如下:(2)解：C在線段BD的中點時,四邊形AOC的正方形.當C為邊BD的中點,而E為AD的中點,.CE為ABAD的中位線,CE/AB,CE=AB=OA2四邊形OAE平行四邊形,/OAE=90,平行四邊形OCEA1矩形,又=OA=OC矩形OCEA1正方形, .CE=OA=2故答案為：2;連接AG如圖(2),.CD助等邊三角形,/D=6(J,/ABD=30,CE=CD在RtABC中,AC工AB=22在RtACD,.tan/D宜,