羅默《高級(jí)宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)》(第3版)課后習(xí)題詳解(第1章索洛增長模型)

1、Born to win經(jīng)濟(jì)學(xué)考研交流群 <<<點(diǎn)擊加入 羅默高級(jí)宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)（第3版）第1章 索洛增長模型跨考網(wǎng)獨(dú)家整理最全經(jīng)濟(jì)學(xué)考研真題，經(jīng)濟(jì)學(xué)考研課后習(xí)題解析資料庫，您可以在這里查閱歷年經(jīng)濟(jì)學(xué)考研真題，經(jīng)濟(jì)學(xué)考研課后習(xí)題，經(jīng)濟(jì)學(xué)考研參考書等內(nèi)容，更有跨考考研歷年輔導(dǎo)的經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)哥學(xué)姐的經(jīng)濟(jì)學(xué)考研經(jīng)驗(yàn)，從前輩中獲得的經(jīng)驗(yàn)對(duì)初學(xué)者來說是寶貴的財(cái)富，這或許能幫你少走彎路，躲開一些陷阱。以下內(nèi)容為跨考網(wǎng)獨(dú)家整理，如您還需更多考研資料，可選擇經(jīng)濟(jì)學(xué)一對(duì)一在線咨詢進(jìn)行咨詢。1.1 增長率的基本性質(zhì)。利用一個(gè)變量的增長率等于其對(duì)數(shù)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)的事實(shí)證明：（a）兩個(gè)變量乘積的增長率等于其增長率

2、的和，即若，則（b）兩變量的比率的增長率等于其增長率的差，即若，則（c）如果，則證明：（a）因?yàn)橐粋€(gè)變量的增長率等于對(duì)該變量取對(duì)數(shù)后再對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，那么可得下式：因?yàn)閮蓚€(gè)變量的積的對(duì)數(shù)等于兩個(gè)變量各自對(duì)數(shù)之和，所以有下式：再簡化為下面的結(jié)果：則得到（a）的結(jié)果。（b）因?yàn)橐粋€(gè)變量的增長率等于對(duì)該變量取對(duì)數(shù)后再對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，那么可得下式：因?yàn)閮蓚€(gè)變量的比率的對(duì)數(shù)等于兩個(gè)變量各自對(duì)數(shù)之差，所以有下式：再簡化為下面的結(jié)果:則得到（b）的結(jié)果。（c）因?yàn)橐粋€(gè)變量的增長率等于對(duì)該變量取對(duì)數(shù)后再對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，那么可得下式：又由于，其中是常數(shù)，有下面的結(jié)果：則得到（c）的結(jié)果。1.2 假設(shè)某變量的增長率為常數(shù)且在

3、時(shí)刻等于，在時(shí)刻下降為0，在時(shí)刻逐漸由0上升到，在時(shí)刻之后不變且等于。（a）畫出作為時(shí)間函數(shù)的的增長率的圖形。（b）畫出作為時(shí)間函數(shù)的的圖形。答：（a）根據(jù)題目的規(guī)定，的增長率的圖形如圖1-1所示。從時(shí)刻到時(shí)刻的增長率為常數(shù)且等于（），為圖形中的第一段。的增長率從0上升到，對(duì)應(yīng)于圖中的第二段。從時(shí)刻之后，的增長率再次變?yōu)?。圖1-1 時(shí)間函數(shù)的增長率（b）注意到關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)（即的斜率）等于的增長率，即：因此，關(guān)于時(shí)間的圖形如圖1-2所示：從0時(shí)刻到時(shí)刻，的斜率為（），在時(shí)刻，的增長率出現(xiàn)不連續(xù)的變化，因此的斜率出現(xiàn)扭曲，在時(shí)刻至?xí)r刻，的斜率由0逐漸變?yōu)?；從時(shí)刻之后，的斜率再次變?yōu)椋ǎ?。圖1-2

4、 關(guān)于時(shí)間的圖形1.3 描述下面的每一種變化（如果存在的話）怎樣影響索洛模型的基本圖中的持平投資與實(shí)際投資線。（a）折舊率下降。（b）技術(shù)進(jìn)步率上升。（c）生產(chǎn)函數(shù)是柯布道格拉斯型，并且資本份額上升。（d）工人們發(fā)揮更大的努力，使得對(duì)于單位有效勞動(dòng)的資本的既定值，單位有效勞動(dòng)的產(chǎn)出比以前更高。答：（a）折舊率下降的影響由于持平投資線的斜率為，當(dāng)折舊率下降后，持平投資線的斜率下降，持平投資線向右轉(zhuǎn)，而實(shí)際投資線則不受影響。從圖1-3可以看出，平衡增長路徑的資本存量水平從上升到。圖1-3 折舊率下降的影響（b）技術(shù)進(jìn)步率上升的影響由于持平投資線的斜率為，當(dāng)技術(shù)進(jìn)步率上升后，會(huì)使持平投資線的斜率變大

5、，持平投資線向左轉(zhuǎn)，而實(shí)際投資線則不受影響。從圖1-4可以看出，平衡增長路徑的資本存量水平從下降到。圖1-4 技術(shù)進(jìn)步率上升對(duì)穩(wěn)態(tài)人均資本存量的影響（c）生產(chǎn)函數(shù)是柯布道格拉斯型的，并且資本份額上升的影響由于持平投資線的斜率為，因此上升對(duì)持平投資線沒有影響。由于實(shí)際投資線為，而，因此。當(dāng)資本份額上升時(shí)，實(shí)際投資線的變化需要分情況討論：對(duì)于，如果，或者，則，即實(shí)際投資線隨增加而上升，則新的實(shí)際投資線位于舊的實(shí)際投資線之上；反之，如果，或者，則新的實(shí)際投資線位于舊的實(shí)際投資線之下；對(duì)于，則新的實(shí)際投資線與舊的實(shí)際投資線重合。除此之外，上升對(duì)于的影響還受到和的大小的影響。如果，的上升會(huì)使上升，如圖1

6、-5所示。圖1-5 資本份額上升的影響（d）工人們發(fā)揮更大的努力，使得對(duì)于單位有效勞動(dòng)的資本的既定值，單位有效勞動(dòng)的產(chǎn)出比以前有更高的影響：如果修改密集形式的生產(chǎn)函數(shù)形式為：，則實(shí)際投資線為。工人們更加努力的勞動(dòng)，則單位有效勞動(dòng)的產(chǎn)出比以前提高，即表現(xiàn)為上升，的上升會(huì)使實(shí)際投資線上升；持平投資線并不受影響，此時(shí)，也從上升到，如圖1-6所示。圖1-6 單位有效產(chǎn)出比以前更高的影響1.4 考慮一個(gè)具有技術(shù)進(jìn)步但無人口增長的經(jīng)濟(jì)，其正處在平衡增長路徑上?，F(xiàn)在假設(shè)工人數(shù)發(fā)生了一次跳躍。（a）在跳躍時(shí)刻每單位有效勞動(dòng)的產(chǎn)出是上升、下降還是保持不變？為什么？（b）在新工人出現(xiàn)時(shí)，每單位有效勞動(dòng)的產(chǎn)出發(fā)生初

7、始變化（如果存在的話）之后，單位有效勞動(dòng)的產(chǎn)出是否存在任何進(jìn)一步的變化？如果發(fā)生變化，其將上升還是下降？為什么？（c）一旦經(jīng)濟(jì)再次達(dá)到平衡增長路徑，此時(shí)的每單位有效勞動(dòng)的產(chǎn)出是高于、低于還是等于新工人出現(xiàn)之前的每單位有效勞動(dòng)的產(chǎn)出？為什么？答：（a）假定在時(shí)刻，工人數(shù)量發(fā)生了一次離散的上升，這使得每單位有效勞動(dòng)的投資數(shù)量從下降到。從這一式子中可以看出，由于上升，而和則沒有變化，因此，會(huì)下降。因?yàn)椋悦繂挝挥行趧?dòng)的投資數(shù)量的下降會(huì)降低每單位有效勞動(dòng)的產(chǎn)出。在圖1-7中，從下降到。圖1-7 單位有效勞動(dòng)數(shù)量降低的影響（b）在處，每單位有效勞動(dòng)的投資超過了每單位有效勞動(dòng)的持平投資，即：。在處，經(jīng)

8、濟(jì)中儲(chǔ)蓄和投資超過了折舊和技術(shù)進(jìn)步所需要的投資數(shù)量，因此開始上升。隨著每單位有效勞動(dòng)的資本上升，每單位有效勞動(dòng)的產(chǎn)出也會(huì)上升。因此，從返回到。（c）每單位有效勞動(dòng)的資本會(huì)持續(xù)不斷的上升，直到返回到原先的資本水平。在處，每單位有效勞動(dòng)的投資恰好與持平投資相等，即：每單位有效勞動(dòng)的投資抵消了折舊和技術(shù)進(jìn)步所需要的投資數(shù)量。一旦經(jīng)濟(jì)返回到平衡增長路徑，便會(huì)返回到處，從而每單位有效勞動(dòng)的產(chǎn)出也會(huì)返回到原先的水平。所以，一旦經(jīng)濟(jì)再次達(dá)到平衡增長路徑，每單位有效勞動(dòng)的產(chǎn)出等于新工人出現(xiàn)之前的產(chǎn)出。1.5 設(shè)生產(chǎn)函數(shù)是柯布道格拉斯型的。（a）找出作為模型參數(shù)、和的函數(shù)的、與的表達(dá)式。（b）的黃金律值是什么？

9、（c）獲得黃金律資本存量所需的儲(chǔ)蓄是什么？解：（a）下式描述了每單位有效勞動(dòng)的資本的動(dòng)態(tài)方程式：定義柯布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)為：，將其代入上式，有下式：在平衡增長路徑處，每單位有效勞動(dòng)的投資恰好與每單位有效勞動(dòng)持平投資相等，從而保持不變，則有下面結(jié)果：從上式可以解出： （1）下面求解平衡增長路徑處的每單位有效勞動(dòng)的產(chǎn)出水平：將方程（1）代入，則可以解出平衡增長路徑處的每單位有效勞動(dòng)的產(chǎn)出水平： （2）下面求解平衡增長路徑處的每單位有效勞動(dòng)的消費(fèi)水平。將方程（2）代入，則可以求得平衡增長路徑處的每單位有效勞動(dòng)的消費(fèi)水平為： （3）綜合上述方程（1）、（2）和（3）可以解出、與關(guān)于模型參數(shù)、和的函數(shù)表

10、達(dá)式。（b）黃金率的資本存量水平是指每單位有效勞動(dòng)的消費(fèi)水平達(dá)到最大化時(shí)的資本存量水平?？疾爝@一指標(biāo)的意義在于考察社會(huì)的福利水平，這也是經(jīng)濟(jì)學(xué)一切分析的核心所在，比考察資本、產(chǎn)出等經(jīng)濟(jì)變量更有意義。由方程（1）可以解出，即： （4）將上式代入方程（3），有下式： 上式可以簡化為： （5）即每單位有效勞動(dòng)的消費(fèi)等于每單位有效勞動(dòng)的產(chǎn)出減去每單位有效勞動(dòng)的實(shí)際投資，而均衡狀態(tài)時(shí)，每單位有效勞動(dòng)的實(shí)際投資等于每單位有效勞動(dòng)的持平投資。下面求關(guān)于的最優(yōu)化，可以由（5）得出：再簡化為： （6）方程（6）的定義暗含了黃金規(guī)則的資本水平。其中，方程（6）左邊，因?yàn)椋瑒t，表明生產(chǎn)函數(shù)的斜率等于持平投資的斜率。

11、可以由方程（6）解出黃金規(guī)則要求的最佳資本水平，即的黃金律值： （7）（c）將方程（7）代入方程（4）即可以得到黃金規(guī)則所要求的資本水平：進(jìn)一步簡化為： （8）由方程（8）可以得出：對(duì)于柯布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)，黃金規(guī)則所要求的儲(chǔ)蓄率等于產(chǎn)出的資本彈性，也即資本的產(chǎn)出份額。1.6 考慮一個(gè)正處在平衡增長路徑上的索洛經(jīng)濟(jì)。為了簡化分析，假設(shè)不存在技術(shù)進(jìn)步并且現(xiàn)在人口增長率下降。（a）每個(gè)工人平均資本、每個(gè)工人平均產(chǎn)出與每個(gè)工人平均消費(fèi)等的均衡增長路徑的值發(fā)生了什么變化？描述這些經(jīng)濟(jì)變量移向其新平衡增長路徑的路徑。（b）描述人口增長的下降對(duì)產(chǎn)出（即總產(chǎn)出而非每個(gè)工人平均產(chǎn)出的）路徑的影響。答：（a）由

12、于不存在技術(shù)進(jìn)步，這里可以不考慮技術(shù)因素，將每單位有效勞動(dòng)簡化為平均勞動(dòng)，定義：，。由于持平投資線的斜率為，因此，人口增長率的下降會(huì)使持平投資線的斜率變小，持平投資線更加平坦。每個(gè)工人平均資本的動(dòng)態(tài)方程為：由于下降，這會(huì)導(dǎo)致變?yōu)檎龜?shù)（在平衡增長路徑上，為0，即資本存量處于最佳水平）。在處，每個(gè)工人平均實(shí)際投資超過了每個(gè)工人平均持平投資，因而，會(huì)增加，移向，如圖1-8所示。圖1-8 人口增長率下降對(duì)每個(gè)工人平均穩(wěn)態(tài)資本、平均穩(wěn)態(tài)產(chǎn)出的影響隨著每個(gè)工人平均資本的增加，由可以知道每工人平均產(chǎn)出會(huì)上升。又因?yàn)?，由于不變，而上升，因此每個(gè)工人平均消費(fèi)會(huì)上升。如圖1-9所示。其中，圖1-9（1）為每個(gè)工人

13、平均資本的變化圖，圖1-9（2）為每個(gè)工人平均產(chǎn)出的變化圖，圖1-9（3）為每個(gè)工人平均消費(fèi)的變化圖。圖1-9 每個(gè)工人平均資本、產(chǎn)出、消費(fèi)的變化（b）由定義，則的增長率為。在開始的平衡增長路徑上，/，因此，在最終的平衡增長路徑上，。因此，人口增長的下降會(huì)導(dǎo)致總產(chǎn)出的增長率下降，如圖1-10所示。圖1-10 總產(chǎn)出增長率的下降1.7 找出平衡增長路徑上每單位有效勞動(dòng)的產(chǎn)出關(guān)于人口增長率的彈性。如果、以及，由2下降至1將會(huì)使提高多少？解：由于，所以對(duì)該式兩邊對(duì)求導(dǎo)數(shù)，有下式的結(jié)果： （1）而值可以從資本的動(dòng)態(tài)方程式中尋找。在平衡增長路徑上，因此有：，對(duì)兩邊關(guān)于求導(dǎo)，得到下式：求解可得： （2）將

14、方程（2）代入（1）式，得： （3）由求解，可得： （4）將方程（4）代入（3）式，可得：求關(guān)于的彈性形式： （5）產(chǎn)出的資本彈性為，代入（5）式： （6）將、以及，由2下降至1代入，其中取中值，為0.015，有下式的結(jié)果：因此，由2下降至1，下降了50%，則產(chǎn)出會(huì)上升6%（）。可以發(fā)現(xiàn)，人口增長率的大幅度下降并不會(huì)導(dǎo)致產(chǎn)出的大幅度增長。上述結(jié)論有著極其重要的價(jià)值。在索洛模型中，在解釋經(jīng)濟(jì)增長的原因時(shí)，索洛從資本的角度加以解釋，但他發(fā)現(xiàn)，資本的差異既不能解釋人類歷史上長期的增長，也不能解釋跨國之間的差距。在索洛模型看來，導(dǎo)致經(jīng)濟(jì)增長最主要的原因在于有效勞動(dòng)。本題則從勞動(dòng)數(shù)量的角度解釋增長，發(fā)現(xiàn)

15、效果并不明顯。1.8 設(shè)在美國，投資所占產(chǎn)出的份額永久性地由0.15上升至0.18，并設(shè)資本份額為1/3。（a）相對(duì)于投資不上升的情形，產(chǎn)出最終大約上升多少？（b）相對(duì)于投資不上升的情形，消費(fèi)大約上升多少？（c）投資增加對(duì)消費(fèi)的直接影響是什么？消費(fèi)要恢復(fù)到不存在投資增長時(shí)的水平，需要花費(fèi)多長時(shí)間？解：（a）投資所占產(chǎn)出的份額永久性地由0.15上升至0.18，上升20%，表明儲(chǔ)蓄率上升了20%。由教材（1.27）可以知道產(chǎn)出關(guān)于儲(chǔ)蓄的彈性公式為：為產(chǎn)出的資本彈性，這里假設(shè)市場是完全競爭的，不存在市場扭曲，資本取其邊際產(chǎn)品，即產(chǎn)出的資本彈性近似等于資本份額。將代入上述公式，得：可以看出，產(chǎn)出關(guān)于儲(chǔ)

16、蓄的彈性為1/2，則儲(chǔ)蓄率上升20%，產(chǎn)出會(huì)上升10%。（b）由于儲(chǔ)蓄率上升，因此盡管產(chǎn)出上升了10%，但消費(fèi)并不會(huì)上升10%，而會(huì)更小一些。在此需要求出消費(fèi)的儲(chǔ)蓄彈性。由于，對(duì)此式兩邊關(guān)于求導(dǎo)數(shù)，得：等式兩邊都乘以，得到彈性形式如下：在等式右邊，將替代，化簡得：該式第二項(xiàng)為產(chǎn)出的儲(chǔ)蓄彈性，由（a）可知為1/2，投資所占產(chǎn)出的份額永久性地由0.15上升至0.18，即儲(chǔ)蓄份額也由0.15上升至0.18，取中值為0.165，代入上述公式，得：因此，消費(fèi)關(guān)于儲(chǔ)蓄的彈性為0.3，投資所占產(chǎn)出的份額永久性上升20%，可以使消費(fèi)上升6%（）。（c）投資增加對(duì)消費(fèi)的直接影響是使消費(fèi)立即下降。原因在于，在初始

17、平衡增長路徑上，保持不變，而則由0.15上升到0.18，即由0.85下降到0.82，下降了0.035。因此，投資增加會(huì)立刻導(dǎo)致消費(fèi)下降0.035。下面使用校準(zhǔn)的方法來檢驗(yàn)消費(fèi)的收斂速度。在發(fā)生一次性上升后便保持不變，因而消費(fèi)在新的平衡增長路徑上會(huì)保持不變。在教材上第17頁討論了和的收斂速度。首先定義的動(dòng)態(tài)方程式：，在平衡增長路徑上，為0，取在上的一階泰勒展開：令，有下式：的平衡增長路徑為：在求解：因?yàn)闉?%，而，可以得出為4%。這意味著和每年向平衡增長路徑移動(dòng)4%。由于，因此消費(fèi)也以穩(wěn)定的速率向穩(wěn)定點(diǎn)移動(dòng)?？梢酝瞥鱿率剑涸俅魏喕癁椋河深}目可知，消費(fèi)先下降3.5%，而后再上升6%，因此它將移動(dòng)9

18、.5%。消費(fèi)必須移動(dòng)36.8%（）才能到達(dá)新的平衡增長路徑。這意味著到達(dá)新平衡增長路徑的距離是原距離的63.2%。為了決定收斂的速度，有下面的式子：兩邊取對(duì)數(shù)，有：。求得下面的結(jié)果：（年）因此，消費(fèi)要恢復(fù)到不存在投資增長時(shí)的水平，需花費(fèi)11.5年。1.9 索洛模型中的要素支付。假設(shè)勞動(dòng)與資本均按其邊際產(chǎn)品支付。令表示，且表示。（a）證明勞動(dòng)的邊際產(chǎn)品是。（b）證明如果資本與勞動(dòng)均按其邊際產(chǎn)品支付，那么不變的規(guī)模報(bào)酬意味著生產(chǎn)要素的總支付量等于總的凈產(chǎn)出，即證明在不變的規(guī)模報(bào)酬條件下，。（c）隨著產(chǎn)出份額被支付給資本與勞動(dòng)，資本報(bào)酬（）大致也不隨時(shí)間而變化。處在平衡增長路徑上的索洛經(jīng)濟(jì)展現(xiàn)這些特

19、征嗎？處在均衡增長路徑上的與的增長率是多少？（d）假設(shè)經(jīng)濟(jì)由一個(gè)數(shù)量為的水平開始。隨著移向，是否以大于、小于或等于其處在平衡增長路徑時(shí)的增長率的速率增長？會(huì)怎樣呢？答：（a）勞動(dòng)的邊際產(chǎn)品為：生產(chǎn)函數(shù)為：兩邊關(guān)于取導(dǎo)數(shù)：（1）即：（b）資本的邊際產(chǎn)品為：生產(chǎn)函數(shù)為：，兩邊關(guān)于取導(dǎo)數(shù)： （2）將方程（1）和（2）代入，得：簡化為：因?yàn)椴蛔兊囊?guī)模報(bào)酬條件下，所以有下式： （3）（c）（2）式中，因?yàn)楸３植蛔?，而在平衡增長路徑上也保持不變，因此不變，也將保持不變。這意味著，從而資本回報(bào)率在索洛模型中保持不變。資本的產(chǎn)出份額為，求其增長率如下：在平衡增長路徑上，資本的產(chǎn)出份額保持不變。因?yàn)橘Y本的產(chǎn)出份

20、額與勞動(dòng)的產(chǎn)出份額之和為1，因此，勞動(dòng)的產(chǎn)出份額也保持不變。下面求在平衡增長路徑上勞動(dòng)的邊際產(chǎn)品增長率。勞動(dòng)的邊際產(chǎn)品是：兩邊取對(duì)數(shù)求勞動(dòng)的增長率：在平衡增長路徑上，因此，即勞動(dòng)的邊際產(chǎn)品的增長率為有效勞動(dòng)增長率。（d）由（c）知。因?yàn)?，如果，則式中第二項(xiàng)為正，當(dāng)時(shí)，因此勞動(dòng)的邊際產(chǎn)品增長率比平衡增長路徑時(shí)更快。資本的邊際產(chǎn)品的增長率為：當(dāng)向移動(dòng)時(shí)，而，因此，從而資本的邊際產(chǎn)品的增長率下降。1.10 假設(shè)像習(xí)題1.9中的一樣，資本與勞動(dòng)按其邊際產(chǎn)品獲得收益。此外，假設(shè)一切資本收入被儲(chǔ)蓄且所有勞動(dòng)收入被消費(fèi)。因此，。（a）證明這種經(jīng)濟(jì)收斂于平衡增長路徑。（b）處在平衡增長路徑上的大于、小于或等于

21、的黃金律水平嗎？關(guān)于這個(gè)結(jié)論的直覺是什么？答：（a）下面證明該經(jīng)濟(jì)可以收斂于平衡增長路徑。由，對(duì)其兩邊關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)，可得： （1）將，和代入方程（1），可得： （2）將代入方程（2），可得： （3）當(dāng)時(shí)，每單位有效勞動(dòng)保持不變。即，因此平衡增長路徑上的每單位有效勞動(dòng)的資本可以由潛在地決定。，由于在平衡增長路徑上保持不變，因此，必須與保持同樣的增長速度。的增長速度為，所以的增長速度為。由于生產(chǎn)函數(shù)是規(guī)模報(bào)酬不變的，因此，在平衡增長路徑上每單位有效勞動(dòng)的產(chǎn)出增長速度也必須是。綜合上述，可以發(fā)現(xiàn)所有變量增長速度均不變。下面證明經(jīng)濟(jì)收斂于平衡增長路徑。在時(shí)，此時(shí)經(jīng)濟(jì)處于平衡增長路徑上。如果，由于，所以

22、，則經(jīng)濟(jì)向下偏離平衡增長路徑；反之，如果，則，經(jīng)濟(jì)向上偏離平衡增長路徑。所以，不管初始的如何，經(jīng)濟(jì)都將收斂于平衡增長路徑，此時(shí) ，所有的經(jīng)濟(jì)變量都以不變的速率增長。（b）滿足黃金規(guī)則的資本水平是指每單位有效勞動(dòng)的消費(fèi)的最大化資本水平，即。此刻滿足生產(chǎn)函數(shù)的斜率等于持平投資線的斜率。而這正是經(jīng)濟(jì)收斂到均衡增長路徑時(shí)的水平，這時(shí)所有的資本收入被儲(chǔ)蓄，所有的勞動(dòng)收入被消費(fèi)。在本模型中，將資本的貢獻(xiàn)（資本的邊際產(chǎn)品乘以資本的數(shù)量）儲(chǔ)蓄起來。如果資本的貢獻(xiàn)超過持平投資，即，則上升；反之，如果，則下降。因此，經(jīng)濟(jì)收斂于，或者這一點(diǎn)上，此刻經(jīng)濟(jì)收斂于平衡增長路徑。1.11 利用與式（1.28）（1.31）中

23、相類似的步驟分析，在平衡增長路徑附近，如何快速地收斂于。提示：由于，可以寫出，其中。答：首先，由求反函數(shù)可得，令，即可以表示成的函數(shù)；又由于在索洛模型中，是由的值所決定的，因而可以表示為的函數(shù)，從而可以表示為的函數(shù)，即有：。特別地，當(dāng)時(shí)，。函數(shù)在處的一階泰勒展式為： （1）令，則上式可以簡化為： （2）方程（2）表明，在平衡增長路徑附近，移向的速度幾乎與和之間的距離成比例。也就是說，的增長率近似于一個(gè)固定的常數(shù)，這意味著 （3）其中，是的初始值。其次，確定的值。對(duì)生產(chǎn)函數(shù)兩端關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)數(shù)可得： （4）而教材中資本積累的方程為： （5）由方程（4）和（5）可得： （6）方程（6）兩端對(duì)求導(dǎo)可得

24、： （7）在平衡增長路徑上，因而方程（7）可以表示為： （8）由于，其中，從而有： （9）由方程（8）和（9）可得：綜上可得： （10）因?yàn)樵谄胶庠鲩L路徑上，從而方程（10）可以表示為： （11）又由于，所以方程（11）可以簡化為：綜上所述，在平衡增長路徑附近，以近似于的不變速度收斂于平衡增長路徑值。1.12 物化（embodied）的技術(shù)進(jìn)步（索洛，1960；薩托，1966）。有關(guān)技術(shù)進(jìn)步的一種觀點(diǎn)是，在時(shí)刻建立的資本品的生產(chǎn)力依存于時(shí)刻的技術(shù)狀態(tài)，并且不受后續(xù)技術(shù)進(jìn)步的影響。這便是眾所共知的物化的技術(shù)進(jìn)步（技術(shù)進(jìn)步在其可提高產(chǎn)出之前，必須“物化”在新資本中）。這個(gè)習(xí)題要求去探討其效應(yīng)。（a

25、）作為一個(gè)前提，把基本的索洛模型修改為技術(shù)進(jìn)步是資本增加型的而非勞動(dòng)增加型的，使得一個(gè)平衡增長路徑存在。假設(shè)生產(chǎn)函數(shù)是柯布道格拉斯型的，。假設(shè)以如下的速率增長：。證明經(jīng)濟(jì)收斂于平衡增長路徑，并且求出平衡增長路徑上的與的增長率。（提示：證明可把寫成的函數(shù)，這里，然后分析的動(dòng)態(tài)學(xué)。）（b）現(xiàn)在考慮物化的技術(shù)進(jìn)步。特別地，設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為，式中是有效資本存量，的動(dòng)態(tài)學(xué)為。在這個(gè)表達(dá)式中的出現(xiàn)意味著在時(shí)刻，投資的生產(chǎn)力依存時(shí)刻的技術(shù)。證明經(jīng)濟(jì)收斂于平衡增長路徑。在平衡增長路徑上，與的增長率是多少？（提示：令。然后利用像（a）一樣的分析方法，主要集中于用替代。（c）在平衡增長路徑上，產(chǎn)出關(guān)于的彈性是什么？（

26、d）在平衡增長路徑鄰近區(qū)域，經(jīng)濟(jì)怎樣快速地收斂于平衡增長路徑？（e）將（c）與（d）中得出的結(jié)論與課文中基本的索洛模型得出的相應(yīng)結(jié)論進(jìn)行比較。答：（a）以的形式進(jìn)入，則技術(shù)進(jìn)步為哈羅德中性的；以的形式進(jìn)入，則技術(shù)進(jìn)步為資本增加型的；以的形式進(jìn)入，則技術(shù)進(jìn)步為希克斯中性的。本題為第二種情況。資本增進(jìn)型的技術(shù)進(jìn)步的生產(chǎn)函數(shù)的形式為： （1）在方程（1）左右兩邊同時(shí)除以，可得：上式再簡化為：定義：，及，代入上式，可得： （2）為求的動(dòng)態(tài)學(xué)，將）兩邊求導(dǎo)數(shù)得：即：將，及代入上式，可得： （3）總資本存量的動(dòng)態(tài)方程式為： （4）將方程（4）代入（3），可得：將方程（2）代入上式，可得： （5）方程（5）

27、與索洛模型（勞動(dòng)增進(jìn)型）中的資本動(dòng)態(tài)方程非常相似。不過，本模型用而不是用有效勞動(dòng)）來衡量資本。圖1-11是的變化圖。圖1-11 收斂于當(dāng)每單位的實(shí)際投資超過每單位的持平投資時(shí)，將上升趨向于；反之，當(dāng)每單位的實(shí)際投資小于每單位的持平投資時(shí)，將下降趨向于。忽略為0的情況，經(jīng)濟(jì)將在時(shí)收斂到平衡增長路徑。因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，也將保持不變。再分析總的情況：總資本為，由于保持不變，因此的增長率為；同理，總產(chǎn)出為，由于保持不變，因此的增長率為。由于和被假定按既定的速率增長，因此，由于所有的變量均按既定的速率增長，經(jīng)濟(jì)收斂到平衡增長路徑。（b）考慮物化的技術(shù)進(jìn)步的情況。生產(chǎn)函數(shù)的形式為： （6）定義，代入方程（6

28、），生產(chǎn)函數(shù)的形式可以重寫為： （7）對(duì)方程（7）兩邊同時(shí)除以，得： （8）定義，及，代入方程（8），可得： （9）為分析的動(dòng)態(tài)學(xué)，對(duì)兩邊取導(dǎo)數(shù)，即：將，及代入上式，可得： （10）為求得表達(dá)式，對(duì)兩邊取導(dǎo)數(shù)，即：將，及代入上式，可得：上式再簡化為： （11）將方程（11）代入（10），可得：將代入上式，可得： （12）圖1-12 收斂于圖1-12是的變化圖。忽略為0這種情況，經(jīng)濟(jì)將在時(shí)收斂。同理，由于，將保持不變，即保持在時(shí)的狀態(tài)?？偖a(chǎn)出，由于保持不變，總產(chǎn)出的增長率為。由定義可知，在經(jīng)濟(jì)收斂于平衡增長路徑時(shí)，保持不變，的增長率為。由于，所以，有效資本存量的增長率為，或者是。因此，由于所有的

29、變量都以不變的速率增長，經(jīng)濟(jì)收斂于平衡增長路徑。（c）在平衡增長路徑上，由方程（12），可知進(jìn)一步可推出：。因此有下式： （13）將方程（13）代入（9），可以求得在平衡增長路徑上每單位的產(chǎn)出的表達(dá)式： （14）對(duì)關(guān)于進(jìn)行求導(dǎo)，即：對(duì)兩邊乘以以求得彈性形式，即：上式簡化為：最終可以得到： （15）（d）求在處的一階泰勒展開式，即： （16）對(duì)方程（9）兩邊求導(dǎo)，可得： （17）將方程（12）代入（17）中，即：或者如下： （18）方程（18）是用來表達(dá)，也可以用來表達(dá)。因?yàn)?，可以推出，因此在處，可以表達(dá)為：因?yàn)椋杂校鹤詈?，重新整理方程?3）為：，代入上式，可得：上式再簡化為： （19）將

30、方程（19）代入（16），可得： （20）求解此微分方程，可得： （21）這表示經(jīng)濟(jì)每年向移動(dòng)。（e）本模型中產(chǎn)出關(guān)于儲(chǔ)蓄的彈性與基本的索洛模型中得到的結(jié)果一樣。本模型中收斂的速度快于索洛模型中的收斂速度。在基本的索洛模型中，收斂的速度為，小于本模型中的。1.13 考慮一個(gè)正處在平衡增長路徑上的索洛經(jīng)濟(jì)，設(shè)第1.7節(jié)中描述的增長因素分析法可應(yīng)用于這種經(jīng)濟(jì)。（a）增長因素分析法把每工人平均產(chǎn)出中的多少份額歸于每工人平均資本的增長？又把多大的份額歸于技術(shù)進(jìn)步？（b）怎樣才能把（a）中得出的結(jié)論與如下的事實(shí)結(jié)合起來，即索洛模型意味著在平衡增長路徑上每個(gè)工人平均產(chǎn)出增長率由技術(shù)進(jìn)步率唯一地決定？答：（

31、a）根據(jù)增長因素分析法，產(chǎn)出可以分解為：其中，是產(chǎn)出關(guān)于資本的彈性，是索洛剩余。在平衡增長路徑上，每工人平均產(chǎn)出增長率和每工人平均資本增長率都等于技術(shù)進(jìn)步率。在上述公式中，索洛將每工人平均產(chǎn)出的部分歸于資本的貢獻(xiàn)，而將部分歸于技術(shù)進(jìn)步，即索洛剩余。通常估計(jì)，因此，增長因素分析法將67%的貢獻(xiàn)歸于技術(shù)進(jìn)步，而僅有33%的部分是資本所做的貢獻(xiàn)。（b）從增長因素分析法看，（a）部分的結(jié)論是正確的，但是，實(shí)際上不完全正確。在平衡增長路徑上，資本勞動(dòng)比率的增長率為，這是因?yàn)橛行趧?dòng)的增長率為。這意味著有效勞動(dòng)的增長率，即技術(shù)的增長率，通過兩條路徑來提高人均產(chǎn)出：可以直接提高產(chǎn)出，也可以通過提高投入到資本積累中的資源來提高資本勞動(dòng)比率。增長因素分析法將通過第二條路徑提高人均產(chǎn)出，而不是潛在的路徑。因此，增長因素分析法有時(shí)并不能提供更深刻的分析。1.14 （a）在教材中方程（1.38）與（1.39）中有關(guān)收斂性與測度誤差的模型中，設(shè)的真實(shí)值是-1，就對(duì)一常數(shù)與進(jìn)行回歸是否會(huì)得出對(duì)的一個(gè)有偏估計(jì)？請解釋。（b）設(shè)在測度1979年每資本平均收入而非1870年每資本平均收入中存在測度誤差。對(duì)一常數(shù)和的一個(gè)回歸會(huì)產(chǎn)生的一個(gè)有偏估計(jì)嗎？答：（a）最小二乘回歸分