直線與拋物線的位置關(guān)系理基礎(chǔ)

1、直線與拋物線的位置關(guān)系【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能正熟練使用直接法、待定系數(shù)法、定義法求拋物線的方程；2.能熟練運(yùn)用幾何性質(zhì)（如范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率、準(zhǔn)線）解決相關(guān)問題；3.能夠把直線與拋物線的位置關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為方程組解的問題，判斷位置關(guān)系及解決相關(guān)問題.【知識網(wǎng)絡(luò)】拋物線拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的幾何性質(zhì)直線與拋物線的位置關(guān)系拋物線的綜合問題拋物線的弦問題拋物線的準(zhǔn)線【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、拋物線的定義定義：平面內(nèi)與一個定點(diǎn)和一條定直線（不經(jīng)過點(diǎn)）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線要點(diǎn)詮釋：上述定義可歸結(jié)為“一動三定”：一個動點(diǎn)，一定點(diǎn)F（即焦點(diǎn)），一

2、定直線（即準(zhǔn)線），一定值1（即動點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離與定直線l的距離之比）.要點(diǎn)二、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式：，圖像方程y2=2px（p0）y2=2px（p0）x2=2py（p0）x2=2py（p0）焦點(diǎn)準(zhǔn)線要點(diǎn)詮釋：求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)從“定形”、“定式”和“定值”三個方面去思考.“定形”是指以坐標(biāo)軸為對稱軸的情況下，焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上；“定式”根據(jù)“形”設(shè)拋物線方程的具體形式；“定值”是指用定義法或待定系數(shù)法確定p的值.要點(diǎn)三、拋物線的幾何性質(zhì)范圍：，拋物線y2=2px（p0）在y軸的右側(cè)，開口向右，這條拋物線上的任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)（x，y）的橫坐標(biāo)滿足不等式x0；當(dāng)x的值增大

3、時，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。拋物線是無界曲線。對稱性：關(guān)于x軸對稱拋物線y2=2px（p0）關(guān)于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸。拋物線只有一條對稱軸。頂點(diǎn)：坐標(biāo)原點(diǎn)拋物線y2=2px（p0）和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)。拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，0）。離心率：.拋物線y2=2px（p0）上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率。用e 表示，e=1。拋物線的通徑通過拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的直線被拋物線所截得的線段叫做拋物線的通徑。要點(diǎn)三、直線與拋物線的位置關(guān)系直線與拋物線的位置關(guān)系將直線的方程與拋物線的方程y2=2px（p0）聯(lián)立

4、成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元二次方程，其判別式為.若，直線與拋物線的對稱軸平行或重合，直線與拋物線相交于一點(diǎn)；若0 直線和拋物線相交，有兩個交點(diǎn)；0直線和拋物線相切，有一個公共點(diǎn)；0直線和拋物線相離，無公共點(diǎn)直線與拋物線的相交弦設(shè)直線交拋物線于點(diǎn)兩點(diǎn)，則=同理可得這里的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下變形：拋物線的焦點(diǎn)弦問題已知過拋物線的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)。設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則：焦點(diǎn)弦長，其中|AF|叫做焦半徑，焦點(diǎn)弦長最小值為2p。根據(jù)時，即AB垂直于x軸時，弦AB的長最短，最短值為2p。要點(diǎn)詮釋：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和其他圓錐曲線與直線一樣，注意

5、其中方程思想的應(yīng)用和解析幾何的通性通法.【典型例題】類型一：拋物線的方程與性質(zhì)例1頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),對稱軸是坐標(biāo)軸,并且經(jīng)過點(diǎn)M(4，8)的拋物線有幾條?求出它們的標(biāo)準(zhǔn)方程.【解析】因為拋物線關(guān)于坐標(biāo)軸對稱，它的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)，所以可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為因為點(diǎn)M在拋物線上，所以即，因此，所求拋物線有兩條，它們的標(biāo)準(zhǔn)方程是，【總結(jié)升華】拋物線的焦點(diǎn)軸有四種情況，因此在討論拋物線方程時要注意它的不同位置，恰當(dāng)?shù)脑O(shè)出方程是解決問題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式1】若拋物線通過直線與圓x2y26x0的兩個交點(diǎn)，且以坐標(biāo)軸為對稱軸，求該拋物線的方程【答案】由得，或，根據(jù)題意可設(shè)拋物線的方程為x22my(m&

6、gt;0)或y22px(p>0)，則在拋物線上，m，p，方程為或【變式2】已知定點(diǎn)F(0,2)，若動點(diǎn)M(x，y)滿足|MF|y2，則點(diǎn)M的軌跡方程為_【答案】由已知得點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)M到直線y2的距離，故點(diǎn)M的軌跡方程為x28y.類型二：直線與拋物線的位置關(guān)系例2過定點(diǎn)P(0,2)作直線l，使l與拋物線y24x有且只有一個公共點(diǎn)，這樣的直線l共有_條【答案】3【解析】如圖，過點(diǎn)P與拋物線y24x僅有一個公共點(diǎn)的直線有三條：二條切線、一條與x軸平行的直線【總結(jié)升華】直線與拋物線只有一個公共點(diǎn)時要考慮相交于一點(diǎn)的情況，不要漏掉.舉一反三：【變式】已知F是拋物線y2x的焦點(diǎn)，A，B是該

7、拋物線上的兩點(diǎn)，|AF|BF|3，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為_【答案】|AF|BF|xAxB3，xAxB.線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為.類型三：拋物線的弦例3.斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，與拋物線相交于點(diǎn)A、B，求線段A、B的長【解析】如圖831，y2=4x的焦點(diǎn)為F (1，0)，則l的方程為y=x1由消去y得x26x+1=0設(shè)A (x1，y1)，B (x2，y2) 則x1+x2=6又A、B兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，則【總結(jié)升華】拋物線的定義本身也是拋物線最本質(zhì)的性質(zhì)，在解題中起到至關(guān)重要的作用。舉一反三：【變式】頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸的拋物線截直線y2x1所得的弦長|AB|，求

8、拋物線的方程【答案】y220x或y212x.例4.若直線l：ykx2交拋物線y28x于A、B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為M(2，y0)，求y0及弦AB的長【解析】把ykx2代入y28x，得k2x2(4k8)x40.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)AB中點(diǎn)M(2，y0)，x1x24，即4，解得k2或k1.又16k264k6416k2>0，k>1，k2，此時直線方程為y2x2，M(2，y0)在直線上，y02，|AB|.【總結(jié)升華】拋物線弦的中點(diǎn)坐標(biāo)和方程的兩根之和的密切聯(lián)系是解決中點(diǎn)弦問題的關(guān)鍵，方程的思想也是解析幾何的核心思想.舉一反三：【變式】過拋物線y24x的焦點(diǎn)作直線l交拋物線于A

9、、B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則|AB|等于_【答案】8【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為x1，則AB中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3(1)4.由拋物線的定義得|AB|8.類型四：拋物線的綜合問題例5.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于P(x1，y1)、Q(x2，y2)兩點(diǎn)，求證：；【解析】證明：由拋物線的方程可得焦點(diǎn)的坐標(biāo)為。（1）當(dāng)直線PQ斜率存在時，過焦點(diǎn)的直線方程可設(shè)為，由消去x得：ky22pykp2=0 （）當(dāng)k=0時，方程（）只有一解，k0，由韋達(dá)定理得：y1·y2=p2。當(dāng)直線PQ斜率不存在時，得兩交點(diǎn)坐標(biāo)為，y1·y2=p2。綜上兩種情況：

10、總有y1y2=p2?！究偨Y(jié)升華】韋達(dá)定理在解決拋物線綜合問題中有著非常重要的作用，注意它的合理應(yīng)用.舉一反三：【變式1】定長為3的線段AB的兩個端點(diǎn)在拋物線y2=x上移動，AB的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離，并求此時點(diǎn)M的坐標(biāo)【答案】如圖，設(shè)A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 則x=, y=,又設(shè)點(diǎn)A，B，M在準(zhǔn)線:x=1/4上的射影分別為A/,B/,M/, MM/與y軸的交點(diǎn)為N，則|AF|=|AA/|=x1+,|BF|=|BB/|=x2+,x=(x1+x2)=(|AF|+|BF|)³(|AB|)=等號在直線AB過焦點(diǎn)時成立，此時直線AB的方程為y=k(x)由得16k2x28(k2+2)x+k2=0依題意|AB|=|x1x2|=×=3,k2=1/2, 此時x=(x1+x2)=y= ±即M(,), N(,)【變式2】已知點(diǎn)P是拋物