（新課程）高中數(shù)學(xué)《1.7.1定積分在幾何中的應(yīng)用》曲邊梯形面積與定積分課件1 新人教A版選修2-2

1、曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積一一,學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo):掌握曲邊梯形面積的求法.深刻理解化曲為直的思想.初步認(rèn)識(shí)定積分的概念.二二,重點(diǎn)重點(diǎn):曲邊梯形的面積化曲為直的思想定積分的概念三三,難點(diǎn)難點(diǎn):化曲為直的思想及定積分概念四：課時(shí)安排：一課時(shí)這些圖形的面積該怎樣計(jì)算？引入： 1.曲邊梯形曲邊梯形：在直角坐標(biāo)系中，由連在直角坐標(biāo)系中，由連續(xù)曲線續(xù)曲線y=f(x)，直線，直線x=a、x=b及及x x軸所圍成的軸所圍成的圖形叫做曲邊梯形。圖形叫做曲邊梯形。Ox y a b y=f (x)一一. . 求曲邊梯形的面積x=ax=b y = f(x)bax yO A1A A1.用一個(gè)矩形的面積用一個(gè)矩形的面

2、積A A1 1近似代替曲邊梯形的面積近似代替曲邊梯形的面積A A，得得思考：A A1+ A2用兩個(gè)矩形的面積 近似代替曲邊梯形的面積A， 得 y = f(x)bax yOA1A2A A1+ A2+ A3+ A4用四個(gè)矩形的面積 近似代替曲邊梯形的面積A， 得 y = f(x)bax yOA1A2A3A4 y = f(x)bax yOA A1+ A2 + + An 將曲邊梯形分成將曲邊梯形分成 n n個(gè)小曲邊梯形，并用小矩陣形的面積代替?zhèn)€小曲邊梯形，并用小矩陣形的面積代替小曲邊梯形的面積，小曲邊梯形的面積， 于是曲邊梯形的面積于是曲邊梯形的面積A A近似為近似為A1AiAn 以直代曲以直代曲,

3、,無(wú)限逼近無(wú)限逼近 例例1求曲線求曲線y=x2與直線與直線x=1，y=0所圍所圍成的區(qū)域的面積。成的區(qū)域的面積。解：將區(qū)間解：將區(qū)間0，1等分成等分成n個(gè)小區(qū)間，個(gè)小區(qū)間， 11 2110, , , ,iinnnn nnnnn每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為 11iixnnn(i=1、2、3n)解：將區(qū)間解：將區(qū)間0，1等分成等分成n個(gè)小區(qū)間，個(gè)小區(qū)間， 11 2110, , , ,iinnnn nnnnn每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為 11iixnnn過(guò)各分點(diǎn)作過(guò)各分點(diǎn)作x軸的垂線，軸的垂線，把曲邊梯形分成把曲邊梯形分成n個(gè)小曲個(gè)小曲邊梯形，再分別用小區(qū)間邊梯形，再分別用小區(qū)間左端

4、點(diǎn)的縱坐標(biāo)左端點(diǎn)的縱坐標(biāo) 為為高，高，x= 為底作小矩為底作小矩形，形， 21()in1n于是圖中曲線之下小矩形面積依次為于是圖中曲線之下小矩形面積依次為222211121110, (), (), ,(), nnnnnnnn所有這些小矩形的面積的和為所有這些小矩形的面積的和為222211121110()()()nnSnnnnnnn22223311(1)(21)012(1) 6n nnnnn111(1)(2)6nn由此得到由此得到S= 001111limlim(1)(2)63nxxSnn 從圖形上看，當(dāng)從圖形上看，當(dāng)n越來(lái)越大時(shí)，劃分的越來(lái)越大時(shí)，劃分的越來(lái)越細(xì)，陰影部分面積與曲邊梯形的越來(lái)越細(xì)

5、，陰影部分面積與曲邊梯形的面積相差越來(lái)越小，當(dāng)面積相差越來(lái)越小，當(dāng)n+時(shí)，陰影部時(shí)，陰影部分趨近于曲邊三角形，因此可以將極限分趨近于曲邊三角形，因此可以將極限值值 視為此曲邊三角形的面積。視為此曲邊三角形的面積。31思考：思考：v如果取小矩形的高為小區(qū)間右端點(diǎn)如果取小矩形的高為小區(qū)間右端點(diǎn)v的縱坐標(biāo)，所有這些小矩形的面積的縱坐標(biāo)，所有這些小矩形的面積v和是否趨向于曲邊三角形的面積和是否趨向于曲邊三角形的面積v呢？呢？ n1n2nknnxy2xy O n1n2nknnxOy2xy 例例2彈簧在拉伸的過(guò)程中，力與伸長(zhǎng)量成彈簧在拉伸的過(guò)程中，力與伸長(zhǎng)量成正比，即力正比，即力F(x)=kx（k是常數(shù)，

6、是常數(shù)，x是伸長(zhǎng)是伸長(zhǎng)量），求彈簧從平衡位置拉長(zhǎng)量），求彈簧從平衡位置拉長(zhǎng)b所作的功。所作的功。解：將物體用常力解：將物體用常力F沿力的方向移動(dòng)距離沿力的方向移動(dòng)距離x,則所做的功則所做的功W=Fx，本題，本題F是克服彈簧拉力是克服彈簧拉力的變力，是移動(dòng)距離的變力，是移動(dòng)距離x的函數(shù)，的函數(shù)，F(xiàn)(x)=kx，將將0，b n等分，記等分，記x= ， bn分點(diǎn)依次為分點(diǎn)依次為x0=0，x1= ，x2= ,，xn1= ，xn=b，bn2bn(1)nbn當(dāng)當(dāng)n很大時(shí)，在分段很大時(shí)，在分段xi，xi+1所用的力約所用的力約為為kxi，所做的功，所做的功Wkxix=ibkxn則從則從0到到b所做的總功所做

7、的總功W近似地等于近似地等于2112000 12(1)nniiiib bkbWknn nn 222(1)1(1)22kbn nkbnn當(dāng)當(dāng)n+時(shí)，上式右端趨近于時(shí)，上式右端趨近于 22kb于是得到彈簧從平衡位置拉長(zhǎng)于是得到彈簧從平衡位置拉長(zhǎng)b所做的功所做的功為為 210lim2ninikbWW 以上兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題，一個(gè)是求曲邊梯形的面積，一以上兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題，一個(gè)是求曲邊梯形的面積，一個(gè)是求變力所做的功，雖然實(shí)際意義不同，但解決問(wèn)個(gè)是求變力所做的功，雖然實(shí)際意義不同，但解決問(wèn)題的方法和步驟是完全相同的，都?xì)w結(jié)為求一個(gè)函數(shù)題的方法和步驟是完全相同的，都?xì)w結(jié)為求一個(gè)函數(shù)在某一閉區(qū)間上的和式的極限問(wèn)題在

8、某一閉區(qū)間上的和式的極限問(wèn)題.思考、如果在分段思考、如果在分段1 ,iix x取所用的力為取所用的力為xi+1所做的功是多少？所做的功是多少？1. 曲邊三角形或梯形的面積曲邊三角形或梯形的面積 S= 10lim( )ninif xx2.克服彈簧拉力的變力所做的功克服彈簧拉力的變力所做的功 W= 10lim( )ninif xx 類似地問(wèn)題還很多，它們都可以歸結(jié)為類似地問(wèn)題還很多，它們都可以歸結(jié)為求這種求這種和式的極限和式的極限，牛頓等數(shù)學(xué)家經(jīng)過(guò)苦，牛頓等數(shù)學(xué)家經(jīng)過(guò)苦心研究，得到了解決這類問(wèn)題的一般方法。心研究，得到了解決這類問(wèn)題的一般方法。求求函數(shù)的定積分函數(shù)的定積分。一般函數(shù)定積分的定義一般

9、函數(shù)定積分的定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間是定義在區(qū)間a，b上的一個(gè)上的一個(gè)函數(shù)，在閉區(qū)間函數(shù)，在閉區(qū)間a，b上任取上任取n1個(gè)分點(diǎn)個(gè)分點(diǎn)011iinaxxxxxb 把把a(bǔ)，b分成分成 n個(gè)小閉區(qū)間，其長(zhǎng)度依次個(gè)小閉區(qū)間，其長(zhǎng)度依次為為x=xi+1xi，i=0，1，2，n1，記，記為這些小區(qū)間長(zhǎng)度的最大者，當(dāng)為這些小區(qū)間長(zhǎng)度的最大者，當(dāng)趨近于趨近于0時(shí)，所有小區(qū)間的長(zhǎng)度都趨近于時(shí)，所有小區(qū)間的長(zhǎng)度都趨近于0，在每個(gè)，在每個(gè)小區(qū)間內(nèi)各取一點(diǎn)，小區(qū)間內(nèi)各取一點(diǎn)，,1iiixx作和式作和式In=10( )niiifx 當(dāng)當(dāng)0時(shí)，如果和式的極限存在，我們時(shí)，如果和式的極限存在，我們把和式把和式

10、In的極限叫做函數(shù)的極限叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a，b上的定積分，上的定積分，記作記作()bafx dx 其中其中f(x)稱為被積函數(shù)，稱為被積函數(shù)，x稱為積分變量，稱為積分變量，a，b稱為積分區(qū)間，稱為積分區(qū)間，a, b分別稱為積分分別稱為積分的上限和下限，的上限和下限，f(x)dx叫做被積式，此時(shí)叫做被積式，此時(shí)稱稱f(x)在區(qū)間在區(qū)間a，b上可積。上可積。 baIdxxf)(iinixf )(lim10 . 被積函數(shù)積分上限積分下限被積式 利用積分的定義，前面提到曲邊梯形利用積分的定義，前面提到曲邊梯形面積可簡(jiǎn)潔的表示為面積可簡(jiǎn)潔的表示為 ()bafx dx于是例于是例1的結(jié)果可以寫

11、作的結(jié)果可以寫作 12013Sx dx例例2中克服彈簧拉力的變力所做的功中克服彈簧拉力的變力所做的功202bkbWkxdx 如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a，b上是一條上是一條連續(xù)的曲線，它與直線連續(xù)的曲線，它與直線y=0，x=a，x=b所所圍成的曲邊梯形的面積客觀存在，則圍成的曲邊梯形的面積客觀存在，則f(x)在在a，b一定是可積的。一定是可積的。求區(qū)間求區(qū)間 函數(shù)函數(shù)f(x)的定積分的步驟的定積分的步驟:, a b1、分割將區(qū)間、分割將區(qū)間, a b分成分成n個(gè)閉區(qū)間個(gè)閉區(qū)間2、近似替代（取點(diǎn)）在每個(gè)閉區(qū)間、近似替代（取點(diǎn)）在每個(gè)閉區(qū)間 1,iix x上任取點(diǎn)，上任取點(diǎn)，+1,(

12、 )( )()34iiiifff用代替這一區(qū)間上的所有函數(shù)值，為簡(jiǎn)便常取左端點(diǎn)或右端點(diǎn)、作和、求極限例題分析：例題分析：v例例 1：利用定義計(jì)算定積分：利用定義計(jì)算定積分120 x dx鞏固練習(xí)、求鞏固練習(xí)、求30ax dxv例例2、利用定積分的幾何意義求、利用定積分的幾何意義求21xdx鞏固練習(xí)、鞏固練習(xí)、利用定積分的幾何意義求下列定積分：利用定積分的幾何意義求下列定積分：11(1)1dx11(2)xdx11(3)x dxv例例3、利用定積分的定義證明：如果、利用定積分的定義證明：如果f(x)、g(x)同在區(qū)間同在區(qū)間,( )( )( )( )bbbaaaa bg xg xdxf x dxg x dx內(nèi)可