極化恒等式(學(xué)生版)

1、課題：極化恒等式在向量問(wèn)題中的應(yīng)用目標(biāo)1:通過(guò)自主學(xué)習(xí)掌握極化恒等式兩種模式，理解其幾何意義;目標(biāo)2-1:通過(guò)對(duì)例1的自主學(xué)習(xí)掌握用極化恒等式求數(shù)量積的值;學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)目標(biāo)2-2 :通過(guò)對(duì)例2的自主學(xué)習(xí)掌握用極化恒等式求數(shù)量積的最值、范圍;目標(biāo)2-3 :通過(guò)小組合作學(xué)習(xí)掌握極化恒等式解決與數(shù)量積有關(guān)的綜合問(wèn)題。重點(diǎn)掌握極化恒等式，利用它解決一類與數(shù)量積有關(guān)的向量問(wèn)題難點(diǎn)根據(jù)具體的問(wèn)題情境，靈活運(yùn)用極化恒等式Db月 Z R證明：不妨設(shè)AB=a,AD=b,|acj=AC2 <+b-2- 一=a + 2a b + b(1)DB=DB =(ab2T t r-2a b + b(2) 2(1) (

2、2)兩式相加得：AC +DB2=222=21 AB + AD目標(biāo)達(dá)成途徑學(xué)習(xí)自我評(píng)價(jià)目標(biāo)1:閱讀材料，了解極化恒等式的由來(lái)過(guò)程，掌握引例：平行四邊形是表 示向量加法和減法的幾 何模型。 你能用向量方法證明： 平行四邊形的對(duì)角線的 平方和 等于兩條鄰邊平方和的 兩倍.則AC -a b,DB =a -b,結(jié)論：平行四邊形對(duì)角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩 倍.思考1:如果將上面（1） （2）兩式相減，能得到什么結(jié)論呢？a b = 1洞十b 2 一 G .b 21極化恒等式4 一對(duì)于上述恒等式，用向量運(yùn)算顯然容易證明。那么基于上面的引例，你覺(jué)得極化恒等式的幾何意義是什么？幾何意義：向量的數(shù)量積可以

3、表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的.4即：a b =AC|2 .|DB|2（平行四邊形模式） 4思考：在圖1的三角形AB» （M為BD的中點(diǎn)），此恒等式如何表示呢？因?yàn)锳C=2AM ,所以a ,b=|AM|2-1|DB（三角形模式）目標(biāo)2-1 :掌握用極化恒等式求數(shù)量積的值例1.（2012年浙江文15）在AABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM =3, BC =10 ,貝U 7B AC =.解：因?yàn)镸是BC的中點(diǎn),由極化恒等聲得：mAB ACAM |2 -4BC2=9-4100=-16【小結(jié)】在運(yùn)用極化恒等式的三角形模式時(shí)，關(guān)鍵在于取第三邊的中點(diǎn),角形的中

4、線，再寫(xiě)出極化恒等式。目標(biāo)檢測(cè)C找到三例2（閭標(biāo)出必三甯握J(rèn)ABC遍遍等或求酗OR的腳直。他一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則PA PB的取值范圍是.1c解：取AB的中點(diǎn)D,連結(jié)CD因?yàn)槿切?ABC%正三角形，所以 O為三角形ABC勺重心，O在CDk,/ AP且 OC =2OD =2,所以 CD =3, AB =2 <3（也可用正弦定理求 AB）J R又由極化恒等式得：因?yàn)镻在圓。上，所以當(dāng)P在點(diǎn)C處時(shí)，|PD 1max = 3當(dāng)P在COW延長(zhǎng)線與圓O的交點(diǎn)處時(shí)，| PD 1min =1所以 PA PB -2,6【小結(jié)】涉及數(shù)量積的范圍或最值時(shí)，可以利用極化恒等式將多變量轉(zhuǎn)變?yōu)閱巫?量，再用數(shù)形結(jié)合等方法求

5、出單變量的范圍、最值即可。目標(biāo)檢測(cè)問(wèn)題、疑惑、錯(cuò)解匯集能力提升目標(biāo)2-3 :、叁用物化等式解速與數(shù)學(xué)矍有關(guān)國(guó)維一- 例3. (2013浙江理7)在AABC中，B是邊AB上一定點(diǎn)，滿1 .一、廠、"-一IT -*T足F0B=1AB，且對(duì)于邊 AB上任一點(diǎn) P,怛有PB,PC之P0B .PC 。4A. ABC =90： B. BAC =90C. AB = AC D. AC = BC則()目標(biāo)檢測(cè)問(wèn)題、疑惑匯集知識(shí)、方法總結(jié)本課的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容是什么？極化恒等式：平行四邊形模型：三角形模型：極化恒等式在處理與 有關(guān)問(wèn)題時(shí)，顯得較有優(yōu)越性。課后檢測(cè)1 .在AABC中，/BAC=60，若AB=2

6、, BC =雜,D在線段AC上運(yùn)動(dòng)，DB ,京的 最小值為2 .已知AB是圓O的直徑，AB長(zhǎng)為2, C是圓O上異于A,B的一點(diǎn)，P是圓。所 在平面上任意一點(diǎn)，則(PA +PB )PC的最小值為()A. -1 B. -1 C. -1 D. -1 4323 .在 AABC 中，AB=3, AC =4, /BAC =60 ,若 P 是 AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)， 且AP = 2 ,則PB PC的最大值為24 .若點(diǎn)。和點(diǎn)F(-2,0)分別是雙曲線 3-y2=1(a>0)的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為 a雙曲線右支上任意一點(diǎn)則OP FP的取值范圍是.5 .在 RtAABC , AC = BC=2,已知點(diǎn) P 是 AABC 內(nèi)一點(diǎn)，貝 U pC(pA+PB)的最小 值是.6 .已知A、B是單位圓上的兩點(diǎn)，。為圓心，且/AOB=120o,MN是圓O的一條 直徑，點(diǎn)C在圓內(nèi)，且滿足 OC =?QA + (1-九)OB(0九<1),貝UCM ,CN的取值范 圍是()A.-1,1 B. I-1,1 C -3,0 D. 1-1,0_ 2_ 47 .正AABC邊長(zhǎng)等于53 ,點(diǎn)P在其外接圓上運(yùn)動(dòng)，