矩陣論清華版習(xí)題解答

1、習(xí)題 .解：因為(a ),1.(a ) = (a,a ) - 4(b ,a )(a, b ) + 4(b ,a )2 (b , b ) = (a,a )所以是正交變換.證：設(shè)1，2 是兩個正交變換，對任a ÎV ，則有2.2 (a )=1 (2 (a )=2 (a )=a ,1而又因為有a =(a ) ，-111 (a ) = -11故2 及-1 均為正交變換.11éa11a1n ùúL3. 證：設(shè)正交矩陣 A = ê M規(guī)定M,êêëan1úann úûL(e1 ) = a11e1

2、+ a21e 2 + L + an1e n(e 2 ) = a12e1 + a22e 2 + L + an2e nM(e n ) = a1ne1 + a2ne 2 + L+ anne nA 所決定的惟一變換.下面指出則指出(是是正交變換.實際上只需為( e n )是標(biāo)準(zhǔn)正交( e 1),( e i ),( e 2 ),( e j )當(dāng)i = j時= ì1= (a e+ L + a e , a e + L + a e ) = a a+ L + a aí1i 1ni n1 j 1nj n1i 1 jni njî0當(dāng)i ¹ j時1故是由 A 所決定的惟一的正交

3、變換.4. 證：必要性.由于(a )(a )(a )()=(),()(a,a ) - (b ,a ) - (a, b ) + (b , b )= (a - b ,a - b ) = a - b充分性.令=，有是正交變換.(a ) = a ，即保持長度不變，所以5. 證：由(a ),()= (a , )(a ),(a )=(a ,a )(),()= (, )(得(a, b ).cos a, b = (a ),()(a ) () = cos(a ),()但是，數(shù)乘變換（或相似變換）也保持任兩向量夾角不變，所以條件不充分.6. 證：將 u ,u ,L,u 擴充成 n 維歐氏空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基n12m2

4、a×bu ,L,u ,L,u ，同理將 v ，v ，v 擴充成n 的另一組標(biāo)準(zhǔn)正交基12m1mnv1，vm，vn.設(shè)éu1 ùév1 ùê Mú = Aê M úêúêúêëvn úûêëun úû則以v1 ,L,vn 為基底，A 為系數(shù)矩陣所決定的線性變換是正交變換，且有(vi ) = ui(i = 1,2,L, n) .7. 證： 取e = y ，將它擴大為中的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基：e ,

5、e ,L,e ，n112n則(e1 ) = e1 - 2(e1 , e1 )e1 = -e1 = -1e1 + 0e2 + L + 0en(ei ) = ei - 2(ei , e1 )e1 = ei = 0e1 + L + ei + L + 0en(i = 2,L, n)所以把一組標(biāo)準(zhǔn)正交基仍變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)正交基，從而是正交變換，它在基e1,e2 ,L,en 下的矩陣是-1 0M001M0LL00M1L顯然行列式為 ，所以是第二類的正交變換.8. 證：（1）因為(a,a ) = (b , b ) = 1,a - b ¹ q ，所以h = a - b是a - b向量.令(x ) = x -

6、 2(x ,h)h 則是一個鏡面反射，且有(a ) = a - 2(a,h)h = a - 2(a, a - b) × a - b3a - ba - b2=a -(a ,a - b )(a - b )2a - b2(a,a) - 2(a, b ) + (b , b )(a,a) - (a, b )(a - b )=a -11 - (a, b )1 - (a, b )(a - b ) = b=a -即有(a ) = b .（2）設(shè)e1,e 2 ,L,e n ，則標(biāo)準(zhǔn)正交基.為中任一正交變換，取的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基nn(e1 ) = h1,(e 2 ) = h2 ,(e n ) = hn 也

7、是n 的一組如果h1 = e1,h2 = e 2 ,L,hn = e n ，則1 (a ) = a - 2(a, e1 )e1 ，則有1 (e1 ) = -e1，就是恒等變換.此時，作鏡面反射1 (e j ) = e j , ( j = 2,3,L, n) ，于是此時顯然有=1 .1如果e1,L,e n與h1,L,hn 不全相同，設(shè)e1 ¹ h1 則由于e1,h1 是兩個不同的向量，由（1）知，存在鏡面反射1 ，使1 (e1 ) = h1 .令=1，結(jié)論1 (e j ) = x j ( j = 2,3,L, n) ，如果x j = h j , j = 2,3,L, n ，則成立.否則

8、可設(shè)x 2 ¹ h2 ，再作鏡面反射2：(a) = a - 2(a,h)h,h = x 2- h22于是2 (x 2 ) = h2 ，且可驗算有2 (h1 ) = h1 .如此繼續(xù)下去，設(shè)經(jīng) s 次正交變換e1 , e 2 ,Le n , ¾¾®h1,x 2 ,L,x n ¾¾®¾¾®h1,h2 ,x3, L,x n ®L®h1,h2 ,L,hn4x 2 - h2則有換s -1 1 ，其中i 都是鏡面反射，即正交變=s2可表為鏡面反射的乘積.9. 證明提示：若，為兩個相同的向

9、量（包括零向量），結(jié)論顯然成立.如果是兩個不同的非零向量，則先將，同時化為向量b= aa 'b '=,a再利用第 8 題(1)的結(jié)果即可得證.10. 證：因為是正交變換，所以 A 可逆，由(e1 ),(e 2 ), ,(e n ) = (e1 , e2 ,L, en ) A知(e 2 ), ,(e n )也是是正交變換，即有(的一組基，它的度量矩陣為(e 1 ),nATGA；再由(e j ) = (ei , e j ) ，這表明(e i ),基(e n )的度量矩陣也是 G，則有 ATGA=G.(e1 ),(e 2 ),3311. 解：令,得sinq =22 + 3213=R1

10、2010010005bé2ù13005ê3úê úê0ú從而有x' = R x =12ê5ú01001000ë û55再令又得sinq =,38213 + 52133800550100001038001338R=143故有1338005 5 380013380100011300538000= R x' =e'1148顯然e 與e 同方向'.11w = a - a e1= 1 12. 解：作向量-1,(2,0,1T)a -e1a6é 2

11、2311ù0ê 3úé3ù3ê 22 úê0ú= ê 3-ú ，3-3010則故得h = Ha = êúH = I.ê0úê0úê10023úúúûê0ú23êêë 3ë û-6éêê1 ùú3100010001ú11131313. 解 ：H = I

12、2uu T =2 ê-ú(,-,)êê3 ú3ú1êúëû3132231- 2323=-3132231- 2132231- 2323323100010001HH= I- -33故H -1= H.14. 解： 先證是線性變換.設(shè)a1,a 2 Î R , k , k Î R ，則有n12H ( k1a1 + k2a 2 ) =( k1a1 + k2a 2 ) - l(k1a1 + k2a 2 ,v )v= k1 a1 - l(a1 ,v )v + k2 a= k1 Ha1 + k

13、2 Ha 2是線性變換.又因為(Ha, Ha ) = (a - l故所以當(dāng) l = 0,l = 2 時，有(Ha , Ha ) = (a ,a )即是正交變換，它在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣H 便是正交矩陣.15. 解 ：設(shè)正交矩陣的第三行為(a,b, c, d ) ,它同時正交于前兩行，7又它本身是向量，即有a + b + c + d= 02222a + b + c - 5d= 06626a 2 + b2 + c2 + d 2 = 1令d = 0 解得 a =2 ,b = -2 , c = 0 和a = -2 ,b =2 ,c = 0 .這樣可得正2222交矩陣第三行為 ( 2 ,-2 ,0,0)

14、或(-2 ,2 ,0,0) .22222 ,32 ,-2 ,-2 ) 或(-2 ,-2 ,2 ,2 ) .同理，可求得第四行為 (3263326故兩個正交矩陣可以取(不惟一)：1216222312112120-212- 560-21216121121202212- 56026和.-22222322322-26316. 證：設(shè)a11LOLa1nM an-1,n annA =an-1,n-1因為=1，所以 a= ±1.又因為各行均與最后一行正交，故a2nnnna = 0(i = 1,L, n -1) ,由此得, 所以ai,n-1 = 0= 1= ±1 .a 2an-1,n-1n

15、-1,n-1in又因為各行與第n -1行正交，故由下往上逐行遞推，即得結(jié)果.,(i =1,L, n - 2).如此817. 證：因為( A + S)(A - S)-1 T = ( A - S)-1 T ( A + S)T = ( A - S)T -1 ( A - S) = ( A + S)-1( A - S) ,所以( A + S)(A - S)-1T ( A + S)(A - S)-1= ( A + S)-1( A - S)(A + S)(A - S)-1.又因為故有,所以 ( A - S)(A + S) = A2 - S 2 = ( A + S)(A - S) .AS = SA( A +

16、S)(A - S)-1T ( A + S)(A - S)-1 = ( A + S)-1( A + S)(A - S)(A - S)-1 = I即 (A+S)(A-S) -1 是正交矩陣.18. 證：= - A + B ，= - B 2 (B + A)TA + B=A(B-1 + A-1)B=+ ATA BTB= 0即有2 A + BA + B= 0.19. 證：必要性.因為 AT = A-1，所以( AT )T = ( A-1)T = ( AT )-1 .充分性.由( AT )T = ( AT )-1 ，知( AT )T = ( A-1)T , 故 A=A-1.20. 證：由AT=A-1 知(

17、 A* )T = ( AT )* = ( A-1)* = ( A* )-1 .21. 證：(P-1 AP)(P-1 AP)T = P-1 APPT AT (P-1 )T = PT AAT P = I .當(dāng) A 是正-1ù ，交陣，P 不是正交陣時，P-1AP 可以是正交陣，例如 A = éê-1úëûé 11 ùúP ¹ ê-1éù 是正交陣.2，顯然-1P AP =ê1 úê-1úëûê- 1&

18、#250;ë2 û922. 證：當(dāng) S 是對稱陣時，有( A-1SA)T = AT ST ( A-1)T = A-1SA ；當(dāng) S稱陣時，有( A-1SA)T = AT ST A = -( A-1SA) .是éa11La1n ù23. 證：設(shè) A = ê MM ú ,因為 A 為正交陣，所以êêëan1úann úûL= ì1,當(dāng)i =jnå ik jka aíî0,當(dāng)i ¹ jk =1nn用-1 乘第i 行，那么å

19、(-aikå ik= 1 ，第i 行與第 j 行（ i ¹j ）各對) =a22k =1k =1應(yīng)元素相乘的和為nnå(-aik )(a jk ) = -å aik a jk = 0k =1k =1所以 A 的第i 行（ i = 1,2,L, n) 乘-1 后仍為正交陣.同理可證 A 的第i 列（ i = 1,2,L, n) 各元素乘-1 后仍是正交陣.24. 證： 因為A = AT , AT = A-1, 所以 A = A-1 即； 又因為= IA2A = AT , A2 = I ，所以 AT A = A2 = I ，即 A 是正交陣；又因為 AT A

20、 = I , A2 = I ，所以 AT A = AA = I , 則 AT = A ，即 A 為對稱陣.25.證：因為 A 為正交矩陣，所以有有惟一解：.此時, 方程組A-1 = ATa11 a12Ma1na21 a22Ma2nLLLLan1 an2Mannb1 b2MbnX=AT b =10即有x1 = a11b1 + a21b2 +L+ an1bn x2 = a12b1 + a22b2 +L+ an2bnxn = a1nb1 + a2nb2 +L+ annbn.26. 證：設(shè)a11 a21 a31a12 a22 a32a13 a23 a33A =因為 A-1 = AT ，則A = 1，所

21、以A11 A12 A13A21 A22 A23A31 A32 A33a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33=故得a11 = A11 = a22 a33 - a23a32a21 = A21 = a13a32 - a12 a33.a31 = A31 = a12 a23 - a13a2227. 解：令 e1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0) ,補充0, 1) , 則e 3 = (0,e1,e 2 ,e3 是R 中的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.由于有311- 1322 ,- 1),22),3(e ) = ( , 3,(e ) = ( ,3,1233如果能求出z)

22、 ,使矩陣(e 3 ) = (x,y,2323x23- 1323z- 1A =3y成為正交矩陣，那么基像( e 3 )也是R 中的標(biāo)準(zhǔn)正3( e 1),( e 2 ),交基，從而就是所求的正交變換，它在基e1,e 2 ,e3 下的矩陣為 A .下面求正交矩陣的第三行：考慮到第三行與前二行均正交，又本身是向量，有2 x + 2 y - 1 z = 03332 x - 1 y + 2 z = 0333x2 + y2 + z 2 = 1解得 x = 1 , y = - 2 , z = - 2或 x = - 1 , y = 2 , z = 2,所以在基e ,e ,e123333333下的矩陣表示為22

23、31323- 1223- 1323- 2332323- 1或A =A =.32313328. 證：設(shè)V 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基為e , e ,L, e，正交變換在該的n12n基下的矩陣為 A，那么，A 為正交陣，也是實的正規(guī)矩陣.因為特征值都是實數(shù)，所以 A 的特征值也都是實數(shù).于是存在正交矩陣 Q，12使得= diag(l1 , l2 ,L, ln ) = L令（ e ,e ,L,e ) = (e , e ,L, e )Q ，則e ,e ,L,e 是V n 的標(biāo)準(zhǔn)正交基，且12n12n12n在該基下的矩陣為= L .29. 證 ：設(shè)是 Vn 的一個第二類正交變換，A 是在某組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的方陣，因

24、此 A 為正交陣，且= -1 .A令，于是 f (-1) =，但是由于 f (l) = lI - A(-1)I - A= (-1)nI + AAT A = I ，故(-1)n I + A = (-1)n，所以AT A + A = (-1)nA + IA = (-1)n+1 A + I= 0, f (-1) = 0 ，即-1 是的一個特征值.I + A30. 證：（1）設(shè) A 為正交矩陣，l0（復(fù)數(shù)）是它的任一特征值，X ¹ q是屬于l0 的復(fù)特征向量，即 AX有 X T AT = l X T ，于是 xT AT × AX0¹ 0 .兩端取轉(zhuǎn)置= l0 X , X

25、= (Tn )= l0 X× l x ，或即 X A AXTTT0= l0l0 X X ，T，但因 X ¹ 0 ，從而 X T X = 1 .¹ 0 ，所以X T2n= 1 ，即 l0l02（2）設(shè)x 為酉矩陣 U 關(guān)于特征值l 的特征向量，則Ux = lx ，兩端取共軛轉(zhuǎn)置x HU H = lx H ，所以x HU HUx = lx H lx ，即x Hx = (ll)x Hx ，由于x Hx = x 2 > 0 ，故ll = l 2 = 1，即 l= 1 .（3）設(shè) lI - A= 0 ，則A-1lI - A = lA-1 - I= lAT - I(lA

26、 - I )T= lA - I= 013A - 1 I1 I - A= 0 即 1 為 A 的特征值.因為l ¹ 0 ，所以= 0 或lll31. 證：設(shè)酉矩陣為 A，a 是模為的數(shù)，因 AAT = I ，于是i = j= ì1,nå ik jka aíî0, i ¹ jk =1用a 遍乘 A 的第 j 行得 A ，那么 A 的第i 行乘 A 的第i 列為T111nnnåaaikaaikk =1= a åaik aik = åaik aik= 1k =1k =1A 的第i 行乘 A 的第 j 列（ i &

27、#185; j ）得T11nnåaaikaa jk k =1= a åaik a jk k =1= 0A 的第 j 行乘 A 的第i 列（ j ¹i ）為T11nnåa jkaaik = a åa jk aik= 0k =1k =1A 的第 j 行（ j ¹ i ）乘 A 的第l 列（ l ¹ i ）得T11j = l= ì1,nå jk lka aíî0, j ¹ lk =1故 A AT = I,即 A 為酉矩陣.1 1132. 證：（a）設(shè)2 為酉矩陣(正交矩陣)，則有(

28、即H= IH ) ,T111= I (即HH )=T222(=-1 = ()-1)HH121214（或1 -1- =TTT)(QQQQ21212 1即2 也是也是酉矩陣(正交矩陣).(b) 設(shè)Q 為酉矩陣(正交矩陣)，則有, 故H=1-1 1=HHH(1（或)）(-1 1TTT=1即Q也是酉矩陣(正交矩陣).-1133. 證：設(shè)A 為酉矩陣，則(aA)(aA)H = a( AA)H a H = aa H ,即aA 2 = a 2 ，故 aA= a .反之，由 aA= a ，可得(aA)(aA)H = aa H ，于是a( AAH - I )a H= 0 .令B = AAH - I ，可得n f = aBa H = åb x x = 0ij iji, j =1取a 滿足條件: xi = 1, x j = 1，其它的 xk = 0 ,得bij = 0 .由于i, j 的任意性，故知B = (b )= 0 （零矩陣），所以有 AAH=I，即 A 為酉矩陣.ijé+BQBH BPPùHH= êú =