一元二次方程應(yīng)用題經(jīng)典題型匯總含答案教程文件

1、z一元二次方程應(yīng)用題經(jīng)典題型匯總一、增長率問題例1恒利商廈九月份的銷售額為200萬元，十月份的銷售額下降了20%,商廈從十一月份起加強管理，改善經(jīng)營，使銷售額穩(wěn)步上升，十二月份的銷售額達到了193.6萬元，求這兩個月的平均增長率.解設(shè)這兩個月的平均增長率是x.,則根據(jù)題意，得200(120%)(1+x)2=193.6,即(1+x)2=1.21,解這個方程，得X1=0.1,X2=2.1(舍去).答這兩個月的平均增長率是10%.說明這是一道正增長率問題，對于正的增長率問題，在弄清楚增長的次數(shù)和問題中每一個數(shù)據(jù)的意義，即可利用公式m(1+x)2=n求解，其中mvn.對于負的增長率問題，若經(jīng)過兩次相等

2、下降后，則有公式m(1-x)2=n即可求解，其中m>n.二、商品定價例2益群精品店以每件21元的價格購進一批商品，該商品可以自行定價，若每件商品售價a元，則可賣出(35010a)件，但物價局限定每件商品的利潤不得超過20%,商店計劃要盈利400元，需要進貨多少件？每件商品應(yīng)定價多少？解根據(jù)題意，得(a21)(350-10a)=400,整理，得a256a+775=0,解這個方程，得a1=25,82=31.因為21X1+20%)=25.2,所以a2=31不合題意，舍去.所以35010a=35010X25=100(件).答需要進貨100件，每件商品應(yīng)定價25元.說明商品的定價問題是商品交易中的

3、重要問題，也是各種考試的熱點三、儲蓄問題例3王紅梅同學將1000元壓歲錢第一次按一年定期含蓄存入“少兒銀行”，到期后將本金和利息取出，并將其中的500元捐給“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，這時存款的年利率已下調(diào)到第一次存款時年利率的90%,這樣到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款時的年利率.(假設(shè)不計利息稅)解設(shè)第一次存款時的年利率為x.則根據(jù)題意，得1000(1+x)500(1+0.9x)=530.整理，得90x2+145x3=0.解這個方程，得x產(chǎn)0.0204=2.04%,x21.63.由于存款利率不能為負數(shù)，所以將x21.63舍去.答第一次存款的年利率約是2.04%.

4、說明這里是按教育儲蓄求解的，應(yīng)注意不計利息稅四、趣味問題例4一個醉漢拿著一根竹竿進城，橫著怎么也拿不進去，量竹竿長比城門寬4米，旁邊一個醉漢嘲笑他，你沒看城門高嗎，豎著拿就可以進去啦，結(jié)果豎著比城門高2米，二人沒辦法，只好請教聰明人，聰明人教他們二人沿著門的對角斜著拿，二人一試，不多不少剛好進城，你知道竹竿有多長嗎？解設(shè)渠道的深度為xm,那么渠底寬為(x+0.1)m,上口寬為(x+0.1+1.4)m.則根據(jù)題意，得(x+0.1+x+1.4+0.1)x=1.8,整理，得X2+0.8x-1.8=0.解這個方程，得xi=-1.8(舍去)，x2=1.所以x+1.4+0.1=1+1.4+0.1=2.5.

5、答渠道的上口寬2.5m,渠深1m.說明求解本題開始時好象無從下筆，但只要能仔細地閱讀和口味，就能從中找到等量關(guān)系，列出方程求解.五、古詩問題例5讀詩詞解題：(通過列方程式，算出周瑜去世時的年齡)大江東去浪淘盡，千古風流數(shù)人物；而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)；十位恰小個位三，個位平方與壽符；哪位學子算得快，多少年華屬周瑜？解設(shè)周瑜逝世時的年齡的個位數(shù)字為x,則十位數(shù)字為x-3.則根據(jù)題意，得x2=10(x-3)+x,即x2-11x+30=0,解這個方程，得x=5或x=6.當x=5時，周瑜的年齡25歲，非而立之年，不合題意，舍去；當x=6時，周瑜年齡為36歲，完全符合題意答周瑜去世的年齡為36歲.

6、六、象棋比賽例6象棋比賽中，每個選手都與其他選手恰好比賽一局，每局贏者記2分，輸者記0分.如果平局，兩個選手各記1分，領(lǐng)司有四個同學統(tǒng)計了中全部選手的得分總數(shù)，分別是1979,1980,1984,1985.經(jīng)核實，有一位同學統(tǒng)計無誤.試計算這次比賽共有多少個選手參加.解設(shè)共有n個選手參加比賽，每個選手都要與(n1)個選手比賽一局，共計n(n1)局，但兩個選手的對局從每個選手的角度各自統(tǒng)計了一次，因此實際比賽總局數(shù)應(yīng)為n(n1)局.由于每局共計2分，所以全部選手得分總共為n(n1)分.顯然(n1)與n為相鄰的自然數(shù)，容易驗證，相鄰兩自然數(shù)乘積的末位數(shù)字只能是0,2,6,故總分不可能是1979,1

7、984,1985,因此總分只能是1980,于是由n(n-1)=1980,得n2-n-1980=0,解得m=45,n2=44(舍去).答參加比賽的選手共有45人.說明類似于本題中的象棋比賽的其它體育比賽或互贈賀年片等問題，都可以仿照些方法求解.七、情景對話例7春秋旅行社為吸引市民組團去天水灣風景區(qū)旅游，推出了如圖1對話中收費標準27000元.請問該單位某單位組織員工去天水灣風景區(qū)旅游，共支付給春秋旅行社旅游費用這次共有多少員工去天水灣風景區(qū)旅游？解設(shè)該單位這次共有x名員工去天水灣風景區(qū)旅游.因為1000>25=25000V27000,所以員工人數(shù)一定超過25人.則根據(jù)題意，得100020(

8、x25)x=27000.整理，得x275X+1350=0,解這個方程，得xi=45,X2=30.當x=45時，100020(x25)=600<700,故舍去xi；當x2=30時，100020(x25)=900>700,符合題意.答：該單位這次共有30名員工去天水灣風景區(qū)旅游.說明求解本題要時刻注意對話框中的數(shù)量關(guān)系，求得的解還要注意分類討論，從中找出符合題意的結(jié)論.八、等積變形例8將一塊長18米，寬15米的矩形荒地修建成一個花園(陰影部分)所占的面積為原來荒地面積的三分之二.（精確到0.1m）（1）設(shè)計方案1（如圖2）花園中修兩條互相垂直且寬度相等的小路（2）設(shè)計方案2（如圖3）花

9、園中每個角的扇形都相同.以上兩種方案是否都能符合條件？若能，請計算出圖2中的小路的寬和圖3中扇形的半徑；若不能符合條件，請說明理由.解者B能.（1）設(shè)小路寬為x,則18x+16xx2=X18X15,x234x+180=0,解這個方程，得,即x6.6.設(shè)扇形半徑為則3.14r2X18X15,即r257.32,所以r27.6.說明等積變形一般都是涉及的是常見圖形的體積，面積公式；其原則是形變積不變；或形變積也變，但重量不變，等等九、動態(tài)幾何問題例9如圖4所示，在ABC中，/C=90?/SPAN>,AC=6cm,BC=8cm，點P從點A出發(fā)沿邊AC向點C以1cm/s的速度移動，點Q從C點出發(fā)沿

10、CB邊向點B以2cm/s的速度移動.(1)如果P、Q同時出發(fā)，幾秒鐘后，可使PCQ的面積為8平方厘米？(2)點P、Q在移動過程中，是否存在某一時刻，使得PCQ的面積等于ABC的面積的一半.若存在，求出運動的時間；若不存在，說明理由解因為/C=90?/SPAN>，所以AB=10(cm).(1)設(shè)xs后，可使PCQ的面積為8cm2,所以AP=xcm,PC=(6x)cm,CQ=2xcm.則根據(jù)題意，得(6x)2x=8.整理，得x26x+8=0,解這個方程，得xi=2,x2=4.所以P、Q同時出發(fā)，2s或4s后可使PCQ的面積為8cm2.(6x)2x=(2)設(shè)點P出發(fā)x秒后，PCQ的面積等于AB

11、C面積的一半則根據(jù)題意，得X6X8.整理，得x26x+12=0.由于此方程沒有實數(shù)根，所以不存在使PCQ的面積等于ABC面積一半的時刻說明本題雖然是一道動態(tài)型應(yīng)用題，但它又要運用到行程的知識，求解時必須依據(jù)路程=速度x時間.十、梯子問題例10一個長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的底端距墻角6m.(1)若梯子的頂端下滑1m,求梯子的底端水平滑動多少米？(2)若梯子的底端水平向外滑動1m,梯子的頂端滑動多少米？(3)如果梯子頂端向下滑動的距離等于底端向外滑動的距離，那么滑動的距離是多少米？解依題意，梯子的頂端距墻角(m)（1）若梯子頂端下滑1m,則頂端距地面7m.設(shè)梯子底端滑動xm.則根據(jù)勾股定理

12、，列方程72+（6+x）2=102,整理，得x2+12x-15=0,解這個方程，得x-1.14,x213.14（舍去），所以梯子頂端下滑1m,底端水平滑動約1.14m.（2）當梯子底端水平向外滑動1m時，設(shè)梯子頂端向下滑動xm.則根據(jù)勾股定理，列方程（8x）2+（6+1）2=100.整理，得x216x+13=0.解這個方程，得x10.86,x215.14（舍去）.所以若梯子底端水平向外滑動1m,則頂端下滑約0.86m.（3）設(shè)梯子頂端向下滑動xm時，底端向外也滑動xm.則根據(jù)勾股定理，列方程（8x）2+（6+x）2=102,整理，得2x24x=0,解這個方程，得x1=0（舍去），x2=2.所以

13、梯子頂端向下滑動2m時，底端向外也滑動2m.說明求解時應(yīng)注意無論梯子沿墻如何上下滑動，梯子始終與墻上、地面構(gòu)成直角三角形.卜一、航海問題例11如圖5所示，我海軍基地位于A處，在其正南方向200海里處有一重要目標B,在B的正東方向200海里處有一重要目標C,小島D恰好位于AC的中點，島上有一補給碼頭；小島F位于BC上且恰好處于小島D的正南方向，一艘軍艦從A出發(fā)，經(jīng)B到C勻速巡航.一艘補給船同時從D出發(fā)，沿南偏西方向勻速直線航行，欲將一批物品送往軍艦.(1)小島D和小島F相距多少海里？(2)已知軍艦的速度是補給船的2倍，軍艦在由B到C的途中與補給船相遇于E處，那么相遇時補給船航行了多少海里？(精確

14、到0.1海里)解(1)F位于D的正南方向，則DFLBC.因為ABXBC,D為AC的中點，所以DF=AB=100海里，所以，小島D與小島F相距100海里.(2)設(shè)相遇時補給船航行了x海里，那么DE=x海里，AB+BE=2x海里，EF=AB+BC(AB+BE)-CF=(3002x)海里.在RtADEF中，根據(jù)勾股定理可得方程x2=1002+(3002x)2,整理，得3x2-1200x+100000=0.解這個方程，得x1=200X2=200+（不合題意，舍去）.所以，相遇時補給船大約航行了118.4海里.說明求解本題時，一定要認真地分析題意，及時發(fā)現(xiàn)題目中的等量關(guān)系，并能從圖形中尋找直角三角形，以

15、便正確運用勾股定理布列一元二次方程十二、圖表信息例12如圖6所示，正方形ABCD的邊長為12,劃分成12X12個小正方形格，將邊長為n（n為整數(shù)，且2<n<11）的黑白兩色正方形紙片按圖中的方式，黑白相間地擺放，第一張n為的紙片正好蓋住正方形ABCD左上角的nM個小正方形格，第二張紙片蓋住第一張紙片的部分恰好為（n1）X（n1）個小正方形.如此擺放下去，直到紙片蓋住正方形ABCD的右下角為止.請你認真觀察思考后回答下列問題：（1）由于正方形紙片邊長n的取值不同，浣成擺放時所使用正方形紙片的張數(shù)也不同，請?zhí)顚懴卤恚杭埰倪呴Ln23456使用的紙片張數(shù)（2）設(shè)正方形ABCD被紙片蓋住的

16、面積（重合部分只計一次）為S1,未被蓋住的面積為S2.當n=2時，求Si：S2的值；是否存在使得Si=S2的n值？若存在，請求出來；若不存在，請說明理由解(1)依題意可依次填表為：11、10、9、8、7.(2)&=n2+(12n)n2(n1)2=n2+25n12.當n=2時，S1=-22+25X2-12=34,S2=12X1234=110.所以S1：S2=34：110=17：55.若S1=S2,則有一n2+25n12=X122,即n225n+84=0,解這個方程，得ni=4,n2=21（舍去）.所以當n=4時，Si=S2.所以這樣的n值是存在的.說明求解本題時要通過閱讀題設(shè)條件及提供的

17、圖表，及時挖掘其中的隱含條件，對于求解第（3）小題，可以先假定問題的存在，進而構(gòu)造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有實數(shù)根來加以判斷.十三、探索在在問題例13將一條長為20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長做成一個正方形.（1）要使這兩個正方形的面積之和等于17cm2,那么這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是多少？（2）兩個正方形的面積之和可能等于12cm2嗎？若能，求出兩段鐵絲的長度；若不能，請說明理由.解（1）設(shè)剪成兩段后其中一段為xcm,則另一段為（20x）cm.則根據(jù)題意，得=17,解得xi=16,X2=4,當x=16時，20x=4,當x=4時，20x=16,答這段鐵絲剪成

18、兩段后的長度分別是4cm和16cm.(2)不能.理由是：不妨設(shè)剪成兩段后其中一段為ycm,則另一段為(20y)cm.則=12,整理，得y220y+104=0,移項并配方，得（y10）2=4V0,所以此方程無解，即不能剪成兩段使得面積和為12cm2.說明本題的第（2）小問也可以運用求根公式中的b24ac來判定若b2-4ac>0,方程有兩個實數(shù)根，若b2-4ac<0,方程沒有實數(shù)根，本題中的b24ac=16v0即無解.十四、平分幾何圖形的周長與面積問題例14如圖7,在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5,AD=4,BC=10.點E在下底邊BC上，點F在月AB上.(1)若EF平分等腰梯形A

19、BCD的周長，設(shè)BE長為x,試用含x的代數(shù)式表示4BEF的面積;(2)是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時平分？若存在，求出此時BE的長；若不存在，請說明理由；(3)是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成1：2的兩部分？若存在，求此時BE的長；若不存在，請說明理由.解(1)由已知條件得，梯形周長為12,高4,面積為28.過點F作FGLBC于G,過點A作AKLBC于K.X4,BEFGx2+則可得，F(xiàn)G=所以Sabefx(7<x<10)2)存在由(x2+x=14,解這個方程，得xi=7,X2=5(不合題意，舍去)，所以存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長與面積同時平分，此時BE=7.(3)不存在.假設(shè)存在，顯然有SzBEF：S多邊形AFECD=1：2,即(BE+BF)：(AF+AD+DC)=1：2.貝U有一x2+整理，得3x224x+70=0,此時的求根公式中的b24ac=576840V0,所以不存在這樣的實數(shù)x.即不存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成1：2的兩部分.說明求解本題時應(yīng)注意：一是要能正確確定x的取值范圍；二是在求得x2=5時，并不屬于7WxW10,應(yīng)及時地舍去；三是處理第（3）個問題時的實質(zhì)是利用一元二次方程來探索問題的存在性.十五、利用圖形探索規(guī)律例15在如圖