1352線段垂直平分線

1、 13.5.2 線段垂直平分線線段垂直平分線威海市政府為了方便居民的生活，計(jì)劃在威海市政府為了方便居民的生活，計(jì)劃在三個(gè)住宅小區(qū)三個(gè)住宅小區(qū)A、B、C之間修建一個(gè)購(gòu)物之間修建一個(gè)購(gòu)物中心，試問，該購(gòu)物中心應(yīng)建于何處，才中心，試問，該購(gòu)物中心應(yīng)建于何處，才能 使 得 它 到 三 個(gè) 小 區(qū) 的 距 離 相 等 。能 使 得 它 到 三 個(gè) 小 區(qū) 的 距 離 相 等 。ABC實(shí)際問題實(shí)際問題1煙煙 威威 高高 速速 公公 路路實(shí)際問題實(shí)際問題2 在煙威高速公路在煙威高速公路L的同側(cè)，有兩個(gè)化的同側(cè)，有兩個(gè)化工廠工廠A、B，為了便于兩廠的工人看病，為了便于兩廠的工人看病市政府計(jì)劃在公路邊上修建一所

2、醫(yī)院，市政府計(jì)劃在公路邊上修建一所醫(yī)院，使得兩個(gè)工廠的工人都沒意見，問醫(yī)使得兩個(gè)工廠的工人都沒意見，問醫(yī)院的院址應(yīng)選在何處？院的院址應(yīng)選在何處？ABAB線段的垂直平分線線段的垂直平分線PA=PBP1P1A=P1B命題命題：線段垂直平分線上的線段垂直平分線上的點(diǎn)點(diǎn)到這條線段兩個(gè)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)端點(diǎn)的距的距離相等。離相等。PMNC動(dòng)手操作動(dòng)手操作：作線段AB的中垂線MN，垂足為C；在MN上任取一點(diǎn)P，連結(jié)PA、PB；量一量：量一量：PA、PB的長(zhǎng)，你能發(fā)現(xiàn)什么？的長(zhǎng)，你能發(fā)現(xiàn)什么？由此你能得出什么規(guī)律由此你能得出什么規(guī)律命題：線段垂直平分線上的命題：線段垂直平分線上的點(diǎn)點(diǎn)到這條線段兩個(gè)到這條線段

3、兩個(gè)端點(diǎn)端點(diǎn)的距離相等。的距離相等。線段的垂直平分線線段的垂直平分線ABPMNCPA=PB 直線直線MNAB,垂足為垂足為C, 且且AC=CB. 已知：如圖，已知：如圖，點(diǎn)點(diǎn)P在在MN上上.求證：求證：證明：證明：MNAB PCA= PCB=90度度 在在 PAC和和 PBC中，中， AC=BC PCA= PCB PC=PC PAC PBC PA=PB 線段的垂直平分線線段的垂直平分線ABPC性質(zhì)定理：性質(zhì)定理：線段垂直平分線上線段垂直平分線上的點(diǎn)到的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)這條線段兩個(gè)端點(diǎn) 的距離相等。的距離相等。PA=PB點(diǎn)點(diǎn)P在線段在線段AB的垂直的垂直平分線上平分線上?到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相

4、等的點(diǎn)，在這條線段的到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。垂直平分線上。逆命題逆命題:幾何語言敘述幾何語言敘述:PA=PB點(diǎn)點(diǎn)P在線段在線段AB的垂直平分線上的垂直平分線上性質(zhì)定理：性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的 距離相等。距離相等。線段的垂直平分線線段的垂直平分線ABPMNCPA=PB點(diǎn)點(diǎn)P在線段在線段AB的垂直的垂直平分線上平分線上線段垂直平分線上的線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等點(diǎn)的距離相等幾何語言敘述幾何語言敘述: :點(diǎn)點(diǎn)P在線段在線段AB的垂直平分線上的垂直平分線上 PA=P

5、B二、逆定理：二、逆定理：到到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條 線段的垂直平分線上。線段的垂直平分線上。 線段的垂直平分線線段的垂直平分線一、性質(zhì)定理：一、性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端 點(diǎn)的距離相等。點(diǎn)的距離相等。PA=PB點(diǎn)點(diǎn)P在線段在線段AB的垂直的垂直平分線上平分線上到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上在這條線段的垂直平分線上線段垂直平分線上的點(diǎn)到這線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等三、三、 線段的垂直平分線的集合定義：線

6、段的垂直平分線的集合定義： 線段的垂直平分線可以看作是到線線段的垂直平分線可以看作是到線段兩上端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合段兩上端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合任何圖形都是有點(diǎn)組成的。因任何圖形都是有點(diǎn)組成的。因此我們可以把圖形看成點(diǎn)的集此我們可以把圖形看成點(diǎn)的集合。由上述定理和逆定理，線合。由上述定理和逆定理，線段的垂直平分線可以看作符合段的垂直平分線可以看作符合什么條件的點(diǎn)組成的圖形？什么條件的點(diǎn)組成的圖形？1、如圖直線、如圖直線MN垂直平垂直平分線段分線段AB，則，則AE=AF。2、如圖線段、如圖線段MN被直線被直線AB垂直平分，則垂直平分，則ME=NE。3、如圖、如圖PA=PB，則，則直線直線

7、MN是線段是線段AB的的垂直平分線。垂直平分線。 線段的垂直平分線線段的垂直平分線例例1 已知已知:如圖如圖,在在ABC中中,邊邊AB，BC的垂直平分線交于的垂直平分線交于P.求證：點(diǎn)求證：點(diǎn)P在在AC的垂直平分線上的垂直平分線上;BACMNMNPPA=PB=PCPB=PC點(diǎn)點(diǎn)P在線段在線段BC的的垂直平分線上垂直平分線上PA=PB點(diǎn)點(diǎn)P在線段在線段AB的的垂直平分線上垂直平分線上分析：分析：PA=PC 點(diǎn)點(diǎn)P在在AC的垂直平分線上的垂直平分線上例例1 已知已知:如圖如圖,在在ABC中中,邊邊AB，BC的垂直平分的垂直平分 線交于線交于P.求證：求證：點(diǎn)點(diǎn)P在在AC的垂直平分線上的垂直平分線上

8、;證明：證明：點(diǎn)點(diǎn)P在線段在線段AB的垂直平分線的垂直平分線MN上，上，PA=PB(？)同理同理 PB=PC.PA=PC. 點(diǎn)點(diǎn)P在在AC的垂直平分線上的垂直平分線上;AB,BC,AC的垂直平分線相交于點(diǎn)的垂直平分線相交于點(diǎn)P.BACMNMNP(線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）.(到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上在這條線段的垂直平分線上)已知：在已知：在ABCABC中，中，ONON是是ABAB的垂直平分線的垂直平分線 OA=OCOA=OC。求證：點(diǎn)求證：點(diǎn)O O在在BCBC的垂直平分

9、線上。的垂直平分線上。例例題題擴(kuò)擴(kuò)展展ABCON證明：證明：連結(jié)連結(jié)OB。 ON是是AB的垂直平分線的垂直平分線（已知）（已知） OA=OB（線段的垂直平分線上的（線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等） OA=OC（已知）（已知） OB=OC（等量代換）（等量代換） 點(diǎn)點(diǎn)O在在BC的垂直平分線上。的垂直平分線上。 （到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，（到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。）在這條線段的垂直平分線上。）威海市政府為了方便居民的生活，計(jì)劃在威海市政府為了方便居民的生活，計(jì)劃在三個(gè)住宅小區(qū)三個(gè)住宅小區(qū)A、B、C之間修建一

10、個(gè)購(gòu)物之間修建一個(gè)購(gòu)物中心，試問，該購(gòu)物中心應(yīng)建于何處，才中心，試問，該購(gòu)物中心應(yīng)建于何處，才能 使 得 它 到 三 個(gè) 小 區(qū) 的 距 離 相 等 。能 使 得 它 到 三 個(gè) 小 區(qū) 的 距 離 相 等 。ABC實(shí)際問題實(shí)際問題1BAC 線段的垂直平分線線段的垂直平分線1、求作一點(diǎn)、求作一點(diǎn)P，使，使它和已它和已ABC的三的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等個(gè)頂點(diǎn)距離相等.實(shí)際問題實(shí)際問題數(shù)學(xué)化數(shù)學(xué)化pPA=PB=PC實(shí)際問題實(shí)際問題1煙煙 威威 高高 速速 公公 路路實(shí)際問題實(shí)際問題2 在煙威高速公路在煙威高速公路L的同側(cè)，有兩個(gè)化的同側(cè)，有兩個(gè)化工廠工廠A、B，為了便于兩廠的工人看病，為了便于兩廠的工人

11、看病市政府計(jì)劃在公路邊上修建一所醫(yī)院，市政府計(jì)劃在公路邊上修建一所醫(yī)院，使得兩個(gè)工廠的工人都沒意見，問醫(yī)使得兩個(gè)工廠的工人都沒意見，問醫(yī)院的院址應(yīng)選在何處？院的院址應(yīng)選在何處？AB 線段的垂直平分線線段的垂直平分線2、如圖，在直線、如圖，在直線L上求上求作一點(diǎn)作一點(diǎn)P，使，使PA=PB.LAB實(shí)際問題實(shí)際問題數(shù)學(xué)化數(shù)學(xué)化實(shí)際問題實(shí)際問題2pPA=PB數(shù)學(xué)問題源于生活實(shí)踐，反過來數(shù)學(xué)又為生活實(shí)踐服務(wù)數(shù)學(xué)問題源于生活實(shí)踐，反過來數(shù)學(xué)又為生活實(shí)踐服務(wù)已知已知:如圖如圖,在等腰三角形在等腰三角形ABC中中,腰腰AB 的垂直平的垂直平 線線MN交交AC于點(diǎn)于點(diǎn) D,BC=8厘米厘米, BDCBDC的周長(zhǎng)

12、的周長(zhǎng)2020厘米厘米. .求求:AB:AB的長(zhǎng)的長(zhǎng). .ABCDMN已知已知:如圖如圖,D是是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),BD=BC+AC.求證求證:點(diǎn)點(diǎn)C在在AD的垂直平分線上的垂直平分線上.ABCD8二、逆定理：二、逆定理：到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條 線段的垂直平分線上。線段的垂直平分線上。 線段的垂直平分線線段的垂直平分線一、性質(zhì)定理：一、性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端 點(diǎn)的距離相等。點(diǎn)的距離相等。PA=PB點(diǎn)點(diǎn)P在線段在線段AB的垂直的垂直平分線上平分線上到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上在這條線段的垂直平分線上線段垂直平分線上的點(diǎn)到