中國剩余定理問題的解題技巧#精選

1、【問題】有1個數(shù)，除以7余2.除以8余4,除以9余3,這個數(shù)至少是多少？這種問題稱為“中國剩余定理”問題。我一般用兩種方法解決這類問題。第一種是逐步滿足法，方法麻煩一點，但適合所有這類題目。第二種是最小共倍法，方法簡單，但只適合特殊類型的題目。還有“中國剩余定理”的方法，但它不完善且解法較為復雜，普及應(yīng)用有一定難度，還不穩(wěn)定。所以一般不用。下面分別介紹一下常用的兩種方法。通用的方法：逐步滿足法【問題】一個數(shù)，除以5余1，除以3余2。問這個數(shù)最小是多少？把除以5余1的數(shù)從小到大排列：1,6,11,16,21,26,然后從小到大找除以3余2的，發(fā)現(xiàn)最小的是11.所以11就是所求的數(shù)。先滿足一個條件

2、，再滿足另一個條件，所以稱之為“逐步滿足法”。好多數(shù)學題目都可以用逐步滿足的思想解決。特殊的方法：最小公倍法情況一【問題】一個數(shù)除以5余1，除以3也余1。問這個數(shù)最小是多少？（1除外）除以5余1：說明這個數(shù)減去1后是5的倍數(shù)。除以3余1：說明這個數(shù)減去1后也是3的倍數(shù)。所以，這個數(shù)減去1后是3和5的公倍數(shù)。要求最小，所以這個數(shù)減去1后就是3和5的最小公倍數(shù)。即這個數(shù)減去1后是15，所以這個數(shù)是151=16.情況二【問題】一個數(shù)除以5余4，除以3余2。問這個數(shù)最小是多少？這種情況也可以用特殊法。數(shù)除以5余4，說明這個數(shù)加上1后是5的倍數(shù)。數(shù)除以3余2，說明這個數(shù)加上1后也是3的倍數(shù)。所以，這個數(shù)

3、加上1后是3和5的公倍數(shù)。要求最小，所以這個數(shù)加上1后就是3和5的最小公倍數(shù)。即這個數(shù)加上1后是15，所以這個數(shù)是151=14.多個數(shù)的，比如3個數(shù)的，有時候其中兩個可以用特殊法，那就先用特殊法，用特殊法求出滿足兩個條件的數(shù)后再用通用的方法求滿足最后一個條件的數(shù)。所以有時候特殊法和通用法混合使用。在使用的過程中如果能靈活運用余數(shù)問題的技巧，會非常有利于解題。我們接下來分析最開始的那個問題。【問題】有1個數(shù)，除以7余2.除以8余4,除以9余3,這個數(shù)至少是多少？這道題目不能用特殊法，我們用通用法，解題過程中注意余數(shù)知識的運用。除以7余2的數(shù)可以寫成7n+2。7n2這樣的數(shù)除以8余4，由于2除以8余2，所以要求7n除以8余2。（余數(shù)知識）7n除以8余2，7除以8余7，要求n除以8余6（余數(shù)知識），則n最小取6。所以滿足“除以7余2，除以8余4”的最小的數(shù)是7X6+2=44.所有滿足“除以7余2，除以8余4”的數(shù)都可以寫成44+56Xmi（想想為什么？）要求44+56Xm除以9余3,由于44除以9余8,所以要求56Xm除以9余4。（余數(shù)知識）56Xm除以9余4,由于56除以9余2,所以要求m除以9余2（余數(shù)知識），則m最小取2。所以滿足