概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)知識(shí)概括

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)第一章概率論的基本概念一.基本概念隨機(jī)試驗(yàn)E:(1)可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行；(2)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果;(3)進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn).樣本空間S:E的所有可能結(jié)果組成的集合.樣本點(diǎn)(基本事件):E的每個(gè)結(jié)果.隨機(jī)事件(事件)：樣本空間S的子集.必然事件(S):每次試驗(yàn)中一定發(fā)生的事件.不可能事件(6):每次試驗(yàn)中一定不會(huì)發(fā)生的事件.2 .事件間的關(guān)系和運(yùn)算1. A仁B(事件B包含事件A)事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生.2. AUB(和事件)事件A與B至少有一個(gè)發(fā)生.3. AAB=AB(積事件)事件A與B同時(shí)發(fā)生.

2、4. A-B(差事件)事件A發(fā)生而B不發(fā)生.5. AB=6(A與B互不相容或互斥)事件A與B不能同日發(fā)生.6. AB=且AUB=S(A與B互為逆事件或?qū)α⑹录?表示一次試驗(yàn)中A與B必有一個(gè)且僅有一個(gè)發(fā)生.B=A,A=B.運(yùn)算規(guī)則交換律統(tǒng)合律分嗯律德？摩根律aub=AnBAnb=AuB3 .概率的定義與性質(zhì)1 .定義對(duì)于E的每一事件A賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為P(A),稱為事件A的概率.(1)非負(fù)性P(A)>0;(2)歸一性或規(guī)范性P(S)=1;(3)可列可加性對(duì)于兩兩互不相容的事件A1,A2,-(AiAj=(f),iwj,i,j=1,2,)，P(A1UA2U)=P(A1)+P(A2)+2 .性質(zhì)

3、(1) P(6)=0,注意：A為不可能事件P(A)=0->(2)有限可加性對(duì)于n個(gè)兩兩互不相容的事件A1,A2,An,P(A1UA2U-UAn)=P(A1)+P(A2)+P(An)(有限可加性與可列可加性合稱加法定理)(3)若A匚B,則P(A)&P(B),P(B-A)=P(B)-P(A).(4)對(duì)于任一事件A,P(A)&1,P(A)=1-P(A)一(5)廣義加法定理對(duì)于任意二事件A,B,P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB).對(duì)于任意n個(gè)事件A1,A2,AnnPA1A2An="PA-、PAjAj、PAjAjAki=11-i：j_n1-i：j:k_n+(-1

4、)n-1P(A1A2-An)4 .等可能(古典)概型1 .定義如果試驗(yàn)E滿足:(1)樣本空間的元素只有有限個(gè)，即S=e1,e2,en;(2)每一個(gè)基本事件的概率相等，即P(e1)=P(e2)=-=P(en).則稱試驗(yàn)E所對(duì)應(yīng)的概率模型為等可能(古典)概型.2 .計(jì)算公式P(A)=k/n其中k是A中包含的基本事件數(shù)，n是S中包含的基本事件總數(shù).5 .條件概率1 .定義事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率P(B|A)=P(AB)/P(A)(P(A)>0).2 .乘法定理P(AB)=P(A)P(B|A)(P(A)>0);P(AB)=P(B)P(A|B)(P(B)>0).P(A1A

5、2An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3IA1A2)P(A4A1A2An-1)(n>2,P(A1A2An-1)>0)3 .B1,B2,Bn是樣本空間S的一個(gè)劃分(BiBj=(),iwj,i,j=1,2,n,B1UB2U-UBn=S)，則n當(dāng)p(bi)>0時(shí),有全概率公式P(A)=工P(BjP(ABj)i=1當(dāng)P(A)>0,P(Bi)>0時(shí),有貝葉斯公式P(Bi|A)=PABiPAPBjPABSnPP(Bi)P(ABi)i=1六.事件的獨(dú)立性1 .兩個(gè)事件A,B,滿足P(AB)=P(A)P(B)時(shí)，稱A,B為相互獨(dú)立的事件(1)兩個(gè)事件A,B相互獨(dú)立aP(B)=

6、P(B|A).(2)若A與B,A與B,人與8,A與B中有一對(duì)相互獨(dú)立，則另外三對(duì)也相互獨(dú)立.2 .三個(gè)事件A,B,C滿足P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),稱A,B,C三事件兩兩相互獨(dú)立.若再滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C),則稱A,B,C三事件相互獨(dú)立.3 .n個(gè)事件Ai,A2,An,如果對(duì)任意k(1<kwn),任意1wii<i2<-一<i產(chǎn)n.有P(AjAiAi)=P(AjP(AAP(Aj)，則稱這n個(gè)事件A1,A2,an相互獨(dú)立.i1i2iki1i2ik第二章隨機(jī)變量及其概率分布1 .隨機(jī)變量及其分布

7、函數(shù)1 .在隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間S=e上定義的單值實(shí)值函數(shù)X=X(e)稱為隨機(jī)變量.2 .隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)=PXwx,x是任意實(shí)數(shù).其性質(zhì)為：(1)0<F(x)<1-SFO=0，F(xiàn)(00)=1.(2)F(x)單調(diào)不減，即若X1<X2，則F(x1)<F(X).(3)F(x)右連續(xù)，即F(x+0)=F(x).(4)Px1<X<x2=F(x2)-F(x1).2 .離散型隨機(jī)變量(只能取有限個(gè)或可列無限多個(gè)值的隨機(jī)變量)1 .離散型隨機(jī)變量的分布律PX=xk=pk(k=1,2,)也可以列表表示.其性質(zhì)為：Q0(1)非負(fù)性0wPkW1;(2)歸一性Zpk=

8、1.k=12 .離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)=PR為階梯函數(shù)，它在x=xk(k=1,2,)處具有跳躍點(diǎn)淇跳躍值為pk=PX=xk.Xk<x3 .三種重要的離散型隨機(jī)變量的分布(1)X(0-1)分布PX=1=p,PX=0=1p(0<p<1)./X,一一一，nk-、n-k(2)Xb(n,p)參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布PX=k=p(1-p)(k=0,1,2,n)(0<p<1)k九->(3)X雙孫參數(shù)為7一的泊松分布PX=k=e'(k=0,1,2,)(£>0)k!3 .連續(xù)型隨機(jī)變量1 .定義如果隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)可以表示成某一非負(fù)

9、函數(shù)f(x)的積分F(x)=【二qf(tHt,-8<x<8,則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其中f(x)稱為X的概率密度(函數(shù)).qQ(2)歸一性f(x)dx=1；2 .概率密度的性質(zhì)(1)非負(fù)性f(x)>0;(3)Px1<XWx2=12f(x)dx；(4)若f(x)在點(diǎn)x處連續(xù)，則f(x)=F/(x).x1注意：連續(xù)型隨機(jī)變量X取任一指定實(shí)數(shù)值a的概率為零，即PX=a=0.3.三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布(1)XU(a,b)區(qū)間(a,b)上的均勻分布f(x)=凸0axb其它1ex/e右x>0Q>0).(2)X服從參數(shù)為由勺指數(shù)分布.f(X)=日(0右X40,(x

10、-J)221-92一一二>0.(3)XN(R仃)參數(shù)為上仃的正態(tài)分布f(x)=e2仃-g<x<g,2二特別，M=0,a=1時(shí)，稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為XN(0,1),其概率密度(x)=標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)1(x)二2£e萬dt,力(-x)=1-(x).若XN(Ho),則Z=XN(0,1),ax2x1-IPx1<X<X2=()-().ffCT若PZ>zd=PZ<-zJ=P|Z|>z3=a則點(diǎn)za-z0t無d2分別稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上，下，雙側(cè)a分位點(diǎn).注意：中億)=1-二，Z1-：=-Z=.四.隨機(jī)變量X的函數(shù)Y=g(X)的分布Xx1x2x

11、kpkp1P2PkY=g(X)g(x1)g(x2)g(xk)1.離散型隨機(jī)變量的函數(shù)若g(xk)(k=1,2,)的值全不相等，則由上表立得Y=g(X)的分布律.若g(xk)(k=1,2,)的值有相等的，則應(yīng)將相等的值的概率相加，才能得到Y(jié)=g(X)的分布律.2.連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)若X的概率密度為fX(x)，則求其函數(shù)Y=g(X)的概率密度fY(y)常用兩種方法：(1)分布函數(shù)法先求Y的分布函數(shù)FY(y)=PY<y=Pg(X)&y="kyfxxdxk其中Ak(y)是與g(X)wy對(duì)應(yīng)的X的可能值x所在的區(qū)間(可能不只一個(gè)),然后對(duì)y求導(dǎo)即得fY(y)=FY/(y).(2

12、)公式法若g(x)處處可導(dǎo)，且恒有g(shù)/(x)>0(或g/(x)<0，則Y=g(X)是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為fY(y)=<y其它其中h(y)是g(x)的反函數(shù)如果f(x)在有限區(qū)間,：=min(g(-二),g(二)-=max(g(-二),g(二).a,b以外等于零，則a=min(g(a),g(b)隹max(g(a),g(b).第三章二維隨機(jī)變量及其概率分布.二維隨機(jī)變量與聯(lián)合分布函數(shù)1 .定義若X和Y是定義在樣本空間S上的兩個(gè)隨機(jī)變量，則由它們所組成的向量(X,Y)稱為二維隨機(jī)向量或二維隨機(jī)變量對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y,二元函數(shù)F(x,y)=PXWx,YWy稱為(X,Y)的(X和

13、Y的聯(lián)合)分布函數(shù).2 .分布函數(shù)的性質(zhì)(1)F(x,y)分別關(guān)于x和y單調(diào)不減.(2)0<F(x,y)<1,F(x,-8)=0,F(-9y)=0,F(-«,-叩=0,F(R產(chǎn))=1.(3) F(x,y)關(guān)于每個(gè)變量都是右連續(xù)的，即F(x+0,y尸F(xiàn)(x,y),F(x,y+0)=F(x,y).(4)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1<x2,y1<y2Px1<X<x2,y1<Y<y2=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1).二維離散型隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布律1 .定義若隨機(jī)變量(X,Y)只能取有限對(duì)或可列無限多對(duì)值(xi,yj

14、)(i,j=1,2,)稱然,丫)為二維離散型隨機(jī)變量.并稱PX=xi,Y=yj=pij為(X,Y)的聯(lián)合分布律.也可列表表示.2.性質(zhì)(1)非負(fù)性0WpijWl.(2)歸一性££pj=1.3.(X,Y)的(X和Y的聯(lián)合)分布函數(shù)F(x,y)=£PipijXi-xvj_y三.二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其聯(lián)合概率密度yx1.定義如果存在非負(fù)的函數(shù)f(x,y),使對(duì)任意的x和y,有F(x,y)=口0clQf(u,v)dudv則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量2.性質(zhì)(1)非負(fù)性f(x,y)>0.，稱f(x,y)為(X,Y)的(X和Y的聯(lián)合)概率密度.(2)歸性CCf(x

15、,y)dxdy1若f(x,y)在點(diǎn)(x,y)連續(xù)，則f(x,y)2F(x,y):x:y(4)若G為xoy平面上一個(gè)區(qū)域，則P(x,y)G=f(x,y)dxdy.G四.邊緣分布1 .(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)Fx(x)=PX<x,Y<%=F(x,«).(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)Fy(y)=PX<0Y<y=F(«,y)2 .二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布律PX=xi=zpij=pi(i=1,2,)歸一性£r.=1j=1i-1cdoO關(guān)于丫的邊緣分布律PY=yj=£pij=pj(j=1,2,)歸一性Pp.j=1i=

16、1j=13 .二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于x的邊緣概率密度fx(x)=1f工f(x,y)dy歸性_fx(x)dx=1關(guān)于y的邊緣概率密度fy(y)=f;f(x,y)dx歸一性JfY(y)dy=1五.相互獨(dú)立的隨機(jī)變量1 .定義若對(duì)一切實(shí)數(shù)x,y,均有F(x,y)=Fx(x)Fy(y),則稱X和Y相互獨(dú)立.2 .離散型隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立=pij=pi-pj(i,j=1,2,)對(duì)一切xi,yj成立.3 .連續(xù)型隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立仁f(x,y)=fx(x)fy(y)又(X,Y)所有可能取值(x,y)都成立.六.條件分布1 .二維離散型隨機(jī)變量的條件分布定義設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量

17、，對(duì)于固定的PX=xi|Y=yj為在Y=yj條件下隨機(jī)變量X的條件分布律.同樣,對(duì)于固定的i,若PX=xi>0,則稱PY=yj|X=xi為在X=xi條件下隨機(jī)變量Y的條件分布律.j,若PY=yj>0,則稱二PX=xi,Y=yj=也PY=乂p.j二PX=x,Y=yj二PX二xp”第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征.數(shù)學(xué)期望和方差的定義隨機(jī)變量X離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量分布律PX=xi=Pi(i=1,2,)概率密度f(x)oO°O數(shù)學(xué)期望(均值)E(x)xXiPi(級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂)xxf(x)dx(積分絕對(duì)收斂)i=1方差D(X)=EX-E(X)2為-E(X)12ri=1=E(X2)

18、-E(X)2(級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂)函數(shù)數(shù)學(xué)期望E(Y)=Eg(X)gg(xi)Pi(級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂)i=1LxE(X)2f(x)dx(積分絕對(duì)收斂)Jg(x)f(x)dx(積分絕對(duì)收斂)標(biāo)準(zhǔn)差O(X)=VD(X)一二.數(shù)學(xué)期望與方差的性質(zhì)1.c為為任意常數(shù)時(shí)，E(c)=c,E(cX)=cE(X),D(c)=0,D(cX)=c2D(X).2.X,Y為任意隨機(jī)變量時(shí)，E(X±Y)=E(X)士E(Y).3.X與丫相互獨(dú)立時(shí)，E(XY)=E(X)E(Y),D(X±Y)=D(X)+D(Y).4.D(X)=0yPX=C=1,C為常數(shù).三.六種重要分布的數(shù)學(xué)期望和方差E(X)D(X)1.X(0-

19、1)分布PX=1=p(0<p<1)pp(1-p)2.Xb(n,p)(0<p<1)npnp(1-p)3.X二()九九4.XU(a,b)(a+b)/2(b-a)2/125.X服從參數(shù)為由勺指數(shù)分布6226.XN(,J)N2tJ四.矩的概念隨機(jī)變量X的k階(原點(diǎn))矩E(Xk)k=1,2,隨機(jī)變量X的k階中心矩EX-E(X)k隨機(jī)變量X和Y的k+l階混合矩E(XkYl)l=1,2,-隨機(jī)變量X和Y的k+l階混合中心矩EX-E(X)kY-E(Y)l第六章樣本和抽樣分布一.基本概念總體X即隨機(jī)變量X;樣本Xi,X2，,Xn是與總體同分布且相互獨(dú)立的隨機(jī)變量；樣本值X1,X2，,xn

20、為實(shí)數(shù)E是樣本容量.統(tǒng)計(jì)量是指樣本的不含任何未知參數(shù)的連續(xù)函數(shù).如：1F2樣本均值X=一乙Xj樣本方差S=ni=11n2KXi-X)樣本標(biāo)準(zhǔn)差s-1iT1n樣本k階矩Ak=xXni=1ki(k=1,2,)樣本k階中心矩Bk1nZ(Xi-X)(k=1,2,)ni=1.抽樣分布即統(tǒng)計(jì)量的分布1.X的分布不論總體X服從什么分布E(X)=E(X),D(X)=D(X)/n.特另,若XN()，則XN(H摟/n).n2 .磐分布(1)定義若XN(0,1)，則Y=ZXi272(n)自由度為n的不分布.i=1(2)性質(zhì)若Y片(n),則E(Y)=n,D(Y)=2n.右丫1.：v.(m)Y2(n2)，則Y1+Y2(

21、n1+n2).若xn(nJ),則(ni)S22CT/(n-1),且X與S2相互獨(dú)立.分位點(diǎn)若Y-/(n),0<&<1，則滿足PY2(n)=PY2_(n)=P(Y2/2(n)(Yi21/2(n)的點(diǎn)？2(n),釬一(n),?；/2(n)和？2q/2(n)分別稱為尸分布的上、下、雙側(cè)儀分位點(diǎn).3 .t分布(1)定義若XN(0,1),YT2(n),且X,Y相互獨(dú)立，則t=t(n)自由度為n的t分布.Yn(2)性質(zhì)n8時(shí),t分布的極限為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布XN(Ho2)時(shí),X-一t(n-1).Sn兩個(gè)正態(tài)總體相互獨(dú)立的樣本樣本均值樣本方差X-N(四,O12)且222d=02=CTX1,X2

22、，Xn1Si2Y-N(以二22)Y1,Y2，,Yn2S22則(XY)(i2)2一t(n1+n2-2),其中Sw(ni-1)S2(n2-1)SSwn2-2分位點(diǎn)若tt(n),0<a<1,則滿足Ptt(n)二PtT(n)=Ptt：/2(n)=的點(diǎn)ta(n),ta(n),土ta/2(n)分別稱t分布的上、下、雙側(cè)二分位點(diǎn).注意：ti-.(n)=-t：.(n).422一iU»4 .F分布(1)定義若UT(n1),Vn2),且U,V相互獨(dú)立，則F=丫:F(n1,n2)自由度為(m,n2)的F分布.(2)性質(zhì)(條件同3.(2)Si2S；F(ni-1,n2-1)(3)分位點(diǎn)若FF(ni

23、,n2),0<«<1,則滿足PFF：(ni，n2)=PFFi_：(ni/n?):P(FF(ni,%)(FF/2(。，e):a分位點(diǎn)的點(diǎn)FKnn2bF1T(通川2bFa/2(叫，n2)和F1y/2(小，叫)分另1J稱為f分布的上、下、雙側(cè)注意：Fi(ni，n2)F：(n2.n1)第七章參數(shù)估計(jì)一.點(diǎn)估計(jì)總體X的分布中有k個(gè)待估參數(shù)的&,國(guó).Xi,X2，,Xn是X的一個(gè)樣本,Xi,X2，,xn是樣本值.1.矩估計(jì)法”1=匕(3,%，)11=3(匕，匕，晨)先求總體矩2r2=卜/日一日力力仆解此方程組得到，日2=日2(匕尸2廣，屋),2217277K2217277K1k

24、工中；但1；62；L；n)%=日；(口；工2；”川；)r八%=%(為7人277A)I八以樣本矩Ai取代總體矩Ri(1=1,2,k)得到矩估計(jì)量2=%(A17A277Ak),IA8k=%(47人27，Ak)若代入樣本值則得到矩估計(jì)值.2.最大似然估計(jì)法若總體分布形式(可以是分布律或概率密度)為p(x,01,&,0k),稱樣本Xi,X2，Xn的聯(lián)合分布817H277日稱為參數(shù)即n1(即712，工)=Hp(xi717277k)為似然函數(shù).取使似然函數(shù)達(dá)到最大值的i=1魚，口的最大似然估計(jì)值，代入樣本得到最大似然估計(jì)量.若L(a,電,&)關(guān)于8,&，&可微，則一般可由,/L似然方程組C0.i3.估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)(1)無偏性InL=0或?qū)?shù)似然