直線的交點坐標(biāo)與距離公式-習(xí)題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上直線的交點坐標(biāo)與距離公式 習(xí)題（含答案） 一、單選題1已知x,y滿足y-20,x+y-80x-20時, z=ax+byab>0的最大值為2,則直線ax+by-1=0過定點（ ）A 3,1 B -1,3 C 1,3 D -3,12橢圓上的點到直線x+2y-2=0的最大距離為( )A 3 B 11 C 22 D 103數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱為歐拉線已知ABC的頂點A2,0,B0,4，若其歐拉線的方程為x-y+2=0，則頂點C的坐標(biāo)為（ ）A -4,0 B -3,-1 C -5,0 D -4,-24若點(2

2、，k)到直線5x-12y+6=0的距離是4，則k的值是( )A 1 B -3 C 1或53 D -3或1735已知直線x+my+6=0和(m-2)x+3y+2m=0互相平行，則實數(shù)m的取值為（ ）A 1或3 B 1 C 3 D 1或36在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，若點A(1,2,1)，B(-3,-1,4)，點C是點A關(guān)于xOy平面的對稱點，則|BC|=A 22 B 26 C 42 D 527已知直線(a-1)x+3y+7=0與直線2x+y-3=0互相平行，則a=（ ）A 6 B 7 C 8 D 98已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2

3、，以線段F1F2為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限的交點為P，且P滿足|PF1|-|PF2|=2b，則C的離心率e滿足（ ）A e2-3e+1=0 B e4-3e2+1=0 C e2-e-1=0 D e4-e2-1=09已知點P(m,n)在直線2x+y+1=0上運動，則m2+n2的最小值為（ ）A 55 B 5 C 15 D 5二、填空題10已知直線m的傾斜角為3，直線l：kx-y=0，若l/m，則實數(shù)k的值為_11經(jīng)過點且與直線垂直的直線方程為_12設(shè)P(n,n2)是函數(shù)y=x2圖象上的動點，當(dāng)點P到直線y=x-1的距離最小時，n=_.13與直線3x+4y=5平行，并且距離等于3的直線方程

4、是_14已知直線a+3x+y-4=0和直線x+a-1y+4=0互相垂直，則實數(shù)a的值為_；15直線2x-y-1=0與直線6x-3y+10=0的距離是_16已知直線l1:ax-2y-1=0 ，直線l2: 3x+y-2=0，則l1過定點_ ；當(dāng)a=_時，l1與l2平行17已知實數(shù)x1,x2,y1,y2滿足x12+y12=1,x22+y22=1,x1x2+y1y2=12，則x1+y1-12+x2+y2-12的最大值為_18點(-1,1)關(guān)于直線x-y-1=0的對稱點是_.三、解答題19如圖：已知A,B是圓x2+y2=4與x軸的交點，P為直線l:x=4上的動點，PA,PB與圓的另一個交點分別為M,N.

5、（1）若P點坐標(biāo)為(4,6)，求直線MN的方程；（2）求證：直線MN過定點.20已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F(xiàn)1、F2是其左右焦點，A1、A2為其左右頂點，B1、B2為其上下頂點，若B1F2O=6，|F1A1|=2-3(1)求橢圓C的方程；(2)過A1、A2分別作x軸的垂線l1、l2，橢圓C的一條切線l:y=kx+m(k0)，l與l1、l2交于M、N二點，求證：MF1N=MF2N21已知ABC的三個頂點A(m,n)，B(2,1)，C(-2,3)()求BC邊所在直線方程；()BC邊上中線AD的方程為2x-3y+6=0，且SABC=7，求m，n的值22光線通過點A

6、(2,3)，在直線l:x+y+1=0上反射，反射光線經(jīng)過點B(1,1).(1)求點A(2,3)關(guān)于直線l對稱點的坐標(biāo)；(2)求反射光線所在直線的一般式方程23已知直線； （1）若，求的值（2）若，且他們的距離為，求的值24選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講 在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1:x=2+7cosy=7sin(為參數(shù)).以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為=8cos,直線l的極坐標(biāo)方程為=3(R).() 求曲線C1的極坐標(biāo)方程與直線l的直角坐標(biāo)方程；() 若直線l與C1,C2在第一象限分別交于A,B兩點,P為C2上的動點,求PAB面積的最大值.25如圖，在平

7、面直角坐標(biāo)系xOy中，圓O：x2+y2=4與x軸的正半軸交于點A，以點A為圓心的圓A：x-22+y2=r2r>0與圓O交于B，C兩點.（1）當(dāng)r=2時，求BC的長；（2）當(dāng)r變化時，求AB·AC的最小值；（3）過點P6,0的直線l與圓A切于點D，與圓O分別交于點E，F(xiàn)，若點E是DF的中點，試求直線l的方程. 26已知直線經(jīng)過點，且斜率為（1）求直線的方程（2）求與直線平行，且過點的直線方程（3）求與直線垂直，且過點的直線方程27如圖，已知三角形的頂點為A(2,4)，B(0，2)，C(2,3)，求：(1)直線AB的方程；(2)AB邊上的高所在直線的方程；(3)AB的中位線所在的直

8、線方程專心-專注-專業(yè)參考答案1A【解析】分析：由約束條件作出可行域，得到使目標(biāo)函數(shù)取得最大值的最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得到a，b 的關(guān)系，再代入直線ax+by-1=0由直線系方程得答案詳解：由z=ax+by(ab>0)，得y=-abx+zb-ab-1，畫出可行域，如圖所示，數(shù)學(xué)結(jié)合可知在點B6,2處取得最大值，6a+2b=2，即： 3a+b=1，直線ax+by-1=0過定點3,1.故選A.點睛：本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬中檔題2D【解析】橢圓方程為x216+y24=1,可設(shè)橢圓上的任意一點P坐標(biāo)為4cos,2sin,

9、P到直線x+2y-2=0的距離d=4cos+2×2sin-212×22=42sin+4-25，-4242sin+442, 042sin+4-2510,d的最大值為10，故選D.3A【解析】【分析】設(shè)出點C的坐標(biāo)，由重心坐標(biāo)公式求得重心，代入歐拉線得一方程，求出AB的垂直平分線，和歐拉線方程聯(lián)立求得三角形的外心，由外心到兩個頂點的距離相等得另一方程，兩方程聯(lián)立求得點C的坐標(biāo)【詳解】設(shè)C（m，n），由重心坐標(biāo)公式得，三角形ABC的重心為2+m3,4+n3代入歐拉線方程得：2+m3-4+n3+2=0整理得：m-n+4=0 AB的中點為（1，2），kAB=4-00-2=-2 AB的

10、中垂線方程為y-2=12x-1，即x-2y+3=0聯(lián)立x-2y+3=0x-y+2=0 解得x=-1y=1ABC的外心為（-1，1）則（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8  聯(lián)立得：m=-4，n=0或m=0，n=4當(dāng)m=0，n=4時B，C重合，舍去頂點C的坐標(biāo)是（-4，0）故選A【點睛】本題考查了直線方程，求直線方程的一般方法：直接法：根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，直接求出直線方程待定系數(shù)法： 先設(shè)出直線的方程，再根據(jù)已知條件求出假設(shè)系數(shù)，最后代入直線方程，待定系數(shù)法常適用于斜截式，已知兩點坐標(biāo)等4D【解析】【分析】由題得|2

11、5;5-12k+6|52+(-12)2=4，解方程即得k的值.【詳解】由題得|2×5-12k+6|52+(-12)2=4，解方程即得k=-3或173.故答案為：D【點睛】(1)本題主要考查點到直線的距離公式，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平和計算推理能力.(2) 點P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離d=Ax0+By0+CA2+B2.5B【解析】【分析】利用兩直線平行的等價條件求得實數(shù)m的值.【詳解】兩條直線x+my+6=0和（m2）x+3y+2m=0互相平行，1×3-mm2=02m-6（m2）0解得 m=1，故選：B【點睛】已知兩直線的一般方程判定兩直線平行或

12、垂直時，記住以下結(jié)論，可避免討論：已知l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0，則l1/l2A1B2-A2B1=0A1C2-A2C10，l1l2A1A2+B1B2=0 6D【解析】【分析】由對稱性先求點C的坐標(biāo)為1,2,-1，再根據(jù)空間中兩點之間距離公式計算|BC|。【詳解】由對稱性可知，點C的坐標(biāo)為1,2,-1，結(jié)合空間中兩點之間距離公式可得：BC=-3-12+-1-22+4+12=52.故選D.【點睛】本題考查了空間中對稱點的坐標(biāo)關(guān)系及兩點間距離公式，屬于基礎(chǔ)題。7B【解析】【分析】根據(jù)它們的斜率相等，可得a-13=2，解方程求a的值【詳解】直線(a-1)x+3y+7

13、=0與直線2x+y-3=0互相平行，它們的斜率相等，a-13=2，a=7，故選B.【點睛】本題考查兩直線平行的性質(zhì)，兩直線平行可得斜率相等8D【解析】分析：聯(lián)立圓與漸近線方程，求得M的坐標(biāo)，由PF1-PF2=2b，得點P在雙曲線右支上，代入雙曲線方程化簡即可求詳解：由y=baxx2+y2=c2，得x2=a2y2=b2，即Pa,b， 由PF1-PF2=2b，即(a+c)2+b2-(a-c)2+b2=2b， 由b2=a2-c2，e=ca ，化簡得c4-a2c2-a4=0，即e4-e2-1=0，故選D.點睛：本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，點到直線的距離公式，考查計算能力，屬于中檔題9C【解析】分析：

14、m2+n2的幾何意義為直線上的點到原點距離的平方，由點到直線的距離公式可得結(jié)果.詳解：點Pm,n是直線2x+y+1=0上的任意一點，又m2+n2的幾何意義為直線上的點到原點距離的平方，m2+n2的最小值為原點到直線距離的平方，所求最小值為122+122=15，故選C.點睛：本題考查點到直線的距離公式，意在考查轉(zhuǎn)化與劃歸思想，是基礎(chǔ)題.103.【解析】分析：根據(jù)兩直線平行的等價條件可得斜率k的值詳解：直線m的傾斜角為3，直線m的斜率為tan3=3.又l/m，k=3點睛：本題考查兩直線平行的性質(zhì)，即兩直線的斜率存在時，則兩直線平行等價于兩直線的斜率相等11【解析】設(shè)所求直線為，代入得，故所求直線方

15、程為，填1212【解析】【分析】由點到直線的距離公式求得n為何值時，距離最小【詳解】P(n,n2)是函數(shù)y=x2圖象上的動點，則點P到直線y=x-1的距離為d=|n-n2-1|2=|(n-12)2+34|2， 當(dāng)n=12時，d取得最小值故答案為：12【點睛】本題考查了點到直線的距離公式應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題133x+4y+10=0或3x+4y-20=0.【解析】分析：設(shè)所求直線為3x+4y+m=0，直線3x+4y=5即為3x+4y5=0，運用兩平行直線的距離公式，得到m的方程計算即可得到所求方程詳解：設(shè)所求直線為3x+4y+m=0，直線3x+4y=5即為3x+4y5=0，則由平行直線的距離公式可得

16、d=|m+5|5=3 ，解得m=10或20則有所求直線為3x+4y+10=0，或3x+4y20=0故答案為：3x+4y+10=0，或3x+4y20=0點睛：這個題目考查的是平行線間的距離公式，考查了學(xué)生計算能力，較為基礎(chǔ)，在使用兩平行線的距離公式前，先將x,y的系數(shù)化為一樣的.14-1【解析】【分析】利用直線垂直的性質(zhì)求解【詳解】直線a+3x+y-4=0和直線x+a-1y+4=0互相垂直，（a+3）×1+1×（a-1）=0，解得a=-1故答案為：-1【點睛】兩直線位置關(guān)系的判斷： l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的平行和垂直的條件屬于?？碱}型，

17、如果只從斜率角度考慮很容易出錯，屬于易錯題題型，應(yīng)熟記結(jié)論：垂直： A1A2+B1B2=0；平行： A1B2=A2B1，同時還需要保證兩條直線不能重合，需要檢驗！1513155【解析】分析：把直線方程2x-y-1=0化為6x-3y-3=0，利用兩平行線之間的距離公式，即可求解結(jié)果詳解：由直線2x-y-1=0，可化為6x-3y-3=0，則直線6x-3y-3=0和直線6x-3y+10=0之間的距離d=-3-662+(-3)2=13155點睛：本題主要考查了兩平行線之間的距離的求解，其中熟記兩平行線之間的距離公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了學(xué)生的推理與運算能力16 (0,-12) -23【解析】分析：將

18、直線l1的方程變形為ax-(2y+1)=0，令x=0且2y+1=0可得定點坐標(biāo)；根據(jù)兩直線平行的等價條件可得a的值詳解：直線l1的方程變形為ax-(2y+1)=0，令x=02y+1=0，解得x=0y=-12，所以直線l1過定點(0,-12)當(dāng)l1與l2平行時，則有a3=-2，解得a=-23，即a=-23時，l1與l2平行點睛：直線過定點的問題實質(zhì)上是恒成立的問題，判斷直線過定點時，先把直線方程整理成fx,y+kgx,y=0（k為參數(shù)）的形式，解方程組fx,y=0gx,y=0可得定點的坐標(biāo)173+2【解析】【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為圓上兩個點到定直線距離和的最大值問題。根據(jù)兩個點形成的夾角為60&

19、#176;，即可求得最大值?！驹斀狻坑深}意可設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2 因為x1x2+y1y2=12，即OAOB=12 ，因為r=1，設(shè)OA與OB形成夾角為，所以O(shè)AOB=OAOBcos=12，即=3x1+y1-12+x2+y2-12即為A、B到直線l:x+y-1=0 距離的和易知當(dāng)ABl時，A、B到直線l:x+y-1=0 距離的和取得最大值此時原點O到AB的距離為d=12-122=32 O到直線l的距離為d=12-222=22所以A與B到直線l的距離和為2×32+22=3+2【點睛】本題考查了點與圓、點與直線的綜合問題，關(guān)鍵分析出兩個點的位置關(guān)系，在哪個位置時取得距離的最大值，屬

20、于難題。182,-2【解析】【分析】利用對稱軸的性質(zhì)布列方程組，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)點M（1，1）關(guān)于直線l：xy1=0對稱的點N的坐標(biāo)（x，y） 則MN中點的坐標(biāo)為（x-12，y+12），利用對稱的性質(zhì)得：KMN=y-1x+1=1，且 x-12y+121=0，解得：x=2，y=2，點N的坐標(biāo)（2，2），故答案為（2，2）【點睛】本題考查求點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)的方法，利用垂直關(guān)系、中點在軸上兩個條件以及待定系數(shù)法求對稱點的坐標(biāo)19(1) y=-2x+2(2)(1,0)【解析】【分析】（1）直線PA方程為y=x+2，由 y=x+2x2+y2=4解得M（0，2），直線PB的方程 y=3x-

21、6，由y=3x-6x2+y2=4解得 N(85,-65)，用兩點式求得MN的方程（2）設(shè)P（4，t），則直線直線PA的方程為y=t6(x+2),直線PB的方程為y=t2(x-2) ，解方程組求得M、N的坐標(biāo)，從而得到MN的方程為y=8t12-t2x-8t12-t2，顯然過定點（1，0）【詳解】(1)直線PA方程為y=x+2 , 由y=x+2x2+y2=4解得M(0,2), 直線PB的方程y=3x-6 ,由y=3x-6x2+y2=4解得N(85,-65), 所以MN的方程y=-2x+2 (2)設(shè)p(4,t),則直線PA的方程為y=t6(x+2),直線PB的方程為y=t2(x-2) x2+y2=4

22、y=t6(x+2)得M(72-2t236+t2,24t36+t2),同理N(2t2-84+t2,-8t4+t2) 直線MN的斜率k=24t36+t2-8t4+t272-2t236+t2-2t2-84+t2=8t12-t2 直線MN的方程為y=8t12-t2(x-2t2-84+t2)-8t4+t2, 化簡得:y=8t12-t2x-8t12-t2 所以直線MN過定點(1,0)【點睛】本題主要考查直線過定點問題，求直線的方程，求兩條直線的交點坐標(biāo)，屬于中檔題20（1）x24+y2=1；（2）見解析【解析】【分析】(1)解方程組c=32aa-c=2-3a2=b2+c2即得橢圓的方程.(2)先證明kMF

23、1kNF1=-2k+m-2+32k+m2+3=m2-4k2-1=-1，所以MF1N=2，同理可得MF2N=2，所以 MF1N=MF2N.【詳解】(1)由題設(shè)知c=32aa-c=2-3a2=b2+c2解得a=2，b=1，c=3橢圓C的方程為x24+y2=1 (2)由題設(shè)知，l1:x=-2，l2:x=2 l與C的方程聯(lián)立消y得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0“*” l與C相切 “*”的=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)=0 得m2-4k2=1l與l1、l2聯(lián)立得M(-2，-2k+m)，N(2，2k+m)又F1(-3，0)、F2(3，0) kMF1kNF1=-2k+m-2

24、+32k+m2+3=m2-4k2-1=-1 MF1NF1，即MF1N=2 同理可得MF2N=2 MF1N=MF2N【點睛】(1)本題主要考查橢圓方程的求法，考查直線橢圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理計算能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是證明kMF1kNF1=-2k+m-2+32k+m2+3=m2-4k2-1=-1，所以MF1N=2.21()x+2y-4=0；()m=3，n=4或m=-3，n=0.【解析】【分析】()由斜率公式可得kBC=-12，結(jié)合點斜式方程整理計算可得BC邊所在直線方程為x+2y-4=0.()由題意可得|BC|=25，則ABC的BC邊上的高h(yuǎn)=75，據(jù)此由點

25、到直線距離公式和直線方程得到關(guān)于m,n的方程組，求解方程組可得m=3，n=4或m=-3，n=0.【詳解】()B(2，1)，C(-2,3)kBC=3-1-2-2=-12，可得直線BC方程為y-3=-12(x+2)，化簡，得BC邊所在直線方程為x+2y-4=0.()由題意，得|BC|=(2+2)2+(1-3)2=25，SABC=12|BC|h=7，解之得h=75，由點到直線的距離公式，得|m+2n-4|1+4=75，化簡得m+2n=11或m+2n=-3，2m-3n+6=0m+2n=11或2m-3n+6=0m+2n=-3.解得m=3，n=4或m=-3，n=0.【點睛】本題主要考查直線方程的求解，點到

26、直線距離公式的應(yīng)用，方程的數(shù)學(xué)思想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.22（1）(-4,-3)；（2）4x-5y+1=0?！窘馕觥俊痉治觥?1)根據(jù)對稱點與A連線垂直直線l ，以及對稱點與A 中點在直線l 上列方程組解得結(jié)果，(2)根據(jù)對稱性得反射光線所在直線經(jīng)過A的對稱點A0(-4,-3)和B(1,1)，再根據(jù)點斜式求直線方程.【詳解】（）設(shè)點A(2，3)關(guān)于直線l的對稱點為A0(x0,y0)，則&&y0-3x0-2=12+x02+3+y02+1=0 解得x0=-4,y0=-3，即點A(2，3)關(guān)于直線l的對稱點為A0(-4,-3) （）由于反射光線所在直線經(jīng)過點A

27、0(-4,-3)和B(1,1)，所以反射光線所在直線的方程為y-1=45(x-1)即4x-5y+1=0.【點睛】本題考查點關(guān)于直線對稱點問題，考查基本求解能力.23（1）；（2）， 或【解析】試題分析：（1）因為兩條直線是相互垂直的，故，解得；（2）因為兩條直線是相互平行的，故，解得解析：設(shè)直線的斜率分別為，則、（1）若，則，（2）若，則，可以化簡為，與的距離為，或 24（1）y=3x（2）2+3【解析】【分析】()先求出曲線C1的普通方程,再把普通方程化為極坐標(biāo)方程.再寫出直線的直角坐標(biāo)方程.( )先求出AB=2-1=1,再求出以AB為底邊的PAB的高的最大值為4+23, 再求PAB面積的最

28、大值.【詳解】()依題意得,曲線C1的普通方程為x-22+y2=7,曲線C1的極坐標(biāo)方程為2-4cos-3=0,直線l的直角坐標(biāo)方程為y=3x ()曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x-42+y2=16,設(shè)A1,3,B2,3,則12-41cos3-3=0,即12-21-3=0,得1=3或1=-1(舍),2=8cos3=4,則AB=2-1=1, C24,0到l的距離為d=434=23,以AB為底邊的PAB的高的最大值為4+23, 則PAB的面積的最大值為12×1×4+23=2+3【點睛】(1)本題主要考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化，考查直線和圓的位置關(guān)系，考查面積的最值的

29、求法，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.（2）本題的解題的關(guān)鍵是求出AB=2-1=1.25（1）7（2）-2（3）x±3y-6=0【解析】分析：（1）根據(jù)半徑，得到圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程；因為B、C是兩個圓的交點，聯(lián)立兩個圓可得到兩個交點坐標(biāo)，利用兩點間距離公式即可求得BC的長。（2）根據(jù)圓A關(guān)于x軸對稱，可設(shè)B（x0,y0)、C（x0,-y0)，代入到圓O中，用y0表示x0；根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，得到ABAC=2(x0-1)2-2，根據(jù)x0的取值范圍即可得到ABAC的最小值。（3）取EF的中點G，連結(jié)OG、AD、OF，可知ADP 與OGP 相似，根據(jù)中點性質(zhì)和勾股定理，在RtOFG和RtADP中，聯(lián)立方程求得r的值；設(shè)出直線方程，根據(jù)點到直線距離公式即可求出直線方程。詳解：（1）當(dāng)r=2 時，由x2+y2=4x-22+y2=2 得，B32,72, C32,-72, BC=7 （2）由對稱性，設(shè)B（x0,y0