復(fù)合曲線坐標(biāo)計(jì)算

1、淺談復(fù)合曲線坐標(biāo)計(jì)算曹 國(guó) 平在大型互通式立交的匝道以及受地形條件限制的公路設(shè)計(jì)中，常把中線設(shè)計(jì)成復(fù)合曲線直線、圓曲線、緩和曲線的復(fù)雜組合的線型。隨著測(cè)量?jī)x器的發(fā)展和計(jì)算機(jī)的普及，道路中線的測(cè)設(shè)常采用極坐標(biāo)法。極坐標(biāo)法的關(guān)鍵之一是求出中線上任意點(diǎn)在路線測(cè)量坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。對(duì)于一般的線形，中樁坐標(biāo)計(jì)算比較簡(jiǎn)單，而復(fù)合曲線中樁坐標(biāo)計(jì)算比較復(fù)雜，本文提出一種復(fù)合曲線上任意中樁坐標(biāo)計(jì)算的方法和過(guò)程。一、 計(jì)算原理及方法任何復(fù)雜的路線線形都是由多個(gè)直線段、圓曲線段、緩和曲線段組合而成的，把它設(shè)在路線導(dǎo)線測(cè)量坐標(biāo)系統(tǒng)中（如圖1）可以用一個(gè)參數(shù)函數(shù)表示：L是路線上任意點(diǎn)的里程。這個(gè)函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù)，L在不

2、同的區(qū)間里Fx(L)、Fy(L)是不同的表達(dá)式，這個(gè)不同的區(qū)間是由不同的直線區(qū)間、圓曲線區(qū)間、緩和曲線區(qū)間所組成的。根據(jù)要求，這個(gè)函數(shù)必定是一個(gè)連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù)，即線形上任何一點(diǎn)都有切線?，F(xiàn)在的問(wèn)題就是：給定任意點(diǎn)P（里程Lp）如何判斷P所在區(qū)間，并計(jì)算出P點(diǎn)坐標(biāo)（Xp、Yp）及切線方向Tp，因?yàn)橹狼芯€方向就可以計(jì)算出該點(diǎn)的法線方向，這在彎道上確定邊樁及在曲線橋施工中確定橋墩的縱軸線方向時(shí)很重要。對(duì)于直線段，可以把它看成是任意一點(diǎn)的曲率半徑R均為的一種曲線，所以這是把組成路線的三種基本線形：直線、圓曲線、緩和曲線稱為曲線單元。任何一個(gè)曲線單元都可以由該曲線單元起點(diǎn)的曲率半徑R1、終點(diǎn)半徑R2及

3、曲線單元長(zhǎng)度S確定該曲線單元的幾何形狀和大小，故把R1、R2、S稱為曲線單元要素：（1）R1=R2=時(shí)，為直線，直線長(zhǎng)度為S；（2）R1=R2=R時(shí)，為圓曲線，圓曲線半徑為R，長(zhǎng)度為S；（3）R1R2時(shí)，為緩和曲線，緩和曲線的長(zhǎng)度為S，參數(shù)A為：A= 通過(guò)分析得出：只要知道了每個(gè)曲線單元的起點(diǎn)O的里程L0、坐標(biāo)（X0，Y0）及切線方位角To和曲線單元的左右偏情況（用cc表示，cc=-1表示左偏，cc=+1表示右偏），就可以求出曲線單元上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)和切線方位角。下面分三種情況討論計(jì)算過(guò)程：1、 直線單元曲線要素R1=R2=，圖2所示，里程為L(zhǎng)p的P點(diǎn)坐標(biāo)及切線方位角為：l=Lp-L0Xp=X

4、0+l·cosT0Yp=Y0+l·sinT0Tp=T0當(dāng)Lp=L0+S時(shí)，計(jì)算出的結(jié)果就是曲線單元終點(diǎn)E的坐標(biāo)（XE，YE）和切線方位角TE，求終點(diǎn)E的目的是為了得到下一個(gè)與它相連的曲線單元起點(diǎn)的（X0，Y0）、To，因?yàn)槁肪€是連續(xù)可導(dǎo)的，即：X0下=XE上，Y0下=YE上，To下=TE上。2、 圓曲線單元曲線要素R1=R2=R，圖3所示，按切線支距法求出P點(diǎn)在O點(diǎn)切線坐標(biāo)系中的坐標(biāo)（xp，yp），l=Lp-L0=l/R （=180°/）然后通過(guò)坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)公式求得P點(diǎn)在路線導(dǎo)線測(cè)量坐標(biāo)系中的坐標(biāo)和方位角，計(jì)算公式如下： （1）把曲線單元終點(diǎn)里程Lp=L0+S代入上面

5、的式子中去就求得（XE，YE），TE，下面類似。3、 緩和曲線單元由于緩和曲線要素中R1R2，根據(jù)實(shí)際情況可分為下列四種情況計(jì)算：（1） R1=，R2=R這是最常規(guī)的也是最簡(jiǎn)單的情況，一般把它稱為緩和曲線的基本型，這時(shí)Ls=S，圖4所示。類似于圓曲線單元的方法，去計(jì)算切線支距法時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)（xp，yp），l=Lp-L0xp=l-l5/（40·R2Ls2）+（2）yp=l3/（6·R）·Ls-l7/（336·R3·Ls3）+=l2/（2·R·Ls）然后按（1）式的計(jì)算公式求出（Xp，Yp）和Tp。在程序設(shè)計(jì)中把基本型計(jì)算當(dāng)成子程

6、序，以便后面調(diào)用。（2） R1=R，R2=圖5所示，在E點(diǎn)處的曲率半徑為無(wú)窮大，可以先計(jì)算出E點(diǎn)的坐標(biāo)和切線方位角：Ls=S1=Ls/（2·R）·按切線支距法得出O點(diǎn)在E點(diǎn)切線支距坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：x0=Ls-Ls3/（40·R2）+y0=Ls2/（6·R）-Ls4/（336·R3）+根據(jù)（x0，y0）就可以求出OE直線段（圖中虛線）的長(zhǎng)度和方位角ToES0E=2=1-arcty(y0/x0)ToE=To+cc·2那么:XE=X0+SoE·cosToEYE=Y0+SoE·sinToETE=To+cc·1有了

7、TE、XE、YE就可以采用（1）的計(jì)算方法，在程序中就調(diào)用（1）的子程序，這時(shí)（XE、YE）相當(dāng)于子程序中的（X0、Y0），E點(diǎn)切線反方位角Te=（TE±180°）相當(dāng)于T0，但要注意的是此時(shí)： l=Ls-(Lp-L0)(見(jiàn)圖中) cc=-1cc 求出的切線方位角是切線的反方位角（這里把順著路線方向的方位角稱為正方位角），還需把它正過(guò)來(lái)。（3） R1>R2，R1、R2這種情況以及下面的（4）在同向圓曲線用緩和曲線連接以及匝道設(shè)計(jì)中經(jīng)常遇到，有時(shí)把這二種緩和曲線稱為不完全緩和曲線。如圖6所示，如果順著大半徑O點(diǎn)端把緩和曲線補(bǔ)充到曲率半徑為無(wú)窮大處的O點(diǎn)處，就可以利用（1

8、）的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算。由R1，R2及S得出緩和曲線回旋參數(shù)AS=-A=Ls1=即O點(diǎn)到無(wú)窮大處的緩和曲線長(zhǎng)度為L(zhǎng)s1。下面計(jì)算O點(diǎn)的坐標(biāo)和切線方位角。按切線支距求出以O(shè)點(diǎn)切線為x軸的O點(diǎn)坐標(biāo)（x0、y0），x0=Ls1-Ls13/（40·R12）+y0=Ls1/（6·R1）-Ls14/（336·R12）+1=Ls1/（2·R1）則To=To-cc·12=arcty(y0/x0)，Soo=OO直線段方位角為T(mén)oo=To+cc2則Too=Too±180°Xo=Xo+Soo·cosTooYo=Yo+Soo·sinToo有了上述數(shù)據(jù)，就可以按（1）計(jì)算任意點(diǎn)P的坐標(biāo)，此時(shí)To、Xo、Yo相當(dāng)于To、Xo、Yo，而l=（Lp-L0）+Ls1