《信息光學(xué)》第四章透鏡的位相調(diào)制和

1、本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容1、透鏡的位相調(diào)制作用2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)3、光學(xué)頻譜分析系統(tǒng)0 0、序、序 言言透鏡是一種非常重要的光學(xué)元件，其主要功能包括：成像和傅里葉變換。1）透鏡的成像功能ff2）透鏡的傅里葉變換功能 （夫瑯和費(fèi)衍射）f Question:Question: 透鏡為什么具有這樣的功能？透鏡為什么具有這樣的功能？1 1、透鏡的位相調(diào)制作用、透鏡的位相調(diào)制作用1.1 1.1 透鏡對(duì)入射波前的作用透鏡對(duì)入射波前的作用透鏡的復(fù)振幅透過率：,llUx ytx yU x y在旁軸近似下，忽略透鏡對(duì)光波振幅的影響，緊靠透鏡前后的平面上產(chǎn)生的復(fù)振幅分布為2200,expexp2lkUx y

2、Ajkdjxyd22,expexp2liikUx yAjkdjxyd1 1、透鏡的位相調(diào)制作用、透鏡的位相調(diào)制作用則透鏡復(fù)振幅透過率表示為：則透鏡復(fù)振幅透過率表示為：220011expexp2iikjk ddjxydd222200expexp2,expexp2iilllkAjkdjxydUx ytx yUx ykAjkdjxyd( (常數(shù)項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)) )( (調(diào)制項(xiàng)調(diào)制項(xiàng)) )對(duì)于常數(shù)項(xiàng)，它改變的是光波整體的位相分布，并不影響平面上位相的相對(duì)空間分布，分析時(shí)可忽略掉。對(duì)于調(diào)制項(xiàng)，它改變了平面上位相的相對(duì)空間分布，能把發(fā)散球面波變換為會(huì)聚球面波。根據(jù)幾何光學(xué)中介紹的透鏡成像公式0111iddf(

3、( 為透鏡的焦距為透鏡的焦距) )2222011expexp22ikkjxyjxyddf1 1、透鏡的位相調(diào)制作用、透鏡的位相調(diào)制作用因此，透鏡的位相調(diào)制因子：因此，透鏡的位相調(diào)制因子：220,expexp,2llilUx yktx yjk ddjxyUx yfAnswer:Answer: 透鏡本身的厚度變化，使得入射光波在通過透鏡的不同部位時(shí)，經(jīng)過的光程差不同，即所受時(shí)間延遲不同，從而使得光波的等相位面發(fā)生彎曲。等相位面結(jié)論結(jié)論：通過上面的分析可知，透鏡對(duì)透射的光波具有位相調(diào)制的功能。但是，透鏡為什么會(huì)具有這種能力呢？1 1、透鏡的位相調(diào)制作用、透鏡的位相調(diào)制作用1.2 1.2 透鏡的厚度函

4、數(shù)透鏡的厚度函數(shù)主要考慮薄透鏡的情況主要考慮薄透鏡的情況 ( (忽略了折射效應(yīng)忽略了折射效應(yīng)) )如果進(jìn)一步忽略光在透鏡表面的反射以及透鏡內(nèi)部吸收造成的損耗，認(rèn)為通過透鏡的光波振幅分布不發(fā)生變化，只是產(chǎn)生一個(gè)大小正比于透鏡各點(diǎn)厚度的位相變化，于是透鏡的位相調(diào)制可以表示為：,exp,exp,ltx yjkx yjkL x yL(x,y)L(x,y) 00,1,L x ynx yx ynx y L(x,y)是Q到Q之間的光程：則則 0,expexp1,ltx yjkjk nx y上式具有普遍意義，對(duì)于任意面形的薄位相物體，一旦知道其厚度函數(shù)上式具有普遍意義，對(duì)于任意面形的薄位相物體，一旦知道其厚度

5、函數(shù)(x,y)(x,y)，就可以根據(jù)該式得到其位相調(diào)制。就可以根據(jù)該式得到其位相調(diào)制。1 1、透鏡的位相調(diào)制作用、透鏡的位相調(diào)制作用下面具體分析一下厚度函數(shù)(x,y)和透鏡主要結(jié)構(gòu)參數(shù)(構(gòu)成透鏡的兩個(gè)球面的曲率半徑R1和R2)之間的關(guān)系。2222221122222222112112xyxyRRxyxyRR 222221011101121222222022202222,11,11xyx yRRxyRRxyx yRRxyRR 僅考慮旁軸光僅考慮旁軸光2201211,2xyx yRR 將透鏡一剖為二將透鏡一剖為二12,x yx yx y 1 1、透鏡的位相調(diào)制作用、透鏡的位相調(diào)制作用1.3 1.3

6、透鏡的復(fù)振幅透過率透鏡的復(fù)振幅透過率根據(jù)厚度函數(shù)的表達(dá)式，可得到在旁軸近似下，光波通過透鏡時(shí)在(x,y)點(diǎn)發(fā)生的位相延遲 0,expexp1,ltx yjkjk nx y2201211,expexp12lxytx yjknjk nRR2201211,2xyx yRR 121111nfRR220,expexp2lktx yjknjxyf常數(shù)項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)透鏡位相因子透鏡位相因子(n(n為透鏡材料的折射率為透鏡材料的折射率) )1 1、透鏡的位相調(diào)制作用、透鏡的位相調(diào)制作用以上推導(dǎo)的關(guān)系適用于各種形式的薄透鏡，而且是在旁軸近似條件下推導(dǎo)出來的。透鏡的作用： 將入射平面波入射平面波變換為會(huì)聚（發(fā)散）球面波

7、會(huì)聚（發(fā)散）球面波 ，如下圖所示。入射平面波變換為球面波，這正是由于透鏡具有 的位 相因子，能夠?qū)θ肷洳ㄇ笆┘游幌嗾{(diào)制的結(jié)果。22exp2kjxyf1 1、透鏡的位相調(diào)制作用、透鏡的位相調(diào)制作用22exp2kjxyf1）若在非旁軸近似條件下，即使透鏡表面是理想球面，透射光波也將偏離理想球面波，即透鏡產(chǎn)生波像差。2）實(shí)際透鏡總是有大小的，即存在一個(gè)有限大小的孔徑。引入光瞳函數(shù)P(x,y)來表示透鏡的有限孔徑，即1,0P x y透鏡孔徑內(nèi)其他于是透鏡的復(fù)振幅透過率可以完整的表示為：22,exp,2lktx yjxyP x yf,P x y其中，表示透鏡對(duì)入射波前的位相調(diào)制；表示透鏡對(duì)于入射波前大小

8、范圍的限制。2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì) 回顧一下：利用透鏡實(shí)現(xiàn)夫瑯和費(fèi)衍射，可以在透鏡的焦平面上得到入射場(chǎng)的空間頻譜，即實(shí)現(xiàn)傅里葉變換的運(yùn)算。f 透鏡為什么具有這種功能呢？* * * * 根本原因在于它具有能對(duì)入射波前施加位相調(diào)制的功能，或者說是透鏡的根本原因在于它具有能對(duì)入射波前施加位相調(diào)制的功能，或者說是透鏡的二次位相因子在起作用。二次位相因子在起作用。 下面將具體分析一下這種作用發(fā)生的具體過程，并深入討論透鏡實(shí)現(xiàn)傅里葉變換的一些性質(zhì)。2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)U0UlU2dft(x0,y0)Uf 透鏡后焦面上的場(chǎng)是透鏡前端場(chǎng)U1(x,y)的

9、傅立葉變換(空間頻譜) 根據(jù)透鏡的位相調(diào)制功能，透鏡后端場(chǎng)U2(x,y)為:2221,exp2kUx yUx yjxyf從透鏡后端到后焦面光的傳播屬于菲涅耳衍射，利用菲涅耳衍射公式，后焦面上的場(chǎng)U(x,y)為：221,expexp2fffffkUxyjkfjxyjff2222,expexp2ffkUx yjxyjxxyydxdyff ?2.1 2.1 物體放置在透鏡前物體放置在透鏡前d d處處2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)后焦面上的場(chǎng)分布為22112,expexp,exp2fffffffkUxyjkfjxyUx yjxxyydxdyjfff 221,1expexp,2ffx

10、xxyffffffkjkfjxyUx yjffF焦面場(chǎng)是透鏡前端場(chǎng)的傅里葉變換焦面場(chǎng)是透鏡前端場(chǎng)的傅里葉變換( (空間頻譜空間頻譜) )。如上圖所示，距離透鏡前端有一物體，其透過率為t(x0,y0)。若用振幅為A的平面波垂直照明物體，則物體的透射光場(chǎng)為：00000,UxyA t xy根據(jù)角譜理論，透鏡前端場(chǎng)的角譜為：根據(jù)角譜理論，透鏡前端場(chǎng)的角譜為：1000,xyUx yUxyHffFF22,expxyxyH ffjd ff則有：則有：2200,expexp,2fffffxyAkUxyjkfjxyt xyH ffj ffF2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì) 上式具有普遍意義，它

11、證明在物體透射場(chǎng)的菲涅耳衍射區(qū)內(nèi)放置一透鏡，在透鏡的后焦面上就可以得到該透射場(chǎng)的傅里葉變換(空間頻譜)。 如果d0，物體在透鏡前方，由于變換式前的二次位相因子，使物體的頻譜產(chǎn)生一個(gè)位相彎曲。2222000,expexpexp,2fffffxyAkUxyjkfjxyjdffUxyjffF22exp1,2ffffxyAkdjxyTjfffff 其中，T( )為透過率函數(shù)t( )的頻譜。對(duì)應(yīng)的強(qiáng)度分布為22,fffffxyAIxyTfff（二次位相彎曲因子）（二次位相彎曲因子）2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì) 如果d=f，物體在透鏡前焦面，二次位相彎曲消失，后焦面的光場(chǎng)分布是物體準(zhǔn)

12、確的傅里葉變換。 如果d=0，物體在透鏡前端面，由于變換式前的二次位相因子，使物體的頻譜也產(chǎn)生一個(gè)位相彎曲。2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)222,exp,2fffffffxyAfkUxyjxyTj dddd2.2 2.2 物體放置在透鏡后方物體放置在透鏡后方沿光波傳播方向逐面進(jìn)行計(jì)算，最終可獲得透鏡后焦面上的場(chǎng)分布為222,fffffxyAfIxyTddd對(duì)應(yīng)的強(qiáng)度分布為2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)總結(jié)一下： 在單色平面波照明下，無論物體位于透鏡前方、后方還是緊靠透鏡，在透鏡的后焦面上都可以得到物體的功率譜；對(duì)于這樣的照明方式，透鏡后焦面常稱為傅里葉變

13、換平面或（空間）頻譜面。 如果采用球面波照明時(shí)，透鏡還能進(jìn)行傅里葉變化嗎？那頻譜面還是焦平面嗎? Answer:Answer: 透鏡還能其傅里葉變換作用，但是頻譜面不再是焦平面，而是點(diǎn)光源的像面位置。具體推導(dǎo)過程可參考有關(guān)參考書，這里不再贅述。2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)2.3 2.3 透鏡孔徑的影響透鏡孔徑的影響引入光瞳函數(shù)P(x,y)來表示透鏡的有限孔徑，1,0P x y透鏡孔徑內(nèi)其他透鏡的復(fù)振幅透過率可以表示為：22,exp,2lktx yjxyP x yf則后焦面上的光場(chǎng)分布為：22,exp,*,2fffffffffxyxyAkUxyjxyTPjffffff,ff

14、xyP x yPffF其中，2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì),xP x yrectl卷積的效果是使物體頻譜圖象產(chǎn)生某種程度的模糊，或者說失真。透鏡孔徑越小，這種模糊越嚴(yán)重。假定透鏡孔徑是寬度為的矩形函數(shù)，即下圖是物體頻譜與光瞳函數(shù)傅里葉變換卷積的結(jié)果。2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)222,exp,*,2fffffffffxyxyAfkUxyjxyTPj dddddd220000000,exp,2ffAfkffUxyjxyt xyP xydddd 物體放置在透鏡后方時(shí)物體放置在透鏡后方時(shí)物體的透射光場(chǎng)為00,ffxyffPP xyddddF焦平面上的復(fù)振幅分

15、布為其中，* 若物體被完全照明，則投影光瞳函數(shù)可從式中略去；否則，后焦面上的場(chǎng)分布只是部分物體的傅里葉變換，此時(shí)頻譜圖像產(chǎn)生模糊。（投影光瞳函數(shù)）（投影光瞳函數(shù)）2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì) 物體放置在透鏡前方時(shí)物體放置在透鏡前方時(shí)以 波矢量在y0z平面內(nèi)傳播的平面波分量受透鏡孔徑限制的情況來說明對(duì)于譜面光場(chǎng)的影響。（1）002lLd0部分的空間頻率將全部成像在焦平面上2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)0M部分的空間頻率將部分成像在焦平面上（2）02MlLd2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)02MlLdM部分的空間頻率都不能成像在焦平面上。

16、（3）2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)總結(jié)一下：總結(jié)一下：（1）有限大小的透鏡孔徑可能會(huì)造成物體頻譜的失真有限大小的透鏡孔徑可能會(huì)造成物體頻譜的失真，原因就在于透鏡實(shí)際上 是一個(gè)低通濾波器：低頻成分可以通過，稍高頻率成分可以部分通過，高 頻部分則完全被濾出。（2）因此由于透鏡有限孔徑的影響，后焦面上不能得到準(zhǔn)確的物體頻譜，給傅 里葉變換結(jié)果帶來誤差，頻率越高，誤差越大。我們把這種現(xiàn)象稱為漸暈漸暈 效應(yīng)效應(yīng)。（3）采用盡可能大的透鏡孔徑，或物體盡可能靠近透鏡，可以減小漸暈的影響。3 3、光學(xué)頻譜分析系統(tǒng)、光學(xué)頻譜分析系統(tǒng)光學(xué)頻譜分析的基本原理就是利用透鏡的傅里葉變換性質(zhì)來產(chǎn)生物體的空間頻譜，然后對(duì)它進(jìn)行測(cè)量、分析來研究物體的空間結(jié)構(gòu)。上圖所示為二維光學(xué)頻譜分析系統(tǒng)的光路。S為相干點(diǎn)光源，L1為準(zhǔn)直透鏡，L2為傅里葉變換透鏡。P1平面（L2前焦面）放置輸入物體，其復(fù)振幅透過率為t(x1,y1)。在P2平面（L2后焦面）上，輸出光場(chǎng)分布正比于物體的空間頻譜，即 22112121112,expU xykt x yjx xy ydx dyf 22,xykTff3 3、光學(xué)頻譜分析系統(tǒng)、光學(xué)頻譜分析系統(tǒng)強(qiáng)度記錄得到物體的功率譜為 222222,xyI xyk Tff光學(xué)頻譜分析可用于微小物體的