拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

1、拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程一、教學(xué)內(nèi)容分析?拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程?是全日制普通高級中學(xué)教科書必修數(shù)學(xué)第二冊上第八章?圓錐曲線?第三節(jié)第一課時(shí)內(nèi)容.本節(jié)在教材中的地位和作用：在初中階段,拋物線為學(xué)生學(xué)習(xí)二次函數(shù)yax2bxc提供直觀的圖象感覺；在高中階段,它在一元二次不等式的解法、求最大小值等方面有著重要的作用.但學(xué)生并不清楚這種曲線的本質(zhì),隨著學(xué)生數(shù)學(xué)知識的逐漸完備,尤其是學(xué)習(xí)了橢圓、雙曲線的第二定義之后,已具備了探討這個(gè)問題的水平.從本章來講,這一節(jié)放在橢圓和雙曲線之后,一方面是三種圓錐曲線統(tǒng)一定義的需要,拋物線是離心率e1的特例；另一方面也是解析幾何“用方程研究曲線這一根本思想的再次強(qiáng)化.本節(jié)對拋物

2、線定義的研究,與初中階段二次函數(shù)的圖象遙相照應(yīng),表達(dá)了數(shù)學(xué)的和諧之美.教材的這種安排,是為了分散難點(diǎn),符合認(rèn)知的漸進(jìn)性原那么.二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析我校是省一級達(dá)標(biāo)學(xué)校,有優(yōu)越的多媒體設(shè)備,學(xué)生的數(shù)學(xué)根底較好,有強(qiáng)烈的求知欲,具備一定的分析、觀察等水平.在此之前,學(xué)生已經(jīng)熟練掌握二次函數(shù)圖象、橢圓、雙曲線的第二定義與求軌跡方程等內(nèi)容,迫切想了解拋物線的本質(zhì)特征.但是在動手操作與合作學(xué)習(xí)等方面,開展不均衡,有待增強(qiáng).三、設(shè)計(jì)思想為了培養(yǎng)不僅能“學(xué)會知識,而且能“會學(xué)知識的人才以及根據(jù)我校提出的“創(chuàng)設(shè)情景、激發(fā)情感、主動發(fā)現(xiàn)、主動開展的教學(xué)模式,在課堂設(shè)計(jì)上,教師應(yīng)學(xué)會如何創(chuàng)設(shè)情景,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興

3、趣；圍繞教材的重難點(diǎn),比方本節(jié)的“拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)和“拋物線概念的形成,教師應(yīng)學(xué)會如何設(shè)計(jì)不同的活動環(huán)節(jié),設(shè)置由淺入深、環(huán)環(huán)相扣的問題,通過教師適時(shí)的引導(dǎo),通過生生問、師生間的交流互動,通過學(xué)生自己的發(fā)現(xiàn)、分析、探究、反思,使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人,不斷完善自己的知識體系,提升獲取知識的水平,嘗試合作學(xué)習(xí)的快樂,體驗(yàn)成功的喜悅.四、教學(xué)目標(biāo)1.理解拋物線的定義,掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo).明確拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中p的幾何意義,能解決簡單的求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程問題.2、通過對拋,物線和橢圓、雙曲線離心率的比擬,體會三種圓錐曲線內(nèi)在的區(qū)別和聯(lián)系.3、熟練掌握求曲線方程的根本方法,通過四種不同形式

4、標(biāo)準(zhǔn)方程的比照,培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納的水平.4.營造親切、和諧的氣氛,以“趣激學(xué).引導(dǎo)學(xué)生用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識,體會數(shù)學(xué)的簡捷美、和諧美.培養(yǎng)合作學(xué)習(xí)的意識,體會成功帶來的喜悅.開展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識,熟悉數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.五、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo).通過學(xué)生自主建立直角坐標(biāo)系和對方程的討論選擇突出重點(diǎn).教學(xué)難點(diǎn)：拋物線概念的形成.通過條件e1的畫法設(shè)計(jì),標(biāo)準(zhǔn)方程與二次函數(shù)的比擬突破難點(diǎn).六、教學(xué)過程設(shè)計(jì)1 .設(shè)置情景,導(dǎo)入新課借助多媒體先給出一張姚明的圖片.此時(shí)學(xué)生的興趣來啦！師：姚明是我們中國人的驕傲,我們要向他學(xué)習(xí)！大家都

5、知道姚明的投籃非常精準(zhǔn)！為什么呢？生：天賦、身高！生：勤奮練習(xí)！再給出兩張姚明的圖片生：與投籃時(shí)的弧線有關(guān)！生：這弧線是拋物線！師：對！姚明有許多優(yōu)越的先天條件,同時(shí)好的技術(shù)也是一個(gè)關(guān)鍵的因素,今天我們就著手研究這個(gè)內(nèi)容.進(jìn)而引出本節(jié)研究的課題：拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程【學(xué)情預(yù)設(shè)】學(xué)生被教師設(shè)置的情景所吸引,學(xué)習(xí)的熱情高漲.【設(shè)計(jì)意圖】一個(gè)引人入勝的開頭會拓寬學(xué)生思路,尊重學(xué)生的生命活動,激發(fā)興趣,陶冶情操,大大提升教學(xué)效率.2 .引導(dǎo)探究,獲得新知師：在初中我們已經(jīng)從函數(shù)角度學(xué)過拋物線,那么,這一節(jié)課我們將沖破初中的界限從曲線和方程的角度來學(xué)習(xí)拋物線.師:前面,我們學(xué)習(xí)了橢圓和雙曲線的相關(guān)知識,那

6、么它們的聯(lián)系和差異是什么？生：定義不一樣！2222生：方程！橢圓是341,雙曲線是與41.abab師：還有嗎？生：橢圓是封閉的,雙曲線是開放的.師：這只是圖象不同,為什么會這樣呢？生：第二定義！就是它們到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比等于一個(gè)常數(shù)！生：這個(gè)常數(shù)是離心率e!師：對??！這是定性上的,定量上有不同嗎？生：離心率e不同,橢圓離心率e的范圍是0e1,雙曲線離心率e的范圍是e1o師：對了,e可看成是它們的相同點(diǎn),又是不同點(diǎn)！翻開幾何畫板e(cuò)=(|PF|/d)=2.07師：現(xiàn)在我慢慢拖動,大家認(rèn)真觀察圖象.生：0e1是橢圓,e1是雙曲線.師：但你們有沒觀察到e1時(shí)的圖象？生：拋物線！【學(xué)情預(yù)設(shè)

7、】學(xué)生認(rèn)真觀察圖象的變化,認(rèn)知e1的圖象就是拋物線.【設(shè)計(jì)意圖】不僅回憶了橢圓與雙曲線的相關(guān)內(nèi)容,而且為如何畫拋物線奠定堅(jiān)實(shí)根底.師：這拋物線是怎么畫出來的啊！課堂頓時(shí)一片寂靜師：那這條拋物線與什么有關(guān)？眾生：e1!師：e1是什么意思？生：到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離！師：答復(fù)得很好！那你們能據(jù)此設(shè)計(jì)一種方案,畫出這樣的點(diǎn)嗎？一段時(shí)間后,讓學(xué)生匯報(bào)自己的設(shè)計(jì)方案,并用實(shí)物投影儀展示學(xué)生所畫的圖形,師生共同就方案的可行性進(jìn)行論證.在直線PF上找特殊點(diǎn)在第一象限找特殊點(diǎn)在第一象限找所有【活動設(shè)計(jì)】前后學(xué)生組成四人小組,探討畫圖方案【教師活動】教師以平等的身份介入學(xué)生的討論中,并且關(guān)注：1 .學(xué)生

8、在知識認(rèn)知與情感開展方面的迷惑,及時(shí)引導(dǎo)鼓勵(lì)；2 .關(guān)注每個(gè)人的活動情況,做到全員參與,從同學(xué)們的探究中,了解學(xué)生對知識理解的不同程度,思考的不同方向,對有代表性的方案注意收集；3 .了解學(xué)生探究的進(jìn)展,把握課堂節(jié)奏.【學(xué)情預(yù)設(shè)】學(xué)生可能找到個(gè)別點(diǎn),教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生設(shè)計(jì)好如上圖中的方案.【設(shè)計(jì)意圖】著重培養(yǎng)學(xué)生合情推理與邏輯思維水平,增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,增強(qiáng)學(xué)生的自信心師：同學(xué)們的設(shè)計(jì)讓我們看到了這條曲線上的一個(gè)點(diǎn),那么怎么畫滿足e1的圖象呢？課堂又一片寂靜出示預(yù)先準(zhǔn)備的圓錐曲線教具師：現(xiàn)在我介紹這個(gè)教具的用法,將直尺與定直線重合,豎直固定在黑板上,再將磁鐵固定在定點(diǎn)上,拉緊白線,就可以畫出來了

9、.誰上來試試？兩位學(xué)生積極上臺板演師：這兩位同學(xué)表現(xiàn)非常好！這就是我們見過的拋物線！【活動設(shè)計(jì)】兩位學(xué)生上臺演示教具畫拋物線的過程【學(xué)情預(yù)設(shè)】教師應(yīng)先介紹教具的使用方法,然后學(xué)生嘗試.在嘗試的過程中,學(xué)生可能會遇到困難,教師應(yīng)給予指導(dǎo)【設(shè)計(jì)意圖】表達(dá)數(shù)學(xué)實(shí)踐在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的地位和作用,同時(shí)教師應(yīng)多鼓勵(lì)學(xué)生,多引導(dǎo)學(xué)生間進(jìn)行合作交流,培養(yǎng)合作學(xué)習(xí)的意識,體驗(yàn)成功帶來的喜悅師：接下來我也來演示下拋物線的形成過程.翻開幾何畫板軟件_JCP|PF|3.68厘米3.68厘米師：認(rèn)真觀察P點(diǎn)的運(yùn)動過程,你們有什么發(fā)現(xiàn)？利用幾何畫板軟件同步動態(tài)演示生：|AP|PC和|AP|PF等于|AC,所以點(diǎn)P在運(yùn)動時(shí),C

10、P始終等于|PF師：這位同學(xué)觀察很敏銳,直接抓住關(guān)鍵地方！師：那這樣畫出來的圖象也是？眾生：拋物線！師：很好！【活動設(shè)計(jì)】利用幾何畫板軟件演示拋物線的形成過程【學(xué)情預(yù)設(shè)】學(xué)生驚訝！計(jì)算機(jī)軟件居然能演示拋物線形成的過程,學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣再次調(diào)動起來！,表達(dá)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用價(jià)【設(shè)計(jì)意圖】強(qiáng)調(diào)“在操作中促進(jìn)學(xué)習(xí)值,同時(shí)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)知識的興趣.至此本節(jié)的難點(diǎn)得以突破.師：以前我們是用描點(diǎn)法畫出拋物線,那今天我們怎么畫？眾生：教具,電腦師：現(xiàn)在變換教具的位置,那么畫出的圖象還是拋物線嗎？眾生：是.師：這說明了什么？生：畫拋物線與位置無關(guān).師：所以今天我們就巧妙地利用幾何知識和計(jì)算機(jī)等方式畫

11、出了整個(gè)圖象.師：現(xiàn)在你們就可以歸納一下拋物線的定義了！生：到點(diǎn)F的距離和到直線L的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.師：這樣歸納完整嗎？生：應(yīng)該說,平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和到一條定直線L的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.生：還要注意定點(diǎn)不能在定直線上.師：為什么??？師：如果這樣,就只能找到一個(gè)點(diǎn).師：說得很好！這里F叫做拋物線的焦點(diǎn),定直線L叫做拋物線的準(zhǔn)線.【學(xué)情預(yù)設(shè)】學(xué)生間合作交流,完成對拋物線定義的歸納.【設(shè)計(jì)意圖】著重培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納等水平.三.深入探索,推導(dǎo)方程師：接下來你們試試推導(dǎo)拋物線的方程？簡單回憶求曲線方程的方法.一段時(shí)間后,實(shí)物投影儀展示學(xué)生探討的結(jié)果.分組討論,集中探索1 .以

12、K為原點(diǎn),定直線所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,此時(shí)得方程為：2 2y2pxpp02 .以F為原點(diǎn),過F且垂直于定直線F的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,此時(shí)得方程：22y2pxpp03 .以垂線段KF的中點(diǎn)為原點(diǎn),KF所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,此時(shí)得方程：2y2pxp0師：哪個(gè)好呢?生：方案3所得的方程更簡潔！師：我們就把它叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,注意這里標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)準(zhǔn)是頂點(diǎn)在原點(diǎn),圖象關(guān)于x軸對稱.【活動設(shè)計(jì)】以原來的四人小組為單位,討論建立直角坐標(biāo)系的方案,一段時(shí)間后,各組交流,對可行的方案進(jìn)行驗(yàn)證.【學(xué)情預(yù)設(shè)】可能出現(xiàn)的情況如上.假設(shè)只出現(xiàn)第一種和第二種方案,教師要適時(shí)引導(dǎo)出現(xiàn)第

13、三種方案；假設(shè)直接出現(xiàn)第三種方案,教師就引導(dǎo)學(xué)生歸納拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【設(shè)計(jì)意圖】通過有啟發(fā)性的活動設(shè)計(jì)和層層深入的問題設(shè)置,使學(xué)生在分析、探究、反思和歸納中,不斷獲得解決問題的方法.師：現(xiàn)在請同學(xué)們增大點(diǎn)F到直尺L的距離,重復(fù)剛剛的實(shí)驗(yàn),比擬一下,拋物線有什么變化？再縮小這個(gè)距離試一試.生：點(diǎn)F到直尺L的距離發(fā)生變化,拋物線開口也發(fā)生變化.師：觀察很準(zhǔn)確！這說明了什么？生：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是拋物線的一個(gè)重要的幾何特征.師：說得非常好！師：接下來看課本的一條拋物線,試將你們的課本逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90再觀察,會有什么發(fā)現(xiàn)？生：x軸和y軸對調(diào)了生：還有開口向上了！師：同學(xué)觀察得很仔細(xì)！那么你們能推出它的

14、方程嗎？生：將y22Px中的x和y對調(diào)就行了,就是x22py!師：大家在等式兩邊同除2P看看!生：y2x2,哦,是二次函數(shù)形式!2p師：對了！這就是我們熟悉的二次函數(shù)了!師：那再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90：,怎么求？生：和y22Px圖象關(guān)于y軸對稱,將x替換x就行,就是y22px!師：再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90呢?眾生：和x22py圖象關(guān)于x軸對稱,將y替換y就行,就是x22py!生：從y22pxp0的形式上,方程的一次項(xiàng)決定焦點(diǎn)的位置.生：還有一次項(xiàng)系數(shù)符號決定開口方向,而且可以迅速算出焦點(diǎn)坐標(biāo)為衛(wèi),0和2準(zhǔn)線方程為xp.師：還有嗎?生：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程不同的是：確定拋物線只要一個(gè)自由量p,

15、而確定橢圓和雙曲線那么需要兩個(gè)自由量.師：觀察很敏銳,分析很透徹,很好！【學(xué)情預(yù)設(shè)】通過老師的層層引導(dǎo),學(xué)生自主完成計(jì)算機(jī)中的表格的內(nèi)容,認(rèn)清拋物線和二次函數(shù)圖象的聯(lián)系,認(rèn)清拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的各種形式.【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì),不斷提升分析、總結(jié)與歸納等水平,也為分析例題和解決實(shí)際應(yīng)用問題奠定理論根底.4 .指導(dǎo)應(yīng)用,鼓勵(lì)創(chuàng)新師：接下來我們運(yùn)用上述所學(xué)到的知識來解決一些問題,如：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y212x,現(xiàn)在請你們說出它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.生：方程是關(guān)于x的一次項(xiàng),系數(shù)是負(fù)的,所以焦點(diǎn)在x軸上,開口向左,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)是3,0,準(zhǔn)線方程是x3.再看一道：拋物線方程是y12x2,請說

16、出它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.生：焦點(diǎn)坐標(biāo)是0,3.師：是這樣嗎？生：二次項(xiàng)系數(shù)不為1,所以要先化成標(biāo)準(zhǔn)方程！應(yīng)該先變成x2工y再求.12師：太好了！所以解題時(shí)不要張冠李戴！結(jié)果算出來了嗎？眾生：焦點(diǎn)坐標(biāo)是0,準(zhǔn)線是y工.4848【設(shè)計(jì)意圖】穩(wěn)固四種方程的形式及曲線特征,熟悉相關(guān)公式.強(qiáng)調(diào)解決拋物線方程問題時(shí)要先轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程.師：現(xiàn)在我們回到姚明的這副圖,有一次姚明投籃時(shí),測得投籃的軌跡是拋物線,請看右邊畫的圖形,拋物線最高點(diǎn)離底面距離為4m,籃框高為3m,籃框中央離最高點(diǎn)的水平距離為2m,怎么求投中時(shí)拋物線的方程？生思考師：這是一道實(shí)際生活問題！我們?nèi)绾螌⑦@個(gè)問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題呢？生：建立直角

17、坐標(biāo)系！師：那怎么建立?。可哼@里應(yīng)該以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),OA所在直線為y軸建立坐標(biāo)系,這樣拋物線就在x軸下方,直接設(shè)x22pyp0,又B2,1,那么p2,方程就是x24y!師：很好！接著我們還可以算出？生：只要知道姚明的身高,我們還可以算出投籃地方離籃框的水平距離.師：非常好！【學(xué)情預(yù)設(shè)】當(dāng)遇到實(shí)際應(yīng)用題,學(xué)生可能會感到困惑,但在教師的引導(dǎo)下,利用掌握的相關(guān)知識解決了實(shí)際生活問題.【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)計(jì)一道求投籃軌跡的方程的例題,不僅與開頭遙相照應(yīng),而且可以穩(wěn)固新知識,加深學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的價(jià)值,體會數(shù)學(xué)來自生活,又應(yīng)用于生活,效勞于生活.5 .小結(jié)概括,深化熟悉師：今天我們學(xué)習(xí)了

18、什么內(nèi)容？生：可以巧妙地利用幾何知識畫出拋物線.生：知道了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,它的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)落在對稱軸上,有四種形式.師：這是知識方面的.我們還學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？生：轉(zhuǎn)化思想,求解拋物線方程問題時(shí)要特別注意先化成標(biāo)準(zhǔn)方程.師：還有嗎？生：從橢圓和雙曲線中e的變化研究到拋物線,實(shí)際是用了類比的方法.生：如果我們做生活的有心人,就會發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活實(shí)際是密切相連的.師：很好！今天我們學(xué)習(xí)的內(nèi)容雖然不多,但是從知識、水平、思想與應(yīng)用等方面都理解和體驗(yàn)了數(shù)學(xué)的奧秘！【學(xué)情預(yù)設(shè)】學(xué)生總結(jié)出在知識、數(shù)學(xué)思想等方面的收獲.【設(shè)計(jì)意圖】擺脫傳統(tǒng)教學(xué)中教師小結(jié)的做法,讓學(xué)生自己總結(jié),加深對本節(jié)課內(nèi)容的熟悉.6 .布置作業(yè)課本P1191、2、3、4板書設(shè)計(jì)拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程1 .拋物線的定義2 .拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程3 .應(yīng)用與小結(jié)建系方策一建系方案三建系方案二例題練習(xí)七、教學(xué)反思本節(jié)是在學(xué)生學(xué)習(xí)了橢圓、雙曲線之后,因此在教學(xué)設(shè)計(jì)中,應(yīng)注意充分調(diào)動學(xué)生已有的知識,引導(dǎo)學(xué)生把新舊知識有機(jī)融合,掌握知識的系統(tǒng)結(jié)構(gòu).時(shí)時(shí)與前兩種曲線進(jìn)行比擬,不斷復(fù)習(xí)學(xué)生已經(jīng)理解和掌握了的建系求曲線方程的步驟.為了突破本節(jié)課的難點(diǎn)一一拋物線概念的形成.在教學(xué)設(shè)計(jì)中,注重設(shè)計(jì)三個(gè)活動：第一個(gè)活動讓學(xué)生