線性代數(shù)必記的結(jié)論

1、1、行列式1. n行列式共有n2個元素，展開后有n!項，可分解為2n行列式；2. 代數(shù)余子式的性質(zhì)：、Aj和aij的大小無關(guān)；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數(shù)余子式為0;、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數(shù)余子式為A;3. 代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：Mij=（-1尸AjAj=（1產(chǎn)Mij4. 設(shè)n行列式D:n（n）將D上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得行列式為D1,則D1=（1）2D;n（n）將D順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)90所得行列式為D2,則D2=（1）廠D;將D主對角線翻轉(zhuǎn)后（轉(zhuǎn)置），所得行列式為D3,則D3=D;將D主副角線翻轉(zhuǎn)后，所得行列式為D4,則D4=D;5. 行列式的重要公式

2、：、主對角行列式：主對角元素的乘積；n（nA）、副對角行列式：副對角元素的乘積父（-1）?。?、上、下三角行列式（=|）:主對角元素的乘積;n（nA）、|.|和1:副對角元素的乘積M（1）;、拉普拉斯展開式:A-O=A舊、OA="aBBC、范德蒙行列式：大指標減小指標的連乘積;特征值;n6 .對于n階行列式A，恒有：|九E-A=+Z（1&父”，其中Sk為k階主子式;k丑7 .證明A=0的方法：、A=A;、反證法；、構(gòu)造齊次方程組Ax=0,證明其有非零解；、利用秩，證明r（A）：:n；、證明0是其特征值；2、矩陣1 .A是n階可逆矩陣：UA#0（是非奇異矩陣）；Ur（A）=n（是

3、滿秩矩陣）仁A的行（列）向量組線性無關(guān)；U齊次方程組Ax=0有非零解；aVbwRn,Ax=b總有唯一解；=A與E等價；UA可表示成若干個初等矩陣的乘積；UA的特征值全不為0;uATA是正定矩陣；2.A的行（列）向量組是Rn的一組基;A是Rn中某兩組基的過渡矩陣；對于n階矩陣A：AA=AA=AE無條件恒成立;3.(Aj=(A*)1(AB)T=BTAT(A亍=(AT尸*(AB)=BA*TT*(A)=(A)(AB產(chǎn)=B1A-.*.4.5.矩陣是表格，推導符號為波浪號或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和;關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均A、B可逆：A=A|aAAs1OBAOACO廿BJ1O=°iA

4、A,1AO;（主對角分塊）;（副對角分塊）1_1-ACBB-J；（拉普拉斯）；（拉普拉斯）3、矩陣的初等變換與線性方程組1.一個m黑n矩陣A,總可經(jīng)過初等變換化為標準形，其標準形是唯一確定的:等價類：所有與A等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類；標準形為其形狀最簡單的矩陣;對于同型矩陣A、3,若（A）=r（B）uAgB；2 .行最簡形矩陣：、只能通過初等行變換獲得；、每行首個非0元素必須為1;、每行首個非0元素所在列的其他元素必須為0;3 .初等行變換的應(yīng)用：（初等列變換類似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換）r若（A,E）g（E,X），則A可逆，且X=A工；c、對矩陣（A,B）做初等行變化，當A變

5、為E時，B就變成A,B,即：（A,B）（E,A,B）;r、求解線形方程組：對于n個未知數(shù)n個方程Ax=b,如果（A,b）g（巳x）,則A可逆，且x=A與；4 .初等矩陣和對角矩陣的概念：、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣；左乘矩陣A,九乘A的各行元素；右乘,力乘A的各列元素;、對調(diào)兩行或兩列,符號且E(i,j)=E(i,j),例如:、倍乘某行或某列,符號E(i(k),且E(i(k)-壬(i(1),例如:(k00)；、倍加某行或某列,符號E(ij(k)，且e(ij(k)-=E(ij(-k),如:(k-0)；5.矩陣秩的基本性質(zhì):D、0_r(Amn)_m

6、in(m,n)r(At)=r(A)；若AgB,則r(A)=r(B);若P、Q可逆，則r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ);(可逆矩陣不影響矩陣的秩max(r(A),r(B)<r(A,B)<r(A)+r(B);(X)r(A+B)<r(A)+r(B)；(X)r(AB)<min(r(A),r(B);(X)如果A是mxn矩陣，B是nxs矩陣，且AB=0,則：(X)B的列向量全部是齊次方程組AX=0解(轉(zhuǎn)置運算后的結(jié)論)；n、r(A)r(B)_n若A、B均為n階方陣，則r(AB)>r(A)+r(B)-n;6.三種特殊矩陣的方哥：、秩為1的矩陣：一定可以分解為列矩陣

7、(向量)X行矩陣(向量)的形式，再采用結(jié)合律;1、型如0cb的矩陣：利用二項展開式;1二項展開式:n0n1n1(a'b)CnaCnabnmm'c1nCnnCnabCnabCnbCnab,m-0n、cm(a+b)n展開后有n+1項;n(n-1)(n-m，1)123-mn!m!(n-m)!出、組合的性質(zhì)：cmcm】=cmc"n'、cn=2nr王rr1rCn=nCn。;、利用特征值和相似對角化:7.伴隨矩陣:r(A)=n、伴隨矩陣的秩:r(A)=nT;r(A):n-1、伴隨矩陣的特征值：1A(AX=?uX,A=|AA'=A*X=!AX);九九1crx*n*n

8、1、A=AAA=A一8. 關(guān)于A矩陣秩的描述：、r（A）=n,A中有n階子式不為0,n+1階子式全部為0;（兩句話）、r（A）<n,A中有n階子式全部為0;、r（A）之n,A中有n階子式不為0;9. 線性方程組：Ax=b,其中A為mxn矩陣，則：、m與方程的個數(shù)相同，即方程組Ax=b有m個方程；、n與方程組得未知數(shù)個數(shù)相同，方程組Ax=b為n元方程;10. 線性方程組Ax=b的求解：、對增廣矩陣B進行初等行變換（只能使用初等行變換）；、齊次解為對應(yīng)齊次方程組的解；、特解：自由變量賦初值后求得；11.由n個未知數(shù)m個方程的方程組構(gòu)成n元線性方程:D、am1X1am2X2-119nmXnbn

9、a11a21a12a22a1na2nuAx=b（向量方程，A為mxn矩陣，m個方程，n個未知a1am2a2X1X2=P（全部按列分塊，其中P=a1x1-a2x2十+anXn=P（線性表出）即x1al2X2q-amXn二b&1X1a22X2-92nXn=3有解的充要條件：r（A）=r（A,F）<n（n為未知數(shù)的個數(shù)或維數(shù)）4、向量組的線性相關(guān)性1.m個n維列向量所組成的向量組m個n維行向量所組成的向量組A：，,0m構(gòu)成n=<m矩陣A=(%,口2,OU);B：可，口：，B：構(gòu)成mMn矩BEB=含有有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應(yīng);2 .、向量組的線性相關(guān)、無關(guān)aAx=0有、

10、無非零解；（齊次線性方程組）、向量的線性表出uAx=b是否有解；（線性方程組）、向量組的相互線性表示=AX=B是否有解；（矩陣方程）3 .矩陣Am>n與Bl拓行向量組等價的充分必要條件是：齊次方程組Ax=0和Bx=0同解；（R01例14）4 .r（ATA）=r（A）；（R01例15）5 .n維向量線性相關(guān)的幾何意義：、0（線性相關(guān)Ua=0；、a，p線性相關(guān)-a,P坐標成比例或共線(平行)；、ct,P，¥線性相關(guān)ua,P，¥共面；6 .線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理：若5,%,Os線性相關(guān),則即",CEs,Cts不必線性相關(guān)；若5,%,«s線性無關(guān)，則5,

11、蛆，,Ots必線性無關(guān)；(向量的個數(shù)加加減減，二者為對偶)若r維向量組A的每個向量上添上n_r個分量，構(gòu)成n維向量組B:若A線性無關(guān)，則B也線性無關(guān)；反之若B線性相關(guān)，則A也線性相關(guān)；(向量組的維數(shù)加加減減)簡言之：無關(guān)組延長后仍無關(guān)，反之，不確定；7 .向量組A(個數(shù)為r)能由向量組B(個數(shù)為s)線性表示，且A線性無關(guān)，則r<s(二版丹4定理7)；向量組A能由向量組B線性表示，則r(A)<r(B);(R6定理3)向量組A能由向量組B線性表示UAX=B有解；Ur(A)=r(A,B)(R5定理2)向量組A能由向量組B等價ur(A)=r(B)=r(A,B)(P85定理2推論)8 .方陣

12、A可逆u存在有限個初等矩陣Pi,P2,，P,使A=PFzPi；r、矩陣行等價：ABuPA=B(左乘，P可逆)uAx=0與Bx=0同解c、矩陣列等價：ABuAQ=B(右乘，Q可逆)；、矩陣等價：ABuPAQ=B(P、Q可逆)；9 .對于矢I陣AnM與B:、若A與B行等價，則A與B的行秩相等；、若A與B行等價，則Ax=0與Bx=0同解，且A與B的任何對應(yīng)的列向量組具有相同的線性相關(guān)性；、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；、矩陣A的行秩等于列秩；10 .若Am>sBs制=Cm>n,則：、C的列向量組能由A的列向量組線性表示，B為系數(shù)矩陣；、C的行向量組能由B的行向量組線性表示，AT為系數(shù)矩陣

13、；(轉(zhuǎn)置)11 .齊次方程組Bx=0的解一定是ABx=0的解，考試中可以直接作為定理使用，而無需證明；、ABx=0只有零解=Bx=0只有零解；、Bx=0有非零解=ABx=0一定存在非零解；12 .設(shè)向量組Bnx:b,b2,，br可由向量組An冷:ai,a2；a,線性表示為：(P110題19結(jié)論)(bi,b2,br)=(a1,a2,a$)K(B=AK)其中K為sMr,且A線性無關(guān)，則B組線性無關(guān)ur(K)=r；(B與K的列向量組具有相同線性相關(guān)性)(必要性：r=r(B)=r(AK)Mr(K),r(K)Mr,.r(K)=r；充分性：反證法)注：當r=s時，K為方陣，可當作定理使用；13 .、對矩陣

14、An瓶，存在Qn淅，AQ=EmUr(A)=m、Q的列向量線性無關(guān)；(圍)、對矩陣Am涌，存在Pn淅，PA=EnUr(A)=n、P的行向量線性無關(guān)；14 .q,%,0s線性相關(guān)u存在一組不全為0的數(shù)k1,k2,，ks,使得k1«1+k2%1+ks«s=0成立；(定義)xo，一一,一一，一一,一U(5,%，,ots):=0有非手解，即Ax=0有非互解；山ur(5,%，%)<s,系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個數(shù)；15 .設(shè)mxn的矩陣A的秩為r,則n元齊次線性方程組Ax=0的解集S的秩為：r（S）=n_r；16 .若"為Ax=b的一個解，。，匕,，口上為八*=0的一個

15、基礎(chǔ)解系，則以，配匕，匕線性無關(guān)；（Ph題33結(jié)論）5、相似矩陣和二次型T,1T1.正交矩陣UAA=E或A=A（定義），性質(zhì)：1i=j、A的列向重都是單位向重，且兩兩正父，即a：aj=1（i,j=1,2廠Ln）；ij0ij、若A為正交矩陣，則A-=AT也為正交陣，且A=±1;、若A、B正交陣，則AB也是正交陣；注意：求解正交陣，千萬不要忘記施密特正交化和單位化；2. 施密特正交化：（a1,a2,ajb1,a2b1,bb1br二arb.br，br以Jb1,arb2,arubr=a=bb2b1,bb2,b23. 對于普通方陣，不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)；對于實對稱陣，不同特征值對應(yīng)的特征向量正交；4. 、A與B等價uA經(jīng)過初等變換得到B;=PAQ=B,P、Q可逆；Ur（A）=r（B）,A、B同