2020-2021中考數(shù)學(xué)培優(yōu)含解析之圓與相似含詳細(xì)答案

1、2020-2021中考數(shù)學(xué)培優(yōu)(含解析)之圓與相似含詳細(xì)答案一、相似abc=一:一1 .已知線段a,b,c滿足3J壯，且a+2b+c=26.(1)判斷a,2b,c,b2是否成比例；(2)若實(shí)數(shù)x為a,b的比例中項(xiàng)，求x的值.abc一二一二一二k【答案】(1)解：設(shè)3三6,則a=3k,b=2k,c=6k,又a+2b+c=26, .3k+2x2k+6k=26軍得k=2,a=6,b=4,c=12;.-2b=8,b2=16,.a=6,2b=8,c=12,b2=16 .2bc=96,ab2=6X16=962bc=ab2a,2b,c,b2是成比例的線段。(2)解：:x是a、b的比例中項(xiàng)，1 .x2=6ab

2、,，x2=6X4內(nèi)62 .x=12.【解析】【分析】(1)設(shè)已知比例式的值為k,可得出a=3k,b=2k,c=6k,再代入a+2b+c=26,建立關(guān)于k的方程，求出kl的值，再求出2b、b2,然后利用成比例線段的定義，可判斷a,2b,c,b2是否成比例。(2)根據(jù)實(shí)數(shù)x為a,b的比例中項(xiàng)，可得出x2=ab,建立關(guān)于x的方程，求出x的值。i2.如圖，已知：在RtABC中，斜邊AB=10,sinA=$，點(diǎn)P為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)(不與A,B重合)，PQ平分/CPB交邊BC于點(diǎn)Q,QMLAB于M,QNLCP于N.(2)若四邊形PMQN為菱形，求CQ;(3)探究：AP為何值時(shí)，四邊形PMQN與4BPQ的面積

3、相等?【答案】(1)解：.AB=10,sinA=1,BC=8,則AC=成格=6, PA=PCZPAC=/PCA,PQ平分/CPB/BPC=2ZBPQ=2ZA,/BPQ=ZA, .PQ/AC, .PQBC,又PQ平分/CPB,/PCQ=ZPBQ, .PB=PC .P是AB的中點(diǎn)，IPQ=AC=3(2)解：二四邊形PMQN為菱形，MQ/PC,/APC=90；aK0 JXABXCP=ACBC則PC=4.8,由勾股定理得，PB=6.4, MQ/PC,PB 瓦=解得，CQ=(3)解：PQ平分/CPB,QMXAB,QNXCP,.QM=QN,PM=PN,Sapmq=Sapnq,四邊形PMQN與ABPQ的面積

4、相等，.PB=2PM,.QM是線段PB的垂直平分線,/B=ZBPQ,/B=/CPQ.CPCACBP,=灰丸|.CP=49=4興=5,.CQ=此時(shí)所以.BQ=8-4.BM=.AP=AB-PB=AB-2BM=【解析】【分析】(1)當(dāng)AP=CP時(shí)，由銳角三角函數(shù)可知AC=6,BC=8,因?yàn)镻Q平分/CPB,所以PQ/AC,可知PB=PC所以點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，所以PQ是4ABC的中位線,PQ=3;(2)當(dāng)四邊形PMQN為菱形時(shí)，因?yàn)?APC=,所以四邊形PMQN為正方形，可得PB刷劌PC=4.8,PB=3.6,因?yàn)镸Q/PC,所以PC順研優(yōu)，可得7;當(dāng)QM垂直平分PB時(shí)，四邊形PMQN的面積與BPQ的

5、面積相等，AP=AB-2BM,CPQACBP,對(duì)應(yīng)邊成比例，可得3.已知：A、B兩點(diǎn)在直線l的同一側(cè)，線段AO,BM均是直線l的垂線段，且BM在AO的右邊，AO=2BM,將BM沿直線l向右平移，在平移過程中，始終保持/ABP=90不變，BP邊與直線l相交于點(diǎn)P.(1)當(dāng)P與O重合時(shí)(如圖2所示)，設(shè)點(diǎn)C是AO的中點(diǎn)，連接BC.求證：四邊形OCBM是正方形；AB弧(2)請(qǐng)利用如圖1所示的情形，求證：不=而；(3)若AO=2，且當(dāng)MO=2PO時(shí)，請(qǐng)直接寫出AB和PB的長.【答案】(1)解：-2BM=AO,2CO=AO,.BM=CO,1. AO/BM, 四邊形OCBM是平行四邊形， /BMO=90,

6、 .?OCBM是矩形，/ABP=90,C是AO的中點(diǎn),.OC=BC矩形OCBM是正方形(2)解：連接AP、OB,P0“ /ABP=ZAOP=90, A、B、O、P四點(diǎn)共圓，由圓周角定理可知：/APB=ZAOB,1.AO/BM,/AOB=ZOBM,/APB=ZOBM,.APBAOBM,ABOk麗謠(3)解：當(dāng)點(diǎn)P在O的左側(cè)時(shí)，如圖所示,過點(diǎn)B作BDAO于點(diǎn)D,易證PE84BED,POObsb連易證：四邊形DBMO是矩形,.BD=MO,OD=BM,.MO=2PO=BD, .AO=2BM=2M,J6.OE=3易證ADBsABE,.AB2=AD?AE,-，ad=do=dm=., .AE=AD+DE=.

7、AB=,由勾股定理可知:易證：APEOAPBM,PBPM3.PB=V;當(dāng)點(diǎn)P在O的右側(cè)時(shí)，如圖所示,0過點(diǎn)B作BDOA于點(diǎn)D, .MO=2PO, 點(diǎn)P是OM的中點(diǎn)，設(shè)PM=x,BD=2x, ./AOM=/ABP=90, A、O、P、B四點(diǎn)共圓，四邊形AOPB是圓內(nèi)接四邊形,/BPM=ZA, .ABDAPBM,AD丹i心卻，又易證四邊形ODBM是矩形，AO=2BM,.AD=BM=板,f6x.uZ,解得：x=*4,BD=2x=2.由勾股定理可知：AB=3,BM=3【解析】【分析】(1)根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形OCBM是平行四邊形，根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形得出

8、？OCBM是矩形，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出OC=BC根據(jù)有一組鄰邊相等的矩形是正方形得出結(jié)論；(2)連接AP、OB,根據(jù)/ABP=/AOP=90,判斷出A、B、O、P四點(diǎn)共圓，由圓周角定理可知：/APB=/AOB,根據(jù)二直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得出ZAOB=ZOBM,根據(jù)等量代換得AB0M出/APB=/OBM,從而判斷出APBsOBM,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出理加j；(3)當(dāng)點(diǎn)P在O的左側(cè)時(shí)，如圖所示，過點(diǎn)B作BDAO于點(diǎn)D,易證APEOABED,POOh根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出面一防,易證：四邊形DBMO是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出BD=MO,OD=BM,故MO=2P

9、O=BD,進(jìn)而得出BM,OE,DE的長，易證ADBsABE,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出AB2=AD?AE,從而得出AE,AB的長，由勾股定理可得BF的長，易證：APEOAPBM,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出BE:PB=OM:PM=2:3,根據(jù)比例式得出PB的長；當(dāng)點(diǎn)P在。的右側(cè)時(shí)，如圖所示，過點(diǎn)B作BDOA于點(diǎn)D,設(shè)PM=x,BD=2x,由/AOM=/ABP=90,得出四邊形AOPB是圓內(nèi)接四邊形，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出/BPM=/A,從而判斷出ABDsPBM,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出AD:BD=PM:BM,根據(jù)比例式得出x的值，進(jìn)而得出BD,AB,BP的長。4.已知：如圖，在

10、梯形ABCD中，AB/CD,/D=90,AD=CD=2,點(diǎn)E在邊AD上(不與點(diǎn)A、D重合)，/CEB=45,EB與對(duì)角線AC相交于點(diǎn)F,設(shè)DE=x.(1)用含x的代數(shù)式表示線段CF的長;(2)如果把4CAE的周長記作Cacae,BAF的周長記作aBAF,設(shè)fw=y，求y關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域;(3)當(dāng)/ABE的正切值是m時(shí)，求AB的長.【答案】(1)解：.AD=CD./DAC=ZACD=45, /CEB=45,/DAC=ZCEB ZECA之ECA .CEfACAE在RtCDE中，根據(jù)勾股定理得，CE=中/一，.CF=.CA=,(2)解：./CFEWBFA/CEB玄CAB,/ECA

11、=180-/CEB-/CFE=180-ZCAB-/BFA /ABF=180-/CAB-/AFB, /ECA土ABF, /CAE玄ABF=45, .CEABFACACAEAE2-x227CASFA廣+打半N入行；、/(Ovxv2)(3)解：由(2)知，CEABFA,，AB=x+2,.一/ABE的正切值是5,悝2-x3tanZABE=pl/?2千t3,x=工,.AB=x+2=.【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，求得/DAC=/ACD=45,進(jìn)而根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似，可得CEM4CAE,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股定理可求解；（2）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，由三角形的周長

12、比可求解；（3）由（2）中的相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可求出AB的關(guān)系，然后可由/ABE的正切值求解.5.如圖所示，在ABC中，點(diǎn)。是AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)。的直線與AB,BC的延長線分別相交于點(diǎn)M,N.良:工（1）【問題引入】若點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，瞅3,求陶的值；溫馨提示：過點(diǎn)A作MN的平行線交BN的延長線于點(diǎn)G.（2）【探索研究】若點(diǎn)。是AC上任意一點(diǎn)（不與A,C重合），求證：物.上例；（3）【拓展應(yīng)用】如圖所示，點(diǎn)P是4ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，射線AP,BP,CP分別交BC,AC,AB于點(diǎn)D,AF1BD1AhE,F若加3,m二，求G的值.DESI【答案】(1)解：過點(diǎn)A作MN的平行線交BN的延長線于點(diǎn)

13、G.ON/AG,.COCNNGNG4/。A做.O是AC的中點(diǎn)，.AO=CO,.NG=CN.MN/AG,明題，MGAM1而一礪一？.COCNAM助CCNGBNCN(2)解：證明：由可知，拓法，,拓一前,應(yīng)玩=1(3)解：在4ABD中，點(diǎn)P是AD上一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線與AB,BD的延長線分別相交于AFBCDP點(diǎn)F,C.由(2)可得7間.在4ACD中，過點(diǎn)P的直線與AC,CD的延長線分別相交于點(diǎn)E,B.由(2)可得鏟BCDPCNNG期SA用F班進(jìn)行求解，用也coGi附(2)由明.町第時(shí)可知：物凹(3)由(2)可知，在4ABD中有跖tAFBCDPAECB從而BFCD用ECBDBNCONGBNCNNC由B

14、NNCNG,PDPAECBDP二J.二中刊,在AACD中有FBDPA,班AEAFBCBDAFBC*,周，因此可得：ECBFtnCBBFCD6BGAb【解析】【分析】(1)作AG/MN交BN延長線于點(diǎn)G,證AB34MBN得倒一遇,NGAkNGAC即BAMb，同理可證ACGOCN得CX空，結(jié)合AO=CQ得NG=CN,從而由6.如圖BFCDPABFBCCDDPPAAEECCBBD那PAAE.AFBCSDAFBC1ECBFCDCBBFCD6某學(xué)校智慧方園”數(shù)學(xué)社團(tuán)遇到這樣一個(gè)題目:(1)如圖1,在ABC中，點(diǎn)O在線段BC上，ZBAO=30,/OAC=75,AO=,11,BO:CO=1:3,求AB的長.

15、經(jīng)過社團(tuán)成員討論發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)B作BD/AC,交AO的延長線于點(diǎn)D,通過構(gòu)造4ABD就可以解決問題(如圖2).請(qǐng)回答：ZADB=(2)請(qǐng)參考以上解決思路，解決問題:如圖3,在四邊形/ABC=ZACB=75,BO:OD=1:3,求DC的長.ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,ACAD,AO=入3,【答案】(1)75;(2)解：過點(diǎn)B作BE/AD交AC于點(diǎn)E,如圖所示./AOD=ZEOB,.AOEAEOB,BeEC班DC=AG=DA一一,.BO:OD=1:3,ECBEI.=見=J.AO=3.AE=4/ABC=ZACB=75；/BAC=30；AB=AC,.AB=2BE.在RtAEB中，BE2+AE2

16、=AB2,即(4VJ)2+b2=(2BE)解得：BE=4,，AB=AC=8,AD=12.在RtCAD中，AC2+AD2=CD2,即82+122=CD2,解得：CD=4【解析】【解答】解：（1）-.BD/AC,/ADB=ZOAC=75:/BOD=ZCOA,.BODCOA,01）1oa=a=:.又AO=入門,1II.OD=JAO=%，.AD=AO+OD=4./BAD=30；/ADB=75,/ABD=180-/BAD-/ADB=75ADB,.AB=AD=4、萬.故答案為：75;4.【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)，可求出/ADB的度數(shù)，證明/ADB=/OAC,利用相似三角形的判定定理證明BODsCOA

17、,得出對(duì)應(yīng)邊成比例，求出OD的長，再求出AD的長，然后證明/ABD=/ADB,可求得AB的長。（2）過點(diǎn)B作BE/AD交AC于點(diǎn)E,先證明AODsEOB,得出對(duì)應(yīng)邊成比例，求出EO、AE的長，再證明AB=2BE利用勾股定理求出BE的長，就可得出ACAD的長，然后在RtCAD中，利用勾股定理求出CD的長即可解答。7.已知A(2,0),B(6,0),CBx軸于點(diǎn)B,連接AC畫圖操作：（1）在y正半軸上求作點(diǎn)巳使得/APB=/ACB（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若tan/APBJ,求點(diǎn)P的坐標(biāo)。當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí)，/APB最大(3)若在直線yJx+4上存在點(diǎn)P,使得/APB最大，求

18、點(diǎn)P的坐標(biāo)【答案】(1)解：/APB如圖所示;圖1理解應(yīng)用：(2)解：如圖2中,./APB=/ACB,tanZACB=tanZAPB=改.：A(2,0),B(6,0),，AB=4,BC=8,.C(6,8),，AC的中點(diǎn)K(4,4),以K為圓心AK為半徑畫圓，交y軸于P和P；易知P(0,2),P(0,6).;(0,27、)拓展延伸：(3)解：如圖3中,當(dāng)經(jīng)過AB的園與直線相切時(shí)，/APB最大.二,直線y=jx+4交x軸于M(-3,0),交y軸于N(0,4).MP是切線，.MP2=MA?MB,.MP=3/,作PCOA于【解析】【解答】解：(1)當(dāng)。K與y軸相切時(shí)，/APB的值最大，此時(shí)AK=PK=

19、4,AC=8,BC=一期=44，C(6,4k,3),.K(4,2M,.P(0,2小).【分析】(1)因?yàn)镃Bx軸于點(diǎn)B,所以/ABC9口。要使/APB=/ACB,只需這兩個(gè)角是同弧所對(duì)的圓周角。所以用尺規(guī)左三角形ABC的外接圓，與y軸相交，其交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)P;Ab(2)由(1)知，/APB=/ACB,所以tan/ACB=tan/APB=*=，已知A(2,0),B(6,0),所以AB=4,BC=8,則C(6,8),AC的中點(diǎn)K(4,4),以K為圓心AK為半徑畫圓，交y軸于P和P,易得P(0,2),P(0,6);當(dāng)。K與y軸相切時(shí)，/APB的值最大，此時(shí)AK=PK=4AC=8,在直角三角形AB

20、C中，由勾股定理可得BC=f-超=N，則C(6,點(diǎn))，K(4,2W),而P在y軸上，所以P(0,2普);(3)由(2)知，當(dāng)經(jīng)過AB兩點(diǎn)的圓與直線相切時(shí)，/APB最大。設(shè)直線y=x+4交x軸于M交y軸于N,則可得M(-3,0),N(0,4),因?yàn)镸P是切線，所以由切割線定理可得MP2=MA?MB,可求得MP=3，4,作PKOA于K.所以O(shè)N/PK,由相似三角形的ON0M幽4_3_5”方胞判定定理可得比例式衣質(zhì)值即圖短，解得PK=5,MK=5,所以可得OK=-3,則P(-3,8.在正方形ABCD中，AB=8,點(diǎn)P在邊CD上，tan/PBC=點(diǎn)Q是在射線BP上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作AB的平行線交射線

21、AD于點(diǎn)M,點(diǎn)R在射線AD上，使RQ始終與直線BP垂直.圉I圉Z圖3(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)R與點(diǎn)D重合時(shí)，求PQ的長；嘏的比值隨點(diǎn)匕的運(yùn)動(dòng)沒有變化(2)如圖2,試探索：應(yīng)的比值是否隨點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化？若有變化，請(qǐng)說明你的理由；若沒有變化，請(qǐng)求出它的比值；(3)如圖3,若點(diǎn)Q在線段BP上，設(shè)PQ=x,RM=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域.【答案】(1)解：由題意，得-犯也鼠ZC=ZAW在RtA灰Tj中，|上/=90”PCT.anzT：,-TBt飛融/FBC-J：.PC6即J.pb-弋以、游山RO上琪4K儂=909醺RKPM理由：如圖,創(chuàng)旗的比值隨點(diǎn)匕的運(yùn)動(dòng)沒有變化，比值為(3)解：

22、延長跳交的延長線于點(diǎn)日PL/闋，眈/ABPLII盛PDNF二.晚網(wǎng)RM3-,4316s.M=/V-又，1023T-72-vX寸T9av-才+-.-.*二26。、工這一它的定義域是【解析】【分析】(1)由題意解直角三角形PBC可求得CP=6,PB=10,根據(jù)PBCAPRQ可得比例式求解；R斡PCPC63由題意易得RMQsPCB,可得比例式第一比，由(1)知比=一/為一定值，所以庖的比值不會(huì)發(fā)生變化；(3)延長BP交AD的延長線于點(diǎn)N,因?yàn)镻D/AB,所以由平行線分線段成比例定理可得比例式求得ND、PN,由題意易得PD/MQ,根據(jù)平行線成比例定理可得比例式PDA7第則y與x的關(guān)系可求解。、圓的綜合

23、9.如圖，AB是半圓的直徑，過圓心。作AB的垂線，與弦AC的延長線交于點(diǎn)D,點(diǎn)E在OD上DCEB.(1)求證：CE是半圓的切線；2(2)若CD=10,tanB力求半圓的半徑.3【答案】（1）見解析；（2）4/3【解析】分析：（1）連接CO,由DCEB且OC=OB彳導(dǎo)DCEOCB,利用同角的余角相等判斷出/BCO+/BCE=90,即可得出結(jié)論；（2）設(shè)AC=2x,由根據(jù)題目條件用x分別表示出OA、AD、AB,通過證明AODACB,列出等式即可.詳解：（1）證明：如圖，連接D.TCO.AB是半圓的直徑,/ACB=90:/DCB=180-ZACB=90./DCE+ZBCE=90.OC=OB,/OCB

24、=ZB.DCE=B,/OCB=ZDCE/OCE=ZDCB=90:OCXCE.OC是半徑，.CE是半圓的切線.（2）解：設(shè)AC=2x,.在RtACB中，tanBACBCBC=3x.J222x3x13x.ODXAB,/AOD=ZACB=90./A=ZA,.AODACBACAO.ABAD1，:13-OA-AB-x,AD=2x+10,22o1l3x2x2.13x2x10解得x=8.OA38413.2則半圓的半徑為4.13.點(diǎn)睛：本題考查了切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形10.如圖，AB是。的直徑，弦CDAB,垂足為H,連結(jié)AC,過?D上一點(diǎn)E作EG“AC交CD的延長線于點(diǎn)G,連結(jié)AE交CD于點(diǎn)

25、F,且EG=FG連結(jié)CE(1)(2)求證：ZG=ZCEF求證：EG是。的切線;延長AB交GE的延長線于點(diǎn)M,若tanG=3,AH=3j3,求EM的值.(3)【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）2518試題分析：（1）由AC/EG,推出/G=/ACG,由ABCD推出ADAC,推出/CEF=ZACD,推出/G=ZCEF,由此即可證明；（2）欲證明EG是。的切線只要證明EGOE即可；（3）連接OC.設(shè)。的半徑為r.在RtOCH中，利用勾股定理求出r,證明一AHHCAHCAMEO,可得，由此即可解決問題；EMOE試題解析：（1）證明：如圖1.AC/EGZG=ZACG,vABCD,ADAc

26、，ZCEf=ZACD,，/G=/CEF,/ECF=/ECG.AECfAGCE(2)證明：如圖2中，連接OE.GF=GE,./GFE=/GE歸/AFH,OA=OE,/OAE=ZOEA,/AFH+ZFAH=90；，/GEF+/AEO=90:，/GEO=90:，GEOE,(3)解：如圖3中，連接OC.設(shè)。的半徑為r.EG是。O的切線.HC=4V3,在RtHOC中,在RtAHC中，tanZACH=tanZG=-AH-=3,AH=3/3，HC4.OC=r,OH=r373，HC=4/3,(r3石)2(473)26AHHC.GM/AC,，/CAH=/M,/ZOEM=ZAHC,AHCMEO,.334.3EM2

27、5百，.EM且8EMOE6點(diǎn)睛：本題考查圓綜合題、垂徑定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，正確尋找相似三角形，構(gòu)建方程解決問題嗎，屬于中考?jí)狠S題.11.如圖，AB為。的直徑，AC為。O的弦，AD平分/BAC,交。O于點(diǎn)D,DE，AC,交AC的延長線于點(diǎn)E.(1)判斷直線DE與。的位置關(guān)系，并說明理由;(2)若AE=8,。的半徑為5,求DE的長.【答案】(1)直線DE與。相切(2)4【解析】試題分析：(1)連接OD,.力平分/BAC,EAD=OAD,OA=OD,ODA=OAD,ODA=EAD,EAUOD,.DEXE

28、A,DEOD,又.點(diǎn)D在。上，直線DE與。相切(2)圖1如圖1,作DF,AB,垂足為F,DFA=DEA=90,EAD=FAD,AD=AD,-AEADAFAD,AF=AE=8,DF=DE,OA=OD=5,OF=3,在RtDOF中，DF=JOD2OF2=4，AF=AE=8考點(diǎn)：切線的證明，弦心距和半徑、弦長的關(guān)系點(diǎn)評(píng)：本題難度不大，第一小題通過內(nèi)錯(cuò)角相等相等證明兩直線平行，再由兩直線平行推出同旁內(nèi)角相等.第二小題通過求出兩個(gè)三角形全等，從而推出對(duì)應(yīng)邊相等，接著用弦心距和弦長、半徑的計(jì)算公式，求出半弦長.12.已知：如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)O在對(duì)角線BD上，以O(shè)D的長為半徑的。與AD,BD分別交于

29、點(diǎn)E、點(diǎn)F,且/ABE=/DBC.(1)判斷直線BE與。的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)若sinZABE=,CD=2,求。的半徑.【答案】（1）直線BE與。O相切，證明見解析；（2）。的半徑為叵.2【解析】分析：（1）連接OE,根據(jù)矩形的性質(zhì)，可證/BEO=90,即可得出直線BE與。O相切；（2）連接EF,先根據(jù)已知條件得出BD的值，再在ABEO中，利用勾股定理推知BE的r的值.長，設(shè)出。的半徑為r,利用切線的性質(zhì)，用勾股定理列出等式解之即可得出詳解：（1）直線BE與。O相切.理由如下：連接OE,在矢巨形ABCD中，AD/BC,./ADB=/DBC.OD=OE,ZOED=ZODE.又./AB

30、/DBC,ZABE=ZOED,矩形ABDC,/A=90,ZABE+/AEB=90,ZOED+ZAEB=90；/BEO=90；.直線BE與。O相切；ES(2)連接EF,方法1：.四邊形ABCD是矩形，CD=2,ZA=ZC=90,AB=CD=2./ABt/DBC,.sinZCBD=sinABEBD薩CbD2技2%/2在RtAAEB中，CD=2,.BCDCtanZCBD=tanZABE,BCAE一，AB22.2AE一，2由勾股定理求得BE6.在RtBEO中，/BEO=90,EO2+E片=OB2.設(shè)。的半徑為r,則r2（.病2（2石、2.3r),1-r=2方法2:DF是。的直徑，ZDEF=90.四邊形

31、ABCD是矩形，./A=/C=90,/ABE=/DBC,sinZCBD=sinABEAB=CD=2.立3設(shè)DCx,BDCD=2,BCx,則2折BCtanZCBD=tanZABE,DCBCAE一，AB22.2AE一，2E為AD中點(diǎn).DF為直徑，ZFED=90,EF/AB,DF1BDJ3,OO的半徑為W22點(diǎn)睛：本題綜合考查了切線的性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，具有較強(qiáng)的綜合性，有一定的難度.DA,13.如圖，已知AB是。O的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，點(diǎn)D在OC的延長線上，連接交BC的延長線于點(diǎn)E,使得/DAC=ZB.(1)求證：DA是。O切線；(2)求證：ACEDAACD;(3)若OA=

32、1,sinD=1,求AE的長.3D【答案】(1)證明見解析；(2)&【解析】分析：(1)由圓周角定理和已知條件求出ADAB即可證明DA是。O切線;(2)由/DAG/DCE/D=/D可知DECDCA；(3)由題意可知AO=1,OD=3,DC=2,由勾股定理可知AD=2,故此可得到DC2=DE?AD,故此可求得DE的長，于是可求得AE的長.詳解：(1).AB為。的直徑，/ACB=90,ZCABZB=90.ZDAC=ZB,ZCABZDAC=90,ADXAB.OA是。O半徑，DA為。的切線；(2)OB=OC,，/OCB=/B. ./DCE=/OCR，/DCE=/B. ZDAC=ZB,./DAC=/DC

33、E ./D=/D,ACEDIAACD;(3)在RtAOD中，OA=1,一1sinD=一,3-OD=-OA-=3,.-.CD=OD-OC=2.sinDvAD=VOD2OA2=242AD又CEDACD,CDCDCD2,DE=-.AE=AD-DE=272-72=72-點(diǎn)睛：本題主要考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理的應(yīng)用、相似三角形的性質(zhì)和判定，證得DESDCA是解題的關(guān)鍵.14.閱讀：圓是最完美的圖形，它具有一些特殊的性質(zhì)：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，一條弧所對(duì)的圓周角等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半先構(gòu)造輔助圓”，再利用圓的性質(zhì)將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，往往能化隱為顯、化難為易。解決問題：如圖，點(diǎn)A與點(diǎn)

34、B的坐標(biāo)分別是（1,0）,（5,0）,點(diǎn)P是該直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).（1）使/APB=30的點(diǎn)P有個(gè)；（2）若點(diǎn)P在y軸正半軸上，且/APB=30,求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）設(shè)sin/APB=m,若點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P有4個(gè)，求m的取值范圍.【答案】（1）無數(shù)；（2）（0,23%7）或（0,2百百）；（3）0m,如圖1.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,273),.CD=3,OD=273.P1、P2是。C與y軸的交點(diǎn)，/ARB=/AP2B=30.CP2=CA=4,CD=3,.DP2=J4232=點(diǎn)C為圓心，CDP1P2,P1D=P2D=V7,P1(0,273+77),P2(0,2百一(3)

35、當(dāng)過點(diǎn)A、B的。E與y軸相切于點(diǎn)P時(shí)，/APB最大.理由：可證：/APB=/AEH,當(dāng)/APB最大時(shí)，/AEH最大.由sinZAEhk得.當(dāng)AEAE最小即PE最小時(shí)，/AEH最大.所以當(dāng)圓與y軸相切時(shí)，/APB最大./APB為銳角，.sin/APB隨/APB增大而增大，.連接EA,彳Ehlx軸，垂足為H,如圖2.,OE與y軸相切于點(diǎn)P,.PEOP.,.EHXAB,OPXOH,./EPO=/POH=/EHO=90；，四邊形OPEH是矩形，.OF=EH,2 2PE=OH=3,EA=3.sinZAPB=sinZAEH=,-m的取值氾圍是0m.3 3T爾*f、7小點(diǎn)睛：本題考查了垂徑定理、圓周角定理、

36、勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)等知識(shí)，綜合性強(qiáng).同時(shí)也考查了創(chuàng)造性思維，有定的難度.構(gòu)造輔助圓是解決本題關(guān)鍵.15.已知P是eO的直徑ba延長線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，/P的另一邊交eO于點(diǎn)C、D,兩點(diǎn)1_位于AB的上萬，AB=6,OP=m,sinP=-,如圖所示.另一個(gè)半徑為6的e01經(jīng)過點(diǎn)C、D,圓心距OOi=n.(1)當(dāng)m=6時(shí)，求線段CD的長；(2)設(shè)圓心01在直線AB上方，試用n的代數(shù)式表示m;(3)POQ在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，是否能成為以001為腰的等腰三角形，如果能，試求出此時(shí)n的值；如果不能，請(qǐng)說明理由.2【答案】(1)CD=2J5;(2)m=;(

37、3)n的值為一J5或一J152n55分析：(1)過點(diǎn)。作0H，CD,垂足為點(diǎn)H,連接0C解RtAPOH,得到0H的長.由勾月定理得CH的長，再由垂徑定理即可得到結(jié)論；(2)解RtAP0H,得到0H=m.在RtV0CH和RtA0iCH中，由勾股定理即可得到3結(jié)論;(3)P001成為等腰三角形可分以下幾種情況討論：當(dāng)圓心01、0在弦CD異側(cè)時(shí)，分0P=0Q和0F=001.當(dāng)圓心。1、0在弦CD同側(cè)時(shí)，同理可得結(jié)論.詳解：(1)過點(diǎn)。作0H，CD,垂足為點(diǎn)H,連接0C.2._1_在RtP0H中，QsinP=,P06,.0H3.AB=6,.0C=3.由勾股定理得：CH.5.OHDC,CD2CH2卡.，.,1m(2)在RPOH中，QsinP=,PO=m,.OH=.332在RtOCH中，CH2=9m.32在RtOiC