考研數(shù)學(xué)一公式手冊(cè)大全(最新整理全面)

1、會(huì)凹考研數(shù)學(xué)一心式手冊(cè)高等數(shù)學(xué)公式笫#頁會(huì)凹考研數(shù)學(xué)一心式手冊(cè)笫#頁會(huì)凹考研數(shù)學(xué)一心式手冊(cè)導(dǎo)數(shù)公式:(tgx)1 = sec2 x(ct gx)r = - esc2 x (secx)f = secx tgx (esc x)f = - esc x etgx (ax)* = axhi a(aicsiii x)r =1(aiccos x)，=f一 x2(ai etgx)'=11+x2(arcctgx)'= 一1基本積分表：jtgxdx= - hi |cos xj + C jctgxdx= hi|siii x|+ C sec xdx = lit |sec x+tgx + C esc x

2、dx = hi |csc x - etgx + Cf=sec2 xdx= tgx+CJ COS-X Jf 茫 =esc2 xdx= -ctgx+ C sin - x J fsecxtgxdx= secx+ Cf . =larctg-t-C J a" + x_ a aesex ctgxdx= -esex+C丄 h3+C2a a - x沁沽2I slixdx= clix+ Cdx x _= arcsui +Caclixdx= slix+Cf f “ =hi(x+ >/x2±a3) + CJ Vx2±a2笫#頁會(huì)凹考研數(shù)學(xué)一心式手冊(cè)笫#頁會(huì)凹考研數(shù)學(xué)一心式手冊(cè)j

3、shin xdx=J cosn xdx= ooJ >/x2 + a2 dx = y a/x2 + a2 + 寧 hi( x+7x2 + a2) + C ja/x2 - a2dx =中>/x2 - a2 x+J VP二Fg 號(hào)+ 孑毗sin 豐 + C三角函數(shù)的有理式積分：u = tg, g 単21 + ir兩個(gè)重要極限:liin (1 + 丄) = e = 2.718281828459045.K->8%一些初等函數(shù):雙 |11| 正弦:shx =2ex +亍雙 |111 余弦:chx =2雙|11|止切:tlix= ： Y :chx e +earshx = ln(x+ +1)

4、archx = ±bi(x+ Jx，-1) artlix=丄血匕仝21-x三角函數(shù)公式:和差角公式*誘導(dǎo)公式：數(shù)角卜、sincostgctg-a-sin acos atg a"ctg a90° -acos asin actg atg a90° +acos a"sin actg a-tg a180° -asin acos a-tg a"ctg a180° +a-sin a"cos atg actg a270° -a-cos a-sin cictg atg a270° +acos asin

5、 a"ctg a"tg a360° -a-sin acos a"tg a"ctg a360° +asin acos atg actg a和差化積公式：笫#頁會(huì)凹考研數(shù)學(xué)一心式手冊(cè)笫#頁會(huì)凹考研數(shù)學(xué)一心式手冊(cè)tg(a±0) =tga 士 tg/Jl+tgatg/5siii(a±P) = sin &COS0士 cosasin 0cos(a± 0) = cos a cos/? +sin asiii 0 ctgQ土“)=空竺空空ctg/7 ± ctgasin a + sin 0 = 2sin &

6、quot;十"cos2 2.a 、Q+0 a-psni a - sui p = 2 cossni2 2門a+ 6 a-6cosa+ cosp = 2 coscos2 2.a+ p . a_ 卩cos a - cos p = 2smsni2 2笫#頁全凹考研數(shù)學(xué)一*丸手冊(cè)笫3頁笫#頁倍角公式:siii 2a = 2 siii a cos acos2a = 2 cos2 tz-l = l- 2sni3a = cos2 a-an2 actg2<z-lctg2a =2ctga1-tg-asill 3<Z = 3 sill « - 4 sin3 acos3tz = 4 c

7、os3 tz 3 cos a3tgq-tg3al_3tgS半角公式: a 1-cosaa 1- cosa 1-cosa sni atg = ±J=2 Yl+cosa siii a 1+cosajibc正弦定理： = 2Rsin A sni B sni Cdga= lcosa2 1-cosa1+ cosa _ sin a sin a l-cosa余弦定理：c2 = a2 +b2 -2abcosC笫#頁笫#頁arctgx = y - arcctgxM點(diǎn)的曲率:InnAada=Asds反三角函數(shù)性質(zhì)：arcsiii x= - arccosx 2高階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茲(Leibniz)公式:(

8、uv)(n) = Xc>(R-k)v(k)k=0=u(n)v+ nu(n-1)V + -u(n-2)v + + n(n-l) (n-k+l)u(n-k)v(k)十十 uv(n) 2!k!中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用： 拉格朗H中值定理：f(b)- f(a)= f()(b-a) 柯西中值定理:空上型=學(xué)F(b) F(a) F®當(dāng)F(x) = x時(shí)，柯西中值定理就是拉格朗II中值定理。曲率: 弧微分公式：ds = J1+ ydx,其中y，= tga平均Illi率:K = |.A(z:從M點(diǎn)到M'點(diǎn)，切線斜率的傾角變化最；As： MM弧長(zhǎng)。1Y線：K-0;半徑為a的圓：K = 1a定積

9、分的近似計(jì)算: 矩形法j f(x)«匕上(y° + % + y_J: 11梯形法寸 f(x)« -(y0 + yn)+Yi + + yn_J； b_ a拋物線法寸 f (x)« -(y0 + yn) + 2(y2 + y4 + + ya_2) + 4(y1 + y3 + -+ y)定積分應(yīng)用相關(guān)公式：功：W = Fs水壓力：F = p-A引力：F=k巴羋,k為引力系數(shù)函數(shù)的平均值：y=f f(x)dxb- a廠(t)dt均方根:笫#頁笫#頁空間解析幾何和向量代數(shù)：空間2點(diǎn)的距離：d = |MM J = yj(x2 - x,)2 + (y2 - yj2 +

10、 (z2 - z,)2 向鼠在軸上的投：Pi juB = |AB|-cos % 0是忑 -j ii軸的夾角。a|-|b|cos= axbx + ayby + azbz,是一個(gè)數(shù)量,axbx + ayby+azbzPr ju (石 + a2) = Pr j + Pr ja2a b =兩向量之間的夾角:COS0= .-、a/ + ay- + a/Jb/ + b/ + b2i j kc = a xb =wxr.ax ay az,|c| = |a|-|b|siii.例：線速度:v = g向量的混合積:abc=(axb)c =ax ay bx by Cx Cya2bzCn=a xb|-|c|cosa,a

11、j銳角時(shí),笫#頁代農(nóng)平行八而體的體積。笫#頁全凹考研教學(xué)一心丸手冊(cè)平面的方程：1、點(diǎn)法式：A(x-Xg)+ B(y- y0) + C(z-Zq) = 0,其中ii = AB,C,M0(x0,y0>z0)2、一般方程：Ax+By + Cz+D = 03、截距世方程上+當(dāng)+彳=1a b c平面外任總一點(diǎn)到該平面的距離："宓嚴(yán)53Va2 + b2 + c2X = Xq + lilt 空間肖線的方程：*_觀=y y。= z% =t，其屮甬= m,n,p；參數(shù)方程:.y= y0 + nt Hl11pz=Zq+ pt 二次曲面：1、橢球面:工r+Xr + 4 = la- lr c_2、拋物

12、面：+ = z,(p,q同號(hào))2p 2q3、雙曲面:單葉雙曲面三“l(fā)r co雙葉雙曲fti'：-4+4=i<馬鞍面)lr c多元函數(shù)微分法及應(yīng)用全微分：dz= dx+ dydu = dx+ dy + dzdydx. dy dz全微分的近似計(jì)算：Az« dz= fx(x,y)Ax+ fy(x,y)Ay多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法：dz dz da dz dvII IIIdt da d( dv d(z= fu(x,y),v(x,y)dz dz dti dz dv dx du dx. dv dx.當(dāng)u = u(x,y), v = v(x.y)時(shí), Fxd2ydxFydx2dz_ Fx

13、dzdx.-9F26隱換數(shù)F(x,y) = O隱函數(shù)F (兀y,z) = O,y隱換數(shù)的求導(dǎo)公式:令-診+存診洛笫5頁會(huì)凹考研數(shù)學(xué)一*丸手冊(cè)隱函數(shù)方程組JF(XW*°G(x,y,u,v) = 05F OF",嘰F FUV0(u,v)空空G GUVdi dv笫#頁會(huì)凹考研數(shù)學(xué)一*丸手冊(cè)F一一 =al一&色矽GV)G-V)一一 =1 O(F、G)J 0(U,X)1 0(F,G)J 0(* y)微分法在幾何上的應(yīng)用：X=(p(t)空間曲線y=p(t)在點(diǎn)M(心y%處的切線方程:守二芳J守z訶t)心)心)必。)在點(diǎn)M處的法平面方程：0(to)(x- Xo)+ y/(t0)(

14、y-y0) + e'(to)(z- ) = 0 林砒線方程為惡驀二則切曲住霧:寫:;| 曲面F (x, y, z) = 0上一點(diǎn)M (忌, Zq),貝lJ ：1、過此點(diǎn)的法向量:n = Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),F2(x0,y0,z0)2、過此點(diǎn)的切平而方程：Fx(Xo，yo,Zo)(x-矯+ FyCxyZoXy- y0) + Fz(,y0,z)(z-) = 03、過此點(diǎn)的法線方程x_xp _ y_y° _ z_zpFyCXoo) Fgy%)方向?qū)?shù)與梯度：西數(shù)z= f(x,y)在一點(diǎn)p(x,y)沿任一方向啲方向?qū)?shù)= cos+ sin q>

15、cl dx.dy其中卩為X軸到方向1的轉(zhuǎn)角。函數(shù)z= f(x,y)在一點(diǎn)p(x,y)的梯度：gradf(x,y) = f+ Jax dy它與方向?qū)?shù)的關(guān)系z(mì)e：= glad f(x,y) e,其pe = cos f + sii f,為1方向上的單位向量?？帐莋radf (x,y)在1上的投影。多元函數(shù)的極值及其求法：笫7頁會(huì)凹考研數(shù)學(xué)一*龍手冊(cè)設(shè)匚(觀，為)=©(觀，)"，令：(0)= A=f則(觀,)=。AC-B2 >0時(shí)"A<O,(XQ,yo)7j 極大值A(chǔ)>O,(XQ,yo) 極小值A(chǔ)C-B*。時(shí)，無極值A(chǔ)C-BO時(shí)，不確定 重積分及其應(yīng)用

16、：l f (x,y)dxdy= | f (r cos&,rsin &)rdrd&DDdz6clxdy曲而z= f(x,y)的而積A= jjjl +(舟)JJw(x,y)d<7JJyp(& 刃 db平面薄片的重心：袁=也=士，y=-斗7M |J p(x,y)dcrM | |p(x,y)dcr*DD平而薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：對(duì)丁*軸 1= = |jy2p(x,y)clcr,對(duì)T*y$|llly = JJx2p(x,y)dcrDD” P(x,y)yd<7尸 _ 角” Q(x,y)xckr(x + y + jr)-(x- + y- + a-)-平面薄片(位丁*oy

17、平面)對(duì)軸上質(zhì)點(diǎn)M(0,0,a),(a >0)的引力：F =Fx,Fy,F2,其中:Fy=fFx =訓(xùn)處呻D(x2 + y2 + a2)2柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)：J| | f (x,y,z)dxdydz = J|j F (r,&,z)rdrd6dz.x= r cos&11： I(II 人於標(biāo)： y = r sin 0,z= z其中:F(r,&,z)= f(r cosgrsin Qz)(x= r siii 0cos0y = rsiii ©sin。 dv= rd rsiii 0dOdi = r2siii(/xkd(pdOz=cos©2 律 <jj

18、| f (x,y,z)dxdydz = JJjF(r,)r3shi qxhd(pdO= | dj d(p |sin 佟iiQQ000重心：x = jj| xpdv, y = JJJypdv,z = jjjzpdv,其中M = x= jfjpdvM aM aM Qq轉(zhuǎn)動(dòng)慣議 Ix = Jjj(y2 + Z2)pdv, Iy = JJJ(X2 + z，)pdv,I2 = jjj(X2 + y2)pdvnab曲線積分:第一類曲線積分(對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分)： 設(shè)g)在L上連續(xù),L的參數(shù)方程為弟說，g")加特殊情況匚亦f f (% y)ds = J f必),艸)J0 ? (t) + 薩(t) d

19、t (a<p) La第二類曲線積分(對(duì)坐標(biāo)的曲線積分)： 設(shè)詢參數(shù)方程為產(chǎn)處)，則：y= %(t)flJ P(x,y)dx+Q(x,y)dy= j P勿 t),p(t)0(t) + Q傾 t),0(t)”(t)cttLa兩類llll線積分Z間的關(guān)系寸P dx + Qdy = J (P cos o + Q cos 0) d&其中 諭0分別為L(zhǎng)LL上積分起止點(diǎn)處切向量的方向角。格林公式JJ (譬-譬)dxdy= fPdx+Qdy格林公式寸J (肆-譽(yù))dxdy= f Pdx+ Qdy D ok oylD ox dyl當(dāng)P = -y,Q = x, UP：- = 2lb|,得到D的面積：

20、A= JJdxdy= |xdy- ydx 內(nèi)D2 L平面上llll線積分與路徑無關(guān)的條件：1、G是一個(gè)單連通區(qū)域； 2、P(x,y), Q(x,y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且聖=邏。注意奇點(diǎn)，如(0,0),應(yīng)ox dy減去對(duì)此奇點(diǎn)的積分，注意方向相反！二元函數(shù)的全微分求積： 在聖=邏時(shí)，Pdx+Qdy才是i.元兩數(shù)u(x,y)的全微分，其中：dx dy(x»y) u(x,y)= jp(x,y)dx+Q(x,y)dy.通常設(shè)忌=% = 0。gy»)曲面積分:笫9頁全凹考研數(shù)學(xué)一心丸手冊(cè)對(duì)面積的Mllfri積分:f(x,y,z)ds= j| fx,y,z(xy)Jl+ z；(

21、x,y)+ z；(x,y)dxdy ED；對(duì)坐標(biāo)的 Ml而積分:| P(x,y,z)dydz + Q(x,y,z)dzdx + R(x,y,z)dxdy,其【11 ：Ej| R(x,y,z)dxdy= ± jR(x,y,z(x,y)dxdy,取曲面的上側(cè)時(shí)収正號(hào)；zdvJ| P(x, y, z)dydz = ± j Px(y, z), y, zdydz,取曲面的前側(cè)時(shí)取F 號(hào)：J| Q(x,y,z)dzdx = ± | Qx,y(乙x),zjdzdx,取(IIII(11 的右側(cè)時(shí)取IK 號(hào)。dy = 11 (P cosa+ Qcos/?+ Rcos/)ds網(wǎng)類曲而

22、枳分之間的關(guān)系：|I Pdydz+ Qdzclx+Rdxzz高斯公式：第#頁全凹考研教學(xué)一心丸手冊(cè)Jj(4-4-)dv= Pdydz4-Qdzdx+Rdxdy= (P cosck + Qcos 0 + Rcosy)ds 高斯公式的物理意義通量與散度：散度:div里+里+賈即：?jiǎn)挝惑w積內(nèi)所產(chǎn)酗流體質(zhì)量，若dWvO,則為消失. ox dy dz通量:jj A-nds = j| >ds = j(P cosa 4-Q cosp + Rcos/)ds,ZXX因此，高斯公式又可寫成：jjj div Adv二甘Al dsz斯托克斯公式一曲線積分與曲面積分的關(guān)系：(廻一譽(yù))dydz + (嚳一譬)dzd

23、x + (-)dxdy= f Pdx+Qdy+ Rdzdydzdzdxd勿Qdxdy© =ff 氐¥R空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件豎二里， dy dz上式左端乂可寫成寸J - E比cosaddx.pcos;o -azR0OS。一內(nèi) QdP dR. g _ OP dz dx. dx, dy旋度：rotA=向就場(chǎng)入沿有向閉曲線F的壞流M：|Pdx+Qdy + Rdz = f A tds rr常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)： 等比數(shù)列：1+ q+ q，+ + qn_1 = -_i-q等差數(shù)列 d + 2 + 3 + -+n=(n + 52調(diào)和級(jí)數(shù)：1+丄+1+丄是發(fā)散的23 n級(jí)數(shù)審斂法：1、1E項(xiàng)

24、級(jí)數(shù)的審斂法根植審斂法(柯西判別法):QV1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂設(shè)："Hm臥，則°1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散goo申” =1時(shí)，不確定2、比值審斂法：p<l時(shí)，級(jí)數(shù)收斂設(shè)：p = lim 仏則p>l時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散28 TTnP=1時(shí)，不確定3、定義法：sn = u1+u2 + - - + un;lim sn#在,則收斂；否則發(fā)散。28交錯(cuò)級(jí)數(shù)Ui -u2 + u3 -u4 +(或-11 +u2-u3+ -,un >0)的審斂法萊布尼茲定理:!un > un44All暑)，那么級(jí)數(shù)收斂且其和其余項(xiàng)G的絕對(duì)值 28 n絕對(duì)收斂與條件收斂：(1) U! +U2+ +Un+- ,

25、其中為任意實(shí)數(shù)；(2) 卜1|+|甸+|113|+比|+如果(2)收斂，則肯定收斂，且稱為絕對(duì)收斂級(jí)數(shù): 如果(2)發(fā)散，而(1)收斂，則稱(1)為條件收斂級(jí)數(shù)。調(diào)和級(jí)數(shù):工扌發(fā)散，而工呼收斂級(jí)數(shù)送古收斂:P51時(shí)發(fā)散P>1時(shí)收斂扇級(jí)數(shù):第11頁會(huì)凹考研數(shù)學(xué)一心此手冊(cè)第#頁會(huì)凹考研數(shù)學(xué)一心此手冊(cè),3/|X|<1 時(shí)，收斂 T 1+x+x + x + X + (1- X|x|>llbf,發(fā)散對(duì)于級(jí)數(shù)(3)a0 + 3+ a2x2 + -4- anxn + 如果它不是僅在原點(diǎn)收斂，也不是在全 /|x| < R時(shí)收斂數(shù)軸上都收斂，則必存在R,使(岡>RW發(fā)散，其中R稱為

26、收斂半徑。|x|= RH寸不定求收斂半徑的方法：設(shè)limT8R=PR= +sIM=其中也是的系數(shù)，則(卩=0時(shí)，I g I Q=+S時(shí)，R=0函數(shù)展開成農(nóng)級(jí)數(shù)函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)：f(x)= f (矯(X- XJ+丄孚(x-冷)2 + f 7忌)(X-忌廣+2!n!余項(xiàng)：巴=-(x-觀嚴(yán)，f (x)可以展開成泰勒級(jí)數(shù)的充耍條件是：lim % = 0(n + 1)!n->8心=0時(shí)即為麥克勞林公式：f(x)= f(0)+ f，(0)x+丄*x? + +竺型xS2!11!一些函數(shù)展開成幕級(jí)數(shù):(l+x)Jl+mx+m(m7j2 .m(m-l) - (iii-n + 1)X + X + 2! 1

27、1!(-1<X<1)sinx-x- + M3!5! + (-1)X*】1+ (一00 < x< +00)(211-1)!歐拉公式:IX _e = cosx+isni xexx + 嚴(yán)cosx=2. e" _sni x=2三角級(jí)數(shù):8a8f(t)= 4 +工+ 專+工(3皿+4血皿)n=l2 n=l其中，a0 = aA)» an = AtSiii(pnt bn= Acoscp cd = xo正交性：1,sin x,cosx,siii 2x,cos2x sin iix,cosiix任恿倆個(gè)不同項(xiàng)的乘積在-;r, 上的積分=0。傅立葉級(jí)數(shù)：第13頁會(huì)凹考研

28、數(shù)學(xué)一心丸手冊(cè)cosiix+bn dii iix),周期=2龍其屮cosiixdxsin nxdx(n = 0X2-)(n = l,23 )l+r+r+= /】+=+=+ = +y 5-82- 3- 4-i i iA, i i i2- 4- 6-24 / 2- 3- 4-吟（和加）令相減）正弦級(jí)數(shù)：an = 0,2bn = | f (x) siii nxdxn o余弦級(jí)數(shù)：bn = 0, an = f(x)cosiixdxn = l,23 - f (x) =bn sni nx足奇函數(shù)11 = 0,2 f(x) = + ancosiiXxL：偶函數(shù)2o8f(x)= _£ + £

29、;(an2 n=l周期為21的周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù):第#頁會(huì)凹考研數(shù)學(xué)一心丸手冊(cè)00f(x) = 4-2 (an COS巴bn sill 巴勺，周期=212 ni11dx廠dx微分方程的相關(guān)概念：(11 = 0X2-)(n = U,3 )第15頁會(huì)凹考研數(shù)學(xué)一心丸手冊(cè)第#頁會(huì)凹考研數(shù)學(xué)一心丸手冊(cè)一階微分方程：y = f(x,y)或 P(x,y)dx+Q(x,y)dy = O可分離變貰的微分方程：一階微分方程可以化為g(y)dy= f(x)dx的形式，解法: jg(y)<|y=f f(x)dx 得：G(y) = F(x) + C稱為隱式通解。齊次方程：一階微分方程可以寫成曳二f(x,y)

30、=勿x,y),即寫成丫的函數(shù)，解法:dxx設(shè)U =£則 = u+x, u + =(u),/.-=分離變量，積分后將工代替II, x dxdx dxx (p(u) - ux即得齊次方程通解。一階線性微分方程:1、一階線性微分方程:曳+P(x)y=Q(x)dx/當(dāng)Q(x) = 0時(shí),為齊次方程，y=CeP(x)dx當(dāng)Q(x)h0時(shí)，為非齊次方程，yhdQmJPZX+c)")"厶 幾努力方程:曳+P(x)y=Q(x)yn,(nH0)dx全微分方程：如果P(x,y)dx+Q(x,y)dy = O中左端是某函數(shù)的全微分方程，即： dii(x,y) = P(x,y)dx+Q(

31、x,y)dy = O,其中:P(x,y),$ = Q(x,y) dxdy/.u(x,y) = C應(yīng)該是該全微分方程的通解。二階微分方程：器+P(朋+ Q(如血),f(x)三0時(shí)為齊次 f(X)H0時(shí)為非齊次二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法：(*)y"+py'+qy=O,其中p,q為常數(shù);求解步驟：1、寫出特征方程：(A)r2+pr + q = 0,其中廠，r的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)恰好是(*)式中y",y；y的系數(shù):2、求出()式的兩個(gè)根幾,®3、根據(jù)1小的不同情況，按卜表寫出(*)式的通解:rr 5的形式(*)式的通解兩個(gè)不相等實(shí)根(p? - 4q>0)y

32、 = c1enx + c2enx兩個(gè)相等實(shí)根(p2-4q = 0)y= (q + c2x)enx一對(duì)共純復(fù)根(p2-4q<0)兒=a + i/A r2 = a。一 p, "J4qp?2 2y= 產(chǎn)心 cos/k+c2 siii /k)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 y"+py'+qy= f(x), p,q為常數(shù)f(x) = ePm(x)型，2為常數(shù)；f (x) = e bcP1(x)cosaK+ Pn(x)siii ok型概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.隨機(jī)事件及其概率AnQ= AAn0 = 0An (Au B) = AAu Q = Q吸收律：Ao0= AAu (AB) =

33、 AA- B = AB = A-(AB)反演律：A<jB = ABAB= AuB第#頁會(huì)凹考研數(shù)學(xué)一心丸手冊(cè)第#頁會(huì)凹考研數(shù)學(xué)一心丸手冊(cè)Aa = Uai=li=lUA = hAi=li=l2 概率的定義及Jt計(jì)算p(入) = l-p(舛若 AcB =>P(B-A) = P(B)-P(A)對(duì)任恿兩個(gè)事件人B,有P(B-A) = P(B)-P(AB) 加法公式：對(duì)任意兩個(gè)IT件人B,冇P(Au B) = P(舛 + P(B) - P(AB)P(Au B)<P(7+P(B)p(Qa)= Sp(A)-工p(AA)+ f P(AAA)+(-1嚴(yán)卩(444)i=li=ll£i&

34、lt; j£nl<i< j<kSn3. 條件概率P(B I A)=巴迥1 P(刃乘法公式P(AB) = P(7P(B | A)(P(丹 >0)p(AA A)= p(A)p(A |A)P(Aj AA AJ金概率公式(p(AA> - Ax-i)><>)* AJP(舛 £p(ABJ = Jp(B1)-P(A|B1)1=1 1=1Bayes公式P®| 恥沁二 f®)P(曬)P(宀 f P(BJP(A|EJi«l4. 隨機(jī)變量及其分布分布函數(shù)計(jì)算P(a <X<b) = P(X<b)-P(X

35、<a)= F(b)-F(a)5. 離散型隨機(jī)變量仃)01分布P(X = k)= pk(l-p)1_k, k = 0J(2)二項(xiàng)分布 B(n, p)若 F ( A) = pP(X = k) = CpJta-p)n-k, k = 0JL,* Possion 定理liiii np = A >0xwoo有鋰C：p：Q-P"宀e-唁k = 0J,2,第17頁會(huì)凹考研數(shù)學(xué)一心丸手冊(cè)(3) Poisson 分布 P(2)P(X = k) = e'4, k = OJLZ k!6. 連續(xù)型隨機(jī)變最(1) 均勻分布U(a,b),a < x<b f (x) = J b- a

36、0, 其他0,第#頁會(huì)凹考研數(shù)學(xué)一心丸手冊(cè)第#頁會(huì)凹考研數(shù)學(xué)一心丸手冊(cè)F(x)才x- ab- a指數(shù)分布E(2)x>0其他x<0x>0第#頁會(huì)凹考研數(shù)學(xué)一心丸手冊(cè)(3)正態(tài)分布N 4 a2 )f(x) =-co < X<+CO1 /*x F(x)=話L.(-xO3e第#頁會(huì)凹考研數(shù)學(xué)一心丸手冊(cè)第#頁會(huì)凹考研數(shù)學(xué)一心丸手冊(cè)* N (0, 1)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布<Ax) =-CO vx v+s第#頁會(huì)凹考研數(shù)學(xué)一心丸手冊(cè)第#頁會(huì)凹考研數(shù)學(xué)一心丸手冊(cè)>(x) = I e 2dt -svxv+s7. 多維隨機(jī)變駅及It分布 二維隨機(jī)變駅(X fY的分布兩數(shù)F (x,

37、 y) = L匸,f (u，v)dvdu邊緣分布函數(shù)與邊緣密度函數(shù)Fx(X)二匸亡 f(u，v)dvdu fx(x) = jf(x,v)dvFy(y) = l匚 f (u,v)diidv 切(y) = f f(u，y)血8. 連續(xù)熨二維隨機(jī)變帚(1)區(qū)域G上的均勻分布，1/(0(2)二維止態(tài)分布2(1-)=x e2f(&y) =1,-CO < X< +S, co < y < +C0(r)_T1P礎(chǔ)(y-山)9二維隨機(jī)變量的條件分布第19頁會(huì)凹考研數(shù)學(xué)一心丸手冊(cè)第#頁會(huì)凹考研數(shù)學(xué)一心丸手冊(cè)f(x.y)=如(x)環(huán)(y|x)fx(x)>0=fY(y)fx|Y(

38、x|y) 心(y)>o塊(x)=匸f (耳y)0y=E&卩何刃©(y)®環(huán)(y|x)心(x)f(x,y)& (y)©(刃=«Cf (兀刃血=IZ &(y|x)fx(x)dx第#頁會(huì)凹考研數(shù)學(xué)一心丸手冊(cè)第#頁會(huì)凹考研數(shù)學(xué)一心丸手冊(cè)f (x, y)fx(x)知Yy)G(y)W第#頁會(huì)凹考研數(shù)學(xué)一心丸手冊(cè)10隨機(jī)變昴的數(shù)字特征 數(shù)學(xué)期望E(X) = f X.P,k=lE(X)=匚xf(x)dx隨機(jī)變屆函數(shù)的數(shù)學(xué)期塑X的A階原點(diǎn)矩E(Xk)X的A階絕對(duì)原點(diǎn)矩E(|X|k)X的斤階中心矩E(X-E(X)k)X 的 方差E(X-E(X)

39、3) = D(X)x,yy 階混介原點(diǎn)矩ecxV)X ,Y的K階混合中心矩E(X_E(X)k(Y_E(Y)i)X , Y的 二階混合原點(diǎn)矩E(XY)X , Y的二階混合中心矩 X , Y的協(xié)方差E(X-E(X)XY-E(Y)X fY的相關(guān)系數(shù)I網(wǎng)麗J FX的方差D X ) = E (T -F(D)2)D(X) = E(X2)-E2(X)協(xié)方差cog X,Y) = E(X- E(X)(Y-E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=±丄(D(X±Y)-D(X)-D(Y)2J(X-E(X)(Y-E(Y)L c相關(guān)系數(shù)p= cov(XY)簡(jiǎn)單整理了一下，中心極限定理及數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分第概

40、念少公式故未詳細(xì)列出線性代數(shù)行列式行列式共有/,個(gè)元素,展開后有狽項(xiàng),可分解為2行列式;代數(shù)余子式的性質(zhì)：、血和q的人小無關(guān)；第21頁會(huì)凹考研數(shù)學(xué)一心丸手冊(cè) 、某行（列）的元素乘以苴它行（列）元素的代數(shù)余子式為0： 、某行（列）的元索乘以該行（列）尤索的代數(shù)余子式為|州； 代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系:=（-1）4.設(shè)行列式D：將D上、卜翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得行列式為2,則2 = （-1）廠D：將D順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 ,所得行列式為0，則2 = （-1）將D主對(duì)角線翻轉(zhuǎn)后（轉(zhuǎn)置），所得行列式為則D3 = D；將D主副角線翻轉(zhuǎn)后，所得行列式為0，則0 =。： 行列式的重要公式: 、主對(duì)角行列式：主

41、對(duì)角元索的乘積： 、副對(duì)角行列式：副對(duì)角元素的乘積x（-l）= 、上、卜三角行列式（| = |k|）:主對(duì)角元素的乘積：M*-l） 、VI和XI：制對(duì)角元索的乘枳x（-l）; 、拉普拉斯展開式:£桿»|測(cè)、&知:卜（-】rwi 、范徳蒙行列式：人指標(biāo)減小指標(biāo)的連乘積； 、特征值：對(duì)于階行列式川，恒右：|征-州-才+£（-1）*二才7,實(shí)屮乂為*階主子式;證明#1 = 0的方法：®> |A| = -|A|； 、反證法： 、構(gòu)造齊次方程組Ax = 0,證明其有非零解： 、利用秩，證明廠<： 、證明0是其特征值；矩陣A是階町逆矩陣：0|州工

42、0 （是非奇異矩陣）：<=>心）=“（是滿秩矩陣）oA的行（列）向杲組線性無關(guān)；o齊次方程組4" 0冇卄零解：<=> V/> e R", Ax = b 總仃唯一解：o A與E等價(jià)：u> A町表示成若個(gè)初等矩陣的乘枳；o A的特征值全不為0：u> AtA是正泄矩陣；u>4的行(列)向最組是丁的一組基:o人是川中某兩組基的過渡矩陣； 對(duì)丁階矩陣A ： AA*=A：A = AE無條件恒成立：(A“)=(A*)-1=("尸(人丁 = (A。(AB)t = BrAr(AB)° = BA，(AB)'1 =矩陣是

43、表格,推導(dǎo)符號(hào)為波浪號(hào)或箭頭$行列式是數(shù)值,可求代數(shù)和;關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論,其中均A、B可逆:% 、 若心 仏.,則：I. |A|=|A|N.|Ah 1【、宀 V .:、Q ' G ：) 臨冷(主對(duì)角分塊) 、(b J = ©計(jì)(副對(duì)角分塊、G 丁當(dāng)1(拉普拉斯)第25頁會(huì)凹考研數(shù)學(xué)一心丸手冊(cè)第#頁會(huì)凹考研數(shù)學(xué)一心丸手冊(cè)(拉普拉斯)矩陣的初等變換與線性方程組個(gè)mxn矩陣A,總町經(jīng)過初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，其標(biāo)準(zhǔn)形是唯-確迢的:第#頁全凹考研教學(xué)一心丸手冊(cè)等價(jià)類：所仃與A等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集介，稱為一個(gè)等價(jià)類：標(biāo)準(zhǔn)形為苴形狀最簡(jiǎn)單的矩陣;對(duì) 丁同型矩陣 A、B 若 r(4)

44、= f(B) o A 行最簡(jiǎn)形矩陣: 、只能通過初等行變換獲得； 、每行首個(gè)非0元索必須為1; 、每行首個(gè)非0元素所在列的其他元素必須為0：初等行變換的應(yīng)用：(初等列變換類似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換)若(A.E) L(E.X),則 A 可逆，EX = A-1： 、對(duì)矩陣(A,B)做初等行變化，當(dāng)A變?yōu)镋時(shí)，B就變成A即：: 、求解線形方程組：對(duì)丁“個(gè)未知數(shù)個(gè)方程Ax = b,如果(A,b)：(E,x),則A可逆，且x = A1bi 初等矩陣和對(duì)角矩陣的概念： 、初等矩陣是行變換還是列變換,由其位置決定:左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣:久、 、A=弘.，左乘矩陣A,召乘4的各行元素：右乘，人

45、乘A的各列元素；(1 =11Z 1 、對(duì)調(diào)兩行或兩列，符巧E(", ILEQJ尸二例如：1伙工0)；P 、倍乘某行或某列，符號(hào)噸)，且碗)“町)，例如p kYl fl、倍加某行或某列，符號(hào)E(ij(k), H 尸=E(ij(-k)，如：1=1丿1丿矩陣秩的基本性質(zhì)： .0<r(AWXM) <min(/n.w): 、r(Ar) = r(A)： 、若則/*(A) =(B)； 、若P、0町逆，則廠= r(PA) = r(Ag) = r(Mg)；(可逆矩陣不影響矩陣的秩) .max(/(/!)/()< r(AtB) < r(A) +r(B)；(探) 、r(A + B)

46、<r(A)+r(B)；俠) 、r(AB) < min(r(A)9r(ff):(探)I、B的列向最全部是齊次II、r(4)+r(B) </i 、如果Amxn矩陣，B是"矩陣,且AB = O,則：(丿方程組AX = O解(轉(zhuǎn)置運(yùn)算后的結(jié)論)： 、若A、B均為階方陣.則(AB)"S)+r(B)-w； 三種特殊矩陣的方幕： 、秩為1的矩陣：一泄可以分解為列矩陣(向量)X行矩陣(向量)的形式，再采用結(jié)合律;1 a c、 、型如0 1 b的矩陣：利用二項(xiàng)展開式;、0 0 1,二項(xiàng)展開式(a+by =C” +C"' b +丄+C：“f 滬 + +C：a

47、b" +C：b、=裁：十葉； m-0注：I . (a+by展開后仃II+ 1 項(xiàng):II、C：n!m!(n-m)!C° = C： = 1Ilk組合的性質(zhì)：帶=甞* 嚴(yán) C：+,w;：r-0第29頁全凹考研教學(xué)一心丸手冊(cè)第#頁全凹考研教學(xué)一心丸手冊(cè)、利用特征值和相似對(duì)角化:伴隨炬陣:、伴隨矩陣的秩：r(A-)= 10r(A) = ii r(4) = /i-l : r(A) </i-l第#頁全凹考研教學(xué)一心丸手冊(cè)第#頁全凹考研教學(xué)一心丸手冊(cè)、伴隨矩陣的特征值:弓(AX = XX,A' = |州川=>A X =少):、a =m=|町 i關(guān)丁A矩陣秩的描述： 、

48、A屮仃階子式不為0, + 1階子式全部為0 (兩句話) 、r(A) <n > A屮有階子式全部為0；-r(A) >/i , A屮仃階子式不為0： 線性方程組:Axb，其中A為mxn矩陣,則:第#頁會(huì)凹考研數(shù)學(xué)一心丸手冊(cè)會(huì)囲考研教學(xué)一心丸手哥 、/”與方程的個(gè)數(shù)相同，即方程組A 歸有m個(gè)方程: 、"與方程組得未知數(shù)個(gè)數(shù)相同，方程組Ax"h元方程： 線性方程ftlAr = Zr的求解： 、對(duì)增廣Hi陣B進(jìn)行初等行變換（只能使用初等行變換）： 、齊次解為對(duì)應(yīng)齊次方程組的解； 、特解：自由變帚賦初值后求得： 由個(gè)未知I數(shù)加個(gè)方程的方程組構(gòu)成元線性方程:“E+“品+

49、% 斗詁（向彊方程.A為m x a矩陣,加個(gè)方程,個(gè)未知數(shù)）笛'=0 （全部按列分塊，比中0二bi&丿（線性農(nóng)出）、"1比+"聲2 + += P、有解的允耍條件：r（A） = r（A.）<w （為未知數(shù)的個(gè)數(shù)或維數(shù)） 向量組的線性相關(guān)性m個(gè)“維列向武所組成的向?qū)媒MA :構(gòu)成a xin矩W A = （qq,:卑、加個(gè)維行向量所組成的向最組B：陽處農(nóng)構(gòu)成加X”矩陣=耳；3丿倉冇冇限個(gè)向駅的冇序向錄組與矩陣一一対應(yīng)： 、向杲組的線性相關(guān)、無關(guān) u>Ax = O有、無非零解：（齊次線性方程組） 、向最的線性表出o心=0是否有解；（線性方程組） 、向錄組的

50、相互線性表示<>AX = B是否冇解：（矩陣方程） 矩陣人與B葉行向錄組等價(jià)的充分必耍條件是：齊次方程組4“0和處=0同解：（oi例 r(ArA) = r(A)； (PlQ1 例 15)維向最線性相關(guān)的幾何意義: 、a線性相關(guān)<=> a= 0 : 、a,0線性相關(guān)oa,0坐標(biāo)成比例或共線（平行）； 、a，Ar線性相關(guān)oa,0?共而；線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理：若、q線性相關(guān)，則%,乞心+i必線性相關(guān)；若%吟心線性無關(guān),則a必線性無關(guān)；（向最的個(gè)數(shù)加加減減,二者為對(duì)偶）若/維向鼠組a的每個(gè)向吊上添上 -/個(gè)分鼠，構(gòu)成維向錄組：若A線性無關(guān)，則也線性無關(guān)；反Z若B線性相關(guān)，則

51、A也線性相關(guān)：（向?qū)媒M的維數(shù)加加減減） 簡(jiǎn)言Z：無關(guān)紐延長(zhǎng)后仍無關(guān).反之.不確定：向炭組A （個(gè)數(shù)為/）能由向斎組B （個(gè)數(shù)為$）線性表示，冃.A線性無關(guān)，貝打“（二版心定理7）；向量組A能由向量組線性表示,貝'J r（A） < r（B）:（飩定理3）向彊組A能由向最組線性衣示<>AX = B 有解：<=>r（A） = r（A,B）（甩定理 2）向彊組人能由向帚組B等價(jià)or（A） = r（B） = r（A,B）（烙定理2推論）方陣A可逆o存在有限個(gè)初等矩陣片，心比，使A =片馬.比； 、矩陣行等價(jià)：ABPA = B （左乘，P可逆）<Ax = 0與x

52、 = 0冋解 、矩陣列等價(jià)：A-BAQ = B （右乘，0可逆）； 、矩陣等價(jià)：ABo/M0 = B （“、0可逆）：對(duì)于矩陣比X”與B 、若A與行等價(jià)，則A與B的行秩相等； 、若A與行等價(jià)，則Ax = OBx = 0同解，且A與的任何對(duì)應(yīng)的列向錄組具仃相同的線性相關(guān)性： 、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩： 、矩陣A的行秩等J：列秩；若心U則： 、C*的列向磺組能由A的列向彊組線性表示，B為系數(shù)矩陣； 、C的行向彊組能宙B的行向吊：組線性表示，A'為系數(shù)矩陣；（轉(zhuǎn)置）齊次方程組& = 0的解一泄是ABx = O的解，考試中可以直接作為定理使用，而無需證明； 、ABx = Q只冇零解=>ByO只冇零解： 、Bx = Q何非零解=> ABx = O 一定存在非零解；設(shè)向最組可由向最組4線性表示為：(3。題19結(jié)論)(bltb2,-tbr) = (ql,a2,