幾類常見(jiàn)的地圖投影講義

1、第四章 幾類常見(jiàn)的地圖投影測(cè)繪學(xué)院 喬俊軍 制作第四章 幾類常見(jiàn)的地圖投影4.1 圓錐投影4.2 方位投影4.3 圓柱投影4.4 偽圓錐投影、偽圓柱投影、偽方位投影和多圓 錐投影4.1 圓錐投影一、圓錐投影的一般公式及其分類二、等角圓錐投影三、等面積圓錐投影四、等距離圓錐投影五、圓錐投影變形分析及應(yīng)用一、圓錐投影的一般公式及其分類 1、圓錐投影的定義 假設(shè)一個(gè)圓錐面與地球面相切或相割，根據(jù)某種條件（等角、等面積、透視等）將地球上的經(jīng)緯線投影到圓錐面上，然后沿圓錐面的一條母線（經(jīng)線）切開(kāi)展平，即得到圓錐投影。4.1 圓錐投影( )f 4.1 圓錐投影 2、圓錐投影的分類（1）按圓錐面與地球面的切

2、割關(guān)系分： 切圓錐投影、割圓錐投影（2）按圓錐面和地球面的位置關(guān)系分： 正軸圓錐投影、橫軸圓錐投影、斜軸圓錐投影（3）按投影的變形性質(zhì)分： 等角圓錐投影、等積圓錐投影、任意圓錐投影4.1 圓錐投影 3、圓錐投影的一般公式 以正軸圓錐投影為例 緯線投影后為同心圓圓弧，其半徑是緯度 的函數(shù)，函數(shù)形式由投影性質(zhì)和投影條件決定。 經(jīng)線投影后為相交于一點(diǎn)的直線束，且?jiàn)A角與經(jīng)差成正比。( )f cossinsxy 以某一經(jīng)線的投影為X軸，以X軸和最南邊緯線s的交點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系：4.1 圓錐投影 設(shè)平面梯形ABCD是地球面上微分梯形ABCD的投影，根據(jù)經(jīng)緯線長(zhǎng)度比定義有： 在正軸圓錐投影中，經(jīng)

3、緯線投影后仍保持互相垂直，所以經(jīng)緯線方向就是主方向，即ddddA DmADMA BnABrr sin2Pabmnabmnabmn4.1 圓錐投影m=a，n=b，根據(jù)面積比和角度變形定義有： 現(xiàn)將圓錐投影的一般公式匯集如下：( )cossinddsin2sfxymMnrPmnmnmn 在這組公式中，由于的函數(shù)形式未定， 函數(shù)式需要根據(jù)投影條件進(jìn)一步確定。4.1 圓錐投影二、等角圓錐投影（Lambert Conformal Conic Projection） 根據(jù)等角條件= 0，即m=n，來(lái)確定= f（）的函數(shù)形式：2132221122212122121221cos(1);(1sin)(1sin)

4、(1)(1sin)coscos1cos1sinccdMdrdMdNaeMeaNee ddeedde 4.1 圓錐投影11111111111111111sincos2 1sin1sin1sin1sincos21sin21sinlnlntan 45ln 1sinln 1sinln2221sinlnlnlntan 452eddd eeededeeeddeeeeeeKeK1112121111sintan 451sin2tan 45(sinsin )21sintan452lnlnlneeeeeUeeKUKU 令 4.1 圓錐投影現(xiàn)將等角圓錐投影的一般公式匯集如下：121121sintan 4521sin

5、cossin0esKUeUexymnrPmnn 在這組公式中，仍然有常數(shù)和K 需要確定，但由于確定的方法比較多，所以各種不同形式的等角圓錐投影也比較多。4.1 圓錐投影1、單標(biāo)準(zhǔn)緯線等角圓錐投影 設(shè)圓錐面切于地球0的一條緯線上，即 n0=1，則 00000000001cossincotnrrNN10000002010010coscot1sintan 4521sineACrNASNeUe00 001rKU0000rUKU4.1 圓錐投影2、雙標(biāo)準(zhǔn)緯線等角圓錐投影 設(shè)圓錐面割于地球1、 2的兩條緯線上，即n1=n2=1。1122rUrUK1111122221111112212212coscos1s

6、intan 4521sin1sintan 4521sineerNrNeUeeUe11111rKU22221rKU1122KrUKrU1221lglglglgrrUU相減得4.1 圓錐投影3、應(yīng)用舉例：百萬(wàn)分一地圖等角圓錐投影 1962年國(guó)際制圖會(huì)議規(guī)定：1 100萬(wàn)地圖按國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)分幅，采用雙標(biāo)準(zhǔn)緯線等角圓錐投影，自赤道起按緯差4分帶，對(duì)每帶單獨(dú)進(jìn)行投影。北緯84以北和南緯80以南的地區(qū)，則采用等角方位投影。124040SN雙標(biāo)準(zhǔn)緯線規(guī)定如下：投影常數(shù)按下式計(jì)算：12211122lglglglgrrUUrUrUK4.1 圓錐投影 自1978年以后，我國(guó)1 100萬(wàn)地圖采用等角圓錐投影，分幅與國(guó)際

7、分幅一致，但標(biāo)準(zhǔn)緯線與國(guó)際上稍有差異，并規(guī)定根據(jù)邊緯與中緯長(zhǎng)度變形絕對(duì)值相等的條件確定投影常數(shù)，即： 1()2111mSNSSSNNNmmmSNSSNNKnr UKnr UKnr UnnKKr Ur U lglglglg21122112NSSNSNNSSmSSmmNmNNmmUrUrrrUUnnKr Ur UnnKr Ur U2()2()m SmSmmSSm NmNmmNNr r U UKr Ur Ur r U UKr Ur U4.1 圓錐投影123535SN 1lglglglg1111NmSmSNNSNSNmN mNmSmS mSmn nn nrrnnUUn nKr r U Un nKr r

8、 U U 對(duì)于緯差4為一帶的圓錐投影來(lái)說(shuō)。2之值為910-8，它對(duì)投影計(jì)算和實(shí)用精度，都沒(méi)有什么影響，故可略去。兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線的近似式為：2(1)(1)1NmSmn nn n 4.1 圓錐投影三、等面積圓錐投影（Albers Equivalent Conic Projection） 根據(jù)等面積條件P=1，即mn=1，來(lái)確定= f（）的函數(shù)形式：211cos1cos1coscos2()dMdrdMdNdMNddMNdSMNdcS 為經(jīng)差1弧度，緯差從0到緯度 的橢球面上的梯形面積。4.1 圓錐投影現(xiàn)將等面積圓錐投影的一般公式匯集如下： 22()coscossin11tan 454scSSMNdxy

9、nrmnPmnm 在這組公式中，仍然有常數(shù)和 c 需要確定，但由于確定的方法比較多，所以各種不同形式的等面積圓錐投影也較多。4.1 圓錐投影 1、單標(biāo)準(zhǔn)緯線等面積圓錐投影 設(shè)圓錐面切于地球0的一條緯線上，即 n0=1。則 00000000001cossincotnrrNN 2002200002()22cSrcSS000000000coscotcosACrNASNSMNd 4.1 圓錐投影2、雙標(biāo)準(zhǔn)緯線等面積圓錐投影 設(shè)圓錐面割于地球1、 2的兩條緯線上，即n1=n2=1。2112222 ()2 ()cSrcSr1121112()rcS2222212()rcS121112221020coscos

10、coscosrNrNSMNdSMNd 2212212()rrSS相減得：221 22 12221S rS rcrr相除得：4.1 圓錐投影四、等距離圓錐投影 根據(jù)等距離條件，即m=1，來(lái)確定= f（）的函數(shù)形式：1dMddMddMdsMdcs s為赤道到某緯度 的經(jīng)線弧長(zhǎng)。4.1 圓錐投影現(xiàn)將等距離圓錐投影的一般公式匯集如下： cossin11sin21scssMdxymnrPmnnnn 在這組公式中，仍然有常數(shù)和 c 需要確定，但由于確定的方法比較多，所以各種不同形式的等距離圓錐投影也較多。4.1 圓錐投影 1、單標(biāo)準(zhǔn)緯線等距離圓錐投影 設(shè)圓錐面切于地球0的一條緯線上，即 n0=1。則 00

11、000000001cossincotnrrNN 000000csrcss000000000coscotACrNASNsMd4.1 圓錐投影 2、雙標(biāo)準(zhǔn)緯線等距離圓錐投影 設(shè)圓錐面割于地球 1、 2 的兩條緯線上，即n1=n2=1。1122()()csrcsr11111rcs22221rcs 121112221020coscosrNrNsMdsMd1221rrss相減得：1 22 121s rs rcrr相除得：4.1 圓錐投影五、圓錐投影變形分析及應(yīng)用 1、由切割關(guān)系決定的變形特點(diǎn)（1）圓錐投影的各種變形均是緯度 的函數(shù)，與經(jīng)度無(wú)關(guān)，同一緯線上的變形是相同的。（2）在切圓錐投影中，標(biāo)準(zhǔn)緯線上的

12、長(zhǎng)度比n0=1，其余緯線上長(zhǎng)度比均大于1，并向南、北方向增大。（3）在割圓錐投影中，在雙標(biāo)準(zhǔn)緯線處的長(zhǎng)度比n1=n2=1，變形自標(biāo)準(zhǔn)緯線向內(nèi)、向外增大，在雙標(biāo)準(zhǔn)緯線之間，n1。4.1 圓錐投影 2、由投影性質(zhì)決定的變形特點(diǎn)（1）等角圓錐投影：經(jīng)線長(zhǎng)度比與緯線長(zhǎng)度比相等（m=n），角度沒(méi)有變形，但面積變形較大（P=m2） 。（2）等面積圓錐投影：經(jīng)線長(zhǎng)度比與緯線長(zhǎng)度比互為倒數(shù)（mn=1），面積沒(méi)有變形，但角度變形較大。（3）等距離圓錐投影：變形介于等角投影與等面積投影之間，經(jīng)線長(zhǎng)度比保持為1（m=1），緯線長(zhǎng)度比與面積比相等（n=P）。4.1 圓錐投影 3、圓錐投影的應(yīng)用 地球上廣大陸地位于中緯

13、度地區(qū)，并且圓錐投影經(jīng)緯線形狀簡(jiǎn)單，最適于制作中緯度沿東西方向延伸的地圖。（1）等角圓錐投影：多用于方向保持正確的圖種，如我國(guó)的百萬(wàn)分一地形圖、中國(guó)全圖、分省地圖等。等面積圓錐投影：多用于面積比保持正確的圖種，如分布圖、類型圖、區(qū)劃圖等自然資源圖與社會(huì)經(jīng)濟(jì)圖。（3）等距離圓錐投影：多用于各種變形要求適中的圖種，如原蘇聯(lián)出版的蘇聯(lián)全圖采用此投影。4.1 圓錐投影 4、標(biāo)準(zhǔn)緯線的選擇（1）如果制圖區(qū)域緯差不大，可采用單標(biāo)準(zhǔn)緯線圓錐投影。單標(biāo)準(zhǔn)緯線的選擇非常簡(jiǎn)單，只需要制圖區(qū)域南北邊緯線的緯度S，N取中數(shù)，并湊整即可。（2）如果制圖區(qū)域緯差較大，應(yīng)采用雙標(biāo)準(zhǔn)緯線圓錐投影。雙標(biāo)準(zhǔn)緯線的選擇可以使用下列

14、近似公式求得。應(yīng)用該式推求標(biāo)準(zhǔn)緯線，基本符合邊緯與中緯長(zhǎng)度變形絕對(duì)值相等的條件。120.16 ()0.12 ()SNSNNS4.1 圓錐投影4.2 方位投影一、方位投影的一般公式及其分類二、等角方位投影三、等面積方位投影四、等距離方位投影五、透視方位投影六、方位投影變形分析與應(yīng)用一、方位投影的一般公式及其分類 1、方位投影的定義 假設(shè)一個(gè)平面與地球面相切或相割，根據(jù)某種條件（如等角、等面積、透視等）將地球上的經(jīng)緯線投影到該平面上，即得到方位投影。4.2 方位投影( )f4.2 方位投影2、方位投影的分類（1）按平面與地球面的切割關(guān)系分： 切方位投影、割方位投影（2）按平面和地球面的位置關(guān)系分：

15、 正軸方位投影、橫軸方位投影、斜軸方位投影（3）按投影的變形性質(zhì)分： 等角方位投影、等積方位投影、任意方位投影4.2 方位投影（4）按投影的透視關(guān)系分外心透視方位投影正射透視方位投影球心透視方位投影內(nèi)心透視方位投影球面透視方位投影4.2 方位投影3、方位投影的一般公式 以正軸方位投影為例 緯線投影后為同心圓，其半徑是緯度的函數(shù)，函數(shù)形式由投影性質(zhì)和投影條件決定。 經(jīng)線投影后為同心圓的直徑，兩經(jīng)線間的夾角與相應(yīng)經(jīng)差相等。為了擴(kuò)大方位投影的應(yīng)用，我們引進(jìn)球面極坐標(biāo)的概念，通過(guò)地理坐標(biāo)與球面極坐標(biāo)的換算，仍然利用正軸方位投影的公式，可以很方便地實(shí)現(xiàn)斜軸和橫軸投影的計(jì)算以及經(jīng)緯網(wǎng)的構(gòu)成。( )f4.2

16、 方位投影 為了計(jì)算方便，我們視球體為正球體，這樣我們便可以采用由球面三角推導(dǎo)出的地理坐標(biāo)（，）與球面極坐標(biāo)（Z，）之間的轉(zhuǎn)換公式。 假定新極點(diǎn)坐標(biāo)（0，0），計(jì)算斜軸或橫軸方位投影時(shí)，可分別采用以下兩組公式計(jì)算球面極坐標(biāo)：正軸和橫軸都是斜軸的特例0000cossinsincoscoscos()cossin()sinsinZZ斜軸00coscoscos()tancotsin()Z橫軸4.2 方位投影 投影平面與地球面的位置關(guān)系如圖所示，以Q為極點(diǎn)的等高圈和垂直圈分別代替緯圈和經(jīng)圈。這時(shí)過(guò)A點(diǎn)等高圈的天頂距Z相當(dāng)于90，過(guò)A點(diǎn)垂直圈的方位角相當(dāng)于，有：cossinxy 以通過(guò)Q點(diǎn)的經(jīng)線的投影作X

17、軸，過(guò)Q點(diǎn)與經(jīng)線投影相垂直的直線作為Y軸，則平面直角坐標(biāo)公式為：( )f Z( )f4.2 方位投影 設(shè)平面梯形ABCD是地球面上微分梯形ABCD的投影，根據(jù)垂直圈和等高圈長(zhǎng)度比的定義，有：12sinA DdADRdZD CdDCrdRZ 主方向，即1=a, 2=b，根據(jù)面積比和角度變形定義有：121212sin2Pababab 由于本投影的垂直圈和等高圈投影后仍保持互相垂直，所以垂直圈和等高圈方向就是4.2 方位投影現(xiàn)將方位投影的一般公式匯集如下：12121212( )cossinsinsin2f ZxydRdZRZP 在這組公式中，由于的函數(shù)形式未定，需要根據(jù)投影條件進(jìn)一步確定。4.2 方

18、位投影二、等角方位投影 根據(jù)等角條件=0，即1=2，來(lái)確定= f（Z）的函數(shù)形式：sinsinsinlnln(csccot)lnlnlntanln2tan2dRdZRZddZZddZZZZKZKZK 在該公式中，仍然有常數(shù)K需要確定，下面我們討論確定常數(shù)K的方法。4.2 方位投影為了確定常數(shù)K，我們?cè)O(shè)投影平面割于地球Zk的一條等高圈上，即2K=1，有：2221sinsintan2sintan2sin2 cos2tan2tan2 costan222KKKKKKKKKKKKKRZRZZKZRZKZZKRRZZZZKR4.2 方位投影222212222 costan22cossincossec220

19、kKZZRxyZZP現(xiàn)將等角割方位投影的公式匯集如下：4.2 方位投影當(dāng)ZK0時(shí)，即得到等角切方位投影的公式2212222tan2cossinsec20ZRxyZP 對(duì)于正軸情況下，只需要用代替，用90 代替Z ，即得到正軸等角方位投影公式。4.2 方位投影三、等面積方位投影 根據(jù)等面積條件 P=1，即12=1，來(lái)確定= f（Z）的函數(shù)形式：22222222221sinsinsin2(cos)002(1 cos)4sin22 sin2dRdZ RZdRZdZdRZdZCRZCZCRRZZRZR 為積分常數(shù)，當(dāng)時(shí)， ，故4.2 方位投影1212212 sin2cossincos2sec21tan

20、(45)sec42ZRxyZZPaZb 現(xiàn)將等面積方位投影的公式匯集如下： 對(duì)于正軸情況下，只需要用代替，用90 代替Z ，即得到正軸等面積方位投影公式。4.2 方位投影四、等距離方位投影 根據(jù)等距離條件，即1=1，來(lái)確定= f（Z）的函數(shù)形式：1CZCdRdZdRdZdR dZRZCRZ 為積分常數(shù)，當(dāng) =0時(shí)， 0，故 04.2 方位投影1222121cossin1sinsinsin2sinRZxyZZPZZZZ 現(xiàn)將等距離方位投影的公式匯集如下： 對(duì)于正軸情況下，只需要用代替，用90 代替Z ，即得到正軸等距離方位投影公式。4.2 方位投影五、透視方位投影 透視方位投影是用透視原理來(lái)確定

21、= f（Z）的函數(shù)形式，如圖所示：sincossincosQ A OqAOQ AQ OqAqOQ OqAQ AqOQ AQ ORDLqARZqODRZLRZDRZ 式中 ， ， 4.2 方位投影12212sincossincoscoscossinsinsincos(cos)(cos)sincossin2 LRZDRZLRZxDRZLRZyDRZdL DZRRdZDRZLRZDRZPabab現(xiàn)將透視方位投影的公式匯集如下： 在這組公式中，由于視點(diǎn) D 的位置還沒(méi)有設(shè)定，需要根據(jù)視點(diǎn)D 的位置進(jìn)一步確定透視關(guān)系。4.2 方位投影根據(jù)視點(diǎn)與球心的相對(duì)距離 D，透視方位投影可分為： 1、當(dāng) D= 時(shí)，

22、正射投影。 2、當(dāng) RD 時(shí)，外心投影。 3、當(dāng) D=R 時(shí)，球面投影。 4、當(dāng) 0DR 時(shí)，內(nèi)心投影。 5、當(dāng) D=0 時(shí)，球心投影。sincosLRZDRZ4.2 方位投影 根據(jù)投影面與地球的相對(duì)位置（0，0），透視方位投影可分為： 1、當(dāng)0=90時(shí)，正軸投影。 2、當(dāng)0=0時(shí)，橫軸投影。 3、當(dāng)0090時(shí)，斜軸投影。000000(sincoscossincos)(sinsincoscoscos)cossin(sinsincoscoscos)LRxDRLRyDR04.2 方位投影六、方位投影變形分析與應(yīng)用 1、由切割關(guān)系決定的變形特點(diǎn) 方位投影的各種變形均是天頂距Z的函數(shù)，與方位角 無(wú)關(guān)。

23、同一等高圈上的變形是相同的。 在切方位投影中，切點(diǎn)Q上沒(méi)有變形，其變形隨著遠(yuǎn)離Q點(diǎn)而增大。 在割方位投影中，所割的等高圈上2=1，其他變形自所割等高圈向內(nèi)、向外增大。 4.2 方位投影 2、由投影性質(zhì)決定的變形特點(diǎn) 等角方位投影：垂直圈長(zhǎng)度比與等高圈長(zhǎng)度比相等（1=2），角度沒(méi)有變形，但面積變形較大（P=12）。 等面積方位投影：等高圈長(zhǎng)度比與垂直圈長(zhǎng)度比互為倒數(shù)（12=1），面積沒(méi)有變形，但角度變形較大。 等距離方位投影：變形介于等角投影與等面積投影之間，垂直圈長(zhǎng)度比保持為1（1=1），等高圈長(zhǎng)度比與面積比相等（2=P）。 4.2 方位投影 3、方位投影的應(yīng)用 方位投影應(yīng)用廣泛，特別是在編制

24、航海圖、航空?qǐng)D和世界地圖集中多有應(yīng)用。 就制圖區(qū)域形狀而言，適宜于具有圓形輪廓的地區(qū)。 就制圖區(qū)域地理位置而言， 兩極地區(qū)：正軸投影； 赤道地區(qū)：橫軸投影； 其它地區(qū)：斜軸投影。4.2 方位投影4.3 圓柱投影一、圓柱投影的一般公式及分類二、等角圓柱投影三、高斯-克呂格投影四、通用橫軸墨卡托投影五、等面積圓柱投影六、等距離圓柱投影七、圓柱投影變形分析與應(yīng)用一、圓柱投影的一般公式及分類 1、圓柱投影的定義 假設(shè)一個(gè)圓柱面與地球面相切或相割，根據(jù)某種條件（如等角、等面積、透視等）將地球上的經(jīng)緯線投影到圓柱面上，然后沿圓柱面的一條母線（經(jīng)線）切開(kāi)展平，即得到圓柱投影。4.3 圓柱投影( )xfy 4

25、.3 圓柱投影 2、圓柱投影的分類（1）按圓柱面與地球面的切割關(guān)系分： 切圓柱投影、割圓柱投影（2）按圓柱面和地球面的位置關(guān)系分： 正軸圓柱投影、橫軸圓柱投影、斜軸圓柱投影（3）按投影的變形性質(zhì)分： 等角圓柱投影、等積圓柱投影、任意圓柱投影4.3 圓柱投影 3、圓柱投影的一般公式 以正軸圓柱投影為例 緯線投影后為平行直線，其間距 x 是緯度 的函數(shù)，函數(shù)形式由投影性質(zhì)和投影條件決定。 經(jīng)線投影后也為平行直線，且與緯線正交，各經(jīng)線的間距y與相應(yīng)經(jīng)差成正比。 ( ) xfy 以某一經(jīng)線的投影作X 軸，以赤道的投影作 Y軸，則平面直角坐標(biāo)公式為：4.3 圓柱投影 設(shè)平面矩形ABCD是地球面上微分梯形

26、ABCD的投影，根據(jù)經(jīng)緯線長(zhǎng)度比定義，有： 在正軸圓柱投影中，經(jīng)緯線投影后仍保持互相垂直，所以經(jīng)緯線方向就是主方向，即m=a, n=b，根據(jù)面積比和角度變形定義，有： dxddydcosA DmADMA BnABrrNsin2Pabmnabmnabmn4.3 圓柱投影現(xiàn)將圓柱投影的一般公式匯集如下：( )cossin2 xfydxmMdnNPmnmnmn 在這組公式中，由于x 的函數(shù)形式未定，y 中還有待定系數(shù)，需要根據(jù)投影條件進(jìn)一步確定。4.3 圓柱投影二、等角圓柱投影 根據(jù)等角條件=0，即m=n，來(lái)確定x= f（）的函數(shù)形式： 2132221122212122121221coscos(1)

27、;(1sin)(1sin)(1)(1sin)coscos1cos1sinccdxMdNMddxNaeMeaNee ddxeedxde4.3 圓柱投影1111111111111111sincos2 1sin1sin1sin1sincos21sin21sinlntan 45ln 1sinln 1sinln222 0=lntan 45eddxd eeededeeeddxeeeexeeKKxKx為積分常數(shù),當(dāng)時(shí), =0,則0 11121121111sin21sintan 451sin2tan 45(sinsin )21sintan452lneeeeeeUeexU 令 公式中仍有常數(shù)需要確定。4.3 圓

28、柱投影 常數(shù)需要根據(jù)圓柱面與地球面的切割關(guān)系來(lái)確定，在割圓柱投影中，圓柱面割于赤道南北兩條同名緯線 K上，則：000122210coscos(1sin)ccaNae 當(dāng)K= 0= 0時(shí)，圓柱面切于赤道上，割圓柱投影變?yōu)榍袌A柱投影，則1coscosKKKKKnNNac是地球橢球體的長(zhǎng)半徑。4.3 圓柱投影現(xiàn)將等角圓柱投影的一般公式匯集如下： 12112lncos1sintan 4521sin0 KKexUyNeUemnrPmnnK= 0時(shí)，圓柱面切于赤道上，這時(shí)=ac，ac是地球橢球體的長(zhǎng)半徑。4.3 圓柱投影4.3 圓柱投影 等角圓柱投影：荷蘭地圖學(xué)家墨卡托（Mercator Gerardus

29、 15121594）于1569年創(chuàng)建，故又名墨卡托投影。它不僅保持了方向和相對(duì)位置的正確，而且使等角航線在圖上表現(xiàn)為直線，這一特性對(duì)航海具有重要的實(shí)用價(jià)值。 等角航線：是地球表面上與經(jīng)線相交成相同角度的曲線。在地球表面上除經(jīng)緯線以外，等角航線都是以極點(diǎn)為漸近點(diǎn)的螺旋曲線。 大圓航線：是地球表面上通過(guò)兩點(diǎn)間的大圓弧線，即兩點(diǎn)間的最短距離線。4.3 圓柱投影三、高斯-克呂格投影 1、高斯-克呂格投影（等角橫切橢圓柱投影）的定義 是以橢圓柱為投影面，使地球橢球體的某一經(jīng)線與橢圓柱相切，然后按等角條件，將中央經(jīng)線兩側(cè)各一定范圍內(nèi)的經(jīng)緯線投影到橢圓柱面上，再將其展成平面而得。 該投影由德國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)

30、家高斯（C.F. Gauss，17771855）及大地測(cè)量學(xué)家克呂格（J. Krger，18571923）共同創(chuàng)建。4.3 圓柱投影 2、高斯-克呂格投影的三個(gè)條件（1）中央經(jīng)線和赤道投影后為互相垂直的直線，且為投影的對(duì)稱軸。（2）投影具有等角性質(zhì)。（3）中央經(jīng)線投影后保持長(zhǎng)度不變。 3、高斯-克呂格投影的直角坐標(biāo)公式 長(zhǎng)度比公式和子午線收斂角公式（略）。 2432243532224sincossincos(5tan94)224coscos(1tan)cos (5 18tantan)6120NNxsNNyN4.3 圓柱投影這是高斯-克呂格投影6帶內(nèi)長(zhǎng)度變形表4.3 圓柱投影 4、高斯-克呂格投

31、影變形規(guī)律（1）除中央經(jīng)線上長(zhǎng)度比 m0=1 以外，其它任何點(diǎn)上長(zhǎng)度比均大于1。（2）在同一條緯線上，離中央經(jīng)線越遠(yuǎn)，則變形越大，最大值位于投影帶的邊緣。（3）在同一條經(jīng)線上，緯度越低，變形越大，最大值位于赤道上。（4）本投影屬于等角性質(zhì)，故沒(méi)有角度變形，面積比為長(zhǎng)度比的平方。4.3 圓柱投影 我國(guó)基本比例尺地形圖 1 2.5萬(wàn)、1 5萬(wàn)、1 10萬(wàn)、1 25萬(wàn)、1 50萬(wàn)均采用6分帶的高斯-克呂格投影。 1 5千、1 1萬(wàn)地形圖則采用3分帶的高斯-克呂格投影。為保證精度，高斯-克呂格投影采用6或 3分帶投影方法：4.3 圓柱投影 為了保證我國(guó)范圍內(nèi)的高斯-克呂格投影 y 坐標(biāo)均為正值，規(guī)定將

32、每帶的縱坐標(biāo)軸向西平移500公里。yA = 245 863.7 myB = - 168 474.8 myA通 = 20 745 863.7 myB通 = 20 331 525.2 m4.3 圓柱投影四、通用橫軸墨卡托投影 1、通用橫軸墨卡托投影（Universal Transverse Mercator，簡(jiǎn)稱UTM投影）的定義 其實(shí)質(zhì)是等角橫割圓柱投影，它是以圓柱為投影面，使圓柱割于地球橢球體的兩條等高圈上，然后按等角條件，將中央經(jīng)線兩側(cè)各一定范圍內(nèi)的經(jīng)緯線投影到圓柱面上，再將其展成平面而得。4.3 圓柱投影2、UTM投影的直角坐標(biāo)公式 可根據(jù)高斯-克呂格投影公式 0.9996得到。24322

33、435322240.9996sincossincos(5tan94)2240.9996coscos(1tan)cos (5 18tantan)6120NNxsNNyN3、UTM投影的變形特點(diǎn)（1）中央經(jīng)線和赤道投影后為互相垂直的直線，且為投影的對(duì)稱軸。（2）無(wú)角度變形，中央經(jīng)線長(zhǎng)度比為0.9996，距中央經(jīng)線約180km處的兩條割線上無(wú)變形，長(zhǎng)度變形 0.04%。（3）亦采用6或3分帶投影的方法。4.3 圓柱投影 4、UTM投影與高斯-克呂格投影的區(qū)別（1）中央經(jīng)線長(zhǎng)度比不同，UTM投影是0.9996，而高斯-克呂格投影是1。（2）帶的劃分相同，而帶號(hào)的起算不同。（3）對(duì)于中、低緯度地區(qū)，UT

34、M投影的變形優(yōu)于高斯-克呂格投影。（4）西方國(guó)家（美、英、德、法）多采用UTM投影作為國(guó)家基本地形圖投影，東方國(guó)家（中、蘇、蒙、朝）多采用高斯-克呂格投影作為國(guó)家基本地形圖投影。4.3 圓柱投影五、等面積圓柱投影 根據(jù)等面積條件P=1，即mn=1，來(lái)確定= f（）的函數(shù)形式：1cos1cos1coscos1 =1dxMdNdxMNddxMNdSMNdxSKKSxKxS 為積分常數(shù),當(dāng)0時(shí), =0, =0,則0 在該公式中，仍然有常數(shù)需要確定，下面我們討論確定常數(shù)的方法。4.3 圓柱投影 常數(shù)需要根據(jù)圓柱面與地球面的切割關(guān)系來(lái)確定，在割圓柱投影中，圓柱面割于赤道南北兩條同名緯線K上，則：0001

35、22210coscos(1sin)ccaNae 當(dāng)K= 0= 0時(shí)，圓柱面切于赤道上，割圓柱投影變?yōu)榍袌A柱投影，則1coscosKKKKKnNNac是地球橢球體的長(zhǎng)半徑。4.3 圓柱投影現(xiàn)將等面積圓柱投影的一般公式匯集如下： 1coscos11tan 454 KKxSyNSMNdnrmnPmnmK= 0時(shí)，圓柱面切于赤道上，這時(shí)=ac，ac是地球橢球體的長(zhǎng)半徑。4.3 圓柱投影4.3 圓柱投影六、等距離圓柱投影 根據(jù)等距離條件，即m=1，來(lái)確定= f（）的函數(shù)形式：1 ,dxMddxMddxMdsMdxsKKsxKxs 為積分常數(shù) 當(dāng)0時(shí),0,0,則0 在該公式中，仍然有常數(shù) 需要確定，下面我

36、們討論確定常數(shù) 的方法。4.3 圓柱投影 常數(shù) 需要根據(jù)圓柱面與地球面的切割關(guān)系來(lái)確定，在割圓柱投影中，圓柱面割于赤道南北兩條同名緯線 K上，則：000122210coscos(1sin)ccaNae 當(dāng)K= 0= 0時(shí)，圓柱面切于赤道上，割圓柱投影變?yōu)榍袌A柱投影，則1coscosKKKKKnNNac是地球橢球體的長(zhǎng)半徑。4.3 圓柱投影現(xiàn)將等距離圓柱投影的一般公式匯集如下： cos11sin21 KKxsyNsMdmnrPmnnnnK= 0 時(shí)，圓柱面切于赤道上，這時(shí)=ac，ac是地球橢球體的長(zhǎng)半徑。4.3 圓柱投影4.3 圓柱投影七、圓柱投影變形分析與應(yīng)用 1、由切割關(guān)系決定的變形特點(diǎn) 圓

37、柱投影的各種變形均是緯度 的函數(shù)，與經(jīng)度無(wú)關(guān)。同一緯線上的變形是相同的。 在切圓柱投影中，標(biāo)準(zhǔn)緯線上的長(zhǎng)度比n0=1，其余緯線上長(zhǎng)度比均大于1，并向南、北方向增大。 在割圓柱投影中，在雙標(biāo)準(zhǔn)緯線處的長(zhǎng)度比n1=n2=1，變形自標(biāo)準(zhǔn)緯線向內(nèi)、向外增大，在雙標(biāo)準(zhǔn)緯線之間，n1。4.3 圓柱投影 2、由投影性質(zhì)決定的變形特點(diǎn) 等角圓柱投影：由于經(jīng)線長(zhǎng)度比與緯線長(zhǎng)度比相等（m=n），角度沒(méi)有變形，但面積變形較大（P=m2） 。 等面積圓柱投影：由于經(jīng)線長(zhǎng)度比與緯線長(zhǎng)度比互為倒數(shù)（mn=1），面積沒(méi)有變形，但角度變形較大。 等距離圓柱投影：變形介于等角投影與等面積投影之間，經(jīng)線長(zhǎng)度比保持為1（m=1），

38、緯線長(zhǎng)度比與面積比相等（n=P）。4.3 圓柱投影 3、圓柱投影的應(yīng)用 圓柱投影應(yīng)用廣泛，適宜于低緯度沿緯線方向伸展的地區(qū)，并且可以表示經(jīng)度大于3600的范圍。特別是在編制航海圖、航空?qǐng)D、世界時(shí)區(qū)圖和世界地圖集中多有應(yīng)用。4.3 圓柱投影 圓錐投影、方位投影、圓柱投影之間的關(guān)系：為圓錐系數(shù)，由于圓錐展開(kāi)后成為扇形，頂角不足360，而地球極點(diǎn)處的360，所以0 1 經(jīng)線長(zhǎng)度比大于14.4 偽圓錐投影、偽圓柱投影、偽方位投影和多圓錐投影（2）愛(ài)凱特（Eckert）投影 經(jīng)線為正弦曲線、極點(diǎn)投影成極線的等面積偽圓柱投影，緯線是平行于赤道的一組平行直線，每條緯線上經(jīng)線間隔相等。由愛(ài)凱特于1906年在桑遜投影的基礎(chǔ)上改進(jìn)完成。投影特點(diǎn)： P=1 無(wú)面積變形。 m1 經(jīng)線長(zhǎng)度比大于1。4.4 偽圓錐投影、偽圓柱投影、偽方位投影和多圓錐投影（3）摩爾威特（Mollweide）投影 經(jīng)線為橢圓曲線的等積偽圓柱投影，緯線是平行于赤道的一組平行直線，每條緯線上經(jīng)線間隔相等，離中央經(jīng)線經(jīng)差為90的經(jīng)線投影后全成一個(gè)圓，其面積等于地球面積的一半。由德國(guó)