27算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)

1、算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)1教學(xué)目的：1. 學(xué)會推導(dǎo)并掌握兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小丁它們的幾何平均數(shù)這個重要定理.2. 理解這個定理的幾何意義，并掌握定理中的不等號取等號的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個數(shù)相等.3. 通過掌握公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，運(yùn)用公式的適當(dāng)變形，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生的實(shí)踐能力.教學(xué)重點(diǎn)：均值定理證明教學(xué)難點(diǎn)：等號成立條件教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：不等式的基本性質(zhì).二、講解新課：1. 重要不等式：如果a,bR,那么a2b22ab（當(dāng)且僅當(dāng)ab時取""號）2. 定理：如果a,b是正數(shù)，那么-一-*ab（當(dāng)且僅當(dāng)ab時取"

2、”號）.2說明：i我們稱J為a,b的算術(shù)平均數(shù)，稱辰為a,b的幾何平均數(shù),因而，此定理2乂可表達(dá)為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小丁它們的幾何平均數(shù).iia2b22ab和成立的條件是不同的：前者只要求a,b都是實(shí)數(shù)，而后2者要求a,b都是正數(shù).iii“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義是充要條件.3.均值定理的幾何意義是“半徑不小丁半弦”.以長為a+b的線段為直徑作圓，在直徑AB上取點(diǎn)C,使AC=a,CB=b.過點(diǎn)C作垂直丁直徑AB的弦DD'，那么CD2CACB，即CD時ab這個圓的半徑為a2b,顯然，它不小丁CD,即號VOb,其中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合；即a=b時，等號成立.三、講解范例：例1已知x,y都是

3、正數(shù)，求證:1如果積xy是定值P,那么當(dāng)x=y時，和x+y有最小值2P;2如果和x+y是定值S那么當(dāng)x=y時，積xy有最大值1S2.4說明：此例題反映的是利用均值定理求最值的方法，但應(yīng)注意三個條件:i函數(shù)式中各項(xiàng)必須都是正數(shù)；ii）函數(shù)式中含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須是常數(shù);iii等號成立條件必須存在.ba例2已知：ab>0,求證：b-2.當(dāng)且當(dāng)a=b時等號成立.ab反思：由本例可以得出什么結(jié)論？例3已知a,b都是正數(shù)，求證ab當(dāng)且當(dāng)a=b時等號成立.的概介紹n個正數(shù)的“調(diào)和平均數(shù)”、“幾何平均數(shù)”、“算術(shù)平均數(shù)”、“平方平均數(shù)”念及它們的關(guān)系四、課堂練習(xí)：1. 已知a、b、c都是正數(shù)，求證

4、a+bb+cc+aa8abc2. 已知x、y都是正數(shù)，求證：x+yx+yx+yA8xy.3. 求證:五、作業(yè)：（1）“a+b>2板布”是“a£R*,b行”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.即不充分也不必要條件1設(shè)b>a>0,且a+b=1,則此四個數(shù)，2ab,a+b,b中最大的是（）2A.bB.a2+b2C.2abD.設(shè)a,beR,且aub,a+b=2,則必有（）222«2/2A.1<abva一-B.abv1<*C.abv-<12222.2D.y<abv1已知a,ber+且a+b=4,則以下各式包成立的是()A

5、.1B.11>1C/ab>2D.ab2ab假設(shè)a>b>0,則下面不等式正確的選項(xiàng)是(A.g2abC.ababB.D.2abab2ab假設(shè)a,b£R且a冬b,在以下式子中，包成立的個數(shù)為a2+3ab>2b2a5+b5>a3b2+a2b3a2+b2>2ab-1->2baA.4B.3C.2D.1設(shè)a,b,c是區(qū)間(0,1)內(nèi)的三個互不相等的實(shí)數(shù)且p=logc%,q=”兒二logcbr=1logca，貝Up,q,r的大小關(guān)系是()22A.p>q>rB.p<q<rC.r<PvqD.p<r<q算術(shù)平均數(shù)與幾

6、何平均數(shù)2教學(xué)目的：1. 進(jìn)一步掌握均值不等式定理；2. 會應(yīng)用此定理求某些函數(shù)的最值；3. 能夠解決一些簡單的實(shí)際問題.教學(xué)重點(diǎn)：均值不等式定理的應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：解題中的轉(zhuǎn)化技巧教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1. 重要不等式：1如果a,bR,那么a2b22ab(當(dāng)且僅當(dāng)ab時取”號)2如果a,b都是正數(shù)，那么當(dāng)且當(dāng)a=b時等號成立.2. 上課時中“例1”的條件、結(jié)論及注意事項(xiàng).、講解新課：定理：如果a,b,cR，那么a3b3c33abc當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取"=”推論：如果a,b,cR，那么-一一c3abc當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取"=”三、例題例1已知a,b,c,d都是正數(shù)，求證：

7、(abcd)(acbd)4abcd例2求以下函數(shù)的最小值，并求相應(yīng)的x值.(1) 1yx二(x0)；x1(X5)(x2)y(x1).x1例3某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3,深為3m,如果池底每1m2的造價為150元，池壁每1m2的造價為120元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？四、課堂練習(xí)：1. 已知z0,當(dāng)x取什么值時,X2+馬的值最小？最小值是多少？X四、作業(yè)：，、一2,3(1) 求函數(shù)y=2x2+x(2) 求函數(shù)y=x2+x>0的最小值.2. 一段長為Lm的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時,菜園的面積最大，最大面

8、積是多少？14x>0的最小值.x求函數(shù)y=3x22x30vx<-的最大值.2求函數(shù)y=x1x20vx<1)的最大值.設(shè)a>0,b>0,且a=1,求a%1b2的最大值.2算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)3教學(xué)目的：1. 進(jìn)一步掌握均值不等式定理；2. 會應(yīng)用此定理求某些函數(shù)的最值；3. 能夠解決一些簡單的實(shí)際問題.教學(xué)重點(diǎn)：均值不等式定理的應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：解題中的轉(zhuǎn)化技巧教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1. 重要不等式：1如果a,bR,那么a2b22ab(當(dāng)且僅當(dāng)ab時取”號)2如果a,b都是正數(shù)，那么ab當(dāng)且當(dāng)a=b時等號成立.3如果ab>0,那么ba2.當(dāng)且當(dāng)a=b時等號成立

9、.ab4如果a,b,cR，那么a3b3c33abc當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取"=”2. 5如果a,b,cR，那么-b一cVabc當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取"=”利用“均值不等式”求最值.二、例題11.例11已知lgx+lgy=2,求一的最小值；xy2已知x>0,y>0,且2x+5y=20,求lgx+lgy的最大值；3已知0<x<2,求x(8-3x)的最大值.例2求以下函數(shù)的最大值：15y4x2(x-);4x54x2(1) y(x2).xx11已知a>b>0,求a的最小值.2已知0x3,求x2(1時白勺最大值.例4求函數(shù)ysinx9(0x)的最小值

10、.sinx例5從一塊半徑為R的半圓鐵板上剪一塊矩形，當(dāng)矩形的長和寬各取多少時矩形的面積最大，并求這個最大面積.三、作業(yè)1.填空1如果b>a>0,則b,2ab,a2+b2的大小順序是.函數(shù)f(x)4x2(二產(chǎn)的最小值是3當(dāng)x=時，函數(shù)f(x)x2(42x2)(0xJ2)取得最大值244假設(shè)x>0,f(x)186x-4的最大值是x5假設(shè)ab+bc+ca=1,則當(dāng)時|a+b+c|取得最小值6b2設(shè)a0,b0,a2一1,則a1b2的最大值是2一、x257f(x)-Q的最小值是x48假設(shè)x2+y2=1,S=(1-xy)(1+xy),則S的取值范圍是9假設(shè)xy>0,x2y=2,則xy+x2的最小值為2.已知ab0,求a2佑加的最小值.3. 如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一個底寬2米的無蓋長方體的沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出