中考數(shù)學(xué)綜合題專題復(fù)習(xí)【直角三角形的邊角關(guān)系】專題解析

1、中考數(shù)學(xué)綜合題專題復(fù)習(xí)【直角三角形的邊角關(guān)系】專題解析一、直角三角形的邊角關(guān)系DCF1.如圖，山坡上有一棵樹AB,樹底部B點(diǎn)到山腳C點(diǎn)的距離BC為6J3米，山坡的坡角為30°.小寧在山腳的平地F處測(cè)量這棵機(jī)勺高，點(diǎn)C到測(cè)角儀EF的水平距離CF=1米,從E處測(cè)得樹頂部A的仰角為45°,樹底部B的仰角為20°,求樹AB的高度.(參考數(shù)值：sin20°=0,34:os20°=0.94tan20°=0.3.【答案】6.4米【解析】解：二,底部B點(diǎn)到山腳C點(diǎn)的距離BC為63米，山坡的坡角為30°.DC=BC?cos30°6a

2、/39米，2,.CF=1米, .DC=9+1=10米， .GE=10米， /AEG=45； .AG=EG=10米，在直角三角形BGF中,BG=GF?tan20°=10X0.36*6AB=AG-BG=10-3.6=6.4米,答：樹高約為6.4米首先在直角三角形BDC中求得DC的長(zhǎng)，然后求得DF的長(zhǎng)，進(jìn)而求得GF的長(zhǎng)，然后在直角三角形BGF中即可求得BG的長(zhǎng)，從而求得樹高2.如圖，在平行四邊形ABCD中，八工平分27MJ交"于點(diǎn)幺.平分乙歷。，交仞于點(diǎn)F,"E與"F交于點(diǎn)P,連接EF,刖.(1)求證：四邊形是菱形；若加=4/1D一上力"=6()1求

3、的值.【答案】(1)證明見解析【解析】試題分析：（1）根據(jù)AE平分/BACKBF平分/ABC及平行四邊形的性質(zhì)可得AF=AB=BE從而可知ABEF為平行四邊形，又鄰邊相等，可知為菱形（2）由菱形的性質(zhì)可知AP的長(zhǎng)及/PAF=60,過點(diǎn)P作PH，AD于H,即可得到PH、DH的長(zhǎng)，從而可求tan/ADP試題解析：（1）.AE平分/BADBF平分/ABC/BAE=ZEAF/ABF=ZEBF1.AD/BC/EAF=ZAEBZAFB=ZEBF/BAE=ZAEB/AFB=/ABF.AB=BEAB=AF.AF=AB=BE1.AD/BC.ABEF為平行四邊形又AB=BE.ABEF為菱形(2)作PH,AD于HP

4、H=/3,AH=1,DH=AD-AH=54、三角函數(shù)由/ABC=60而已(1)可知/PAF=60,PA=2,則有tanZADP=考點(diǎn)：1、平行四邊形；2、菱形；3、直角三角形;3.下圖是某兒童樂園為小朋友設(shè)計(jì)的滑梯平面圖.已知BC=4m,AB=6m,中間平臺(tái)寬度DE=1m,EN,DM,CB為三根垂直于AB的支柱，垂足分別為N,M,B,ZEAB=31°,DF±BC于點(diǎn)F,ZCDFN5：求DM和BC的水平距離BM的長(zhǎng)度.（結(jié)果精確到0.1m.參考數(shù)據(jù):sin31°逐,cos31.86,tan31.60）0【解析】試題分析：設(shè)DF=x,在RtDFC中，可得CF=DF=x

5、則BF=4-x,根據(jù)線段的和差可得AN=5-x,EN=DM=BF=4-*,在RANE中，/EAB=1=,利用/EAB的正切值解得x的值.試題解析：解：設(shè)DF=y,在R9DFC中，/CDF=5"，CF=tan45=DF=x,又CB=4,BF=4X,.AB=6,DE=1,BM=DF田，.AN=5K,EN=DM=BF=4-M,在RtANE中，/EAB=H：,EN=4X,AN=5*,EX4-xtan31：=0.60,a、5-工解得X=2.5,答：DM和BC的水平距離BM為2.5米.考點(diǎn)：解直角三角形.于另一點(diǎn)D,垂足為E.設(shè)P4.如圖，在。的內(nèi)接三角形ABC中，/ACB=90°,A

6、C=2BC,過C作AB的垂線l交。O上異于A,C的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線AP交l于點(diǎn)F,連接PC與PD,PD交AB于點(diǎn)G.(1)求證：PASPDF;rai?j(2)若AB=5,稗=加，求PD的長(zhǎng);AG試題分析：（1）應(yīng)用圓周角定理證明ZAPD-ZFPQ得到ZAPC=ZFPD,又由ZPAG=ZPDC,即可證明結(jié)論.=x,tan/AFD=y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.（不要求寫出【答案】（1）證明見解析;【解析】（3）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)x的取值范圍）1y-x；(3)（2）由AC=2BQ設(shè)=應(yīng)用勾股定理即可求得BC,AC的長(zhǎng)，則由AC=2BC#AC=2ay由ACa4ABC可求得AE,CE的長(zhǎng)，由鼎工國(guó)可知

7、4APB是等腰直角三角形，從而可求得PA的長(zhǎng)，由4AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4從而求得DF的長(zhǎng)，PAAC由（1）PAgPDF得PD萬(wàn)F,即可求得PD的長(zhǎng).AD=2（3）連接BP,BD,AD,根據(jù)圓的對(duì)稱性，可得DR,由角的轉(zhuǎn)換可得APAGAPDGADtanABP=y=_=”由AG24DGB可得DC/由AGNPGB可得Pfi,兩式相乘可得結(jié)果.試題解析：（1）由APCB內(nèi)接于圓0,得/FPG=/B,又./B=/AC曰90/BCE,/AC曰/APD,./APD=/FPC.ZAPD+ZDPC=ZFPC+ZDPC,即ZAPC=ZFPD.又./PAG=/PDC,.-.APACAPDF.(2)

8、連接BP,設(shè)PC二a,ZACB=90,.a2+(2tz)2=5L。=y15.BC=yj,ACAECEAC=_k-.ACEAABC,A(R，Afi,即2.ABXCD,=2如圖，連接BP,"一肝，.APB是等腰直角三角形.AEF是等腰直角三角形.二.EF=AE=4./巴PAAC2AB=5,=2V5ECE2/5寸55AE=CE=2ZPAB=45,'“DF=6.由(1)PAB/XPDF得廠”PD的長(zhǎng)為2.(3)如圖，連接BP,BD,AD.AC=2BC,根據(jù)圓的對(duì)稱性，,.ABXCD,BP±AE,./ABP二tanABP.tan/.AFD=yAGAP.AGPADGB,：n(i

9、Mrl,即'=*AD得AD=2DB,即=ZAFD.AP一|=vBP,.AGDPGB,DGAD前二而AGDGAPAD麗麗二麗麗AGAPAD=-,即BGPBDB.AG考點(diǎn)：1.單動(dòng)點(diǎn)問題；2.圓周角定理；3.相似三角形的判定和性質(zhì)；4.勾股定理；5.等腰直角三角形的判定和性質(zhì)；6.垂徑定理；7.銳角三角函數(shù)定義；8.由實(shí)際問題列函數(shù)關(guān)系式.5.如圖，AB是。的直徑，E是。上一點(diǎn)，C在AB的延長(zhǎng)線上，ADLCE交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,且AE平分/DAC.(1)求證：CD是。的切線；(2)若AB=6,/ABE=60°,求AD的長(zhǎng).【解析】【分析】(1)利用角平分線的性質(zhì)得到/OAE=/

10、DAE,再利用半徑相等得/AEO=/OAE,等量代換即可推出OE/AD,即可解題，(2)根據(jù)30°的三角函數(shù)值分別在RtAABE中，AE=ABcos30；在RtAADE中，AD=cos301AE可解題.【詳解】證明：如圖，連接OE, .AE平分/DAC,/OAE=/DAE. .OA=OE,/AEO=/OAE./AEO=/DAE. .OE/AD. .DCXAC, OEXDC. .CD是。O的切線.(2)解：.AB是直徑，/AEB=90；/ABE=60:eEEAB=30；在RtMBE中，AE=ABcos30°=6X3=3折2'在RtAADE中,/DAE=/BAE=30&

11、#176;,.AD=cos30乂AE=-3X3,32【點(diǎn)睛】本題考查了特殊的三角函數(shù)值的應(yīng)用，切線的證明，中等難度，利用特殊的三角函數(shù)表示出所求線段是解題關(guān)鍵.6.如圖，AB是。的直徑，PAPC與。O分別相切于點(diǎn)A,C,PC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,DELPO交PO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.(1)求證：/EPD=/EDO;3一一一(2)若PC=3tan/PDA=,求OE的長(zhǎng).4【答案】(1)見解析；(2)直.2【解析】【分析】CD=2進(jìn)而求得OE的長(zhǎng).3.(1)由切線的性質(zhì)即可得證.(2)連接OC,利用tan/PDA=,可求出43OC=,再證明OE24DEP根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求出2【詳解】(

12、1)證明：.PA,PC與。O分別相切于點(diǎn)A,C,/APO=ZCPO,PALAO,-.DE±PO,/PAO=ZE=90； /AOP=ZEOD,/APO=ZEDO,/EPD=ZEDO.(2)連接OC,PA=PC=33.tan/PDA=，4 在RtPAD中，AD=4,PD=.PA2A5y=5, .CD=PD-PC=5-3=23.tan/PDA=,4在RtOCD中，3oc=-，2:二5OD=OC2CD2=3，/EPD=ZODE,/OCP=/E=90；.,.OEDADEP,PDPEDE=2DODEOEDE=2OE,255在RtOED中，OE2+D=OD2,即5OE2=_=24【點(diǎn)睛】本題考查了

13、切線的性質(zhì)；銳角三角函數(shù)；勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)，充分利用3tanZPDA=-,得線段的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵47 .如圖所示的是一個(gè)地球儀及它的平面圖，在平面圖中，點(diǎn)A、B分別為地球儀的南、北極點(diǎn)，直線AB與放置地球儀的平面交于點(diǎn)D,所夾的角度約為67°,半徑OC所在的直線與放置它的平面垂直，垂足為點(diǎn)E,DE=15cm,AD=14cm.(1)求半徑OA的長(zhǎng)(結(jié)果精確到0.1cm,參考數(shù)據(jù)：sin67°=0,9£os67°=0.39tan67°2.36(2)求扇形BOC的面積(兀取3.14,結(jié)果精確到1cm)【答案】(1)半徑OA的長(zhǎng)約為24.

14、5cm；(2)扇形BOC的面積約為822cm2.【解析】【分析】在RtODE中，DE=15,/ODE=67,根據(jù)/ODE的余弦值，即可求得OD長(zhǎng)，減去AD即為OA.(2)用扇形面積公式即可求得【詳解】在RtODE中，DE15cm,ODE67.cosODEDEDO'OD150.39OAODAD38.461424.5cm,答：半徑OA的長(zhǎng)約為24.5cm.(2)ODE67,BOC157,-S扇形BOC360._21573.1424.523602822cm答：扇形BOC的面積約為822cm2.【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，本題把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，利用三角函數(shù)中余弦定義來(lái)解題

15、是解題關(guān)鍵.8 .超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因.上周末，小明和三位同學(xué)嘗試用自己所學(xué)的知識(shí)檢測(cè)車速，如圖，觀測(cè)點(diǎn)設(shè)在到萬(wàn)豐路(直線AO)的距離為120米的點(diǎn)P處.這時(shí)，一輛小轎車由西向東勻速行駛，測(cè)得此車從A處行駛到B處所用的時(shí)間為5秒且/AP*60°,/BPO=45:(1)求A、B之間的路程；(2)請(qǐng)判斷此車是否超過了萬(wàn)豐路每小時(shí)65千米的限制速度？請(qǐng)說(shuō)明理由.(參考數(shù)據(jù)：&1.414,J31.73).【答案】【小題1】73.2【小題2】超過限制速度.【解析】解：(1)AB100(731)73.2(米).6分732(2)此車制速度v=y：=18.3米/秒9 .已知AB是

16、。的直徑，弦CD)±AB于H,過CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)E作。的切線交AB的延長(zhǎng)線于F,切點(diǎn)為G,連接AG交CD于K.(1)如圖1,求證：KE=GE;1，一(2)如圖2,連接CABG若/FGB=/ACH,求證：CA/FE;2.3(3)如圖3,在(2)的條件下，連接CG交AB于點(diǎn)N,若sinE=,AK=同，求CN5的長(zhǎng).【答案】(1)證明見解析；(2)AEAD是等腰三角形.證明見解析；(3)2010.13【解析】試題分析：(1)連接OG,則由已知易得/OGE=ZAHK=90,由OG=OA可得/AGO=/OAG,從而可得/KGE4AKH=ZEKG這樣即可得至UKE=GE(2)設(shè)/FGB形，由AB

17、是直徑可得/AGB=90,從而可得ZKGE=90-a,結(jié)合GE=KE可得1,/EKG=90-%這樣在GKE中可得/E=2a由/FGB=/ACH可得/ACH=20這樣可得2/E=/ACH,由此即可得到CA/EF;(3)如下圖2,作NPLAC于P,35-一,設(shè)AH=3a,可得AC=5a,5AH由（2）可知/ACH=/E,由此可得sinE=sinZACH=AC一一CH4CH=4a,貝UtanZCAH=-,由（2）中結(jié)論易得/CAK=ZEGK士EKG=ZAKC,從而可AH3AH得CK=AC=5a由此可得HK=a,tanZAKH=3AK=J10a結(jié)合AK=Ji0可得a=1HK貝UAC=5;在四邊形BGK

18、H中，由/BHK=/BKG=90,可得ZABG+ZHKG=180,結(jié)合ZAKH+ZGKG=180；/ACG=ZABG可得/ACG=ZAKH,在RtAPN中，由tanZCAH=4型，可設(shè)PN=12b,AP=9b,由3APtan/ACG=里tan/AKH=3可得CP=4b,由此可得AC=AP+CP13b=5,貝U可得b=,由CP13此即可在RtACPN中由勾股定理解出CN的長(zhǎng).試題解析：(1)如圖1,連接OG.031 EF切。于G, OGXEF, /AGO+/AGE=90；,.CDLAB于H,/ AHD=90；/ OAG=ZAKH=90；1 .OA=OG,/AGO=ZOAG,/AGE=/AKH,3

19、 /EKG4AKH,4 /EKG4AGE,KE=GE(2)設(shè)/FGB形，,AB是直徑，/AGB=90,°/AGE=ZEKG=90-%/E=180-/AGE-/EKG=2pc15 /FGB=-ZACH,2/ACH=23/ACH=ZE,6 .CA/FE.(3)作NF)±AC于P.7 /ACH=ZE,AH3、一1.sinZE=sinZACH=一，設(shè)AH=3a,AC=5a,AC5CH4貝UCH=JACCH4a，tanzCAH=T7T-，AH31.CA/FE,/CAK=ZAGE,/AGE=/AKH,/CAK=ZAKH,.AC=CK=5aHK=CK-CH=4a,tanZAKH=AH-=

20、3,AK=7AH2HK2710a，HK-ak=7w, .MaM，a=1.AC=5, ZBHD=ZAGB=90,ZBHD+ZAGB=180,在四邊形BGKH中，ZBHD+ZHKG+ZAGB+ZABG=360,ZABG+ZHKG=180,vZAKH+ZHKG=180；ZAKH=ZABG, ZACN=ZABG,ZAKH=ZACN,tanZAKH=tanZACN=3,.NPLAC于P,ZAPN=ZCPN=90,PN4在RtAPN中，tanZCAH=設(shè)PN=12b,貝UAP=9b,AP3PN在RtACPN中，tanZACN=3CP',CP=4b,.AC=AP+CP=13p,.AC=5,-13b=

21、5,5.b=,132q-cn=;PN2CP2=4710b=-Vio.10.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為無(wú)+1,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,AE平分/BAC分別交BCBD于E、F,(1)求證：ABFsACE;(2)求tan/BAE的值;(3)在線段AC上找一點(diǎn)P,使得PE+PF最小，求出最小值.DC【答案】(1)證明見解析；(2)tan/EAB=&T；(3)PE+PF的最小值為也甚【解析】【分析】(1)根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似判斷即可；(2)如圖1中，作EH，AC于H.首先證明BE=EH=HC設(shè)BE=EH=HC=x構(gòu)建方程求出x即可解決問題；(3)如圖2中，作點(diǎn)F關(guān)于直線AC的對(duì)

22、稱點(diǎn)H,連接EH交AC于點(diǎn)P,連接PF,此時(shí)PF+PE的值最小，最小值為線段EH的長(zhǎng)；【詳解】(1)證明：四邊形ABCD是正方形，/ACE=/ABF=/CAB=45；1 .AE平分/CAB,/EAC=/BAF=22.5,°2 .ABFAACE.(2)解：如圖1中，作EHLAC于H.卻.EA平分/CAB,EHXAC,EB±AB,.BE=EB,/H咨45；CCHE90;/HCE=ZHEC=45；.HC=EH,-.BE=EH=HC,設(shè)BE=HE=HC=x,貝UEC=2x,BC=-72+1,.x+x=.2+1,.x=1,在RtAABE中，ZABE=90°,BE1tan/E

23、AB=J2-1.AB.21(3)如圖2中，作點(diǎn)F關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)H,連接EH交AC于點(diǎn)P,連接PF,此時(shí)PF+PE的值最小.Cr-§作EMLBD于M.BM=EM=e,2ac=Jab2bc2=2+應(yīng)，Cc1八2L2.OA=OC=OB=-AC=,22.-.OH=OF=OA?tan/OAF=OA?tan/EAB=2?（四一1）2八八22.HM=OH+OM=-,2在RtAEHM中，EH=JeM2HM2=.2222.222.PE+PF的最/、值為2222【點(diǎn)睛】最短問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是本題考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定，勾股定理,學(xué)會(huì)添加常用輔助線，學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最短問題，屬于

24、中考?？碱}型.11.如圖，RtAABC,CA±BC,AC=4,在AB邊上取一點(diǎn)D,使AD=BC,AAD的垂直平分線，交AC邊于點(diǎn)F,交以AB為直徑的。于G,H,設(shè)BC=x.(1)求證：四邊形AGDH為菱形；(2)若EF=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(3)連結(jié)OF,CG.若4AOF為等腰三角形，求。的面積；若BC=3,則V30CG+A(直接寫出答案).1c16【答案】(1)證明見斛析；(2)y=x2(x>0);(3)一?；??；?2J17+2)83陽(yáng)472T-【解析】【分析】(1)根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)以及垂徑定理證明AG=DG=DH=AH即可；一一AEEF(2)只要證明AE

25、M4ACB,可得解決問題；ACBC(3)分三種情形分別求解即可解決問題；一GFCG只要證明CF84HFA,可得=,求出相應(yīng)的線段即可解決問題;AFAH【詳解】(1)證明：:GH垂直平分線段AD,.HA=HD,GA=GD,AB是直徑，AB±GH,EG=EH,.DG=DH,.AG=DG=DH=AH,四邊形AGDH是菱形.(2)解：.AB是直徑，/ACB=90； .AEXEF7,/AE曰/ACB=90°, /EA曰/CAB, .AEFAACB,AEEFACBC，1-x2_1，4x.y=1x2(x>0).8(3)解：如圖1中，連接DF.H二圖：.GH垂直平分線段AD, .FA=FD,丁當(dāng)點(diǎn)D與。重合時(shí)，4AOF是等腰三角光 AC8后 AB=）3oO的面積為16兀.3如圖2中，當(dāng)AF=AO時(shí)，©數(shù)-AB=Vac2bc2=由6x2,.OA='16x,I22.af=Jef2ae2=J-x2882,Jl6x2_112212Jx-，2V82解得x=4（負(fù)根已經(jīng)舍棄），.AB=4V2，入此時(shí)AB=2BC,/CAB=30；OO的面積為8冗如圖2-1中，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)F重合時(shí)，設(shè)AE=x,貝IJBC=AD=2x,AB=64x