最短路徑問題專項練習

1、實用文檔最短路徑問題專項練習共13頁，全面復(fù)習與聯(lián)系最短路徑問題一、具體內(nèi)容包括：螞蟻沿正方體、長方體、圓柱、圓錐外側(cè)面吃食問題；線段(之和)最短問題；二、原理：兩點之間，線段最短；垂線段最短。(構(gòu)建“對稱模型”實現(xiàn)轉(zhuǎn)化)1 .最短路徑問題(1)求直線異側(cè)的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要連接這兩點，與直線 的交點即為所求.如圖所示，點A, B分別是直線l異側(cè)的兩個點，在l上找一個點C,使C/V CB最短，這 時點C是直線l與AB的交點.標準文案(2)求直線同側(cè)的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要找到其中一個點關(guān)于 這條直線的對稱點，連接對稱點與另一個點，則與該直線的交點

2、即為所求.如圖所示，點A, B分別是直線l同側(cè)的兩個點，在l上找一個點C,使C知CB最短，這 時先作點B關(guān)于直線l的對稱點B,則點C是直線l與AB的交點.為了證明點C的位置即為所求，我們不妨在直線上另外任取一點C,連接AC , BC ,B C,證明 AO CB AC + C B 如下：證明：由作圖可知，點 B和B關(guān)于直線l對稱，所以直線l是線段BB的垂直平分線.因為點C與C在直線l上，所以 BC= B C, BC = B C .在AB C中，ABAC + B C,所以 AO B C AC + B C,所以 AO B(k AC + C B.【例1】 在圖中直線l上找到一點 M使它到A, B兩點的

3、距離和最小.分析：先確定其中一個點關(guān)于直線l的對稱點，然后連接對稱點和另一個點，與直線 l的交點M即為所求的點.解：如圖所示：(1)作點B關(guān)于直線l的對稱點B;(2)連接AB交直線l于點M(3)則點M即為所求的點.點撥：運用軸對稱變換及性質(zhì)將不在一條直線上的兩條線段轉(zhuǎn)化到一條直線上，然后用“兩點之間線段最短”解決問題.2 .運用軸對稱解決距離最短問題運用軸對稱及兩點之間線段最短的性質(zhì)， 將所求線段之和轉(zhuǎn)化為一條線段的長， 是解決距 離之和最小問題的基本思路，不論題目如何變化，運用時要抓住直線同旁有兩點，這兩點到直線上某點的距離和最小 這個核心，所有作法都相同.警誤區(qū)利用軸對稱解決最值問題應(yīng)注意

4、題目要求根據(jù)軸對稱的性質(zhì)、利用三角形的三邊關(guān)系，通過比較來說明最值問題是常用的一種方法.解決這類最值問題時，要認真審題， 不要只注意圖形而忽略題意要求，審題不清導(dǎo)致答非所問.3 .利用平移確定最短路徑選址選址問題的關(guān)鍵是把各條線段轉(zhuǎn)化到一條線段上. 如果兩點在一條直線的同側(cè)時， 過兩點 的直線與原直線的交點處構(gòu)成線段的差最大， 如果兩點在一條直線的異側(cè)時， 過兩點的直線與 原直線的交點處構(gòu)成的線段的和最小， 都可以用三角形三邊關(guān)系來推理說明， 通常根據(jù)最大值 或最小值的情況取其中一個點的對稱點來解決.解決連接河兩岸的兩個點的最短路徑問題時，可以通過平移河岸的方法使河的寬度變?yōu)?零，轉(zhuǎn)化為求直線

5、異側(cè)的兩點到直線上一點所連線段的和最小的問題.在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移等變換把不在一條直線上的兩條線段 轉(zhuǎn)化到一條直線上，從而作出最短路徑的方法來解決問題.【例2】 如圖，小河邊有兩個村莊 A B,要在河邊建一自來水廠向 A村與B村供水.(1)若要使廠部到 A, B村的距離相等，則應(yīng)選擇在哪建廠？(2)若要使廠部到 A, B兩村的水管最短，應(yīng)建在什么地方？分析：(1)到A, B兩點距離相等，可聯(lián)想到“線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距 離相等”，又要在河邊，所以作 AB的垂直平分線，與 EF的交點即為符合條件的點.(2)要使廠部到A村、B村的距離之和最短，可聯(lián)想到“兩點

6、之.間線段最短”，作A(或B)點關(guān)于EF的對稱點，連接對稱點與 B點，與EF的交點即為所求.解：(1)如圖1,取線段AB的中點G,過中點G畫AB的垂線，交EF于P,則P到A, B的 .1距離相等.也可分別以 A B為圓心，以大于1AB為半徑回弧，兩弧交于兩點，過這兩點作直線，與EF的交點P即為所求.(2)如圖2,畫出點A關(guān)于河岸EF的對稱點A ,連接A B交EF于P,則P到A, B的距 離和最短.【例3】 如圖，從A地到B地經(jīng)過一條小河(河岸平行)，今欲在河上建一座與兩岸垂直的橋，應(yīng)如何選擇橋的位置才能使從A地到B地的路程最短？思路導(dǎo)引：從 A到B要走的路線是 Z MR NR B,如圖所示，而

7、 MN定值，于是要使路程 最短，只要 AMb BN最短即可.此時兩線段應(yīng)在同一平行方向上，平移MNBU AC從C到B應(yīng)是余下的路程，連接 BC的線段即為最短的，此時不難說明點N即為建橋位置，MN為所建的橋.解：（1）如圖2,過點A作AC垂直于河岸，且使 AC等于河寬.（2 ）連接BC與河岸的一邊交于點 N（3）過點N作河岸的垂線交另一條河岸于點M則MN所建的橋的位置.思維拓展創(chuàng)新應(yīng)用4 .生活中的距離最短問題由兩點之間線段最短（或三角形兩邊之和大于第三邊 ）可知，求距離之和最小問題， 就是運從而解決這個問題， 運用軸對如圖，AO B0= AC的長.所用等量代換的方式，把幾條線段的和想辦法轉(zhuǎn)化在

8、一條線段上， 稱性質(zhì)，能將兩條線段通過類似于鏡面反射的方式轉(zhuǎn)化成一條線段, 以作已知點關(guān)于某直線的對稱點是解決這類問題的基本方法.桌子擺成如圖a所示兩直排【例4】（實際應(yīng)用題）茅坪民族中學八（2）班舉行文藝晚會, （圖中的AO BO, A0桌面上擺滿了橘子，OBg面上擺滿了糖果，站在 C處的學生小明先拿橘圖b子再拿糖果，然后到 D處座位上，請你幫助他設(shè)計ACD*B圖a解：如圖b.（1）作C點關(guān)于OAW對稱點Ci,作D點關(guān)于0B的對稱點D, （2）連接CD,分別交0A OBT P, Q那么小明沿 O A CHD的路線行走，所走的總路程最短.5 .運用軸對稱解決距離之差最大問題利用軸對稱和三角形的

9、三邊關(guān)系是解決幾何中的最大值問題的關(guān)鍵.先做出其中一點關(guān)于對稱軸的對稱點，然后連接對稱點和另一個點，所得直線與對稱軸的交點，即為所求.根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和三角形中兩邊之差小于第三邊易證明這就是最大值.破疑點解決距離的最值問題的關(guān)鍵運用軸對稱變換及三角形三邊關(guān)系是解決一些距離的最值問題的有效方法.【例5】 如圖所示，A B兩點在直線l的兩側(cè)，在l上找一點C,使點C到點A B的距 離之差最大.3月K分析：此題的突破點是作點 A（或場關(guān)于直線l的對稱點A （或B）,作直線A B（AB） 與直線l交于點C,把問題轉(zhuǎn)化為三角形任意兩邊之差小于第三，邊來解決.解：如圖所示，以直線l為對稱軸，作點 A關(guān)于

10、直線l的對稱點A , A B的連線交l 于點C,則點C即為所求.理由：在直線l上任找一點C（異于點。，連接CA C A, C A, C B.因為點A, A關(guān)于直線l對稱，所以l為線段AA的垂直平分線，則有 CA= CA，所 以 CA-CB= CA -CB= A B.又因為點 C在 l 上，所以 C A= C A.在 A BC中，C A -C B= C A C B A B,所以 C A C B CA- CB點撥：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)、利用三角形的三邊關(guān)系，通過比較來說明最值問題是常用的一 種方法.三、例題: 例1、如右圖是一個棱長為4的正方體木塊，一只螞蟻要從木塊的點A沿木塊側(cè) 面爬到點B處，則它爬

11、行的最短路徑是 。如右圖是一個長方體木塊，已知 AB=3,BC=4,CD=2假設(shè)一只螞蟻在點A處，它要沿著木塊側(cè)面爬到點D處，則螞蟻爬行的最短路徑是例2、如圖，要在河邊修建一個水泵站，分別向張村、李莊送水，水泵站修在河 邊什么地方可使所用的水管最短。李莊.B張村.A . L如圖，直線L同側(cè)有兩點A B,已知A、B到直線L的垂直距離分別為1和3, 兩點的水平距離為3,要在直線L上找一個點P,使PA+PB勺和最小。請在圖中找 出點P的位置，并計算PA+PB勺最小值。要在河邊修建一個水泵站，向張村、李莊鋪設(shè)管道送水，若張村、李莊到河邊 的垂直距離分別為IKmffi 3Km張村與李莊白水平距離為 3K

12、m則所用水管最短長.李莊度為張村.四、練習題（鞏固提高）（一）1、如圖是一個長方體木塊，已知AB=5,BC=3,CD=4假設(shè)一只螞蟻在點A處, 它要沿著木塊側(cè)面爬到點D處，則螞蟻爬行的最短路徑是。第1題2、現(xiàn)要在如圖所示的圓柱體側(cè)面 A點與B點之間纏一條金絲帶（金絲帶的寬度忽 略不計），圓柱體高為6cm,底面圓周長為16cm,則所纏金絲帶長度的最小值為 03、如圖是一個圓柱體木塊，一只螞蟻要沿圓柱體的表面從 A點爬到點B處吃到食物，知圓柱體的高為5 cm,底面圓的周長為24cm,則螞蟻爬行的最短路徑 為 。DW MN4、正方形 ABCD勺邊長為8, M在DC上，且DMk 2, N是AC上的一動

13、點,5、在菱形 ABCm，AB=2點E是AB的中點,/BAD=60 ,P是對角線AC上的一個動點，則PE+PB勺最小值為。6、如圖，在 ABC中,AO BO 2, /AC氏90 , D是BC邊的中點，E是AB邊上一動點，則EJ ED的最小值為 。7、AB是。的直徑，AB=Z OC是。的半徑，OCL AB,點D在AC上，AD = 2CQ點P是半徑OC的一個動點，則AP+PD勺最/、俏為。(二)8、如圖，點P關(guān)于OA OB的對稱點分別為 G D,連接CD交OA于M 交OB于N,若C518cm,則 PMN勺周長為。9、已知，如圖DE是4ABC的邊AB的垂直平分線，D為垂足，DEi BC于E,且AC

14、=5, BO 8,則4AEC的周長為。11、如圖，在銳角 ABC中,AB= 4地,B BAC= 4510、已知，如圖，在 ABC中，AB AC BC邊上的垂直平分線 DE交BC于點D,交 AC于點E, AO8, 4ABE的周長為14,則AB的長。,/ BAC的平分線交BC于點D, M N分別是AD和AB上的動點，則BM+MNJ最小值是.12、在平面直角坐標系中，有 A (3, 2), B (4, 2)兩點，現(xiàn)另取一點C (1, n), 當n =時,AC + BC的值最小.實用文檔第11題第14題第15題13、ZXABC 中，/ C = 90 , AB = 10, AC=6,BC=8 過 AB

15、邊上一點 P 作 PEL AC 于 E, PF, BC于F, E、F是垂足，則EF的最小值等于.14、如圖，菱形 ABCD, AB=2, / BAD=60，點 E、F、P 分別是 AB BC AC上的動點，則PE+PFF勺最小值為.15、如圖，村莊A、B位于一條小河的兩側(cè)，若河岸 a、b彼此平行，現(xiàn)在要建設(shè)一座與河岸垂直的橋CD問橋址應(yīng)如何選擇，才能使 A村到B村的路程最近?16、一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x、y軸分別交于點A (2, 0), B (0, 4).(1)求該函數(shù)的解析式；(2) O為坐標原點，設(shè)OA AB的中點分別為C、D, 的最小值,并求取得最小值時 P點坐標.(三)16、如

16、圖，已知/ AO時有一點P,試分別在邊。府口 OB上各找一點E、F, 使得4PEF的周長最小。試畫出圖形，并說明理由17、如圖，直線l是第一、三象限的角平分線. 實驗與探究：(1)由圖觀察易知A (0, 2)關(guān)于直線l的對稱點A的坐標為(2, 0),請在圖 中分別標明B (5, 3)、C( 2, 5)關(guān)于直線l的對稱點B、C的位置，并寫 出他們的坐標：B， 、C，;歸納與發(fā)現(xiàn)：(2)結(jié)合以上三組點的坐標，你會發(fā)現(xiàn)：坐標 平面內(nèi)任一點P (a, b)關(guān)于第一、三象限的角 平分線l的對稱點P的坐標為; 運用與拓廣：(3)已知兩點 D (1, 3)、E(-1, 4),試 在直線l上確定一點Q,使點Q

17、到D E兩點的 距離之和最小，并求出Q點坐標.18、幾何模型：條件：如圖，A、B是直線L同旁的兩個定點.問 題：在直線L上確定一點P,使PA+PB勺值最小. 方法：作點A關(guān)于直線l的對稱點A,連結(jié)AB 交l于點P ,則PA + PB= AB的值最小(不必 證明).模型應(yīng)用：(1)如圖1,正方形ABCD的邊長為2, E為AB的中點，P是AC上一動點.連 結(jié)BD,由正方形對稱性可知，B與D關(guān)于直線AC對稱.連結(jié)ED交AC于P,則 PB中E的最小值是；(2)如圖 2, OO的半徑為 2,點 A、B、C 在。O上，OA,OB,，AOC=60。， 標準文案BDPCOPBBBAAElA .POA圖1DE為

18、邊BC的中點，P為BDAB = 10cmAB = 10cm,PC + PE的最小值;ADADCBQ圖3(1)如圖，四邊形ABCD是正方形， 上的一個動點，求PC+PE的最小值；(2)如圖，若四邊形ABCD是菱形， 的一個動點，P為BD上的一個動點，求問題解決(3)如圖，若四邊形 ABCD矩形,AB=10cm, BC=20cm, E為 邊BC上的一個動點，P為BD上的一個動點，求PC+PE的最小值；L1JBBEC實用文檔是OB上一動點，求PA + PC的最小值；(3)如圖3, /AOB=45 , P是/AO時一點，PO=10 Q R分別是OA OB上的 動點，求 PQRH長的最小值.RC-PN

19、ABC = 45。，E 為邊 BC 上A19、問題探究3C圖2標準文案20.如圖，在直角坐標系中，點 A的坐標為(-2, 0),連結(jié)0A,將線段OA繞原點 。順時針旋轉(zhuǎn)120 ,得到線段OB.(1)求點B的坐標；(2)求經(jīng)過A、CX B三點的拋物線的解析式；(3)在(2)中拋物線的對稱軸上是否存在點 C,使BOC勺周長最?。咳舸嬖?， 求出點C的坐標；若不存在，請說明理由.(注意：本題中的結(jié)果均保留根號) 解：(1)過點B作BDL x軸于點D,由已知可得：OB=OA=2/BOD=60.在RtACBD 中，/ ODB=90 / OBD=30.四解得：a=*b=2c=0.33 .OD=1 DB= 3

20、(2)設(shè)所求拋物線的解析式為知可得:c = 04a -2b c =0點B的坐標是(1,百)y = ax2 bx c ,由已/3 = 0,33解得 x1 =1, x2 =35分I OAI =1, I OEBI =3.又tan/OC& |BJ = Q|OC| ./OC氏 60 ,同理可求 / OCAF 30 . ./AC氏 906 分由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知A捻BD, BG= AD四邊形ADBO平行四邊形7分又/AC氏90 . .四邊形ADBO矩形 8分(3)延長BC至N,使CN=CB.假設(shè)存在一點F,使4FBD的周長最小.即FD +FB +DB最小.DB固定長.只要FD+FB最小.又: CALBN .FD

21、+FB= FC+FN.當N F、D在一條直線上時，F(xiàn)D+FB最小. 101又C為BN的中點，.FC= AC (即F為AC的中點).2又A (1, 0), C (0, - V3):點 F 的坐標為 F (-,22存在這樣的點F (-1,使得 FBD的周長最小.-12分 2211 2.22.已知：直線丫=一*+1與丫軸父于A,與x軸父于D,拋物線y=-x +bx + c與 22直線交于A、E兩點，與x軸交于B、C兩點，且B點坐標為 (1, 0).(1)求拋物線的解析式；(2)動點P在x軸上移動，當 PAE是直角三角形且以P為直角頂點時，求點 P I(3)在拋物線的對稱軸上找一點 M使|AM -MC |的值最大，求出點M的坐標.答案:1c(1)