數(shù)學(xué)北師大版選修11 22 拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)二 作業(yè)1

1、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.過(guò)點(diǎn)(1，0)且與拋物線y2x有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有()A1條 B2條C3條 D4條解析：選C.點(diǎn)(1，0)在拋物線y2x的外部，過(guò)此點(diǎn)與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有三條其中兩條切線，一條相交直線(平行x軸)2.過(guò)拋物線yx2上的點(diǎn)M(，)的切線的傾斜角是()A30° B45°C60° D90°解析：選B.由題意可設(shè)切線方程為yk(x)，代入yx2，化簡(jiǎn)得4x24kx2k10，由16k216(2k1)0，得k1，切線的傾斜角為45°.3.拋物線yax21與直線yx相切，則a等于()A. B.C. D1解析：選B.由消去y整理得ax

2、2x10，由題意a0，(1)24a0.a.4.拋物線yx2上一點(diǎn)到直線2xy40的距離最小的點(diǎn)的坐標(biāo)是()A(，) B(1，1)C(，) D(2，4)解析：選B.令yx2的切線方程為2xyc0，代入yx2整理得x22xc0.由(2)24c0，c1，x1，y1.切點(diǎn)(1，1)到直線2xy40的距離最小5.已知直線yk(x2)(k>0)與拋物線C：y28x相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)若|FA|2|FB|，則k()A. BC. D.解析：選D.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0，由得k2x2(4k28)x4k20，x1x2

3、4，|FA|x1x12，|FB|x2x22，且|FA|2|FB|，x12x22.由得x21，B(1，2)，代入yk(x2)，得k.故選D.6.拋物線yx2上的點(diǎn)到直線4x3y80距離的最小值是_解析：設(shè)切線為4x3yC0，代入yx2整理得3x24xC0，由(4)212C0得，C，故最小距離為.答案：7.設(shè)已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F(1，0)，直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)若AB的中點(diǎn)為(2，2)，則直線l的方程為_(kāi)解析：由題意知C的方程為y24x，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y4x1，y4x2，兩式作差，(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，kAB1，又直線l過(guò)(2

4、，2)，故l的方程為yx.答案：yx8.將兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y22px(p>0)上，另一個(gè)頂點(diǎn)是此拋物線焦點(diǎn)的正三角形的個(gè)數(shù)記為n，則n_解析：根據(jù)拋物線對(duì)稱性知正三角形的一邊平行于y軸，又過(guò)焦點(diǎn)與x軸的夾角為30°的直線有兩條，故符合題意的正三角形有兩個(gè)答案：29.已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸的拋物線截直線yx所得的弦長(zhǎng)|P1P2|4，求此拋物線的方程解：設(shè)拋物線方程為y22px(p>0)，把直線方程與拋物線方程聯(lián)立得消元得x2(32p)x0，判別式(32p)294p212p>0，解得p>0或p<3(舍)，設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，

5、則中由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2(32p)，x1·x2，代入弦長(zhǎng)公式得·4，解得p1或p4(舍)，把p1代入拋物線方程y22px(p>0)中，得y22x.綜上，所求拋物線方程為y22x.10.A、B為拋物線y22px(p>0)上兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，若OAOB，求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，OAOBx1x2y1y20，A，B在拋物線上yy4p2x1x2，lAB：yy1(xx1)，yy1(x)，y·xy1·x(x2p)，直線AB過(guò)定點(diǎn)(2p，0)能力提升1.已知拋物線y22px(p>0)與圓(xa)2y2r2(a

6、>0)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則()Arap BrapCr<ap Dr<ap解析：選B.當(dāng)r<a時(shí)，根據(jù)圓與拋物線的對(duì)稱性可知，圓(xa)2y2r2(a>0)與拋物線y22px(p>0)要么沒(méi)有交點(diǎn)，要么交于兩點(diǎn)或四點(diǎn)，與題意不符；當(dāng)r>a時(shí)，易知圓與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，與題意不符；當(dāng)ra時(shí)，圓與拋物線交于原點(diǎn)，要使圓與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，必須使方程(xa)22pxr2(x0)有且僅有一個(gè)解x0，可得ap.故選B.2.已知直線ya交拋物線yx2于A，B兩點(diǎn)，若該拋物線上存在點(diǎn)C，使得ACB為直角，則a的取值范圍為_(kāi)解析：設(shè)C(x，x2)，由題意可取A(

7、，a)，B(，a)，則(x，ax2)，(x，ax2)，由于ACB，所以·(x)(x)(ax2)20，整理得x4(12a)x2a2a0，即y2(12a)ya2a0，所以解得a1.答案：1，)3.已知過(guò)點(diǎn)A(4，0)的動(dòng)直線l與拋物線G：x22py(p>0)相交于B，C兩點(diǎn)，當(dāng)直線l的斜率是時(shí)，4.(1)求拋物線G的方程；(2)設(shè)線段BC的中垂線在y軸上的截距為b，求b的取值范圍解：(1)設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，當(dāng)直線l的斜率是時(shí)，l的方程為y(x4)，即x2y4，由得2y2(8p)y80，又4，y24y1，由這三個(gè)表達(dá)式及p>0得y11，y24，p2，則拋物線

8、的方程為x24y.(2)由題意可設(shè)l：yk(x4)，BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)由得x24kx16k0，x02k，y0k(x04)2k24k，線段BC的中垂線方程為y2k24k(x2k)，線段BC的中垂線在y軸上的截距為：b2k24k22(k1)2，由16k264k>0得k>0或k<4.b(2，)4已知拋物線C的頂點(diǎn)為O(0，0)，焦點(diǎn)為F(0，1)(1)求拋物線C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)F作直線交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，若直線AO，BO分別交直線l：yx2于M，N兩點(diǎn)， 求|MN|的最小值. 解：(1)由題意可設(shè)拋物線C的方程為x22py(p>0)，則1，所以拋物線C的方程為x24y.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為ykx1.由消去y，整理得x24kx40，所以x1x