2018版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第四章三角函數(shù)解三角形4.7解三角形的綜合應(yīng)用理

1、第四章三角函數(shù)、解三角形4.7解三角形的綜合應(yīng)用理基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)EI知識(shí)梳理i.仰角和俯角與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角,目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角（如圖）.2 .方向角相對(duì)于某正方向的水平角，如南偏東30°,北偏西45°等.3 .方位角指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為“（如圖）.【知識(shí)拓展】1 .三角形的面積公式：a+b+cS=7ppap-bpc（p=-2），S=ObC=rp（R為三角形外接圓半徑，r為三角形內(nèi)切圓半徑，p=a+b+C）.4R22 .坡度（又稱坡比）：坡面的垂直高度與水平長(zhǎng)度之

2、比.【思考辨析】判斷下列結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打或“X”）（1）從A處望B處的仰角為a,從B處望A處的俯角為3,則a,3的關(guān)系為a+3=180°.（x）.、.一.TT（2）俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為0,-2.（X）（3）方位角與方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系.（V），一一兀（4）萬(wàn)位角大小的范圍是0,2兀），萬(wàn)向角大小的范圍一般是0,萬(wàn)）.（V）考點(diǎn)自測(cè)1.（教材改編）如圖所示，設(shè)A,B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)C,測(cè)出AC的距離為50m,/ACB=45。，/CAB=105。后，就可以計(jì)算出A,B兩點(diǎn)的距離為（）A.

3、50 2 mC. 25 2 m答案 AB. 50 3 mD.* mAB解析由正弦定理得s-77cb=AC又B=30°,ACSin/ACB50”（AB=sinB=丁=50"22.若點(diǎn)A在點(diǎn)C的北偏東30°,點(diǎn)B在點(diǎn)C的南偏東60°,且AC=BC則點(diǎn)A在點(diǎn)8的（）A.北偏東15°B.北偏西15C.北偏東10°D.北偏西10答案B解析如圖所示，/ACB=90。，A又AC=BC./CBA=45,而3=30,.a=90°-45°-30°=15°,，點(diǎn)A在點(diǎn)B的北偏西15°.3.（教材改編）海面上

4、有A,B,C三個(gè)燈塔，AB=10nmile,從A望C和B成60°視角，從B望C和A成75。視角，則BC等于（）A.103nmileC.52nmile答案D10. 6B. -3 n mileD. 5.J6 n mile解析如圖，在ABCNAB=10,A=60°,B=75°,BC10-sin60°=sin45°'BC=5.16.4.如圖所示，DC,B三點(diǎn)在地面的同一直線上，DC=a,從C,D兩點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角分別為60。，30。，則A點(diǎn)離地面的高度AB=.答案"23a1解析由已知得/DAC=30°,ADC為等腰三角形，A

5、D=Sa,又在RtADB中，AB=2AD=鼻2a.5.在一次抗洪搶險(xiǎn)中，某救生艇發(fā)動(dòng)機(jī)突然發(fā)生故障停止轉(zhuǎn)動(dòng)，失去動(dòng)力的救生艇在洪水中漂行，此時(shí)，風(fēng)向是北偏東30°,風(fēng)速是20km/h;水的流向是正東，流速是20km/h,若不考慮其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向?yàn)楸逼珫|,速度的大小為km/h.答案60°203解析如圖，/AOB= 60° ,由余弦定理知 OC= 202+ 202800cos 120=1 200 ,故 OC= 2073, / COY=30° +30° =60°題型分類深度剖析題型一求距離、高度問(wèn)題例1(1)如圖，從

6、氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為75。，30。，此時(shí)氣球的高AD是60 m,則河流的寬度 BC等于(A.240(世1)mB.180(72-1)mC.120(/1)mD.30(-73+1)m(2)(2016三明模擬)在200m高的山頂上，測(cè)得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30°,60°,則塔高是m.“»400答案(1)C(2)-3解析(1)如圖，在 ACD,/CAD=90°-30°=60°,AD=60項(xiàng)所以CD=AD-tan60°=60，3(m).在AB計(jì)，/BAD=90°75=15所以BD=AD-ta

7、n15°=60(243)(m).所以BC=CD-BD=604360(243)=120(3-1)(m).(2)如圖，設(shè)塔AB高為h,在RtACDEJ43,CD=200m,ZBCD=90°-60°=30°,200BC= cos 304003-3-(m)3在AB/,/ABU/BCD=30,ZACB=60°30°=30°,，/BAC=120.在abc43,由正弦定理得BC ABsin 120 ° = sin 30AB=BC- sin 30 sin 120 °400=石(m) -思維升華求距離、高度問(wèn)題應(yīng)注意(1)

8、理解俯角、仰角的概念，它們都是視線與水平線的夾角；理解方向角的概念.(2)選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，要首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解.(3)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理.跟蹤訓(xùn)練1(1)一船以每小時(shí)15km的速度向東航行，船在A處看到一個(gè)燈塔B在北偏東60。，行駛4h后，船到達(dá)C處，看到這個(gè)燈塔在北偏東15。，這時(shí)船與燈塔的距離為km.(2)如圖所示，為測(cè)一樹的高度，在地面上選取AB兩點(diǎn)，從AB兩點(diǎn)分別測(cè)得樹尖的仰角為30°,45°,且A,B兩點(diǎn)間的距離為60m,則樹的高度為

9、m.答案(1)30/(2)30+303解析(1)如圖，由題意，/BAC=30°,/ACB=105B=45°,AC=60km,由正弦定理bc sin 30AC sin 45BC=302km.(2)在PAB中，/PAB=30,/APB=15,AB=60,sin 15=sin(45 ° 30° ) =sin 45 ° cos 30 ° cos 45 ° sin 301X-=2，6一,24，PB由正弦定理得sin-30-ABsin 15 °，12X60PB=；j6z2=30(南+的,4，樹的高度為 PB-sin 45=30

10、(#+的x'30°、相距20海里的C處的乙cos 0的值為船，現(xiàn)乙船朝北偏東 0=(30+30#)(m).題型二求角度問(wèn)題例2如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營(yíng)救.信息中心立即把消息告知在其南偏西解析在ABC43,AB=40,AC=20,ZBAC=120,由余弦定理得bC=aB+aC2ABAC-cos120=2800?BC=20/由正弦定理，得ABBCsin / ACB sin / BAC?sin/ACB=,sin/BAC=-p-.BC7由/BAC=120。，知/AC助銳角，則cos/ACB=手.,2114由0=/AC

11、BF30°,得cos0=cos(/ACB-30°)=cos/ACBos30°sinZACfsin30思維升華解決測(cè)量角度問(wèn)題的注意事項(xiàng):(1)首先應(yīng)明確方位角或方向角的含義;這是最關(guān)鍵、最重要的一步;(2)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖,(3)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問(wèn)題后，注意正弦、余弦定理的“聯(lián)袂”使用.跟蹤訓(xùn)練2如圖，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點(diǎn)A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練.已知點(diǎn)A到墻面的距離為AB,某目標(biāo)點(diǎn)P沿墻面上的射線CM移動(dòng)，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)P,需計(jì)算由點(diǎn)A觀察點(diǎn)P的仰角0的大小.若AB=15m,AC=25m,Z

12、BCIM=30°,則tan0的最大值是(仰角0為直線AP與平面ABO成角).答案5939解析如圖，過(guò)點(diǎn)P作POLBC于點(diǎn)Q連接AO則/PA仔0.設(shè)CO= x m,則OP=梳 m.在RtAABC,AB=15m,AC=25m,所以BC=20m.所以cos/BCA=4AO=2 c CL 4625 + x 2X25xX- 55所以=W40x+625(m).所以tan當(dāng)”即x=。時(shí)，tan0取得最大值為=-p.x54395xcos x+2y3cos 2xy3題型三三角形與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題例3(2016長(zhǎng)春質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=2sin求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間;(2)已知 AB

13、C勺三個(gè)內(nèi)角 A, B, C的對(duì)邊分別為 A叱a, b, c,其中a=7,若銳角A滿足f(2-6)=/3,且sinB+sinC=133,求bc的值.14解(1)f(x)=2sinxcosx+2審cos2x#=sin2x+cos2x=2sin(2X+1)wxwk兀 +7|, kCZ,因此f(x)的最小正周期為T=2y=兀.由2k兀+xx十三&2k兀+-(keZ)得k兀232即f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為k兀+12' k7t十幕(k(EZ),A兀(2)由 f(2一言)=2加2(A 兀 兀2-與)+彳=2sin A= 33,又A為銳角，則A=千,3由正弦定理可得2R=sin AsinB+

14、 sinC=b+ c 13v3 RR= 14貝U b+c=134314V3= 13,由余弦定理可知，b2 c2 a cos A=2bc2 b+ c2-2bc-a2 12bc 2'可求得bc=40.思維升華三角形與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題，要借助三角函數(shù)性質(zhì)的整體代換思想，數(shù)形結(jié)合思想，還要結(jié)合三角形中角的范圍，充分利用正弦定理、余弦定理解題.跟蹤訓(xùn)練a設(shè)f(x)=sinxcosx-cos2|x+-4.(2)在銳角 ABC4角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c.若 f：；= 0, a=1,求ABC® 積的(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;1 + cos 12x+- 2最大值.sin2

15、x解(i)由題息知f(x)=-2sin2x1sin2x.1=-2-2=sin2x2.,兀兀,1兀兀由一2-+2k%<2x<+2kti,kCZ,可得一了十k兀wxw了+k兀，kCZ；由，-+2k%<2x<32L+2kTt,keZ,可得A+ku<x<341+ku,kCZ.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是I4+kTt,了+kTt(kCZ)；單調(diào)遞減區(qū)間是|；+k兀，3+k兀l(kCZ).1441A11(2)由f!=sinA-2=0,得sinA=2,由題意知A為銳角，所以cosA=33由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,可得1+3bc=b2+c2R2bc,即bc

16、w2+43,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立.12+J3因此12bcsinA<一屋1.所以ABC面積的最大值為噌.思想與方法系列10.函數(shù)思想在解三角形中的應(yīng)用典例(12分)某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上.在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30。且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過(guò)t小時(shí)與輪船相遇.(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)假設(shè)小艇的最高航彳T速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得

17、小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說(shuō)明理由.思想方法指導(dǎo)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，可以設(shè)出第三邊，利用余弦定理列方程求解；對(duì)于三角形中的最值問(wèn)題，可建立函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題解決.規(guī)范解答解(1)設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為S海里，則1分S=M900t2+400230t90”一30,=、900t2600t+400=tg2+300.3分故當(dāng)t=1時(shí)，&=10/，v=邛3=30m.36分即小艇以30。3海里/小時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最小.(2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇.貝Uv2t2=400+900t222030tcos(90°30°),8分故v2=90

18、0 一竿+竿.,0<v<30,.900600+轡w900,即，23"解得t>2.tttt3又t=1時(shí)，v=30,故v=30時(shí)，t取得最小值，且最小值等于2.3此時(shí)，在OA沖，有OA=OB=AB=20.11分故可設(shè)計(jì)航行方案如下:航行方向?yàn)楸逼珫|30°,航行速度為30海里/小時(shí).12分課時(shí)作業(yè)1.一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°,在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65。，那么B,C兩點(diǎn)間的距離是（）A.10小海里C.20小海里

19、答案AB. 10平海里D. 20娘海里解析如圖所示，易知,在ABC4AC 2"sin 60 ° sin 45 ° ' . AC= 2/ x=乖. 一船向正北航行，看見正西方向相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見一燈塔在船的南偏西60。，另一燈塔在船的南偏西 75。，則這艘船的速度是每小時(shí)（）A. 5海里B. 5小海里C. 10海里D, 10<3海里答案 C解析 如圖所示，依題意有/ BAC= 60° , / BA氏75° ,所以/ CAD= / CDA= 15 ,從而 CD= CA= 10,AB=20

20、,/CAB=30,/ACB=45根據(jù)正弦定理得BC ABsin 30 ° sin 45解得BC=102.2.在相距2km的AB兩點(diǎn)處測(cè)量目標(biāo)點(diǎn)C,若/CA975。，/CBX60。，則A,C兩點(diǎn)之間的距離為（）B. 2 kmD. 2 kmA.6kmC.3km答案A解析如圖，在ABC43,由已知可得/ACB=45°,在RtAABC,得AB=5,5于是這艘船的速度是5y=10（海里/%.4.如圖，兩座相距60m的建筑物ABCD的高度分別為20日50m,BD為水平面，則從建筑B. 45°D. 75°物AB的頂端A看建筑物CD的張角為（）A.30°C.6

21、0°答案B解析依題意可得AD=20710,AC=30，5,又CD=50,所以在ACDKaCaDcD由余弦定理得cosZCAD=An2AC.AD釉52+/G10250260002X30 75X20 班6 000 2-又0</CAK180,所以/CAD=45,所以從頂端A看建筑物CD勺張角為45。.5 .如圖所示，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D,測(cè)得/ BCD= 15 , / BDC= 30 , CD= 30,并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為60。，則塔高 AB等于（）A. 5 6C. 5 2答案 D1B.D.5 .35 .6解析 在 BCDK / C

22、BD= 180。15°-30° =135°由正弦定理得BCsin 3030 sin 135所以BC=152.在RtAABC,AB=BGan/AC&15淄x淄=15m.故選D.6 .一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)大噴水柱，為了測(cè)量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A測(cè)得水柱頂端的仰角為45°,沿點(diǎn)A向北偏東300前進(jìn)100m到達(dá)點(diǎn)B在B點(diǎn)測(cè)得水柱頂端的仰角為30。，則水柱的高度是（）A.50mB.100mC.120mD.150m答案A解析設(shè)水柱高度是hm,水柱底端為C,在RtABCE,/CBD=30°,BO>/3h.在A

23、BC中，ZA=60°,AC=h,AB=100,根據(jù)余弦定理得，(3h)2=h2+10022 - h 100 cos 60,即h2+50h5000=0,即(h50)(h+100)=0,即h=50,故水柱的高度是50m.7 .江岸邊有一炮臺(tái)高30m,江中有兩條船，船與炮臺(tái)底部在同一水平面上，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45。和60。，而且兩條船與炮臺(tái)底部連線成30°角，則兩條船相距m.答案 10 .3解析如圖，OIM= AOan 45=30 (m),ON= AOan 30號(hào)X30= 1073 (m), 3在MONK由余弦定理得,MN=900+3002X30X1073x23=V300

24、=10V3(m)8 .如圖，一艘船上午9:30在A處測(cè)得燈塔S在它的北偏東30。處，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10:00到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得燈塔S在它的北偏東75。處，且與它相距修nmile.此船的航速是nmile/h.北I i答案32解析設(shè)航速為vnmile/h4q1在MBS中,AB=v,BS=8中,/BSA=45由正弦定理得8/ sin 3012vsin 459.如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120。的扇形AOBC是該小區(qū)的一個(gè)出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD已知某人從O沿ODt到D用了2分鐘，從D沿DC走到C用了3分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑

25、為米.答案5017解析如圖，連接OC在OC珅，OD=100,CD=150,/CD660°由余弦定理得OC=1002+15022X100X150Xcos60°=17500,解得OC=5077.*10.在RtAABO,C=90°,A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足a+b=cx,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.答案(1,*解析*=小=sinMsnB=sinA+cosAcsinC=山sin?+4.又AeJ0,-2-sin4-<sinsin2，即xC(1,22.11 .要測(cè)量電視塔AB的高度，在C點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是45。，在D點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是30°,并測(cè)得水平面上的/BC9120°,CD-40m,求電視塔的高度.解如圖，設(shè)電視塔AB高為xm,則在RtABC中，由/ACB=45°,得BOx.在RtAADE,/ADB=30,貝UBA3x.在BDCK由余弦定理得，bD=bC+cD2BCCD-cos120,即（小x）2=x2+4022x40cos120°,解得x=40,所以電視塔高為40m.12 .（2015天津）在ABC4內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為