中考數(shù)學(xué)易錯(cuò)題專題訓(xùn)練-初中數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)練習(xí)題及答案解析

1、中考數(shù)學(xué)易錯(cuò)題專題訓(xùn)練-初中數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)練習(xí)題及答案解析一、旋轉(zhuǎn)1.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C:y=ax2+bx+c與x軸相交于A,B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為D(0,4),AB=4及，設(shè)點(diǎn)F(m,0)是x軸的正半軸上一點(diǎn)，將拋物線C繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)180°,得到新的拋物線C'.(1)求拋物線C的函數(shù)表達(dá)式；(2)若拋物線C與拋物線C在y軸的右側(cè)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，求m的取值范圍.(3)如圖2,P是第一象限內(nèi)拋物線C上一點(diǎn)，它到兩坐標(biāo)軸的距離相等，點(diǎn)P在拋物線C上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P',設(shè)M是C上的動(dòng)點(diǎn)，N是C上的動(dòng)點(diǎn)，試探究四邊形PMP'N能否成為正方形？若能，求出m的值；若

2、不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)y【解析】-x24;(2)22vmv2衣；(3)m=6或m=VT7-3.22mx2m82一2一(42m802m02m280試題分析：(1)由題意拋物線的頂點(diǎn)C(0,4),A(2J2,0),設(shè)拋物線的解析式為21yax4,把A(252，。)代入可得a=-,由此即可解決問(wèn)題；(2)由題意拋物線C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2m,-4),設(shè)拋物線C'的解析式為12/yx424,由2，消去y得到x2124y-xm42意，拋物線C與拋物線C在y軸的右側(cè)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則有解不等式組即可解決問(wèn)題；(3)情形1,四邊形PMP'N能成為正方形.作P已x軸于E,MHx軸于H

3、.由題意易知P(2,2),當(dāng)4PFM是等腰直角三角形時(shí)，四邊形PMP'N是正方形，推出PF=FM,/PFM=90；易證PFEFMH,可得PE=FH=2,EF=HM=2-m,可得M(m+2,m-2),理由待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題；情形2,如圖，四邊形PMP'N是正方形，同法可得M(m-2,2-m),利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題.試題解析:1)由題意拋物線的頂點(diǎn)C(0,4),A(2J2,0)，設(shè)拋物線的解析式為yax24,把A(2/2，。)代入可得a=12/yx4.2(2)由題意拋物線C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2m,-1一,拋物線C的函數(shù)表達(dá)式為24),設(shè)拋物線C'的解析式為1x222(

4、x4,消去y得到x22mx2m284拋物線C與拋物線C在y軸的右側(cè)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則有(242m2802m0,解得2m2802vm2j2，滿足條件的m的取值范圍為2Vmv2五(3)結(jié)論：四邊形PMP'N能成為正方形.理由：1情形1,如圖，作P已x軸于E,MHx軸于H.由題意易知P(2,2),當(dāng)4PFM是等腰直角三角形時(shí)，四邊形PMP'N是正方形,.PF=FM,/PFM=90；易證APF*FMH,可得PE=FH=2,EF=HM=2-m,.M(m+2,-1212m-2),.點(diǎn)M在y-x4上，m2-m24,解得m=V173或22-57-3(舍棄)，m=J17-3時(shí)，四邊形PMP&

5、#39;N是正方形.情形2,如圖，四邊形PMPN是正方形，同法可得M(m-2,2-m),把M(m-2,21 21一2-m)代入yx4中，2m-m24,解得m=6或0(舍棄)，m=62 2時(shí)，四邊形PMP'N是正方形.綜上所述：m=6或m=/17-3時(shí)，四邊形PMPN是正方形.2.在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD上，且/EAF=/CEF=45.（1）將4ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到4ABG儀口圖），求證：AE84AEF;（2）若直線EF與AB,AD的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)M,N（如圖），求證：EF2=ME2+NF2；（3）將正方形改為長(zhǎng)與寬不相等的矩形，若其余條

6、件不變（如圖），請(qǐng)你直接寫出線段EF,BE,DF之間的數(shù)量關(guān)系【答案】（1）證明見(jiàn)解析;2）證明見(jiàn)解析；（3）EF2=2BE2+2DF2.試題分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AF=AG,/EAF=ZGAE=45,故可證4AE®AAEF;（2）將ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到AARG,連結(jié)GM.由（1）知AEGWAEF則EG=EF再由BME、DNF、CEF均為等腰直角三角形，得出CE=CFBE=BM,NF=?DF,然后證明/GME=90,MG=NF,利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2,等量代換即可證明EF?=ME2+NF2；（3）將4ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得

7、到AARG,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到ADFAABG,貝UDF=BG再證明AE84AEF,得出EG=EF由EG=BG+BE等量代換得到EF=BE+DF試題解析：（1）,ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到ABG,.AF=AG,/FAG=90,/EAF=45,°/GAE=45；在AAGE與4AFE中，AG=AF“.=二必1AE二AE'(2)設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a.將4ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得至ilABG,連結(jié)GM.貝MADFMBG,DF=BG由（1）知AAEGAAEF,.EG=EF/CEF=45,° .BME、DNF、CEF均為等腰直角三

8、角形, .CE=CFBE=BM,NF=DF, a-BE=a-DF, .BE=DF.BE=BM=DF=BG/BMG=45；/GME=45+45=90；EG2=ME2+MG2, EG=EFMG=$BM=DF=NF, .EF2=ME2+NF2；(3)EF2=2BE2+2DF2.如圖所示，延長(zhǎng)EF交AB延長(zhǎng)線于M點(diǎn)，交AD延長(zhǎng)線于N點(diǎn)，將4ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到AGH,連結(jié)HM,HE.由(1)知AEHAEF,則由勾股定理有(GH+BE2+BG2=EH2,即(GH+BE)2+(BM-GM)2=EH2又，EF=HEDF=GH=GM,BE=BM,所以有(GH+BE)2+(BE-GH)

9、2=eF,即2(DF2+BE2)=EF2D.一圖考點(diǎn)：四邊形綜合題3.兩塊等腰直角三角板ABC和DEC如圖擺放，其中/ACB=/DCE=90°,F是DE的中點(diǎn)，H是AE的中點(diǎn)，G是BD的中點(diǎn).(1)如圖1,若點(diǎn)D、E分別在AC、BC的延長(zhǎng)線上，通過(guò)觀察和測(cè)量，猜想FH和FG的數(shù)量關(guān)系為和位置關(guān)系為;(2)如圖2,若將三角板DEC繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至ACE在一條直線上時(shí)，其余條件均不變，則(1)中的猜想是否還成立，若成立，請(qǐng)證明，不成立請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖3,將圖1中的4DEC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，得到圖3,(1)中的猜想還成立嗎？直接寫出結(jié)論，不用證明.FHXFG.【解析】試題

10、分析：(1)證AD=BE根據(jù)三角形的中位線推出FH=-AD,FH/AD,FG=-BE,22FG/BE,即可推出答案；(2)證AC*BCE,推出AD=BE,根據(jù)三角形的中位線定理即可推出答案；(3)連接BE、AD,根據(jù)全等推出AD=BE,根據(jù)三角形的中位線定理即可推出答案.試題解析：(1)解：CE=CDAC=BC/ECA=/DCB=90,BE=AD,F是DE的中點(diǎn)，H是AE的中點(diǎn)，G是BD的中點(diǎn)，.FH=-AD,FH/AD,FG=1BE,FG/BE,22，F(xiàn)H=FG.ADXBEE,FHXFG,故答案為相等，垂直.（2）答：成立，證明：CE=QD/ECD=ZACD=90,AC=BC2 .ACDAB

11、CE3 .AD=BE,由（1）知：FH=1AD,FH/AD,FG=-BEE,FG/BE,22.FH=FQFhl±FG,，（1）中的猜想還成立.E(3)答：成立，結(jié)論是FH=FG,Fhl±FG.連接AD,BE,兩線交于Z,AD交BC于X,同(1)可證.FH=-AD,FH/AD,FG=-BE,FG/BE,224 三角形ECDACB是等腰直角三角形，5 .CE=CDAC=BC/ECD叱ACB=90；/ACD=ZBCE在ACD和ABCE中AC=BCACD=BCE,CE=CD6 .ACDABCE.AD=BE,/EBC4DAC,7 /DAC+/CXA=90,°/CXA=ZDX

12、B,8 /DXB+/EBC=90,°/EZA=180-°90=90;即AD±BE,1.FH/AD,FG/BE,FHXFG,即FH=FGFHI±FG,結(jié)論是FH=FG,FHXFG.【點(diǎn)睛】運(yùn)用了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、三角形的中位線定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能熟練地運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.4.如圖1,在銳角4ABC中，/ABC=45°,高線AD、BE相交于點(diǎn)F.(1)判斷BF與AC的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；(2)如圖2,將4ACD沿線段AD對(duì)折，點(diǎn)C落在BD上的點(diǎn)M,AM與BE相交于點(diǎn)N,當(dāng)DE/AM時(shí)，

13、判斷NE與AC的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由.【答案】(1)BF=AC理由見(jiàn)解析；(2)NE=3AC,理由見(jiàn)解析.2【解析】試題分析：(1)如圖1,證明AADCABDF(AAS),可得BF=AC(2)如圖2,由折疊得：MD=DC,先根據(jù)三角形中位線的推論可得：AE=EC由線段垂直平分線的性質(zhì)得：AB=BC貝U/ABE=/CBE結(jié)合(1)得：BDF0ADM,貝U1-/DBF=/MAD,最后證明/ANE=/NAE=45,彳#AE=EN,所以EN=AC.試題解析：(1) BF=AC理由是：如圖1,AD±BC,BEXAC, ./ADB=/AEF=90,° /ABC=45,°.ABD

14、是等腰直角三角形，I.AD=BD, /AFE=ZBFD,/DAC=ZEBC在ADC和4BDF中，DACDBFADCBDF,ADBD .ADCABDF(AAS),BF=AC(2) NE=1AC,理由是：2如圖2,由折疊得：MD=DC,1.DE/AM,.AE=EC,.BEAC,.AB=BC,/ABE=ZCBE,J由(1)得：AADCABDF7,.ADCAADM,.,.BDFAADM,/DBF=ZMAD,/dba=/bad=45；/DBA-/DBF=ZBAD-/MAD,即/ABE=ZBAN,/ANE=ZABE+ZBAN=2/ABE,/NAE=2/NAD=2/CBE/ANE=ZNAE=45；.AE=E

15、N,_1-.EN=-AC.25.(12分)如圖1,在等邊ABC中，點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC上，AD=AE,連接BE,CD,點(diǎn)M、N、P分別是BE、CDBC的中點(diǎn).1中，4PMN的形狀是ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2的位置，PMN的形狀是否發(fā)生AD=1,AB=3,請(qǐng)直接寫出4PMN(1)等邊三角形;(1)觀察猜想：圖(2)探究證明：把改變？并說(shuō)明理由；(3)拓展延伸：把的周長(zhǎng)的最大值.ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若(2)APMN的形狀不發(fā)生改變,仍然為等邊三角形，理由見(jiàn)解析;(3)6【解析】分析：（1）如圖1,先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB=AC,ZABC=ZACB=60°,則B

16、D=CE再根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得PM/CEPM=-CEPN/AD,PN=-BD,從而得到22PM=PN,/MPN=60°,從而可判斷4PMN為等邊三角形；（2）連接CEBD,如圖2,先利用旋轉(zhuǎn)的定義，把4ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°可得到CAE,貝UBD=CE,/ABD=/ACE與（1）一樣可得PM=PN,/BPM=/BCE,/CPN=/CBD,則計(jì)算出/BPM+/CPN=120從而得至ij/MPN=60；于是可判斷PMN為等邊三角形.（3）利用AB-AD由D系B+AD（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)B、A、D共線時(shí)取等號(hào)）得到BD的最大值為4,則PN的最大值為2,然后可確定4PMN的周長(zhǎng)的最

17、大值.詳解：（1）如圖1.4ABC為等邊三角形，AB=AC,ZABC=ZACB=60°.AD=AE,，BD=CE點(diǎn)M、N、P分別是BE、CDBC的中點(diǎn)，.PM/CE,PM=1CE）PN/AD,PN=1BD,22.PM=PN,/BPM=/BCA=60；ZCPN=ZCBA=60；/MPN=60；APMN為等邊三角形；故答案為等邊三角形；（2） APMN的形狀不發(fā)生改變，仍然為等邊三角形.理由如下：連接CEBD,如圖2.AB=AC,AE=AD,ZBAC=ZDAE=60°,.把ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60可得到ACAE,.BD=CE,/ABD=/ACE與（1）一樣可得PM/CE.PM

18、=CE,PN/AD,PN=1BD,22.PM=PN,/BPM=/BCE,ZCPN=ZCBD,/BPM+ZCPN=ZCBD+ZCBD=ZABC-/ABD+ZACBZACE=60+60=120；/MPN=60；APMN為等邊三角形.1（3） -.PN=-BD,.當(dāng)BD的值最大時(shí)，PN的值最大.2.AB-AD<BDqB+AD（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)B、A、D共線時(shí)取等號(hào)）BD的最大值為1+3=4,，PN的最大值為2,.PMN的周長(zhǎng)的最大值為6.點(diǎn)睛：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)和三角形中位線

19、性質(zhì).6.在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A(3,0),點(diǎn)B(0,4),把ABO繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得AB。'，點(diǎn)B,。旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B；0.(1)如圖1,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時(shí)，求BB的長(zhǎng)；(2)如圖2,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為120°時(shí)，求點(diǎn)0'的坐標(biāo)；(3)在(2)的條件下，邊0B上的一點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P；當(dāng)O'P+AP取得最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).(直接寫出結(jié)果即可)【答案】(1)5&；(2)0'(9,33);(3)P'(27,63).2255【解析】【分析】(1)先求出AB.利用旋轉(zhuǎn)判斷出ABB是等腰直角三角形，即可得出結(jié)論；(2)

20、先判斷出/HAO'=60；利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出AH,0H,即可得出結(jié)論；(3)先確定出直線0'C的解析式，進(jìn)而確定出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.【詳解】(1).A(3,0),B(0,4),.1.0A=3,0B=4,，AB=5,由旋轉(zhuǎn)知，BA=B'A,ZBAB'=90MBB'是等腰直角三角形，BB=亞AB=5五；(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)0'作0'H，x軸于H,由旋轉(zhuǎn)知，0'A=0A=3,/0A0'=120；/HAO'=60ZHO'A=30；.AH=-AO'=，

21、OH=73AH=3/3,2OH=OA+AH=-,2933、O'(22(3)由旋轉(zhuǎn)知，AP=AP,O'P+AP=O'P+AP.如圖3,作A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C,連接O'C交y軸于P,.O'P+AP=O'P+CP=O'C,此日O'P+AP的值最小.點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，C(-3,0).O'(9,3/3),直線O'C的解析式為y=43x+氧3,令x=0,y=3,/.P(0,22555.O'D=-O'P'=33,2103點(diǎn)),.O'P=OP=3Z!,作P'DO'H于D./B&

22、#39;O'A=ZBOA=90:/AO'H=30:/DP'O'=30,P'D=V3O'D=,.DH=O'H-O'D=61,O'H+P'D=-27,/.P'(-2756/1)105555圖2部【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，構(gòu)造出直角三角形是解答本題的關(guān)鍵.7.已知4ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，邊AB在射線OM上，且OA=6,點(diǎn)D是射線OM上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)D不與點(diǎn)A重合時(shí)，將4ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得至ijABC匕連接DE

23、.(1)如圖1,猜想：4CDE的形狀是三角形.(2)請(qǐng)證明(1)中的猜想(3)設(shè)OD=m,當(dāng)6vmv10時(shí)，4BDE的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，求出4BDE周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.是否存在m的值，使4DEB是直角三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.C鼠oABME圖1圖2【答案】（1）等邊；（2）詳見(jiàn)解析；（3）273+4;當(dāng)m=2或14時(shí)，以D、E、B為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形.【解析】【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)猜想結(jié)論；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到/DCE=60°,DC=EC,即可得到結(jié)論；（3）當(dāng)6vmv10時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BE=AD,于是得到Ca

24、dbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到DE=CD,由垂線段最短得到當(dāng)GDIAB時(shí)，4BDE的周長(zhǎng)最小，于是得到結(jié)論；存在，分四種情況討論：a）當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，D,B,E不能構(gòu)成三角形；b）當(dāng)0用<6時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到ZABE=60°,/BDEv60°,求得/BED=90°,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到/DEB=60°,求得/CEB=30°,求得OD=OA-DA=6-4=2=m；c）當(dāng)6<m<10時(shí)，此時(shí)不存在；d）當(dāng)m>10時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到ZDBE=60°,求得/BDE&

25、gt;60°,于是得到m=14.【詳解】（1）等邊；（2）二將4ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到4BCE1/DGE=60°,DG=EG,.CDE是等邊三角形.（3）存在，當(dāng)6vt<10時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：BE=AD,/.CadbE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,由（1）知，CDE是等邊三角形，.DE=CD,.Cadbe=CD+4,由垂線段最短可知，當(dāng)GDIAB時(shí)，4BDE的周長(zhǎng)最小，此時(shí)，CD=2J3,.8口£的最/、周長(zhǎng)=GD+4=273+4;存在，分四種情況討論：a）二.當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，D,B,E不能構(gòu)成三角形，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重

26、合時(shí)，不符合題意；b）當(dāng)0用<6時(shí)，由旋轉(zhuǎn)可知，ZABE=60°,/BDEv60°,z.ZBED=90°,由（1）可知，CDE是等邊三角形，./DEB=60:/GEB=30:/GEB=ZCDA,/GDA=30:/CAB=60；ZAGD=ZADG=30；.DA=CA=4,.OD=OADA=6-4=2,.m=2;d）當(dāng)m>10時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，/DBE=60°,又由（1）知/CDE=60°,./BDE=/CD曰/BDC=60+/BDC,而/BDC>0°,./BDE>60°,.只能/BDE=90；從而/

27、BCD=30°,.BD=BC=4,，OD=14,，m=14.綜上所述：當(dāng)m=2或14時(shí)，以D、E、B為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形.【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形周長(zhǎng)的計(jì)算，直角三角形的判定，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.8.如圖1.在4ABC中，/ACB=90°,點(diǎn)P為4ABC內(nèi)一點(diǎn).（1）連接PRPC,將BCP沿射線CA方向平移，得到ADAE,點(diǎn)B、CP的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D、A、E,連接CE. 依題意，請(qǐng)?jiān)趫D2中補(bǔ)全圖形； 如果BP±CE,AB+BP=9,CE=343,求AB的長(zhǎng).（2）如圖3,以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將4ABP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)6

28、0彳導(dǎo)至iJAMN,連接PAPRPC,當(dāng)AC=4,AB=8時(shí)，根據(jù)此圖求PA+PB+PC的最小值.KKW”"布一733h一蔽f【答案】見(jiàn)解析，AB=6;4萬(wàn).【解析】分析：（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；連接BD、CD.根據(jù)平移的性質(zhì)和/ACB=90°,得到四邊形BCAD是矩形，從而有CD=AB,設(shè)CD=AB=X,則PB=DE=9X,由勾股定理求解即可；（2）當(dāng)CP、M、N四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC最小.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理求解即可.詳解：（1）補(bǔ)全圖形如圖所示;如圖：連接BD、CD. BCP沿射線CA方向平移，得到ADAE, .BC/AD且BC=AD,PB-DE. ZAC

29、B=90°,，四邊形BCAD是矩形，CD=AB,設(shè)CD=AB=x,則PB=9X,DE=BP=9X,.BPXCE,BP/DE,DE±CE,nnn22OCE2DE2CD2,3百9xx,X6,即AB=6；(2)如圖，當(dāng)GP、M、N四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC最小.易得APM、ABN都是等邊三角形，.PA=PM,PA+PB+PC=PM+MN+PC=CN,-.BN=AB=8,/BNA=60°,/PAM=60；/CAN=/CAB+/BAN=60+60=120；/CBN=90:在RtABC中，易得：bc=Jab2ac2J824246，在RtBCN中，cnJbc2BN2J4864

30、4萬(wàn)點(diǎn)睛：本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造等邊三角形和全等三角形，依據(jù)圖形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算求解.9.如圖1,四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)G與CD不重合)，以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG連接BG,DE.(1)猜想圖1中線段BG線段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系，不必證明；將圖1中的正方形CEFG繞著點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)任意角度”，得到如圖2情形.請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量等方法判斷中得到的結(jié)論是否仍然成立，并證明你的判斷.（2）將原題中正方形改為矩形（如圖3、

31、4）,且AB=a,BC=b,CE=kaCG=kb（ahk>0）,第（1）題中得到的結(jié)論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖4為例簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.一一1中，連接DGBE,且a=3,b=2,k=-,求BE2+DG2的值.【答案】（1）BG，DE,BG=DE;BG，DE,證明見(jiàn)解析；（2）BG±DE,證明見(jiàn)解析；（3）16.25.【解析】分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，顯然三角形BCG順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。即可得到三角形DCE,從而判斷兩條直線之間的關(guān)系；結(jié)合正方形的性質(zhì)，根據(jù)SAS仍然能夠判定BC84DCE,從而證明結(jié)論；（2）根據(jù)兩條對(duì)應(yīng)邊的比相等，且?jiàn)A角相等可以判定上述兩個(gè)三角形相似，從而

32、可以得到（1）中的位置關(guān)系仍然成立；（3）連接BE、DG.根據(jù)勾股定理即可把BE+DG2轉(zhuǎn)換為兩個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬平方和.詳解：（1）BG±DE,BG=DE二.四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形,.BC=DQCG=CE/BCD=/ECG=90,°/BCG=ZDCE.-.BCGADCEBG=DE,/CBG=ZCDE又/CBG+/BHC=90,/CDE+/DHG=90；BG±DE.(2)AB=a,BC=b,CE=kaCG=kb,BCCGb一,DCCEa又/BCG=ZDCE.,.BCGADCE/CBG=ZCDE又/CBG+/BHC=90,/CDE+/DHG=90；BGX

33、DE.(3)連接BE、DG.根據(jù)題意，得AB=3,BC=2,CE=1.5,CG=1,BG±DE,/BCD=ZECG=90°BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CC2+cE?+CG2=9+4+2.25+1=16.25.點(diǎn)睛：此題綜合運(yùn)用了全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理.10.如圖1,ABC中，CA=CB,ZACB=90°,直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,AF±l于點(diǎn)F,BEXl于點(diǎn)E.（1）求證：4AC陣CBE（2）將直線旋轉(zhuǎn)到如圖2所示位置，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，連接DE.若AB=4/2,/CBE=30；求DE的長(zhǎng).圖1配了【

34、答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）應(yīng)褥【解析】試題分析：（1）根據(jù)垂直的定義得到/BEC=/ACB=90。，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到/EBO/CAF,即可得到結(jié)論；(2)連接CD,DF,證得BCEACF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE=CF,CEAF,證得DEF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到EF=J2DE,EF=C&BE,進(jìn)而得至ijDE的長(zhǎng).試題解析：解：(1).BE，CE,ZBEC=ZACB=90°,/EBG/BCE=/BCEnZACF=90；./EBO/CAF.-.AFXl于點(diǎn)F,./AFC=90：AFCBEC90在ABCE與AACF中，EBCACF,/.AA

35、CFACBE(AAS);BCAC(2)如圖2,連接CD,DF.BEXCE,./BEC=/ACB=90°,/EBG/BCE=/BC&/ACF=90；./EBO/CAF.-.AFXl于點(diǎn)F,./AFC=90：AFCBEC90在ABCE與ACAF中，EBCACF,，BC珞CAF(AAS);BCACBE=CF.,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),CD=BD,/CDB=90；./CBD=/ACD=45；而BECF/EBO/CAF,./EBD=/DCF.在BDE與CDF中，EBDFCD,BDCF.,.BDEACDF(SAS,，/EDB=/FDC,DE=DF,/BDE+/CDE=90；/FDG/CDE=9

36、0；即/EDF=90；.EDF是等腰直角三角形，.EF=J2DE,EF=CE+CF=CE+BE./CA=CB,/ACB=90；AB=4我,.BC=4.又/CBE=30°,.CE=1bC=2,BE=V3CE=2>/3,/.EF=CE+BE=2+2>/3,DE=2=V2+V6.A配廣點(diǎn)睛：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，證得BCEACF是解題的關(guān)鍵.11.如圖1,在4ABC中，CA=CB/ACB=90°,D是4ABC內(nèi)部一點(diǎn)，ZADC=135°,將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段C

37、E,連接DE.(1)依題意補(bǔ)全圖形；請(qǐng)判斷/ADC和/CDE之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出答案.(2)在(1)的條件下，連接BE,過(guò)點(diǎn)C作CMLDE,請(qǐng)判斷線段CM,AE和BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.(3)如圖2,在正方形ABCD中，AB、/2,如果PD=1,/BPD=90,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A到BP的距離./ADC+/CDE=180;(2)AE=BE+2CM,理由解析;(3)【解析】CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的,試題分析：(1)作CE!CD,并且線段CE是將線段再連接DE即可；根據(jù)/ADC和/CDE是鄰補(bǔ)角，所以/ADC+/CDE=180.(2)由(1)的條件可得A、D、E三點(diǎn)在同一

38、條直線上，再通過(guò)證明4ACgABCE,易得AE=BE+2cM(3)運(yùn)用勾股定理，可得出點(diǎn)A到BP的距離.試題解析：解：(1)依題意補(bǔ)全圖形(如圖)；/ADC+/CDE=180°.(2)線段CM,AE和BE之間的數(shù)量關(guān)系是AE=BE+2CM理由如下: 線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段CE,.CD=CE/DCE=90.° /CDE土CED=45.°又/ADC=135, /ADC+ZCDE=180,° A、D、E三點(diǎn)在同一條直線上.AE=AD+DE又/ACB=90, /ACB-/DCB之DCE-/DCB,即/ACD=ZBCE又.ACmBCcd=ce .AC

39、DABCE.AD=BE.CD=CE/DCE=90,°CM±DE.DE=2CM.AE=BE+2cM(3)點(diǎn)A到BP的距離為考點(diǎn)：作圖一旋轉(zhuǎn)變換.12.如圖2,邊長(zhǎng)為2的等邊4ABC內(nèi)接于OO,4ABC繞圓心O順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到A'分別與AB、AC交于E、D點(diǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角度為M?！?lt;”3即).(1)當(dāng)儀=_,AA3'比色ABC出現(xiàn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的第一次完全重合；(2)當(dāng)值=60°時(shí)(如圖1),該圖()A.是中心對(duì)稱圖形但不是軸對(duì)稱圖形B.是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形C.既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形D.既不是軸對(duì)稱圖形也不是中心對(duì)稱圖形(3)如圖2,

40、當(dāng)當(dāng)<也120二4ADE的周長(zhǎng)是否會(huì)發(fā)生變化，如會(huì)變化，說(shuō)明理由，如不會(huì)變化，求出它的周長(zhǎng).【答案】(1)120°(2)C;(3)的周長(zhǎng)不變.【解析】【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的中心角為120?？芍苯忧蠼?；(2)根據(jù)題意可知，當(dāng)和600時(shí)，點(diǎn)A、4、B、*、C：為。的六等分點(diǎn)，所有的三角形都是正三角形，由此可得到所有圖形即是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形；彳祠界即四.付，即(3)得到結(jié)論：周長(zhǎng)不發(fā)生變化，連接A41,根據(jù)弦相等，則它們所對(duì)的弧相等的性質(zhì)可,再根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等，得士W由等角對(duì)等邊的性質(zhì)可得以=叼,同理=因此可求仞n的周長(zhǎng)=/74+ED+DAA+TO+DC=

41、AC=2【詳解】/0=120；解：(1)120°.如圖，可根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)直接根據(jù)三角形的內(nèi)角和求得C(3) 的周長(zhǎng)不變;理由如下：連接AA,AH=A'C團(tuán)場(chǎng)I?£加4=LAA'C.I?，叼同理，=.|ADF的周長(zhǎng)=EA+FD+DA即叼=2考點(diǎn)：正多邊形與圓，圓周角定理13.如圖1,在RtABC中，/ACB=90°,E是邊AC上任意一點(diǎn)(點(diǎn)E與點(diǎn)A,C不重合)，以CE為一直角邊作RtAECD/ECD=90,連接BE,AD.(1)若CA=CBCE=CD猜想線段BE,AD之間的數(shù)量關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系，直接寫出結(jié)論；現(xiàn)將圖1中的RtECD繞著點(diǎn)

42、C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)銳角%得到圖2,請(qǐng)判斷中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若CA=8,CB=6CE=3,CD=4,RtECD繞著點(diǎn)C順時(shí)針轉(zhuǎn)銳角”，如圖3,連接BD,【答案】（1）BE=AD,BEXAD;見(jiàn)解析；（2）125.【解析】試題分析：根據(jù)三角形全等的判定與性質(zhì)得出BE=AD,BEXAD;設(shè)BE與AC的交點(diǎn)為點(diǎn)F,BE與AD的交點(diǎn)為點(diǎn)G,根據(jù)/ACB=ZECD=90得出/ACD=ZBCE然后結(jié)合AC=BCCD=CE得出AC*4BCE貝UAD=BE,/CAD=/CBF,根據(jù)ZBFC=ZAFG,/BFC+/CBE=90得出/AFG+/CAD=90,°從而

43、說(shuō)明垂直；首先根據(jù)題意得出 ACDABCEL,然后說(shuō)明ZAGE=ZBGD=90°,最后根據(jù)直角三角形的勾股定理將所求的線段轉(zhuǎn)化成已知的線段得出答案.試題解析：（1）解：BE=AD,BEXADBE=AD,BEXAD仍然成立證明：設(shè)BE與AC的交點(diǎn)為點(diǎn)F,BE與AD的交點(diǎn)為點(diǎn)G,如圖1. /ACB=/ECD=90,°，/ACD=/BCE'AC=BCCD=CE.AC*BCE .AD=BE/CAD=/CBFv/BFC玄AFG/BFC叱CBE=90°，/AFG+ZCAD=90°/AGF=90°.1.BEXAD（2）證明：設(shè)BE與AC的交點(diǎn)為點(diǎn)F,

44、BE的延長(zhǎng)線與AD的交點(diǎn)為點(diǎn)G,如圖2./ACB=/ECD=90,°，/ACD=/BCE;AC=8,BC=6,CE=3CD=4ACgBCE/CAD=ZCBE/BFC=ZAFG/BFC+ZCBE=90/AFG+ZCAD=90°/AGF=90°.1.BEXAD/AGE=/BGD=90°月#+。6=/屏.BD2+AE2=AB2+ED2=CA2+CB2+CD2+CE2=125考點(diǎn)：三角形全等與相似、勾股定理.14.如圖1,在4ABC中，E、D分別為AB、AC上的點(diǎn)，且ED/BC,。為DC中點(diǎn)，連結(jié)EO并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,則有S四邊形ebcD=Saebf.

45、（1）如圖2,在已知銳角/AOB內(nèi)有一個(gè)定點(diǎn)P.過(guò)點(diǎn)P任意作一條直線MN,分別交射線OA、OB于點(diǎn)M、N.將直線MN繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)直線MN滿足某個(gè)條件時(shí)，AMON的面積存在最小值.直接寫出這個(gè)條件：.（2）如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C、P的坐標(biāo)分別為（6,0）、（6,3）、（，）、（4、2）,過(guò)點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC一組對(duì)邊相交，將四邊形OABC分成兩個(gè)四邊形，求其中以點(diǎn)。為頂點(diǎn)的四邊形面積的最大值.【答案】（1）當(dāng)直線MN旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)P是線段MN的中點(diǎn)時(shí)，AMON的面積最??；（2）10.【解析】試題分析：（1）當(dāng)直線旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)時(shí)Samon

46、最小，過(guò)點(diǎn)M作MG/OB交EF于G.由全等三角形的性質(zhì)可以得出結(jié)論；（2）如圖3過(guò)點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC的一組對(duì)邊OCAB分別交于點(diǎn)M、N,由（1）的結(jié)論知，當(dāng)PM=PN時(shí)，4MND的面積最小，此時(shí)四邊形OANM的面積最大，S四邊形oanm=Saoad-S/mnd.如圖3，過(guò)點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC的另一組對(duì)邊CB、OA分別交M、N,利用S四邊形ocmn=SaoctSamnT,進(jìn)而得出答案.試題解析：（1）當(dāng)直線MN旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)P是線段MN的中點(diǎn)時(shí)，AMON的面積最小.如圖2,過(guò)點(diǎn)P的另一條直線EF交OA、OB于點(diǎn)E、F,設(shè)PFvPE,過(guò)點(diǎn)M作MG/OB交EF于G,可以得出當(dāng)P是MN的中

47、點(diǎn)時(shí)S四邊形mofg=Samon.1/S四邊形mofgVSaeof,Samon<Saeof.當(dāng)點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)時(shí)SAMON最小.（2）分兩種情況：如圖3過(guò)點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC的一組對(duì)邊OGAB分別交于點(diǎn)M、N.延長(zhǎng)OC、AB交于點(diǎn)D,易知AD=6,Saoad=18.由(1)的結(jié)論知，當(dāng)PM=PN時(shí)，AMND的面積最小，此時(shí)四邊形OANM的面積最大.過(guò)點(diǎn)P、M分別作PPiOA,MM1±OA,垂足分別為Pi、Mi.由題意得MiPi=PiA=2,從而OMi=MMi=2.又P(4,2),B(6,3).PiA=MiPi="O"Mi=PiP=2,MiM=OM=2,可證四邊形MMiPiP是正方形.MN/OA,/MND=90；NM=4,DN=4,求得Samnd=8.四邊機(jī)an*=18-8=10.如圖3，過(guò)點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC的另一組對(duì)邊CROA分別交M、N.延長(zhǎng)CB交x軸于T點(diǎn)，由B、C的坐標(biāo)可得直線BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=-x+9.則T點(diǎn)的坐標(biāo)為(9,0).II1981/.Saoct=2X9k4.由(i)的結(jié)論知：當(dāng)PM=PN時(shí)，AUNT的面積最小，此時(shí)四邊形OCMN的面積最大.過(guò)點(diǎn)P、M點(diǎn)分別作PRLOA,MMiOA,垂足為Pi,Mi.從而NPi=Pi