模極大值去噪方法

1、3.2基于小波變換模極大值去噪方法的研究目前利用小波變換消除噪聲的方法很多，但總結(jié)起來，比較成熟的是Mallat提出的一種多尺度小波變換模極大值的去噪方法。3.2.1 小波變換模極大值的定義定義在尺度s下，若”xdx0,Wf(s,x)£Wf(s,X0)成立，則x0稱為模極大值點(diǎn)，Wf(s,%)稱為模極大值。小波變換極大模是由信號(hào)中奇異點(diǎn)和噪聲產(chǎn)生的。根據(jù)理論分析，知道以平滑函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為母小波作小波變換，其小波變換在各個(gè)尺度下的模極大值對應(yīng)于信號(hào)突變點(diǎn)的位置。小波分析尺度越小，平滑函數(shù)的平滑區(qū)域小，小波系數(shù)模極大值點(diǎn)與突變點(diǎn)位置的對應(yīng)就越準(zhǔn)確。但是小尺度下小波變換隨噪聲影響非常大，

2、產(chǎn)生許多偽極值點(diǎn)，往往只憑一個(gè)尺度不能定位突變點(diǎn)的位置。相反，在大尺度下對噪聲進(jìn)行了一定的平滑，極值點(diǎn)相對穩(wěn)定，但由于平滑作用使其定位又產(chǎn)生了偏差。同時(shí)，只有在適當(dāng)尺度下各突變點(diǎn)引起的小波變換才能避免交迭干擾。因此，在用小波變換模極大值法判斷信號(hào)突變點(diǎn)時(shí)，需要把多尺度結(jié)合起來綜合觀察。下面由小波變換模極大值在多尺度上的變化規(guī)律來表征信號(hào)突變點(diǎn)的性質(zhì)。在許多情況下，小波變換并不要求保留所有的連續(xù)尺度a,為了實(shí)現(xiàn)快速算法，選擇尺度按二進(jìn)制變化，即二進(jìn)制變換。信號(hào)的突變點(diǎn)在不同尺度2j上都會(huì)產(chǎn)生對應(yīng)的模極大值。在任意尺度2j上模極大值對應(yīng)于信號(hào)在21尺度上平滑后的該點(diǎn)一階導(dǎo)數(shù)大小。小波理論表明，模極

3、大值的幅值隨著尺度的變化規(guī)律是由信號(hào)在該突變點(diǎn)的局部李氏指數(shù)(LipscMtzexponent)決定的。3.2.2 模極大值隨著尺度的變化規(guī)律李氏指數(shù)的定義為，設(shè)函數(shù)在t0附近具有下述特征:x(t0+h)-Pn(t0+h)?Ah,na<n+1(3-1)則稱x(t)在t0處的李氏指數(shù)為a。式中h是一個(gè)充分小量，Pn(t)是過x(t0)點(diǎn)的n次多項(xiàng)式(n?Z)0實(shí)際上pn(t)就是x(t)在t0點(diǎn)作Taylor級數(shù)展開的前n項(xiàng):x(t)=x(t°)+a1h+a2h2+.+anhn+O(hn+1)=pn(t)+O(hn+1)(3-2)顯然a未必等于n+1；它必定大于n,但可能小于n+

4、1。如果x(t)為n次可微，但n階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，因此n+1次不可微，則n<a?n1;如果x(t)的李氏指數(shù)為a則ox(t)dt的李氏指數(shù)必為a+1,即每積分一次，李氏指數(shù)增1。一般來講，函數(shù)在某一點(diǎn)的李氏指數(shù)表征了該點(diǎn)的奇異性大小，a越大，該點(diǎn)的光滑度越高；a越小，該點(diǎn)的奇異性越大。如果函數(shù)f(t)在某一點(diǎn)可導(dǎo),它的a31；如果f(t)在某一點(diǎn)不連續(xù)但其值有限，則0#a1；對于脈沖函數(shù),a=1;而對于白噪聲，a£0o下面討論某點(diǎn)的李氏指數(shù)同該點(diǎn)的小波變換模極大值之間的關(guān)系，目的是為OSB2，了由小波變換模極大值推導(dǎo)出突變點(diǎn)的李氏指數(shù)，從而判斷奇異性大小。假設(shè)小波函數(shù)f(t)是連續(xù)

5、可微的，并且在無限遠(yuǎn)處的衰減速率為Mallat證明：當(dāng)t在區(qū)間a,b中時(shí)，如果f(t)的小波變換滿足:也就是loWaf(t)£kaagWaf()?lodkaoag其中k是一個(gè)常數(shù)，則f(t)在區(qū)間a,b中的李氏指數(shù)均勻?yàn)閍當(dāng)2=21時(shí)，上式變成：*W2jf(t)£k(2)或10g2W2jf(t)?log2kja(3-3)式中ja這一項(xiàng)把小波變換的尺度特征j與李氏指數(shù)a聯(lián)系了起來。式（3-3）給出了小波變換的對數(shù)值隨尺度j或a的變化規(guī)律。自然的，對應(yīng)信號(hào)奇異點(diǎn)的小波變換模極大值隨尺度的變化也應(yīng)滿足此規(guī)律。由式可知，當(dāng)a>0時(shí)，小波變換的極大值將隨尺度j的增大而增大；當(dāng)a

6、<0時(shí)，則隨j的增大而減小。對階躍情況（a=0）,則小波變換的極大值不隨尺度而改變。幾種突變的小波變換極值隨尺度的變化如圖3-2所示，3-2（b）圖的四條曲線從上到下分別是尺度j=1,2,3,4時(shí)的小波變換極值。從圖中可以看出：t=1,2,4（分別對應(yīng)50,100,200點(diǎn)）處的突變的小波變換極值隨著尺度的增加而增大，而t=3（對應(yīng)150點(diǎn)）處的突變則隨之而減小。(a)(b)圖3-2幾種突變的小波變換極值隨尺度的變化由以上可知，白噪聲的李氏指數(shù)a<0,其對應(yīng)的模極大值隨尺度j的增大將減小(因此其主要對小尺度下的模極大值影響較大)。而一般信號(hào)的突變點(diǎn)的李氏指數(shù)大于等于零，這種突變點(diǎn)所

7、對應(yīng)的小波變換模極大值隨尺度j的增加幅度逐漸增大。表征信號(hào)重要特征的極大值點(diǎn)能從小尺度傳播到大尺度，并且尺度間模極大值點(diǎn)的相對位移在一個(gè)錐形范圍內(nèi)。依據(jù)此區(qū)別，可以在模極大值圖上去除那些幅度隨尺度減小的極值點(diǎn)(對應(yīng)噪聲的極值點(diǎn))，而保留幅度隨尺度增加而增大的點(diǎn)(對應(yīng)信號(hào)突變點(diǎn)位置)。這樣就可以在模極大值圖上達(dá)到去噪的目的，然后從去噪以后的模極大值圖重建原信號(hào)，就可以實(shí)現(xiàn)對信號(hào)的去噪。針對這一理論，主要解決的問題有如下幾個(gè)方面：(1)要選擇正確的小波，一般要根據(jù)實(shí)際問題的需要，選擇和構(gòu)造不同的小波；(2)要確定對信號(hào)進(jìn)行小波變換的次數(shù)，尺度過大會(huì)增加計(jì)算難度，尺度過小又不能很好的濾除噪聲；(3)

8、要解決如何重構(gòu)信號(hào)的問題。文獻(xiàn)介紹了由模極大值重建原始信號(hào)的一些方法。從以上理論可以看出，模極大值方法能夠精確的消除有用信號(hào)中的噪聲，但是運(yùn)算過程復(fù)雜，計(jì)算量大。針對這個(gè)問題提出了一種新的子波域?yàn)V波算法。3.2.3 一種新的子波域?yàn)V波算法3.2.3.1 算法步驟定義f(x)=g(x)+dn(x)其中g(shù)(x)為真實(shí)信號(hào)；n(x)為被干擾的信號(hào)；n(x)是均值為0,方差為s2的高斯白噪聲，d為噪聲水平。首先計(jì)算出f(x)在各尺度(j=1,2,/)上的小波值Wf(2j,x)；(2)從大尺度出發(fā)(j=J),對小波值為正的所有數(shù)，計(jì)算出均值及這些數(shù)的方差var和過零數(shù)zeronumj；以zeronumj

9、/2為初始閾值，var為閾值的初始步長；a.重新計(jì)算當(dāng)前過閾值數(shù)；b.與上次過閾值數(shù)比較，若數(shù)目增加，增加閾值，即將當(dāng)前閾值加上當(dāng)前步長；若數(shù)目減少則降低閾值，即將當(dāng)前閾值減去當(dāng)前步長；若不變則增加閾值；c.縮短步長(如減半)；重復(fù)步驟，直至迭代步長小于某一值為止；取當(dāng)前閾值為最終閾值，閾值之上的保留，之下去除；對小波值為負(fù)的集合做同樣處理。(3)在上一個(gè)尺度有值的相應(yīng)位置及其一定鄰域(如左右1-3個(gè)點(diǎn))內(nèi)進(jìn)行搜索判斷，以減小噪聲的干擾；若上一尺度相應(yīng)鄰域有值，而該尺度沒有，說明為噪聲所干擾，保留該值；若上一尺度相應(yīng)鄰域沒有值，而該尺度有，說明為噪聲所產(chǎn)生，去除；(4)j=j-1,計(jì)算下一個(gè)小

10、尺度。重復(fù)步驟(2)-(4),直到尺度j=1。3.2.3.2 理論依據(jù)對f(x)=g(x)+dn(x)做小波變換，根據(jù)小波變換的線性性質(zhì)，可以知道小波變換值是信號(hào)g(x)與噪聲n(x)分別進(jìn)行小波變換的結(jié)果，即Wf(s,x)=Wg(s,x)+dWn(s,x)先來討論高斯白噪聲的小波變換Wn(s,x)0因?yàn)橐言O(shè)定n(x)為高斯白噪聲，所以它的小波變換Wn(s,x)仍為一高斯過程，并且可微。一個(gè)可微高斯過程的平均過零密度為1-R(2)(0)2p2R(0)其中R()為該高斯過程的自相關(guān)函數(shù)，R(2)()為R()的2階導(dǎo)數(shù)。對于Wn(s,x)=nYs(x)=印(u)Ys(x-u)du,有RR(t)=E

11、(Wn(s,x)Wn(s,x+t)Rrn(u)n(v)Ys(x+t-u)Ys(x-v)dudv2s由此可得，R(0)=一-I(0)=；(2)所以Wn(s,x)的平均過零密度為spy(1)因此Wn(s,x)的平均過零密度與尺度s成反比；當(dāng)s離散化為s=2j時(shí)，它與2j成反比。我們可以根據(jù)這個(gè)性質(zhì)來粗略判斷由高斯白噪聲所產(chǎn)生的過零數(shù)。對信號(hào)f(x)=g(x)+dn(x)做小波變換，小波函數(shù)可以認(rèn)為是一個(gè)帶通函數(shù)，尺度越小所選的頻率越高，所以在尺度j=1上是以高頻占優(yōu)的n(x)為主，過零數(shù)也就約等于n(x)的過零數(shù)；隨著尺度的增加，頻率降低，白噪聲的過零數(shù)迅速減少，它的主導(dǎo)地位漸漸為相對低頻的真實(shí)信號(hào)g(x)所取代。另外，Mallat還證明了高斯過程模極大值的平均密度也與尺度s成反比，而且當(dāng)尺度增加時(shí)，它的幅度衰減非?？?。同時(shí)，低頻信號(hào)的模極大值在各尺度上的變化不大。因此取一個(gè)適當(dāng)?shù)倪^零數(shù)，可以保留由真實(shí)信號(hào)產(chǎn)生的模極大值，而去除由噪聲產(chǎn)生的模極大值。綜上所述，可以把過零數(shù)作為子波濾波的一種評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。并從過零數(shù)的一半出發(fā)，以變步長進(jìn)行搜索，確定閾值，找到一個(gè)穩(wěn)定的過