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文檔簡介
1、第I卷(選擇題)請點擊修改第I卷的文字說明評卷人得分一、選擇題1我國的洛書中記載著世界上最古老的一個幻方:將1,2,9填入3×3的方格內(nèi),使三行、三列、二對角線的三個數(shù)之和都等于15,如圖1所示,一般地,將連續(xù)的正整數(shù)1,2,3,n2填入n×n個方格中,使得每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等,這個正方形就叫做n階幻方,記n階幻方的對角線上數(shù)的和為N,如圖1的幻方記為N3=15,那么N12的值為 ( )A869B870C871D875第II卷(非選擇題)請點擊修改第II卷的文字說明評卷人得分二、解答題2已知矩陣的一個特征值所對應(yīng)的一個特征向量,求矩陣的逆矩陣3已知矩陣 ,求
2、矩陣4選修4-2:矩陣與變換已知直線,若矩陣所對應(yīng)的變換把直線變換為它自身。()求矩陣A; ()求矩陣A的逆矩陣.5求曲線在矩陣M對應(yīng)的變換作用下得到的曲線所圍成圖形的面積6(本小題滿分7分)選修42:矩陣與變換已知二階矩陣有特征值1=4及屬于特征值4的一個特征向量并有特征值及屬于特征值1的一個特征向量, ( )求矩陣;( )求7選修42:矩陣與變換 已知矩陣滿足:,其中是互不相等的實常數(shù),是非零的平面列向量,求矩陣.8變換T1是逆時針旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)變換,對應(yīng)的變換矩陣是M1;變換T2對應(yīng)的變換矩陣是M2.(1)求點P(2,1)在T1作用下的點P的坐標(biāo);(2)求函數(shù)yx2的圖象依次在T1,T2變換
3、的作用下所得曲線的方程9二階矩陣M對應(yīng)的變換將點(1,1)與(2,1)分別變換成點(1,1)與(0,2)(1)求矩陣M;(2)設(shè)直線l在變換M作用下得到了直線m:xy4,求l的方程10設(shè)M是把坐標(biāo)平面上的點的橫坐標(biāo)伸長到2倍,縱坐標(biāo)伸長到3倍的伸縮變換.(1)求矩陣M的特征值及相應(yīng)的特征向量.(2)求逆矩陣M-1以及橢圓x24+y29=1在M-1的作用下的新曲線的方程.11已知矩陣A,A的一個特征值2,其對應(yīng)的特征向量是1.設(shè)向量,試計算A5的值12二階矩陣M有特征值,其對應(yīng)的一個特征向量e=,并且矩陣M對應(yīng)的變換將點變換成點(1)求矩陣M;(2)求矩陣M的另一個特征值及對應(yīng)的一個特征向量13
4、(本題滿分16分)本題共有3個小題,第(1)小題滿分4分,第(2)小題滿分5分,第(3)小題滿分7分將邊長分別為1、2、3、n、n+1、()的正方形疊放在一起,形成如圖所示的圖形,由小到大,依次記各陰影部分所在的圖形為第1個、第2個、第n個陰影部分圖形.設(shè)前n個陰影部分圖形的面積的平均值為記數(shù)列滿足,(1)求的表達式;(2)寫出的值,并求數(shù)列的通項公式;(3)記,若不等式有解,求的取值范圍.14本題有(1)、(2)、(3)三個選答題,每小題7分,請考生任選2題作答,滿分14分,如果多做,則按所做的前兩題計分作答時,先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑,并將所選題號填入括號中(1)(本
5、小題滿分7分)選修4-2:矩陣與變換已知矩陣,向量 (I)求矩陣的特征值、和特征向量;(II)求的值(2)(本小題滿分7分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知曲線C的參數(shù)方程為以直角坐標(biāo)系原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為()求直線l的直角坐標(biāo)方程;()點P為曲線C上的動點,求點P到直線l距離的最大值(3)(本小題滿分7分)選修4-5:不等式選講()已知:a、b、;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ()某長方體從一個頂點出發(fā)的三條棱長之和等于3,求其對角線長的最小值.15附加題) 已知矩陣, (1)計算AB; (2)若矩陣B把直線的
6、方程。16已知矩陣=,求的特征值,及對應(yīng)的特征向量17(本小題滿分7分)選修42:矩陣與變換已知矩陣,其中R,若點P(1,1)在矩陣A的變換下得到點P(0,3),求矩陣A的特征值及特征向量18本題(1)、(2)、(3)三個選答題,每小題7分,請考生任選2題作答,滿分14分,如果多做,則按所做的前兩題計分.作答時,先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑,并將所選題號填入括號中。KS*5U.C#O(1)(本小題滿分7分)選修4-2:矩陣與變換已知向量=,變換T的矩陣為A=,平面上的點P(1,1)在變換T作用下得到點P(3,3),求A4.(2)(本小題滿分7分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程直
7、線與圓(>0)相交于A、B兩點,設(shè)P(1,0),且|PA|:|PB|=1:2,求實數(shù)的值(3)(本小題滿分7分)選修4-5:不等式選講KS*5U.C#O對于xR,不等式|x1|+|x2|2+2恒成立,試求2+的最大值。19在非負數(shù)構(gòu)成的數(shù)表 中每行的數(shù)互不相同,前6列中每列的三數(shù)之和為1,均大于如果的前三列構(gòu)成的數(shù)表 滿足下面的性質(zhì):對于數(shù)表中的任意一列(,2,9)均存在某個使得求證:()最小值,2,3一定自數(shù)表的不同列()存在數(shù)表中唯一的一列,2,3使得數(shù)表仍然具有性質(zhì)20(本小題15分)已知ABC三個頂點的坐標(biāo)分別是A(0,2),B(1,1),C(1,3)若ABC在一個切變變換T作用
8、下變?yōu)锳1B1C1,其中B(1,1)在變換T作用下變?yōu)辄cB1(1,-1)(1)求切變變換T所對應(yīng)的矩陣M;(2)將A1B1C1繞原點按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°后得到A2B2C2求B1變化后的對應(yīng)點B2的坐標(biāo)評卷人得分三、填空題21若,則實數(shù)= 22若,則實數(shù)= 試卷第5頁,總6頁本卷由系統(tǒng)自動生成,請仔細校對后使用,答案僅供參考。參考答案1B【解析】2【解析】試題分析:運用矩陣的運算法則及特征向量的概念求解即可試題解析:解:由題意:,考點:1、矩陣及逆矩陣的概念及求解方法;2、矩陣的特征向量及有關(guān)概念和求解方法3【解析】試題分析:由逆矩陣公式得,再利用矩陣運算得試題解析:解:,考點:逆矩
9、陣4();()【解析】試題分析:()通過設(shè)直線上任意一點,利用其在A的作用下變?yōu)?,可用表示出,代入,計算即可;()直接計算試題解析:() 設(shè)為直線上任意一點其在的作用下變?yōu)閯t代入得:其與完全一樣得則矩陣()因為,所以矩陣M的逆矩陣為考點:矩陣,逆矩陣5【解析】試題分析:先由矩陣變換得到曲線方程:,再根據(jù)曲線形狀:菱形,計算其面積:試題解析:設(shè)點為曲線上的任一點,在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到的點為,則由, 3分得: 即 5分所以曲線在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到的曲線為, 8分所圍成的圖形為菱形,其面積為 10分考點:矩陣變換6(1);(2)【解析】試題分析:(1)利用矩陣的運算法則進行求解;(2)利
10、用矩陣的乘法法則進行求解試題解析:()設(shè)=則又由可得a=1,b=2,c=3,d=2,= 4分()易知,考點:矩陣的運算7【解析】試題分析:由特征多項式得,所以,又,所以,所以,試題解析:由題意,是方程的兩根 因為,所以 2分又因為,所以,從而 5分所以 因為,所以從而 8分故矩陣. 10分考點:矩陣運算8(1)P(1,2) (2)yx【解析】試題分析:掌握矩陣運算以及矩陣變換的規(guī)律,直接根據(jù)矩陣乘法的定義.矩陣的運算難點是乘法運算,解題的關(guān)鍵是熟悉乘法法則,并且要理解二階矩陣變換的定義,熟悉五種常見的矩陣變換,明確矩陣變換的特點.對于矩陣乘法,應(yīng)注意幾何意義在解題中的應(yīng)用還要注意矩陣的知識并不
11、是孤立存在的,解題時應(yīng)該注意矩陣與其他知識的有機結(jié)合另對運算律的靈活運用將有助于我們簡化運算,但要十分注意的是,有些運算(如交換律和消去律)在矩陣的乘法運算中并不成立用矩陣解二元一次方程組,關(guān)鍵是把方程組轉(zhuǎn)化為矩陣,而運算中求矩陣的逆是重要的環(huán)節(jié),在求逆之前首先必須熟悉公式再進行應(yīng)用試題解析:(1) 所以點P(2,1)在作用下的點P的坐標(biāo)是P(1,2)(2),設(shè)是變換后圖象上任一點,與之對應(yīng)的變換前的點是,則M,也就是,即,所以,所求曲線的方程是yx.考點:矩陣變換的有關(guān)內(nèi)容.9(1)(2)xy20【解析】(1)設(shè)M,則有,所以且解得和所以M.(2)因為且m:xy4,所以(x2y)(3x4y)
12、4,即xy20,即直線l的方程為xy20.10(1) 特征值為2和3,對應(yīng)的特征向量分別為及(2) M-1= x2+y2=1【解析】(1)由條件得矩陣M=,它的特征值為2和3,對應(yīng)的特征向量分別為及.(2)M-1=,橢圓+=1在M-1的作用下的新曲線的方程為x2+y2=1.11【解析】由題設(shè)條件可得,2,即解得得矩陣A.矩陣A的特征多項式為f()256,令f()0,解得12,23.當(dāng)12時,得1;當(dāng)23時,得2,由m1n2,得得m3,n1,A5A5(312)3(A51)A523(1)23×253512(1)(2),【解析】試題分析:(1)由于二階矩陣M有特征值,其對應(yīng)的一個特征向量e
13、=,并且矩陣M對應(yīng)的變換將點變換成點.所以通過假設(shè)二階矩陣,其中有四個變量,根據(jù)以上的條件特征值與特征向量,以及點通過矩陣的變換得到的點,可得到四個相應(yīng)的方程,從而解得結(jié)論.(2)求矩陣M的特征值,根據(jù)特征多項式.即,可求得的值,即可得另一個特征值.即可寫出相應(yīng)的一個特征向量.試題解析:(1)解:(1)設(shè)M=,則由=6得=,即a+b=c+d=6 由=,得,從而a+2b=8,c+2d=4由a+b =6及a+2b=8,解得a=4,b=2; 由c+d =6及c+2d=4,解得c=8,d=-2,所以M=(2)由(1)知矩陣的特征多項式為令,得矩陣的特征值為6與當(dāng)時, 故矩陣的屬于另一個特征值的一個特征
14、向量為 考點:1.矩陣的變換.2.特征向量特征值的求法.3.線性問題模型化.13解:(1)由題意,第1個陰影部分圖形的面積為,第2個陰影部分圖形的面積為,第n個陰影部分圖形的面積為.(2分)故 (4分)(2), 當(dāng)n為偶數(shù)時, (3分) 當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時, 故 (5分)(3)由(2)知 又 ()當(dāng)n=1時,即,于是()當(dāng)n為偶數(shù)時,即 于是, (3分)()當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時, 即于是, (5分)綜上所述: (7分)【解析】略14(1)解:(I)的特征多項式為令,得1, 2分當(dāng)1時,得;當(dāng)時,得 4分(II)由得,得 5分 7分(2)解:()化簡為,直線l的直角坐標(biāo)方程為; 3分()設(shè)點P
15、的坐標(biāo)為,得P到直線l的距離, 5分即,其中 當(dāng)時, 7分(3)m 解:(),ks5u, 4分()不妨設(shè)長方體同一個頂點出發(fā)的三條棱長分別等于a、b、c, 7分【解析】15【解析】16矩陣的特征值為1=3,2=;=,=【解析】矩陣的特征多項式為= 2分 令=0,得到矩陣的特征值為1=3,2= 4分當(dāng)1=3時,由=3,得,取,得到屬于特征值3的一個特征向量= ; 7分當(dāng)2=時,由=,得,取,則,得到屬于特征值的一個特征向量= 10分173, ;-1,【解析】由題意得: 2分特征值3對應(yīng)特征向量為 5分特征值-1對應(yīng)特征向量為7分18().()=3.()(2+)max=.【解析】(1)(本小題滿分
16、7分)選修4-2:矩陣與變換KS*5U.C#O本題主要考查矩陣、矩陣與變換等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力。法1:= 即 =2,故A= . - 2分由1=1,2=3. 當(dāng)1=1時,矩陣A的特征向量為=.當(dāng)2=3時,矩陣A的特征向量為=. -4分故A4 =A4(+2)=A4+2A4=(1)4 +2·34=. -7分法2:由=,即 ,故A=. -2分A2=,A3=,A4 , -5分A4=. -7分(2)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程本題主要考查直線的參數(shù)方程,直線與圓的位置關(guān)系,考查運算求解能力.法1:直線參數(shù)方程可化為:y=(x+1) -1分聯(lián)立方程 ,消去,得:4+6+3r=0 . -2分
17、設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)(不妨設(shè)x1<x2),則=3616(3)>0 ,x1+x2=,x1·x2=,-3分,-5分由解得=3. -7分法2:將直線參數(shù)方程代入圓方程得t2t+1=0 -1分設(shè)方程兩根為t1、t2,則=14(1)>0 >. t1+t2=1,t1·t2=1 .(*)-3分由參數(shù)t的幾何意義知 或. -5分由,解得=3,由,代入(*)得=3,故所求實數(shù)r的值為3. -7分(3)選修4-5:不等式選講KS*5U.C#O本題主要考查柯西不等式、絕對值不等式及其應(yīng)用,考查推理論證與運算求解能力解:|1|+|2|=|1|+|2|1+2|
18、=1 , -2分故2+21.(2+)2 (22+12)( 2+2) 5. -4分由 ,即取=,時等號成立. -6分故(2+)max=. -7分19【解析】()假設(shè)最小值,2,3不是取自數(shù)表的不同列則存在一列不含任何不妨設(shè),2,3由于數(shù)表中同一行中的任何兩個元素都不等,于是,2,3另一方面,由于數(shù)表具有性質(zhì),在中取,則存在某個使得矛盾 ()由抽屆原理知 , 中至少有兩個值取在同一列不妨設(shè) , 由前面的結(jié)論知數(shù)表的第一列一定含有某個,所以只能是同樣,第二列中也必含某個,2不妨設(shè)于是,即是數(shù)表中的對角線上數(shù)字 記,令集合 顯然且1,2因為,所以 故于是存在使得顯然,2,3 下面證明數(shù)表 具有性質(zhì) 從上面的選法可知,這說明 , 又由滿
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