概率論與數(shù)理統(tǒng)計學習地總結

1、實用標準文案概率論與數(shù)理統(tǒng)計學習報告學院學號：姓名：精彩文檔概率論與數(shù)理統(tǒng)計學習報告通過短短一學期的學習，雖然學習、研究地并不深入，但該課程 的每一處內(nèi)容都有不同的奇妙吸引著我，讓我對它在生活中飾演的角 色充滿遐想；它將我?guī)肓艘粋€由隨機變量為橋梁， 通過表面偶然性 找出其內(nèi)在規(guī)律性，從而與其它的數(shù)學分支建立聯(lián)系的世界， 讓我對 這種進行大量的隨機重復實驗，通過分析研究得出統(tǒng)計規(guī)律性的過程 產(chǎn)生了極大地興趣。我很喜歡這門課程，但也不得不說課后在它上面 花的時間并不多，因此學得還不深入，但它真的深深地吸引了我，我 一定會找時間進一步深入地學習它。先簡單地介紹一下概率論與數(shù)理統(tǒng)計這門學科。概率論是

2、基于給出隨機現(xiàn)象的數(shù)學模型， 并用數(shù)學語言來描述它 們，然后研究其基本規(guī)律，透過表面的偶然性，找出其內(nèi)在的規(guī)律性， 建立隨機現(xiàn)象與數(shù)學其他分支的橋梁，使得人們可以利用已成熟的數(shù) 學工具和方法來研究隨機現(xiàn)象，進而也為其他數(shù)學分支和其他新興學 科提供了解決問題的新思路和新方法。數(shù)理統(tǒng)計是以概率論為基礎， 基于有效的觀測、收集、整理、分析帶有隨機性的數(shù)據(jù)來研究隨機現(xiàn) 象，進而對所觀察的問題作出推斷和預測， 直至為采取一定的決策和 行動提供依據(jù)和建議。概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象及其規(guī)律性的一門數(shù)學學科。研究隨機現(xiàn)象的規(guī)律性有其獨特的思想方法， 它不是尋求出現(xiàn)每一現(xiàn) 象的一切物理因素，不能用研究確定

3、性現(xiàn)象的方法研究隨機現(xiàn)象， 而 是承認在所研究的問題中存在一些人們不能認識或者根本不知道的 隨機因素作用下，發(fā)生隨機現(xiàn)象。這樣，人們既可以通過試驗來觀察 隨機現(xiàn)象，揭示其規(guī)律性，作出決策，也可根據(jù)實際問題的具體情況 找出隨機現(xiàn)象的規(guī)律，作出決策。至今，概率論與數(shù)理統(tǒng)計的理論與方法已經(jīng)廣泛應用于自然科 學、社會科學以及人文科學等各個領域中，并隨著計算機的普及，概 率論與數(shù)理統(tǒng)計已成為處理信息、 制定決策的重要理論和方法。它們 不僅是許多新興學科，如信息論、控制論、排隊論、可靠性論以及人 工智能的數(shù)學理論基礎，而且與其他領域的新興學科的相互交叉而產(chǎn) 生了許多新的分支和邊緣學科，如生物統(tǒng)計、統(tǒng)計物理

4、、數(shù)理金融、 神經(jīng)網(wǎng)絡統(tǒng)計分析、統(tǒng)計計算等。概率論應用隨機變量與隨機變量的概率分布、數(shù)字特征及特征函 數(shù)為數(shù)學工具對隨機現(xiàn)象進行描述、分析與研究，其前提條件是假設 隨機變量的概率分布是已知的；而數(shù)理統(tǒng)計中作為研究對象的隨機變 量的概率分布是完全未知的，或者分布類型已知，但其中的某些參數(shù) 或某些數(shù)字特征是未知的。概率論研究問題的方法是從假設、命題、 已知的隨機現(xiàn)象的事實出發(fā)，按一定的邏輯推理得到結論，在方法上 是演繹式的。而統(tǒng)計學的方法是歸納式的，從所研究地對象的全體中 隨機抽取一部分進行試驗或觀測，以獲得試驗數(shù)據(jù)，依據(jù)試驗數(shù)據(jù)所 獲取的信息，對整體進行推斷，是歸納而得到結論的。因此掌握它特 有

5、的學習方法是很重要的。在學習的過程中，不論是老師提出的一些希望我們課后討論的問 題還是自己在做作業(yè)看書過程中遇到的一些問題都引發(fā)了我的一些思考，或許解答得并不全面甚至還可能是不正確的， 但確實是自己的 一點思考，提出來以后逐步地去解決完善吧。< 一 >隨機事件及其概率問題：(1)事件 A=6= P(A)=0,那么 P(A)=0= A=G 對嗎？解析：此種說法不對。概率論里說了不可能事件的發(fā)生概率是 0,但0概率事件可能發(fā)生.比如在宇宙中抽一個人，抽到你的概率。 這就是一個0概率事件可能發(fā)生的例子！隨機變量分連續(xù)和離散兩種，它們各自的分布描述是不同的。對 于離散隨機變量，如果它的事件

6、域是有限個事件，則可以認為概率為 0的事件一定不會發(fā)生，概率為1的事件必然發(fā)生。但若事件是無限 的，則還要具體分析。既然0概率事件都是有可能發(fā)生的，那么概率 趨近于零的事件果然有可能發(fā)生，只不過我們平時在處理問題的時 候，把概率趨近于零的事件算作0概率事件，只是算作，不是絕對的 是。對于連續(xù)性隨機變量，單個具體點的概率密度值為一有界常數(shù)， 這個值可以是任意的(包括0和1),但因為點是沒有長度的，所以 該點的概率密度積分為0(因為該點概率密度值有界)，即該點所對 應的事件發(fā)生的概率為0,但這個事件仍然是可能發(fā)生的，因為這個 事件在事件域內(nèi)。也就是說，概率為0的事件并不一定不會發(fā)生。同 理，某個點

7、的概率密度值為1,但該點的概率密度積分仍為 0,所以 概率為1的事件也不一定必然發(fā)生?？傊?，對于連續(xù)性隨機變量，討 論單個點的概率是沒有意義的(都為 0),我們討論的是，這個隨機 變量落在一個區(qū)間內(nèi)的概率。(2)事件A、B、C,它們兩兩獨立，是否 A、B、C 一定是相互獨立？解析：不一定。舉一個反例：某一個袋中有 4個球，一個白色,一個黑色，一個紅色，一個為這三色，現(xiàn)任取一個球觀察顏色。可知:設事件A,B,C,A=(有紅色)，B=(有白色)，C=(有黑色)。 -1P(A)=P(B)=P(C)=2 , _ 111_ .P(AB) =P(AC) = P(BC)=m =P(A)P(B) = P(A)

8、P(C) = P(B)P(C)3 A、42 21111B、C 兩兩獨立，又 P(ABC)=# 父父= P(A)P(B)P(C)= A、B、C 不42 2 2是相互獨立。所以幾個事件兩兩獨立不一定它們就是相互獨立。(對于此反例，有一個問題就是/-1-11P (AB) = P(AC) = P(BC) = , P(A)P(B) = P(A)P(C) = P(B)P(C)= 黑 , 42 2雖然在數(shù)值上相等，但會是一個數(shù)值上的巧合嗎？P(AB) =P(A)P(B)一定成立嗎？)(3)獨立與互不相容的關系：(獨立條件：P(AB) = P(A)P(B),互不相容條件：P(AB)=0)解析：若 0<P

9、(A)<1,0<P(B)<1 ,則 a： A、B 獨立，P(AB) =P(A)P(B) >0= A、B 相容。 b: A、B 不獨立，P(AB)=0=A、B 互不相容；P(AB)= P(A)P(B) >0= A、B 相容(4) A與B互相獨立，CUB, A、C是否一定互相獨立？解析：A、C不一定獨立。舉一反例：如圖：P(AB) =P(A)MP(B)#0, CUB 由圖jWr''>P(ACl£# P(A)P(C)所以a、c 不獨立。fo<二> 隨機變量及其分布問題:概率論中引入隨機變量，從而使研究對象由隨機事件擴大為隨機

10、變量，對于隨機變量的分布函數(shù)，我們能夠用微積分為工具進行研究， 強有力的數(shù)學分析工具大大地增強了我們研究隨機現(xiàn)象的手段一一,研究隨機空象手段_f 離散型隨機變量分布列">_T一般性隨機變量分布函數(shù)"強連續(xù)性隨機變量概率密度、><三 > 隨機變量數(shù)字特征與極限定理：我們都知道隨機變量的概率分布能夠完整地描述隨機變量的統(tǒng)計 規(guī)律，但在許多的實際問題中，求概率分布并不容易，另一方面，有 時不需要知道隨機變量的概率分布，而只需要知道他的某些數(shù)字特征 就夠了。數(shù)字特征雖然不像概率分布那樣完整地描述了隨機變量的統(tǒng) 計規(guī)律，但它能集中地反映隨機變量的某些統(tǒng)計特性，

11、而且許多重要分布中的參數(shù)都與數(shù)字特征有關，因而數(shù)字特征在概率論與數(shù)理統(tǒng)計 中占有重要地位。我們也學習了幾種常見的分布的數(shù)字特征，包括期望、方差、協(xié)方差、相關系數(shù)以及矩等。(1)不相關與獨立之間的關系：解析：不相關的等價命題：1。P=0 2。cov(x,y)=0 3。E(XY尸E(X)E(Y)4。 D(X+Y尸D(X)+D(Y)獨立nE(XY) =E(X)E(Y)(有數(shù)字特征)二 不相關 結論：(1) X與Y獨立，則X與Y 一定不相關(2) X與Y不相關，則X與Y不一定獨立證明：(1)由于X與Y獨立，所以f(xy尸f(x)f(y), (f為概率密度函數(shù))于是:E(XY)= / f f(xy)dx

12、dy= / f(x)*f(y)dxdy= /f(x)dx* / f(y)dy=E(X)E(Y) 所以：E(XY尸E(X)E(Y),即X, Y不相關。(2)反例：X=cost,Y=sint ,其中t是(0,2兀上的均勻分布隨機變量。易得X和Y不相關，因為：E(XY)=E(cost sint)= (1/2 兀)* / sint cost dt = 0E(X)= (1/2 兀)* /cost dt = ,0E(Y尸(1/2 兀)* /sint dt = 0所以E(XY尸E(X)E(Y)。但是他們是不獨立的。因為：X和Y各自的概率密度函數(shù)在(-1,1)上有值，但是XY的聯(lián)合概率密度只在單位圓內(nèi)有值，所

13、以f(XY)不等于f(x)*f(y),兩者不獨立。(2)切比雪夫不等式：pIx-eixI雉LD1*切比雪夫不等式給出了在隨機變量 X的分布未知的情況下，利用E(X)和D(X)對X的概率分布進行估計的方法，有很廣泛的應用。(3)注意一些應用中的獨立條件：1。概率密度f(x,y)= fx(x)fY (y)；2。卷積公式.fZ(z)=I：fX(x)fY(z-x)dx ； 3。N個獨立正態(tài)分布之和nnn仍然是正 態(tài)分布 X XiT N(工 Ni,£ 仃2) ； 4。E(XY) = E(X)E(Y),i 1i 1 i WD(X Y)=D(X) D(Y)四數(shù)理統(tǒng)計與參數(shù)估計：數(shù)理統(tǒng)計以概率論為理

14、論基礎，根據(jù)試驗或觀測到的數(shù)據(jù)，研究如何利用有效的方法對這些已知的數(shù)據(jù)進行整理、分析和推斷，從而對研究對象的性質(zhì)和統(tǒng)計規(guī)律作出合理科學的估計和判斷。然而在實際問題中，所研究的總體分布類型往往是已知的，但依賴于一個或幾 個的未知參數(shù)，如何從樣本估計總體的未知參數(shù)就成為數(shù)理統(tǒng)計的基 本問題之一。通過學習，簡單地了解了一些關于點估計和區(qū)間估計的 問題，能夠解決一些簡單的實際問題。（1）如何推導出的樣本方差:2121,22、S2 ;,V (x -X):Xi -nX ) n -1 yn -1_ 2推導過程：XN （%仃2）,X N （巴J）。（注意獨立條件）nnn/3, 2"f 由 S2

15、9;Xj'、'XjXij 土 j -i_ n -1 j ± j -iXi - X = Xi- Xi -n n -1 n n 7I =£Xi是d（x）的無偏估計從，中隨機抽取n個樣本， ，二1 是樣本均值,戶=工£田一燈一 1 T是樣本方差。那么為什么樣本方差是除以苴-1而不是n呢？對于一個隨機變量X,川產(chǎn)分別表示其數(shù)學期望和%2 8工方差，從中隨機抽取n個樣本Xi.X2X”，= 是樣本均值,記0（工）.斗乂 i為乂的方差和期望。D(X)=幻 Xi)=。(狗)_ 竺 11E(鏟)=£)(X) + E2(X)=hrE(戶)=項力£：

16、=(£-燈)=告E(£3(X燈)=告以£建國-2入4+彳2)頊 £"?) = nE(X?)=n(D(Xi) + E2(Xi)=n(7 + /i2)£(E-=i XT) = £(XE；'=1A；)=nE(X2)=n(D(X) + E2(X)口 2Cl=冗(等+ /)E)=4、圖一言("?)2=b概率論與數(shù)理統(tǒng)計與生活實際問題有著很密切的聯(lián)系。 它能將生活中的一些問題建立成一種數(shù)學模型，并且教給我們一些收集、分析、處理試驗數(shù)據(jù)能力，使我們能夠利用學過的成熟的數(shù)學工具和方法來研究隨機現(xiàn)象解決生活實際問題。以下就是

17、幾類我認為比較經(jīng)典的模 型和處理方法：（1） “抓閹”是否是真正的公平？解析：建立一個概率論模型：袋中有 a個黑球，b個白球。隨 機地（不放回）把球一個個地摸出來。求 A= "第k次摸出的是黑球” 的概率（kwa +b）.解題：把a個黑球與b個白球看作是不同的，且把a+b個球的 每一種排列看作是基本事件。于是基本事件總數(shù)（a + b）!。由于第k次摸得黑球有a種可能，而另外a+b-1次摸得球的排列有（a+b.1）! 種可能。所以 A中包含的基本事件數(shù)為 ax（a+b-1）!。因此有： P（A）=”（a+b-1）1 = 3。由結果得出它與k值無關，無論哪一次取 （a b） . a b得

18、黑球的概率都是一樣的，或者說是取得黑球概率與先后次序無關。這就從理論上說明了平常人們采取的“抓閹”的辦法是公平合理的。（2）把一個比較復雜的隨機變量 X拆成n個比較簡單的隨機變量Xi的 和，然后通過這些比較簡單的隨機變量的數(shù)學期望，根據(jù)數(shù)學期望的性質(zhì)求得X的數(shù)學期望。這是概率論中常采用的處理方法。建立一 個數(shù)學模型：r個人在樓的底層進入電梯，樓上有n層，每個乘客在任一層下 電梯的概率是相同的。如到某一層無乘客下電梯，電梯就不停下。求 直到乘客都下完時電梯停車的次數(shù) X的數(shù)學期望。解題：設Xi表示在第i層電梯停車的次數(shù)，則Xi = 0,第i層沒有人下電梯,1,第i層有人下電梯。nnX =£ Xi,且E(X) = £ E(X i)i 4i J由于每個人在任一層下電梯的概率均為二，n故個人同時不在第i層下電梯的概率為(1 1)，即：P(Xi=0)=(1 1)r