四川省自貢市2019-2020學年高二年級上學期期末理科數學試題(解析版)

1、2021-2021學年高二年級上學期期末測試數學試題理工類本試卷分第I卷選擇題和第II卷非選擇題兩局部,共100分.測試時間為120分鐘.答卷前,考生務必將自己的姓名,準考證號填寫在做題卡上,并在規(guī)定位置粘貼測試用條形碼.答卷時,須將答案答在做題卡上,在本試題卷、草稿紙上做題無效.測試結束后,本試題卷由考生自己保存,只將做題卡交回.考前須知：1 .做題前,考生務必將自己的姓名,班級、考號用0.5毫米的黑色簽字筆寫在做題卡上,并檢查條形碼粘貼是否正確.2 .選擇題使用2B鉛筆填涂在做題卡對應題目標號的位置上,非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆書寫在做題卡的對應框內,超出做題區(qū)域書寫的答案無效.第I卷

2、選擇題共60分考前須知：必須使用2B鉛筆將答案標號填涂在做題卡上對應題目標號的位置上,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標號.一、選擇題：本大題共12小題,每題5分,總分值60分.在每題給出的四個選項中,只有一項為哪一項符合題目要求的.1 .一個長方體去掉一個小長方體,所得幾何體的正視圖與側左視圖分別如下圖,那么該幾何體的俯視圖為【答案】C【解析】【分析】從正視圖和側視圖上分析,去掉的長方體的位置應該在的方位,然后判斷俯視圖的正確圖形.【詳解】由正視圖可知去掉的長方體在正視線的方向,從側視圖可以看出去掉的長方體在原長方體的右側,由以上各視圖的描述可知去掉的長方體在原長方體的右上方,其俯視

3、圖符合C選項.應選C.點評：此題考查幾何體的三視圖之間的關系,要注意記憶和理解“長對正、高平齊、寬相等的含義.考點：三視圖.【此處有視頻,請去附件查看】2 .從集合a,b的子集中任取1個集合,那么這個集合只含有1個元素的概率是B.D.1A.一4【答案】C【解析】【分析】寫出集合a,b的所有子集只含有1個元素的子集,代入古典概型概率公式計算.【詳解】解：集合a,b的子集有,a,b,a,b共四個；只含1個元素的集合有a,b兩個,人,一21故只含有1個兀素的概率P-42應選：C【點睛】此題考查了古典概型的概率計算,屬于根底題.3.一次選拔運發(fā)動,測得7名選手身高單位：cm分布莖葉圖如下,記錄的平均身

4、高為177cm,有一名候選人的身高記錄不清楚,其末位數記為x,那么x的值為1801170x789A.4B.3C.2D.1【解析】【分析】求這7個數的平均數,列出方程,即可解答.170(170x)177178179180181詳解解：1777解得x4應選：A.【點睛】此題以莖葉圖為載體,考查平均數,要求會讀圖莖葉圖中的數據,屬于根底題4 .某單位有職工120人,其中男職工有90人,現采用分層抽樣(按男、女分層)抽取一個樣本,假設已知樣本中有9名女職工,那么樣本的容量為()A.44B.40C.36D.沒法確定【答案】C【解析】根據分層抽樣的定義和性質進行求解即可.【詳解】解：設樣本容量為n,120

5、90那么由題意得上03120解得n36,【點睛】此題主要考查分層抽樣的應用,根據條件建立比例關系是解決此題的關鍵,屬于根底題.5 .一組數據中的每一個數都減去60,得到一組新數據,假設求得新數據的平均數為1.2,方差為4.4,那么原來數據的平均數和方差分別為()A.61.2,4.4B.58.8,4.4C.61.2,64.4D.58.8,55.6【答案】A【解析】【分析】根據平均數和方差的公式性質進行求解,原數據的平均數為1.2加60,方差不變,從而得到所求.11【詳解】解：平均數x(X1X2Xn)(X1a)(X2a)(Xna)a,nn原來一組數據的平均數是601.261.2,其方差不變,仍是4

6、.4.應選：A.【點睛】此題主要考查了平均數和方差的計算公式即運用：一般地設有n個數據,x1,X2,Xn,假設每個數據都放大或縮小相同的倍數后再同加或同減去一個數,其平均數也有相對應的變化,方差那么變?yōu)檫@個倍數的平方倍,屬于根底題.6.在腰長為3的等腰直角三角形內任取一點,使得該點到此三角形的直角頂點的距離不大于1的概率為A.B.C.-D.-【答案】B【解析】【分析】求出三角形的面積；再求出據三角形的直角頂點的距離不大于1的區(qū)域為扇形,扇形是四分之一圓,求出四分之一圓的面積；利用幾何概型概率公式求出該點到此三角形的直角頂點的距離不大于1的概率.1 9【詳解】解：三角形的面積為S113392 2

7、1到此三角形的直角頂點的距離不大于1的區(qū)域是四分之一圓,面積為84【點睛】此題考查幾何概型的計算,解題的關鍵是分析滿足“到此三角形的直角頂點的距離的點的性質,得到該區(qū)域的面積.uumuuur7.空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于1,點E,F分別是AB、AD的中點,那么EFDCA.B.C點C.D.【答案】B【解析】【分析】1 iuruur由題意作圖,可得所求數量積為2BDgDC,由易得其模長和夾角,由數量積的定義可得答案.【詳解】解：如圖連接空間四邊形ABCD的對角線AC,BD,由空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于1,可知底面BCD為等邊三角形,故BDC60,uuu1uur又

8、點E、F分別是AB、AD的中點,所以EF-BD,2uuuuur1uurunr1imruuir故EFgDC-BDgDC-1BD|DC|cos(BDC)2 2【點睛】此題考查向量的數量積的運算,涉及向量的根本運算,屬于根底題.8.如下圖的程序框圖中,語句“輸出i被執(zhí)行的次數為A.19B.18C.17D.16【答案】C【解析】【分析】根據算法流程圖依次執(zhí)行語句,逐一分析,從而得到語句“輸出i被執(zhí)行的次數.【詳解】解：i1,滿足條件i,50,i4,輸出4；滿足條件i,50,i7,輸出7；滿足條件i,50,i10,輸出10；滿足條件i,50,i13,輸出13；滿足條件i,50,i16,輸出16；滿足條件

9、i,50,i19,輸出19；滿足條件i,50,i22,輸出22；滿足條件i,50,i25,輸出25；滿足條件i,50,i28,輸出28;滿足條件i,50,i31,輸出31;滿足條件i,50,i34,輸出34；滿足條件i,50,i37,輸出37；滿足條件i,50,i40,輸出40；滿足條件i,50,i43,輸出43;滿足條件i,50,i46,輸出46；滿足條件i,50,i49,輸出49；滿足條件i,50,i52,輸出52；不滿足條件i,50,退出循環(huán)；語句“輸出i被執(zhí)行的次數為17應選：C.【點睛】此題主要考查了循環(huán)結構,解題的關鍵是弄清循環(huán)的次數,同時考查了分析問題的水平,屬于根底題.9 .在

10、三豺iABCAB1C1中,假設ABC是等邊三角形,AAi底面ABC,且ABJ2BB1,那么AB1與CB所成角的大小為()A.60B.90C.105D.75【答案】B【解析】【分析】根據條件可作出圖形,并且得到B1AB1B,根據向量的加法及數乘的幾何意義便可得到ULUDuuuirmuruujaUJLLTuuirUUJIDUULUAB1(RABB),GBRGB1B,從而可求得AB1gC1B0,這樣即可得出AB1和CB所成角的大小.【詳解】解：如圖,根據條件,ABJ2BB1,令ABJ2,BB1；UJULuuuruuruuiruuuruur又AB1(B1ABB),C1BB1clB1B；uuuuuuuu

11、ULUiruuuruuuruuruuuruuiruiur2_12AB1gC1BB1Ag31GB1A1gBiBB1BgB1C1B1BJ2J2-12110；uuiruuurABC1B;AB和C1B所成的角的大小為90【點睛】考查三棱柱的定義,向量加法的平行四邊形法那么,向量加法和數乘的幾何意義,以及向量數量積的運算,向量垂直的充要條件,向量的方法求異面直線所成角的大小,以及異面直線所成角的概念.10 .如圖,在正方體ABCDAB1C1D1中,點O為線段BD的中點,設點P在線段CC,直線OP與平面ABD所成的角為,那么sin的最小值是【答案】AC.2.2D.建立空間直角坐標系,設正方體的棱長為2,P

12、0,2,z,z0,2,利用空間向量法求出線面角的正弦值,再根據函數的性質求最值【詳解】解：如圖建立空間直角坐標系,設正方體的棱長為2,那么D0,0,0,B2,2,0A2,0,2,設P0,2,z,z0,2,O1,1,0,uurOP1,1,zuuiruuuuDB2,2,0,DA2,0,2r設面DBA的法向量為nx,y,zvn那么vnuuuDBuuivDA12x2x2y0r取n2z01,1,sincosuujrrOP,n32z263z23121812z2z2八一11Qz0,2那么t4,2min11.設是三個不同的平面,a、b、c是三條不同的直線,給出如下結論：假設a/b,那么b/c;假設albA,那

13、么bIcA；-rrrr.右ab,bc,那么,；右,那么ab,bc.其中正確的結論個數是A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】根據平行和垂直的公理及定理,對四個命題進行一一驗證排查,得出正確結果.2212121331818t12t318t-11-z2z232sin當z0時sin取最小值sin應選：B.【點睛】此題考查了正方體的性質和直角三角形的邊角關系、線面角的求法,考查了推理水平,屬于中檔題.【詳解】解：對于,QIa,b,a/bQa,bb/Qb,cb/c,故正確；對于：QIa,Ib,albA那么A,A,A,Aa,Ab,QIcAcbIcA,故正確；對于：QIa,Ib,ca,cQab,

14、bca與c不平行,即a與c相交于一點bQb,b,故正確；對于：假設,IbbQa,cba,bc,故正確；綜上可得正確的有4個,應選：D【點睛】此題考查空間中線線、線面、面面的位置關系,考查空間想象水平,邏輯推理水平,屬于中檔題.112.直線2axby1與圓x2y2相交于a,B兩點其中a,b是實數,且AOB是直角二角形O是坐標原點,那么點Pa,b與點0,J3之間距離的最小值為A.0B.21C.2.3D.23【解析】【分析】由題意可得圓心到直線2axby1的距離等于1,化簡可得a2b21,故點P(a,b)在橢圓x224上,可得當點P的坐標為(0,2)時,點P(a,b)與點0,73之間距離最小.【詳解

15、】解：由題意可得AOB是等腰直角三角,且斜邊的長等于故圓心(0,0)到直線2axby11的距離等于一,21222ab化簡可得4a2b2一24,即a2bd1.4故點P(a,b)在橢圓22y.x14上.故點P(a,b)與點0,J3之間距離的最小值為點(0,2)與點0,J3之間的距離,其值等于2應選：D.【點睛】此題考查學生靈活點到直線的距離公式化簡求值,綜合運用所學的知識求動點形成的軌跡方程,屬于中檔題.第R卷(非選擇題共90分)考前須知：必須使用0.5毫米黑色簽字筆在做題卡上題目所指示區(qū)域內作答,作圖題可先用鉛筆繪出,確認后再用0.5毫米黑色簽字筆描清楚.答在試題卷上無效.二、填空題：本大題共4

16、小題,每題5分,總分值20分.uuu13.假設點B是點3,7,4在xOz平面上的射影,那么OB等于.【答案】5【解析】【分析】UUU_,r求出B的坐標,計算向量OB,即可得到結論.【詳解】解：Q點B是點3,7,4在xOz平面上的射影,B3,0,4,uur那么OB3,0,4,ULOrr2OBF45,故答案為：5【點睛】此題考查了射影、模的計算公式,考查了推理水平與計算水平,屬于根底題.14 .某調查機構調查了某地100個新生嬰兒的體重,并根據所得數據畫出了樣本的頻率分布直方圖如圖所示,那么新生嬰兒的體重單位：kg在3.6,4.4的人數是.【解析】【分析】新生嬰兒的體重在3.6,4.4的分為3.6

17、,4.0,4.0,4.4兩局部.在頻率分步直方圖中小長方形的面積為頻率,用長乘以寬,得到頻率,用頻率乘以總體個數,分別得到這兩個范圍中的個體數.再相加,可得答案.【詳解】解：在頻率分步直方圖中小長方形的面積為頻率.在3.6,4.0的頻率為0.3750.40.15,頻數為0.1510015,在4.0,4.4的頻率為0.1250.40.05,頻數為0.051005.那么新生嬰兒的體重在3.6,4.4內大約有51520人.故答案為：20.【點睛】此題考查頻率分步直方圖,考查頻率分步直方圖中小長方形的面積等于頻率,考查頻率,頻數和樣本容量之間的關系,屬于根底題.15 .過點1,72的直線I將圓x2y2

18、4x0分成兩段弧,當劣弧所對圓心角最小時,直線l的斜率k.1rOAl圓心為O(2,0)A(1,J2)與圓心C(2,0)的距離|AC|要使得劣弧所對的圓心角最小,只能是直線2y如圖示,由圖形可知4x0圓心為0(2,0),要使得劣弧所對的圓心角最小,只能是直線l0A,由此能求出結果4的圓心C(2,0),半徑二2Qx2y24八22x2y4點A(1,J2)在圓(x2)2y24的內部那么圓(x2)2y2故答案為：一2(x2)21ki_1_J20212考查推理論證水平、運算求解水平,考查化歸與轉化思想、函數與方程思想,是中檔題.16 .一圓錐的底面直徑與母線長相等,一球體與該圓錐的所有母線和底面都相切,那

19、么球與圓錐的外表積之比為.4【答案】49【解析】設圓錐底面圓半徑為R,球的半徑為r,根據題意畫出圖形,結合圖形求出R與r的關系,再計算球與圓錐的外表積和它們的比值.【詳解】解：設圓錐底面圓半徑為由題意知,圓錐的軸截面是邊長為2R的等邊三角形,球的大圓是該該等邊三角形的內切圓,一_2所以rR,&求的外表積4r之4-R33所以球與圓錐的外表積之比為Sa錐外表積,4故答案為：49【點睛】此題考查了圓錐與球體的結構特征應用問題,也考查了外表積計算問題,屬于根底題.三、解做題：本大題共6小題,總分值70分,解答須寫出文字說明、證實過程或演算步驟17 .如圖,正方體ABCDABiCiDi中,M,N

20、分別是AB,A5的中點.判斷直線MN與平面BBQQ的位置關系,并說明理由【答案】MN/平面BBiDiD；證實見解析【解析】【分析】取AD中點E,連接ME,NE根據題知ME/BD,NE/D1D,【詳解】解：MN/平面BBiDiD,證實：取AD中點E,連接ME,NE根據題知ME/BD,NE/DQ,QEM平面EMN,EN平面EMN,ENIEMEBD平面BBiDiD,DiD平面BBQiD,BDDiDD所以平面EMN平面BBiDiD,QMN平面EMN,故MN平面BBiDiD.【點睛】此題考查線面平行的判定,面面平行的性質定理,屬于根底題18 .把一個均勻的正方體骰子拋擲兩次,觀察出現的點數,記第一次出現

21、的點數為a,第二次出現的點數為設直線m：2xy2,直線n：axby3.(1)求直線m和直線n沒有交點的概率；(2)求直線m和直線n的交點在第一象限的概率.、113【答案】(1)(2)1236【解析】【分析】(1)把一顆骰子投擲兩次,第一次出現的點數記為a,第二次出現的點數記為b,那么不同的結果數是36種,然后求出兩直線m、n平行的情況為a2b,找出符合條件的所有根本領件數,由公式計算出概率.(2)聯立直線方程得到交點坐標,根據交點在第一象限,得到不等式組,列出滿足條件的數對,再用古典概型的概率計算公式計算可得.【詳解】解：骰子拋擲兩次的結果記為a,b,那么所有可能的情況共有6636種情況(如圖

22、)(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)(1)直線m和直線n沒有交點即m/n,所以a2b,共有2,1,4,2,6,3共3種不同結果31因此所求概率R.361232bx(2)2xy2a2b得axby3a3a2by2a30a300得a2b0或者a2b0,032b032b0有4,1,

23、5,1,6,1,1,2,1.3,1,4,1,5,1,6,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6共13種不同結果.13因此所求概率P2.36【點睛】此題考查列舉法求根本領件數和求概率,涉及直線的平行關系、兩直線的交點坐標,屬于根底題.19.一束光線通過點M15,8射到x軸上經反射后射到圓C：x2279上.(1)求經過圓心的反射光線的方程;(2)求反射光線在y軸上截距范圍.13【答案】(1)yx7(2),124(1)求出點M15,8關于x軸的對稱點程;(2)不妨設反射光線所在直線方程為y求出參數k的取值范圍,再令x0,得到【詳解】解：由光學原理知一束光線通過點經反射后的反射光線經過N15,8.(1

24、)經過圓心的反射光線的方程：y即yx7.N15,kx15,徑,得到不等式15,8射軸上,5；利用反射光線過巨的關系式,15,8與圓心,即可求得直線方直線的距離不大值范圍(2)當斜率不存在時,即x15顯然不合條件,不妨設反射光線所在直線方程為y8kx15,即kxy15k80,、一.15k8-.2由得'J3,即12k225k120,.1k2故4k3.3 4方程kxy15k80中,0得反射光線在y軸上截距b15k8,4 35 ,413,124因此反射光線在y軸上截距b的范圍為13,12.4【點睛】此題考查對稱點的求法,點到直線的距離公式的應用,直線與圓相切應選的應用,考查計算水平,屬于中檔題

25、.20 .自貢農科所實地考察,研究發(fā)現某貧困村適合種植A,B兩種藥材,可以通過種植這兩種藥材脫貧.通過大量考察研究得到如下統(tǒng)計數據：藥材A的畝產量約為300公斤,其收購價格處于上漲趨勢,最近五年的價格如下表：編R12345年份20212021202120212021單價元/公斤1820232529藥材B的收購價格始終為20元/公斤,其畝產量的頻率分布直方圖如下:y關于x的回歸直線方1假設藥材a的單價y單位：元/公斤與年份編號x具有線性相關關系,請求出程,并估計2021年藥材a的單價;2用上述頻率分布直方圖估計藥材B的平均畝產量,假設不考慮其他因素,試判斷2021年該村應種植藥材A還是藥材B?并

26、說明理由.n_xiyinxy參考公式：bi1n2xii12nxybx回歸方程ybxa中【答案】12.7x14.9；估計2021年藥材A的單價為31.1元/公斤2應該種植A種藥材,詳見解1由題意計算x、y,求出回歸系數,寫出回歸直線方程,利用方程計算對應的數值;2利用頻率分布直方圖求出平均數,分別計算種植A、B藥材每畝地的收入,比擬即可.【詳解】解:(1)x3,y182023252923,ni1bn2xii1nxy-2nxaybx14.9y2.7x11822032342552953232_2_222_212345532.7,14.9,當x6時,y31.1.因此估計2021年藥材A的單價為31.1元/公斤.2利用概率和為1得到430450頻率/組距為0.005,B藥材的畝產量的平均值為204400.00520401,3600.005203800.010204000.0175204200.0125故A藥材產值為30031.19330元B藥材產值為204018020元故應該種植A種藥材.【點睛】此題考查了線性回歸方程的求法與應用問題,也考查了頻率分布直方圖的應用問題,是根底題.21 .在等腰梯形ABCD中,AD/BC,BC4,AD2,ABC60,將梯形ABCD沿著AB翻