考研高等數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、導(dǎo)數(shù)公式:2(tgx) =sec x(ctgx) = -csc x (secx)二 secx tgx (cscx) = -cscx ctgx (axr-axl na1(log a x) xl na基本積分表：tgxdx 二- In cosx CJctgxdx = ln sin x +C高等數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)(arcsin x) "= , 1石x2(arccosx)' , 1 2® -x2(arctgx)1 +x11 x2(arcctgx)secxdx 二 In secx tgx CdxJ 2cos xdxJ -sin x2二 sec xdx 二 tgx C2=csc xdx

2、 = -ctgx CJcscxdx = In cscx ctgx +Csecx tgxdx =secx Cdx2,2a xdx 2x -adx 2a -xdx2a -x1 x c arctg C a 丄In 2a1 .ax ax +a.a x InC2a a -x.x * =arcs inCaInji2=sinn xdx =.0cos0cscx ctgxdx 二-cscx Cxaxdx - CInashxdx = chx Cchxdx = shx C dx' :2 . 2x - a=In(x x2 _ a2) C- x2 a2dxx2 -a2dx丿 x2_a22a2-x2dxxdxQj

3、n2亍In(xx2 a2) C2 a , r 22-In x"x -a +C22arcs in' C2 a2-x2三角函數(shù)的有理式積分:2usin x 2, cosx1+u21 -u21 u2，u =tg；,2, 2dudx 21 u2lim輪X 0 xlim （1 -）x =e =2.718281828459045x匚 xx_x雙曲正弦:shx = e -2x_x雙曲余弦：chx二2雙曲正切：thx二空chxx .x e -ex x e +earshx = In（x 亠:-x21）archx 二 In（x x2 -1）arthx1 x1 -x三角函數(shù)公式:-和差角公式:誘導(dǎo)

4、公式：函數(shù)角A、sincostgctg-a-sin acos a-tg a-ctg a90 ° acos asin actg atg a90 ° acos a-sin a-ctg a-tg a180 °asin a-cos a-tg a-ctg a180 °a-sin a-cos atg actg a270 ° a-cos a-sin actg atg a270 ° a-cos asin a-ctg a-tg a360 ° a-sin acos a-tg a-ctg a360 ° asin acos atg act

5、g a-和差化積公式:sin（：；二 I ） =sin ： cos"二cos： sin :cos（： :） = cos cos ：sin ： sin :tgC - ）二tg： 一 tg ：1 tg ： tg :ctg （二 i ）=ctg： ctg ： Tctgi - ctg：a + P a - Psin： sin = 2sincos2 2a + P a -Psin： -sin = 2cos sin 2 2R a +P a - Pcos： cos 二 2cos cos2 2R a + P a -Pcos： - cos = 2 sinsin倍角公式:sin 2 一 = 2sin ： c

6、os：cos2： - 2cos2 ： -1=1-2sin2 ： -cos2： -sin2： ctg2a -1ctg 2:2ctga2tgatg221 -tg asin3： =3sin:- -4sin3：3cos3： =4cos ： -3cos：tg3： 口3tga -tga21 -3tg a半角公式：.a-cosasin 二2 2丄 a 亠：1CO的1CO泊sinatg2,1 cos： sin ：1 cos：a：1 + cos»cos-2 2丄a亠1 + cosactg2cosa1 cos：si nasi nr1 - cos：-正弦定理:asin Absin Bcsi nC=2R余弦

7、定理：c2 二 a2 b2 - 2ab cosC-反三角函數(shù)性質(zhì):jiarcsinx 二arccosx2arctgx = - arcctgx2高階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茲(Leibniz )公式：n (uv)(n)八 cW(k)k =0=u(n)v nu(n)v n(n "(Tv n(n 7 (n k 嘰®) uv(n) 2!k!中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：拉格朗日中值定理：f(b) -f (a)二f ()(b-a)柯西中值定理：他迴=山F(b)-F(a)F 徉)當(dāng)F(x)二x時(shí)，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理。曲率：弧微分公式：ds =+ y ? dx,其中y，=tg a化量；As：

8、 MM弧長。平均曲率：R -.：從M點(diǎn)到M點(diǎn)，切線斜率的傾角變M點(diǎn)的曲率：K=lim As 直線：K =0;半徑為a的圓：K =1.a定積分的近似計(jì)算：b矩形法：f(x)ab - a z止(yo+yi+b梯形法：f(x)a口冷。yn) yin 2ynn弧微分公式：ds =+ y ? dx,其中y，=tg ab拋物線法：f (x)ab _ a卞(y0 yn) 2(y2 » 心 4(y1 y3山定積分應(yīng)用相關(guān)公式：功：W = F s水壓力：F二pA引力：F二km1T2,k為引力系數(shù)r1函數(shù)的平均值：yf (x)dxb -a a_b均方根:Jf f2(t)dt"a a空間解析幾何

9、和向量代數(shù)：空間2點(diǎn)的距離：d = M jM2 = (x2 -x1)2 (y2 - y1)2 (z2 -z1)2 向量在軸上的投影：PrjuAB = AB cos®,®是AB與u軸的夾角。Pr ju(a a2)=Prja Pr ja?axbxaybyazbz兩向量之間的夾角：COST二a b = a b cos8 =axbx +ayby +azbz,是一個(gè)數(shù)量,2 2 2 ,2,2,2ax ay az : bxbybzaxbxjaybyazbz,c=a b si.例:線速度：v =w r.向量的混合積：abc二(a b) c =axbxCxaybyCyazbzCz= a&l

10、t;b ccost,a為銳角時(shí),代表平行六面體的體積。平面的方程：1、 點(diǎn)法式:A(x -Xo) B(y -y°) C(z -Zo) =0,其中 n = A, B,C, M o(Xo,y°,Zo)2、一 般方程：Ax By Cz D = 03、截距世方程：x y -=1a b c平面外任意一點(diǎn)到該平 面的距離：dAXo + B+CZo + dJa2+b2+c2|x = x0 mt空間直線的方程：-_ = _ = z_ =t,其中s =m, n, p;參數(shù)方程： y = y0 + ntmnp、z= z0 + pt二次曲面：2 2 21、橢球面：篤與務(wù)=1a b c2 22、

11、拋物面：xy =z,(p,q同號(hào))p 2q3、雙曲面：2 2 2單葉雙曲面：篤每一令=1a2 b2 c22 2 2雙葉雙曲面：篤每務(wù)=1(馬鞍面)a2 b2 c2多元函數(shù)微分法及應(yīng)用_zZu_u_u全微分： dz =dx + dydu = dx 十 一dy 十 一 dzx_yxy_z全微分的近似計(jì)算：cz ：、dz 二 fx(x,y).；x fy(x, y，yz= fu(t),v(t)dzcz cvdtductcv ctczczduczcvz= fu(x, y),v(x, y)T+Texcu&cvex當(dāng) u =u(x, y), v=v(x, y)時(shí),EucuSvdu =dx + dyd

12、v =dx十dydxdydx隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：隱函數(shù)F(x, y)=0,dyFxd2y _2 -dxFydxdx隱函數(shù)F (x, y,z)=0,czFxczFydxFzcyFz隱函數(shù)方程組：丿F(x, y,u,v) =0J 級(jí)f,g)G(x, y,u,v)二=00(u,v)cu1 c(F,G)=cv1=級(jí) f,g)dxJc(x, v)exJ點(diǎn)(u,x)cu1 c(F,G)=cv1=£(F,G)矽J c(y, v)J點(diǎn)(u,y)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法：FvGvUGU-F£許.:U.:G.:UaCG一cv微分法在幾何上的應(yīng)用：ZZ。y y。'x=®(t)空間曲線

13、y(t)在點(diǎn)M(X0,yo,z。)處的切線方程：穿乙八(to)' (to)(to)在點(diǎn) M處的法平面方程：(to)(x-x。)宀(t°)(y-y。)一(t°)(z-zo) = O若空間曲線方程為：賦：0,則切向量IFyFzFzFxFxFyGyGzGGx'GxGy曲面F(x,y,z)=O上一點(diǎn) M(x°,yo,z。),則:1、過此點(diǎn)的法向量：n 二Fx(Xo,yo,zo),Fy(x°,yo,zo),Fz(Xo,yo,z。)2、 過此點(diǎn)的切平面方程:Fx(Xo,y°,zo)(x-x。)Fy(Xo,y°,Zo)(y-y。)F

14、z(Xo,yo,zo)(z-zo) = O3、過此點(diǎn)的法線方程:x_x。_ y_y。_ z_z。Fx(x°,yo,z。) FyCxysz。) 卩2&。占。憶。)方向?qū)?shù)與梯度:函數(shù)z = f(x, y)在一點(diǎn)p( x, y)沿任一方向I的方向?qū)?shù)為：芒f訐=f丄 cos V sin；x鋼其中為x軸到方向I的轉(zhuǎn)角。f f - 函數(shù) z 二 f(x,y)在一點(diǎn) p(x,y)的梯度：gradf (x, y) i jexcyf_它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是：一 =gradf(x, y)e，其中e=cosisin，為I方向上的cl單位向量。f是gradf (x,y)在l上的投影。.:l多元函數(shù)

15、的極值及其求法：設(shè) fx (x0 ,y0)= fy(x0,y0)= 0,令：fxx (x0 , y0 = A,f xy (x0 , y0 ) = B,f yy (x0 , y0 ) = C'Ac 0, (x0, y0)為極大值、A>0, (x0, y0)為極小值J無極值不確定貝AC B2 c0時(shí),AC -B2 =0寸,重積分及其應(yīng)用:11 f (x, y)dxdy 二f (r cos, rsin)rdrdDD '2)dxdy曲面z二f(x,y)的面積A二，泛 工匕丿3丿x(x, y)d二DM . y'(x,y)d匚M y dy =M I I 叫x,y)d二D平面薄

16、片的重心：x =匹MJJP(x,y)dbD平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：對(duì)于X軸I X= y(x,y)d；，對(duì)于 y軸I y = x '(x,y)d二DD平面薄片(位于xoy平面)對(duì)z軸上質(zhì)點(diǎn)M (0,0,a), (a 0)的引力：廠=Fx, Fy, Fz,其中:廠仃 P(x,y)yd廠fP(x,y)xdFyf3， Fz一fa .3廠'(x,y)xd二Fxf .3，D/2222(x y a )2柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)：(x y a )2(x y ' a )22兀111 f (x, y, z)dxdydz 二 F (r, :)r2 si ndrddr- dr d F(r, ：,v)r2

17、s in dr其中 M=x： iiidvQ(x2 y2)dvQx = ty 二(t)x =rcosv柱面坐標(biāo)：y=rsind,出 f (x, y,z)dxdydz= JJJ F(r£,z)rdrd Td乙z = z其中：F(r, = ,z) = f(rcosv,rsin)z)x = r si ncos 日球面坐標(biāo)：y 二rsin 'sin,dv二rd ' rsin ' d： dr 二r2sin drd dz = r cos®二 二 0 0 0111重心：x=MxPdv,y = yPdv,Z = "zPdv,M 気MM q轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：lx 二(

18、y2 z2) ?dv,ly 二(x2 z2)dv,QQ曲線積分:第一類曲線積分(對(duì)弧長的曲線積分)：設(shè)f (x,y)在L上連續(xù)，L的參數(shù)方程為：丿乂二； gt蘭0),則： P,.f(x,y)ds= . f :(t)、：2(t) '- 2(t)dt (： ： )特殊情況：L ,<第二類曲線積分(對(duì)坐標(biāo)的曲線積分)： 設(shè)L的參數(shù)方程為丿乂“：Kt)P(x, y)dx Q(x, y)dy 二P，(t), - (t)(t) Q(t)卜(t)(t)dtL 、£兩類曲線積分之間的關(guān) 系：Pdx Qdy二(Pcost geos 一：)ds其中：和：分別為LL:P)dxdy = - P

19、dx Qdy:ylL上積分起止點(diǎn)處切向量 的方向角。格林公式：11( Q 尸)dxdy =，Pdx Qdy格林公式：(-QD ex &yLd ex當(dāng) p=_y,Q二x,即：2 一蘭=2 時(shí)，得到 D 的面積：A二 dxdy-1 xdy-ydx 泳綱D2 L平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件：1 G是一個(gè)單連通區(qū)域；2、P(x,y), Q(x,y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且衛(wèi)=史。注意奇點(diǎn)，如(0,0)，應(yīng) & cy減去對(duì)此奇點(diǎn)的積分，注意方向相反！二元函數(shù)的全微分求積：:Q : P在一=一時(shí)，Pdx Qdy才是二元函數(shù)u(x, y)的全微分，其中:.x；y(x,y)u(x, y)

20、二 P(x,y)dx Q(x, y)dy,通常設(shè) x0 二 y0 =0。曲面積分：對(duì)面積的曲面積分：JJ f (x,y,z)ds = H f x, y,z(x, y) J +z；(x, y) + z： (x,y)dxdy二Dxy對(duì)坐標(biāo)的曲面積分：Il P(x, y,z)dydz Q(x, y, z)dzdx，R(x, y,z)dxdy,其中：Z11 R(x,y,z)dxdy ： ： 11 Rx, y, z(x,y)dxdy,取曲面的上側(cè)時(shí)取正 號(hào)；DxyP(x,y,z)dydz=Px(y,z), y,zdydz 取曲面的前側(cè)時(shí)取正 號(hào)；工Dyz.Q(x,y,z)dzdx 二 Qx, y( z,

21、x),zdzdx 取曲面的右側(cè)時(shí)取正 號(hào)。ZDzx兩類曲面積分之間的關(guān) 系：Pdydz Qdzdx Rdxdy二(Pcos： Qcos： Rcos )dsZZ高斯公式:空間曲線積分與路徑無cy&旋度：rotA =.xP J -yQk_£feRmp EQ fr111()dv 二 Pdydz Qdzdx Rdxdy 二(Pcos一八 Qcos ： Rcos )ds門；：x 鋼：z、高斯公式的物理意義通量與散度：散度：div，即：單位體積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量，若 div0,則為消失exSy&通量：！! A nds 二 Ands 二(Pcosh * Qcos ： Rcos )d

22、s，tit因此，高斯公式又可寫成： divAdv =An dsQZ斯托克斯公式一一曲線積分與曲面積分的關(guān)系:P)dxdy = : Pdx Qdy Rdz y(-R 一 -dydz (-P 一 )dzdx (-Q -v :y :z:z:x:xdydzdzdxdxdycosacosPcos?.r rex&SexczPQRPQR上式左端又可寫成：Z：P關(guān)的條件：向量場A沿有向閉曲線-的環(huán)流量：Pdx Qdy Rdz = ； A t dsff常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：等比數(shù)列:等差數(shù)列:調(diào)和級(jí)數(shù):2. . n 11 - q1 q qq1 -q丄丄丄 丄(n +1)n12 3 n =211 1川川1是發(fā)散的2

23、3 n級(jí)數(shù)審斂法:1正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法根植審斂法(柯西判別法)：:1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂設(shè)：P = lim_；-''Un，貝V « P >1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散Fj P=1時(shí)，不確定2、比值審斂法：設(shè):= lim 仏1，j: U n；-：1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂 則r .1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散1時(shí)，不確定3、定義法:sn =比 u2亠亠un；lim sn存在，則收斂；否則發(fā)n散。交錯(cuò)級(jí)數(shù)UU2 U3 -u (或- Ui【2-出，Un 0)的審斂法萊布尼茲定理：U>Un_1如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足；口 ：，那么級(jí)數(shù)收斂且其和SEUi,其余項(xiàng)rn的絕對(duì)值rnpUn卅 n絕對(duì)收斂與條件收斂：(1) Ui

24、U2 Un ，其中Un為任意實(shí)數(shù)；(2) Ui +出|+|出| + +Un + 如果(2)收斂，則(1)肯定收斂，且稱為絕對(duì) 收斂級(jí)數(shù);如果(2)發(fā)散，而收斂，則稱(1)為條件收斂級(jí)數(shù)。調(diào)和級(jí)數(shù)： 1發(fā)散，而(")收斂；nnp級(jí)數(shù)：npp _ 1時(shí)發(fā)散p1時(shí)收斂幕級(jí)數(shù):123n1 x x X 亠 亠X對(duì)于級(jí)數(shù)(3)a0 - a1x - a2xx cl時(shí)，收斂于1 -xx 31時(shí)，發(fā)散-anxn ，如果它不是僅在原點(diǎn)收斂，也不是在全數(shù)軸上都收斂，則必存”x c R時(shí)收斂在R，使f x >R時(shí)發(fā)散，其中R稱為收斂半徑。 x = R時(shí)不定求收斂半徑的方法：設(shè)a n .-是 (3)的

25、系數(shù)，則0時(shí)，R =P0時(shí)，Rz：r - :時(shí)，R = 0x0 =0時(shí)即為麥克勞林公式：f(x) =f (0) f (0)x f (0)xf(0)xn2!n!°(x-x0)nt f (x)可以展開成泰勒級(jí)數(shù)的 充要條件是：limRn = O(n 1)!n 廠些函數(shù)展開成幕級(jí)數(shù):ix i-4xe +ecosx =或丿2ix-4xe -esinx =2cdixe cosx i sinx函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)：f(x) 一 f(x0)(x-x。)0)(X-X°)( 0)(X-X。)-2!n!函數(shù)展開成幕級(jí)數(shù):(n 1)余項(xiàng)：Rn二-、m,2(m-n+1)n"'八(1

26、+x) =1 + mx+ x + x + (一1vx<1)2!n!352n dsinx=x-x x(-1)n x(-： ：x ：)3!5!(2n -1)!歐拉公式：三角級(jí)數(shù)：00af(t)二 Ao ' sing t n)0' (an cosnx bnsinnx)n壬2 n壬其中，a。=aA0，a. = An sin ；，bn = An cos “4 = x。正交性:1,sinx,cosx,sin2x,cos2xsinnx,cosnx任意兩個(gè)不同項(xiàng)的乘積 在t： 上的積分=0o傅立葉級(jí)數(shù)：af(x) °、(ancosnx bn sinnx),周期=2二2 心n =1,2,3兀0_ 2(相加)6-2(相減)12余弦級(jí)數(shù)：bn =0, an2= f(x)cosnxdx : 0n =0,1,2f (x)八 bnsin nx是奇函數(shù)彳&)=豈' an cosnx是偶函數(shù)2周期為2l的周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù):f(xj、(an cosbn sin2x),周期=21n =1f (x) cosn-X dx(n =0,1,2 )微分方程的相關(guān)概念：(n =1,2,3 )一階微分方程：y"=f(x,y) 或 P(x, y)dx + Q(x, y)dy =0可分