數(shù)列的函數(shù)特征(1)

1、.豐城九中高一數(shù)學(xué)組豐城九中高一數(shù)學(xué)組.從數(shù)列表示的角度理解數(shù)列的函數(shù)特性從數(shù)列表示的角度理解數(shù)列的函數(shù)特性數(shù)列是一種特殊函數(shù)數(shù)列是一種特殊函數(shù), ,其定義域是正整數(shù)集其定義域是正整數(shù)集N N+ +( (或它的有限子或它的有限子集集 1, 2, 3 1, 2, 3，, n) , n) ,值域是當(dāng)自變量順次從小到大依次值域是當(dāng)自變量順次從小到大依次取值時(shí)的對應(yīng)值取值時(shí)的對應(yīng)值. .00000000.00000000.確定數(shù)列的增減性確定數(shù)列的增減性 確定數(shù)列的增減性的方法確定數(shù)列的增減性的方法判斷數(shù)列是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列判斷數(shù)列是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列, ,關(guān)鍵是比較相鄰兩項(xiàng)關(guān)鍵是比較相鄰兩項(xiàng)a

2、 an+1n+1與與a an n的大小的大小, ,常見的比較方法有兩種：常見的比較方法有兩種：一是作差比較法一是作差比較法. .(1)a(1)an+1n+1-a-an n00a an+1n+1aan n數(shù)列數(shù)列aan n 是遞增數(shù)列是遞增數(shù)列. .(2)a(2)an+1n+1-a-an n00a an+1n+1aan n數(shù)列數(shù)列aan n 是遞減數(shù)列是遞減數(shù)列. .(3)a(3)an+1n+1-a-an n=0=0a an+1n+1=a=an n數(shù)列數(shù)列aan n 是常數(shù)列是常數(shù)列. .二是作商比較法，若數(shù)列的通項(xiàng)公式為根式形式二是作商比較法，若數(shù)列的通項(xiàng)公式為根式形式, ,用作商法用作商法比

3、作差法更簡便一些比作差法更簡便一些. .a an n0 0遞增數(shù)列遞增數(shù)列遞減數(shù)列遞減數(shù)列常數(shù)列常數(shù)列a an n0 0遞減數(shù)列遞減數(shù)列遞增數(shù)列遞增數(shù)列常數(shù)列常數(shù)列n 1na1an 1na01an 1na1a. 在利用作商比較法時(shí)，要確保數(shù)列的每一項(xiàng)在利用作商比較法時(shí)，要確保數(shù)列的每一項(xiàng)都不是零，再確認(rèn)相鄰兩項(xiàng)的正負(fù)，然后進(jìn)行比較都不是零，再確認(rèn)相鄰兩項(xiàng)的正負(fù)，然后進(jìn)行比較. .【例【例1 1】已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為a an n= -8n= -8n，判斷數(shù)列，判斷數(shù)列aan n 的單調(diào)性的單調(diào)性. .【審題指導(dǎo)】【審題指導(dǎo)】解決本題的關(guān)鍵是正確采取比較的方式，比解

4、決本題的關(guān)鍵是正確采取比較的方式，比較較a an+1n+1與與a an n的大小，也可用函數(shù)的觀點(diǎn)判斷的大小，也可用函數(shù)的觀點(diǎn)判斷. .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】方法一：根據(jù)題意可知方法一：根據(jù)題意可知 則則a an+1n+1-a-an n= (n+1)= (n+1)2 2-8(n+1)-( n-8(n+1)-( n2 2-8n)-8n) 由數(shù)列的定義域?yàn)檎麛?shù)集可知，當(dāng)由數(shù)列的定義域?yàn)檎麛?shù)集可知，當(dāng)0n80n8時(shí)，時(shí)，a an+1n+1-a-an n000，數(shù)列是，數(shù)列是遞增數(shù)列遞增數(shù)列. .2n1an8n2，121215n2，21n2.方法二：由于本題數(shù)列的通項(xiàng)公式為方法二：由于本題數(shù)列的

5、通項(xiàng)公式為a an n= n= n2 2-8n-8n對應(yīng)的函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)是是f(x)= xf(x)= x2 2-8x-8x，定義域?yàn)檎麛?shù)集，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，定義域?yàn)檎麛?shù)集，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知：對稱軸是可知：對稱軸是x=8x=8，所以當(dāng)，所以當(dāng)0n80n00，所以數(shù)列，所以數(shù)列nn2 2+5n+5n是遞增數(shù)列是遞增數(shù)列. .方法二：由于本題數(shù)列的通項(xiàng)公式為方法二：由于本題數(shù)列的通項(xiàng)公式為a an n=n=n2 2+5n+5n對應(yīng)的函數(shù)是對應(yīng)的函數(shù)是f(x)=xf(x)=x2 2+5x+5x，定義域?yàn)檎麛?shù)集，對稱軸是，定義域?yàn)檎麛?shù)集，對稱軸是 ，根據(jù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知：數(shù)列函數(shù)的單

6、調(diào)性可知：數(shù)列nn2 2+5n+5n是遞增數(shù)列是遞增數(shù)列. .5x2 . 【誤區(qū)警示】【誤區(qū)警示】在利用函數(shù)的單調(diào)性判斷數(shù)列的單調(diào)在利用函數(shù)的單調(diào)性判斷數(shù)列的單調(diào)性時(shí)，一定要注意函數(shù)與數(shù)列的區(qū)別是數(shù)列的定義域?yàn)檎詴r(shí)，一定要注意函數(shù)與數(shù)列的區(qū)別是數(shù)列的定義域?yàn)檎麛?shù)集，然后根據(jù)函數(shù)的對稱軸和單調(diào)性進(jìn)行判斷整數(shù)集，然后根據(jù)函數(shù)的對稱軸和單調(diào)性進(jìn)行判斷. . 數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用數(shù)列是特殊的函數(shù)，由數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間構(gòu)成特殊的函數(shù)列是特殊的函數(shù)，由數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間構(gòu)成特殊的函數(shù)關(guān)系可知：數(shù)列的通項(xiàng)數(shù)關(guān)系可知：數(shù)列的通項(xiàng)a an n與與n n的關(guān)系公式就是函數(shù)的關(guān)系公式就是函數(shù)

7、f(x)f(x)的的解析式解析式, ,所以根據(jù)函數(shù)解析式得出數(shù)列的通項(xiàng)公式是重要途所以根據(jù)函數(shù)解析式得出數(shù)列的通項(xiàng)公式是重要途徑徑. .數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用.【例【例2 2】設(shè)函數(shù)】設(shè)函數(shù)f(x)f(x)loglog2 2x xloglogx x2(0 x1)2(0 x1)，數(shù)列，數(shù)列aan n 滿足滿足f( )=2n(nNf( )=2n(nN+ +).).(1)(1)求數(shù)列求數(shù)列aan n 的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式；(2)(2)判斷數(shù)列的單調(diào)性判斷數(shù)列的單調(diào)性. .【審題指導(dǎo)】【審題指導(dǎo)】解決本題的關(guān)鍵是把函數(shù)的解析式通過關(guān)系解決本題的關(guān)鍵是把函數(shù)的解析式通過關(guān)系式轉(zhuǎn)化求解

8、得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后再根據(jù)通項(xiàng)公式進(jìn)式轉(zhuǎn)化求解得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后再根據(jù)通項(xiàng)公式進(jìn)行作差，判斷與零的大小或者作商判斷與行作差，判斷與零的大小或者作商判斷與1 1的大小，從而判的大小，從而判斷數(shù)列的單調(diào)性斷數(shù)列的單調(diào)性. .na2.【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)f( )(1)f( )loglog2 2 -log 2=a-log 2=an n ，所以，所以a an n 2n2n 2na2nan n1 10 0，所以所以a an n . .因?yàn)橐驗(yàn)閤(0,1)x(0,1)，所以，所以 (0,1)(0,1)，所以，所以a an n0.0.所以所以a an n . .(2)(2)方法一：方法一：

9、a an n1 1a an n(n(n1)1) n1an1a2na2nn1na2na2an22nn122n11(nn1) 221 (n11n1) 222n12n1110.n1nn11n1 na2.所以所以 ，即數(shù)列，即數(shù)列aan n 是遞增數(shù)列是遞增數(shù)列. .方法二方法二：又又a an n0aan n，數(shù)列數(shù)列aan n 是遞增數(shù)列是遞增數(shù)列. .n1naa2n 12nn1n11aann1 22nn11n1n11 ，.【互動(dòng)探究】若把題目中的函數(shù)改為【互動(dòng)探究】若把題目中的函數(shù)改為f(x)=2f(x)=2x x-2-2-x-x，數(shù)列，數(shù)列aan n 滿足滿足f(logf(log2 2a an

10、n)=-2n(nN)=-2n(nN+ +).).其他不變，你會求解嗎？其他不變，你會求解嗎？ 【解題提示】【解題提示】仿照例題通過仿照例題通過f(logf(log2 2a an n)=-2n)=-2n求得數(shù)列求得數(shù)列aan n 的通項(xiàng)公式，然后作差或者作商證明單調(diào)性的通項(xiàng)公式，然后作差或者作商證明單調(diào)性. . .【解析】【解析】(1)f(x)=2(1)f(x)=2x x-2-2-x-x,f(log,f(log2 2a an n)=-2n,)=-2n,aan n0, 0, (2)(2)方法一：方法一：又又a an n0,a0,an+1n+1a an n,數(shù)列數(shù)列aan n 是遞減數(shù)列是遞減數(shù)列.

11、 .2n2nloglogaann1222n,a2n,a 22nnna2na10,ann1. 解得2nan1n. 2n 12nn11n1aan1n 22n1n1,n11n1 .方法二方法二：a an+1n+1-a-an n即即a an+1n+1-a-an n0 0，a an+1n+1a an n.數(shù)列數(shù)列aan n 是遞減數(shù)列是遞減數(shù)列. .22n11n1( n1n) 222222222222n11n1n11n1 11n11n1n1n1n11n1n11n1 , n1 n,n1n1.n11n1 .【典例】【典例】(12(12分分) )一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為a an n3030n

12、nn n2 2. .(1)(1)問問6060是否為這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)？是否為這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)？(2)(2)當(dāng)當(dāng)n n分別為何值時(shí)，分別為何值時(shí)，a an n0 0，a an n00，a an n00.0.當(dāng)當(dāng)n6n6且且nNnN+ +時(shí)，時(shí)，a an n0. 0. 8 8分分.(3)a(3)an n3030n nn n2 2又又nNnN+ +，故當(dāng)故當(dāng)n n1 1時(shí)，時(shí)，a an n有最大值，其最大值為有最大值，其最大值為30. 30. 12 12分分 21121(n)24 ，.【誤區(qū)警示】【誤區(qū)警示】對解答本題時(shí)易犯的錯(cuò)誤具體分析如下：對解答本題時(shí)易犯的錯(cuò)誤具體分析如下： 常見常見 錯(cuò)誤錯(cuò)誤錯(cuò)錯(cuò)

13、誤誤 原原 因因第二問第二問 n=-5 n=-5 解出了解出了n n的值后，沒有考慮的值后，沒有考慮n n的定義域，直接的定義域，直接下結(jié)論導(dǎo)致錯(cuò)誤，事實(shí)上，解決這類問題需下結(jié)論導(dǎo)致錯(cuò)誤，事實(shí)上，解決這類問題需要特別注意要特別注意n n的取值范圍的取值范圍. . .第三問第三問 n=n=在利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行配方求解數(shù)列的在利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行配方求解數(shù)列的最值時(shí)，忽略了最值時(shí)，忽略了n n只能取正整數(shù)這一問題，只能取正整數(shù)這一問題，導(dǎo)致錯(cuò)誤，一般地借助函數(shù)解決數(shù)列問題時(shí)，導(dǎo)致錯(cuò)誤，一般地借助函數(shù)解決數(shù)列問題時(shí)，都需要認(rèn)真考慮定義域都需要認(rèn)真考慮定義域. . 12.【即時(shí)訓(xùn)練】數(shù)列【即時(shí)訓(xùn)練】數(shù)列aan n 的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為a an nn n2 25n5n4.4.(1)(1)數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？(2)n(2)n為何值時(shí)，為何值時(shí)，a an n有最小值？并求出最小值有最小值？并求出最小值. .【解析】【解析】(1)(1)由由n n2 25n5n4=04=0，解得，解得n=1n=1或或n=4.n=4.由數(shù)列由數(shù)列aan n 的圖像及的圖像及nNnN+ +可知，可知，n n2,32,3時(shí)，時(shí)，a an n為負(fù)數(shù)為負(fù)數(shù). .數(shù)列中有兩項(xiàng)是負(fù)數(shù)數(shù)列中有兩項(xiàng)