2021年甘肅省高考數(shù)字診斷試卷(3月份)(含解析).docx

1、2021年甘肅省高考數(shù)字診斷試卷（3月份）一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）已知集合A=1,3,集合B=（3,4）,則AUB等于（）A. 1B.3C.1,3,3,4D.1,3,4）己知復(fù)數(shù)z滿足z（l-i）=（l+ai）i3,且z為純虛數(shù).則實(shí)數(shù)。的值為（）A.1B.2C.D.；Z41. 拋擲一枚均勻的骰子（骰子的六個(gè)面上分別標(biāo)有1、2、3、4、5、6個(gè)點(diǎn)）一次，觀察擲出向上的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件人為擲出向上為偶數(shù)點(diǎn)，事件b為擲出向上為3點(diǎn)，則藏亂q=（）A.JB.?C.ND.芝售獸或魅動(dòng)曲線匕的初始位置所對(duì)應(yīng)的方程為：#一#=13<0）,一個(gè)焦點(diǎn)為F1（-c,0）,曲線4：子一

2、67;=l（x>0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F2（c,0）,其中a>0,b>0,c=y/a2+b2.現(xiàn)將八沿x軸向右平行移動(dòng).給出以下三個(gè)命題： 月的兩條漸近線與6的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可能有3個(gè)； 當(dāng)兒的兩條漸近線與上的交點(diǎn)及殄的頂點(diǎn)在同一直線上時(shí)，曲線平移了（V2+l）a個(gè)單位長(zhǎng)度； 當(dāng)乙與F2重合時(shí)，若】,伍的公共弦K恰為兩頂點(diǎn)距離的4倍，則八的離心率為3.其中正確的是（）A.B.C.D.從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件，測(cè)最這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)，其頻率分布表如下:質(zhì)量指標(biāo)值分組10,30)30,50)50,70頻率0.10.60.3則可估計(jì)這批產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)的方差為（）A.140B.

3、142C.143D.134.8等差數(shù)列機(jī)？，餌僵的前窿項(xiàng)和分別為.乞，.芝、，若等匚普?，則使?為整數(shù)的正整數(shù)的取值個(gè)數(shù)是（）=cos(a-功+1-(cosa+cos0)-+l-(cosa+cos月)!_(cosa+cos0)=L_2gW°sE222Los竺芝22當(dāng)。，月中一個(gè)為240°,另一個(gè)為120。時(shí),3亦切有最大值為5,當(dāng)中一個(gè)為60。，另一個(gè)為-60。時(shí),而而有最小值為故選B.8. 答案：D解析：1時(shí)，圖象單調(diào)遞減.本題考查指對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，當(dāng)?shù)状笥?時(shí)，圖象單調(diào)遞增，當(dāng)0VQV解：當(dāng)。1時(shí)，利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得：符合；當(dāng)0VQV1時(shí)，同理可得為，故

4、選O.9. 答案:A解析：解：直六棱柱的外接球的直徑為直六棱柱中最長(zhǎng)的對(duì)角線，.一個(gè)直六棱柱的底面是邊長(zhǎng)為4的正六邊形，側(cè)棱長(zhǎng)為6,直六棱柱的外接球的直徑為V82+62=10，.外接球的半徑為5,外接球的體積為豚x53=罕.故選：A.直六棱柱的外接球的直徑為直六棱柱中最長(zhǎng)的對(duì)角線，可得直六棱柱的外接球的直徑，即可求出外接球的體積.本題考查球的體積和表面積，確定直六棱柱的外接球的直徑為直六棱柱中最長(zhǎng)的對(duì)角線是解題的關(guān)鍵.10. 答案：B解析：解：橢圓和矩形相切，矩形的面積是2,由隨機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)合幾何概型中的面積型可得：羿=三,s矩形nc_2mA'枷=了故選：B.由隨機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)合幾何概型

5、中的面枳型可得：羿=?,即可求出.s矩形n本題考查了幾何概型中的面積型及橢圓的面積，屬簡(jiǎn)單題.11. 答案：A解析：解：4當(dāng)aVO時(shí)，為開(kāi)口向下的拋物線，變化趨勢(shì)滿足條件，B. 當(dāng)k<0為函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，故函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，不滿足條件.C. 當(dāng)0VQV1為函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)Q>1時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，故函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，不滿足條件,。.當(dāng)0VQC1為函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)Q>1時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，故函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，不滿足條件.故選：A.根據(jù)條件得到函數(shù)不單調(diào)，在左側(cè)為增函數(shù)，右側(cè)為減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分別進(jìn)行判斷即可.本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，結(jié)合條件研究函數(shù)的單調(diào)性

6、是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.12. 答案:C解析：解:vf(x)=3x2-3>0,解得xe(-oo,-i)和(1,+8)f(X)在(-00,-1)和(1,+8)上遞增，故選：C.由f(x)>0,得f(x)在(-00,+oo)遞增區(qū)間.本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題.13. 答案：28解析：解：當(dāng)0VQV1時(shí)，函數(shù)/'(X)為增函數(shù)，當(dāng)Q21時(shí)，函數(shù)/()為增函數(shù)，若/X。)=/(a+1),則“，a+1分別在兩個(gè)不同的區(qū)間上，即0VaV1,則函=4(。+11)=即q=64a3,得尸=得q=64o則/)=/'(8)=4x7=28,故答案為：28分別判斷

7、當(dāng)OvaVI和Q>1時(shí)都是增函數(shù)，得到0VQV1,然后結(jié)合條件建立方程求出。的值即可.本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷。的范圍是解決本題的關(guān)鍵.14. 答案：(-恣)解析：解：畫(huà)出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：，顯然當(dāng)0VQV時(shí)，不等式組表示的區(qū)域?yàn)槿切危褐本€y=ax與x+2y-4=0相交時(shí)，可行域是三角形,由由可得：4（*）.x+2y4=0x-2y-2=0則此時(shí)OKab=-三;滿足條件的點(diǎn)P（x,y）表示的平面區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)三角形,則。的取值范圍是：（一以）.故答案為：（一以）先畫(huà)出滿足條件的平面區(qū)域，由圖象可直接讀出。的范圍.本題考察了解得的線性規(guī)劃問(wèn)題，考察數(shù)形結(jié)合思想

8、，是一道中檔題.15. 答案:玲解析：解：.等差數(shù)列%,如的前項(xiàng)和分別為S”Tp對(duì)任意自然數(shù)都由若=蕓|，_+_=虺+色=電缶+%b2+b82bs2bs2b510f工、aA+_2（ai+a9）=頑；=岑（缶+缶）_魚(yú)_2X9-3_5-%一4x9-311*故答案為：m10,由等差數(shù)列的性質(zhì)得去+去=第+第=票=梏=祺裕=m，由此能求出結(jié)果.加+為2+如2b$2b$2b$b+bg（Dj+9）Tg本題考查等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)和的比值的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題.16. 答案：、解析：解：以AO為折痕使房區(qū)成直角，所得圖形如卜圖所示:由ADLBD

9、,AD1CD,易得：直線AD1平面BCD,正確；由AB=AC,可得側(cè)面人BC是等邊三角形，正確；由BD=AD=CD=萼1，可得三棱錐4BCD的體積是a3,正確.故答案為：、（3）由4ABC是等腰直角三角形，AB=AC=a,AO是斜邊BC±.的高，折起后，根據(jù)線面垂直的判定定理可判斷的真假；由等腰三角形的判定，可知的真假；根據(jù)棱錐體枳公式求出三棱錐A-BCD的體積可以判斷的真假.進(jìn)而得到答案.本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱錐的結(jié)構(gòu)特征，線面垂直的判定，棱錐的體積，其中根據(jù)對(duì)折后，AO與位;與CD的垂直關(guān)系不變，AB,AC的相等關(guān)系不變，是解答的關(guān)鍵.17. 答案：證明：在ABC中，己知sin2/

10、l+sin2B=sin2C,由正弦定理可得：a2+b2=c2.三角形是直角三角形.解析：直接利用正弦定理以及勾股定理判斷即可.本題考查正弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.18. 答案：因?yàn)锽11C,BELA1B1,B1A1B1=所以"1平DE.（6分）所BDJ平面1AC,所以fJ平A1BIC,因?yàn)镃lBE=B明：為BDLAC,BDLAAlAdAl=A,所BE11C；ftjVCDE=VE-BDC=xlx|xx2=|（4分）解析：證明：BD11C,B11C,再證明CJ平面BOE；利用VC-DVE-BD,求三枝C-DE的體積.本題考查線面垂直，考棱錐。-枳，查學(xué)生析解決問(wèn)題的能，屬于中題.19.

11、答案：由系數(shù)公式可知，設(shè)也=刀,X二4.5,*3.5,八66.5-4X4.5X3.566.5-63b=5=E0.786-4X4.525八93=3.5-0.7X0.35，所以線性回歸方程為y=0.7x+0.35；(3)當(dāng)x=100時(shí),y=0.7x+0.35=70.35,所以預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低19.65噸標(biāo)準(zhǔn)煤.解析：解：由系數(shù)公式可知，7=4.5,*3.5-66.5-4X4.5X3.566.5-63b=5=0.786-4X4.525a=3.5-O.7X-o.35，所以線性回歸方程為y=0.7x+0.35；(3)當(dāng)x=100時(shí)，y=0.7x+0.35=70.35,所以

12、預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低19.65噸標(biāo)準(zhǔn)煤.diE丫_21nx+x_(1)解：由川)=5”,得/«)=Jx-1(x-1)設(shè)g(x)=-21nx+x-,貝!jg(l>0,S.g(x)=P>0,xx所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，當(dāng)x(0,l)時(shí)，g(X)>0,即/'U)>0,f(x)單調(diào)遞增，因此，f(X)*(0J)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增；.答案：Q)證明：原不等式就是(x+1)lnz-2>0,即四1心-竺鳥(niǎo)>0,x-1x-1x+1令龍(x)=lnx_23_l),則h(i)=o，A'(x)=

13、(x1：)>0,x+1x(x+l)2所以h(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，x-4-1當(dāng)x£(0,l)時(shí)，h(X)<0,<0,x-1當(dāng)xG(l,+8)時(shí)，h(x)>o,>0,x-1.當(dāng)x>0且xNl時(shí)，Rx)>2./1z_21nx+x_【(1)解：由/(、)=(V，得f=x-1(x-1)設(shè)g()=-21nx+x-,貝!jg(l>0,S.g(x)=P>0,xx所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，當(dāng)xE(0,l)時(shí)，g(X)>0,即/'U)>0,f(x)單調(diào)遞增，因此，f(X)*(0J)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上

14、單調(diào)遞增；解析：(2)證明：原不等式就是(X+1)lnZ-2>0,即四Inx-空應(yīng)>0,x-1x-1x+1令龍(Q=lnx_2(x_l),則h(i)=o，n)=(x_D®，x+1x(x+l)2所以h(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，x-4-1當(dāng)x£(0,l)時(shí)，h(X)<0,<0,x-1當(dāng)xG(l,+8)時(shí)，h(x)>o,>0,x-1.當(dāng)x>0且xNl時(shí)，f(x)>2.20 .答案：解：(I)設(shè)點(diǎn)直線PA,的斜率分別為/Q,k2,記P(x(),yo).PA的方程：yyo=-x0),:.PB的方程：y-y0=k2(x-x0'

15、;),則由直線Zv12與圓相切得：況章打"=1n(扁-1)*2+2x°(l-yoM+yg-2yo=0(*)所以燈，上2是(*)式的兩根，故k*2=1.即y頂-2y0=品一1,又品=2y0,y頂一4%+1=0,y0=2±V3.(U)由得Xa=X。-攵,XB=XO-"心8=：|A8|yp|=拼|亡琴I=拆|芒親I.(1)由(*)知：住|=I精1,|知-婦=I*I=第I=I斜*“蜘=拼|滂1=2弟|功。|=衛(wèi)=妄，20lyz_2yol|y0-2|y0-2故令t=yQ-2e(2,6),.Sapab=攜=啰=十+4e(8,孕).解析：(I)根據(jù)直線與圓相切列方程以

16、及韋達(dá)定理和斜率的乘積為I可得.(口)利用面積公式：lAB-yP到解析式，再根據(jù)函數(shù)求值域可得.本題考查了拋物線的性質(zhì)，屬中檔題.22.答案：解：(1)因?yàn)榍€C的極坐標(biāo)方程為p=2sin0,所以p2=2psin0,故直角坐標(biāo)方程為乂2+y2=2y,又因?yàn)槿它c(diǎn)的極坐標(biāo)為(2,亨)，所以可得直角坐標(biāo)為(2cos,2s。乎)，故A(-V2.V2).即可得直線OA的方程為y=-x.(2)聯(lián)立：2二；=宮Z°，解得捉，P(-1,1).直線OA的斜率為一1,OALI,：伽=1，.直線/的方程為y1=x+1,即xy4-2=0,直線/的極坐標(biāo)方程為pcosO-psinO+2=0.解析：本題考查了極

17、坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化、直線與圓的交點(diǎn)、點(diǎn)斜式，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.曲線C的極坐標(biāo)方程為p=2sinO,化為p2=2psin3,利用七器籍即可得出直角坐標(biāo)方程,由A點(diǎn)的極坐標(biāo)為（2,號(hào)），可得直角坐標(biāo)為（2cos乎,2s?），利用點(diǎn)斜式可得可得直線OA的方程.（2）把直線0A的方程與曲線C的方程聯(lián)立可得P（-1,1）,利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系可得直線/的斜率，利用點(diǎn)斜式可得直角坐標(biāo)方程，利用£二旨巖籍，即可得出直線/的極坐標(biāo)方程.23.答案：解：（1）原不等式行等價(jià)與x<-l-3x+l<3x4-5-1<x<13-x<3x+5x>

18、;l3x-l<3x4-5解得（2）由已知a,赤0,1,則瀝+Qa-切（零）2+（白+。）一（白+幻a=?-；每+的）一：2,1又a+8e0,2,則白+8=時(shí)ab+a-a-切0+£）的最大值為一.2 3x-1解析：原不等式行等價(jià)與一心30或，或43-x<3x+5x>l3x-l<3x+5解不等式組即可,（2）運(yùn)用基本不等式求最值，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可得答案.A.3B.4C.5D.62才2. 己知點(diǎn)4（1,0）,3,C在單位圓上，ABOC=（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則而.而的取值范圍是A.-1,0B.C.0,2D.七+在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)/'（x）=logax（

19、a>0且q豐1）與函數(shù)g（x）=qX（q>0且aA1）的圖象可能是（）A.B.C.D.3. 一個(gè)直六棱柱的底面是邊長(zhǎng)為4的正六邊形，側(cè)棱長(zhǎng)為6,則它的外接球的體積為（）.5OO7TA.5OO7TAB.5OO7TC.40007TD.4000tt4. 為了求得橢圓#+g=i（Q>b>0）的面積，把該橢圓放入個(gè)矩形當(dāng)中，恰好與矩形相切，向矩形內(nèi)隨機(jī)投入（%!，yi）,（x2,y2）,（xn,yn）共個(gè)不同的點(diǎn)，其中在橢圓內(nèi)的點(diǎn)恰好有V個(gè).若矩形的面積是2,則可以估計(jì)橢圓的面積為（）氏？B.半C寫D.幸某跨國(guó)飲料公司在對(duì)全世界所有人均GDP（即人均純收入）在0.58千美元的地區(qū)

20、銷售該公司A飲料的情況調(diào)查時(shí)發(fā)現(xiàn)：該飲料在人均GQP處于中等地區(qū)的年人均銷售量最大，然后向兩邊遞減下列兒個(gè)模擬函數(shù)中用哪個(gè)模擬函數(shù)來(lái)描述人均A飲料銷售量與地區(qū)的人均GOP關(guān)系更合12.適？（x表示人均GDP,單位：千美元,），表示年人均人飲料的銷售量，單位：L）（）A.y=ax2+bx(a<0)C.y=ogax+b(a>0且q裝1)函數(shù)/'（x）=x3-3x的單調(diào)增區(qū)間為（B.D.B.D.y=kx+b(k黃0)y=ax+b(Q>0且QA1)(一l,+8)二、單空題（本大題共4小題，共20.0分）13.設(shè)函數(shù)f(x)=13.設(shè)函數(shù)f(x)=僑：二L"若為）=/

21、+則必=（x+2y4<014. 已知x,y滿足約束條件x-2y>2,若可行域?yàn)槿切?，則。的取值范圍為.（y>ax設(shè)等差數(shù)列%，如的前項(xiàng)和分別為Sn，L，若對(duì)任意自然數(shù)都由芝=歿號(hào),則總+焉的值為己知'ABC是等腰直角三角形，AB=AC=a,AO是斜邊BC上的高，以AD為折痕使匕BDC成直角.在折起后形成的三棱錐A-BCDt，有如下三個(gè)結(jié)論：直線ADJL平面BCD；側(cè)面人BC是等邊三角形；三棱錐4-BCD的體積是.其中正確結(jié)論的序號(hào)是.（寫出全部正確結(jié)論的序號(hào)）三、解答題（本大題共7小題，共82.0分）15. 在中，己知sin2/!+sin2F=sin2C,求證ABC

22、是直角三角形.16. 求：A1C1平BOE；三棱錐C-BDE的積.17. 下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗.y（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù).U9162536y2.5344.5（1）請(qǐng)技=白+8也建立y關(guān)于u的回歸方程.（2）己知該廠技改前10000噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤，試根據(jù)（1）求出的回歸方程，預(yù)測(cè)生產(chǎn)10000噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？£（無(wú)一亍|（又一萬(wàn)）£-nxy（參考公式：b=ra=y-bx）玄（而-工）2支工:-以；2-12-118. 21.（本小題滿分12分）己知函數(shù)/（x）=（：X+

23、1）lnX（x0且在1）x-1（I）討論函數(shù)/C0的單調(diào)性;19. P是拋物線工2=2y上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P(%o»yo)作圓C：X24-(y-I)2=1的兩條切線12交x軸于A，B兩點(diǎn),(I)若兩條切線»上的斜率乘積為1，求P點(diǎn)的縱坐標(biāo):(口)求當(dāng)4<y0<8時(shí)，P/1B面積的取值范圍.20. 在平面直角坐標(biāo)系xQy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，得曲線C的極坐標(biāo)方程為p=2sin0,設(shè)A點(diǎn)的極坐標(biāo)為(2,苧).(1) 求直線Q4及曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2) 設(shè)直線。4與曲線C的一個(gè)交點(diǎn)為P(不是原點(diǎn)0),過(guò)點(diǎn)尸作直線Q4的垂線求直線/的

24、極坐標(biāo)方程.哼）丫暮就irom彳”圓日§+x£>|l-維+|1+乂|辛墻業(yè)加（【）溉【答案與解析】解析：解：集合A=(1,3),集合B=(3,4),則4UB=1,3,4.故選:D.根據(jù)并集的定義寫出AUB即可.本題考查了交集的定義與應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目.2. 答案：A解析：解：z(l-i)=(1+az)z3=a-i,所以z=S_(a-i)(l+i)_a+1a-1.(l-O(l+t)一22l，由題意得，q+1=0,即a=1.故選：A.直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，然后利用復(fù)數(shù)的概念得答案.本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.3. 答案：B解析：試題分

25、析：事件q為擲出向上為偶數(shù)點(diǎn)，河嫩=?,事件蹄為擲出向上為3點(diǎn)，河嬲=,又事件q、蹄是互斥事件，事件如戳為事件q、蹄有一個(gè)發(fā)生的事件，巍凰2蹦=?，故選B.考點(diǎn)：互斥事件的概率.4. 答案：D解析：解：由己知條件知，4沿工軸向右平行移動(dòng)。個(gè)單位時(shí)，得到竺2i_W=i，a2b2聯(lián)立方程組聯(lián)立方程組Xv2，解得X=y=0,77=1b2.由橢圓的對(duì)稱性知兒的兩條漸近線與4的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不可能有3個(gè)，故錯(cuò)誤;(2)命的兩條漸近線與的交點(diǎn)及D的頂點(diǎn)在同一直線上，.解方程組y=±，得的移動(dòng)后的圖象過(guò)點(diǎn)(Q,b),(a-by頃=Q把y=b代入：=l(x<0)»得x=V2a»曲線n平移T(V2+1)q個(gè)單位長(zhǎng)度，故正確;(x-2c)2_-=1Fl與F2重合時(shí)，解方程組x2a2y2:，得八，命的公共弦長(zhǎng)為半,.4,G的公共弦長(zhǎng)恰為兩頂點(diǎn)距離的4倍,.誓=8。，解得b2=4a2,從而c2=5a2,匕的離心率