考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo),第三講中值定理的證明

1、第四講中值定理的證明技巧一、考試要求1、理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(最大值、最小值定理，有界性定理，介值定 理)，并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。2、理解并會(huì)用羅爾定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理，了解并會(huì)用柯西中值 定理。掌握這四個(gè)定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用(經(jīng)濟(jì))。3、 了解定積分中值定理。二、內(nèi)容提要1、介值定理(根的存在性定理)(1) 介值定理在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值.(2) 零點(diǎn)定理設(shè)f(x)在a、b連續(xù)，且f(a)f(b) v 0,則至少存在一點(diǎn) Q (a、b), 使得f(c)=02、羅爾定理若函數(shù)f(x)滿足：(1) f(x)在la,b 1上連續(xù)(2) f(x)在(a,

2、b)內(nèi)可導(dǎo)(3) f(a)"(b)則一定存在'(a，b)使得f'(J=o3、拉格朗日中值定理若函數(shù)f(x)滿足：(1) f(x)在a,b上連續(xù)(2) f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)則一定存在 (a，b)，使得 f(b)-f(a) = f'( )(b-a)4、柯西中值定理若函數(shù)f(x), g(x)滿足：(1) 在a,b I上連續(xù)(2) 在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(3) g'(x)=of(b) f(a) _ f'G)則至少有一點(diǎn)(a,b)使得g(b)-g(a) g'()5、泰勒公式如果函數(shù)f (x)在含有 怡的某個(gè)開區(qū)間 (a,b) 內(nèi)具有直到n 1階

3、導(dǎo)數(shù) 則當(dāng)X在(a,b)內(nèi)時(shí).f(x)可以表示為x-x。的一個(gè)n次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng) Rn(x)之和，即f(x)=畑 f(砒十)詩(shī) f 匈(一)2 n nn R(x)其中Rn(x) =f(n 1)()(n 1)!(x-xo)n1介于X。與x之間)，在需要用到泰勒公式時(shí)，必須要搞清楚三點(diǎn)：1 展開的基點(diǎn)；2展開的階數(shù)；3 余項(xiàng)的形式.其中余項(xiàng)的形式，一般在求極限時(shí)用的是帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公 式，在證明不等式時(shí)用的是帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式.而基點(diǎn)和階數(shù)，要根據(jù)具體的問題來確定.6利用中值定理解題的技巧(1) 輔助函數(shù)的構(gòu)造微分中值定理通常用來 證明一些等式、不等式及方程根的存在性 。在證明 方程根

4、的存在性和不等式時(shí)，經(jīng)常要構(gòu)造出一個(gè)輔助函數(shù)，輔助函數(shù)的構(gòu)造方法 通常有三種：找原函數(shù)法；指數(shù)因子法；常數(shù) k值法。 、方程根的存在性方程根的存在性，常用介值定理和羅爾定理來證明。這里著重講解羅爾定理。 下面通過例題來給出三種構(gòu)造輔助函數(shù)的方法。 、存在多個(gè)中間值的證明有一類問題，要證明存在兩個(gè)或兩個(gè)以上的中間值， 滿足一定的等式，由于 用一次中值定理只能找到一個(gè)中間值，故這類問題通常至少要用兩次中值定理才 能解決。(2) 非構(gòu)造性的證明有一類證明題，在證明過程中，不需要構(gòu)造輔助函數(shù)，只需對(duì)原題中的函數(shù) 進(jìn)行討論，稱這類問題為“非構(gòu)造性的證明”。7、利用泰勒公式解題的技巧泰勒公式常用干處理與高

5、階導(dǎo)數(shù)相關(guān)的函數(shù)的性態(tài)研究，在解題方面，通常 用于證明與中間值相聯(lián)系的不等式以及求函數(shù)極限。(1)帶拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式本公式常用于證明與中間值相聯(lián)的不等式， 其關(guān)鍵是注意泰勒公式中展開點(diǎn) xo的選擇，通常選已知區(qū)間的端點(diǎn)、中間點(diǎn)或函數(shù)的極值點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)。這類題的特點(diǎn)是已知函數(shù)可導(dǎo)的階數(shù)比較高 (二階以上)，同時(shí)還有若干個(gè)已知 的函數(shù)值或?qū)?shù)值。(2)帶皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式帶皮亞諾型的泰勒公式較常用于函數(shù)極限的計(jì)算，尤其是對(duì)常規(guī)方法不好求 時(shí)的極限，泰勒公式能有意想不到的作用。解題的關(guān)鍵是展開式中項(xiàng)數(shù)的確定， 即展開到第幾項(xiàng)合適。8、積分中值定理若f(x)在a、b上連續(xù)，則至少存在一

6、點(diǎn)c a、b，使得ba f(x)dx=f(c)(b-a)三、典型題型與例題題型一、與連續(xù)函數(shù)相關(guān)的問題(證明存在使f ( ) = 0或方程f(x)=0有根)例 1、設(shè) f (x)在a,b上連續(xù)，a ： xi ： x2 ：xn ： b, g 0(i =1,2廠，n)，證明存在 a,b，使得趴Cif(Xi) +C2f(X2)十+Cnf(Xn)f(廠Ci +C2 十+Cn例2、設(shè)b a 0, f (x)在a,b上連續(xù)、單調(diào)遞增，且f (x)0，證明存在 (a,b)使得a2f (b)+b2 f (a) = 2二2 f (二)例3、設(shè)f (x)在a,b上連續(xù)且f (x) 0，證明存在：(a,b)使得 f

7、(x)dx 二 f(x)dx=f (x)dx。a2 a1例 4-1、設(shè) f(x)在0，1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，f(1) = 2 o2xf (x)dx證明：(0,1),使 f ( ) f ( ) = 0例4、設(shè)f(x), g(x)在a,b上連續(xù)，證明存在：(a,b)使得g( ) a f (x)dx 二f( ) g(x)dxx例5、設(shè)f(x)在0,1上連續(xù)，且f(x)<1.證明：2x - °f(t)dt =1在(0,1)內(nèi)有且僅 有一個(gè)實(shí)根。例5-1、設(shè)f(x)在0，1非負(fù)連續(xù)，證明(1) 存在x° (0,1)，使得在0, xo上以f(xo)為高的矩形面積，等于xo

8、,1上以y=f(x)為曲邊的曲邊梯形面積；(2) 又設(shè)f(x)在(0,1河導(dǎo)，且f (x) -2®，證明(1)中的xo是惟一的。x例6設(shè)實(shí)數(shù)a1,a2,，an滿足關(guān)系式aj -聖(-1)心 幻 0，證明方程32n -1a1 c o x a2 c o 3xan c o S2(i -1)x = 0，在(0,)內(nèi)至少有一實(shí)根。2例 7、( 0234, 6 分)設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在a,b上連續(xù)，且g(x)>0,利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，證 明存在一點(diǎn).a,b使得bba f(x)g(x)dx = f ( ) a g(x)dx3 -x2例8、驗(yàn)證函數(shù)f(x)二 211題型二、 驗(yàn)證

9、滿足某中值定理x -1，在0，2上滿足拉格朗日中值定理，并求 滿足定理的題型三、證明存在',使f(n)( )=0(n=1,2,)例9、設(shè)f(x)在a,b上可導(dǎo)且f (a)f_(b) ： 0，證明至少存在一個(gè) ga,b)使得f徉)=0例 10、設(shè) f(x)在0,3上連續(xù)，在(0,3)內(nèi)可導(dǎo)，且 f(0) f(1) f(2) = 3, f(3) = 1， 證明存在一個(gè)：(0,3)使得f()=0例11、設(shè)f (x)在0,2上連續(xù)，在(0, 2)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且恤丄兇 =0,2 1 f(x)dx= f(2)，證明存在 (0,2)使得f ( ) = 0 x_2 cos x題型四、證明存在'

10、;,使G( ,f ( ), f ( )0(1) 用羅爾定理1) 原函數(shù)法：f ()g()例12、設(shè)f (x), g(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且g (x) =0(x (a,b)，求證 存在：(a,b)使得 f (a) 一 f()g(©-g(b)例 13-1、設(shè) f(x)、g(x)在a,b上連續(xù)，證明：(1)對(duì)于任意的入，(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)=f(b)=0，(a,b)使f ( ) f()二 0；(a,b)使f ( T f( ) g ( 0例13、( 0134)設(shè)f(x)在0,1上連續(xù)，(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f (1) = k ok xe1 以 f (x)dx, k 1

11、證明：在(0,1 )內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使f ()二(1 -、)f)m + b例 14、 設(shè) f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且 f(a)f(b)>O,f(a) f ( 廠:0, g(x)在a,b上連續(xù)，試證對(duì)三(a,b),使得f ( g( )f().1 1* 例 15、設(shè) f(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)一階可導(dǎo)，且f(x)dx=0,xf(x)dx=0. 試證： -(0,1),使得 f ( ) =(1 J)f().2)常微分方程法：例16、設(shè)f (x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f (a) = f (b) = ，證明存在(a,b)使得 f) f)例17、設(shè)f(x

12、)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0,f(1)=1,證明：對(duì)任意實(shí)數(shù),必存在：(0，1),使得f)-f ( J -= 1(2)直接用拉格朗日或柯西中值定理例18、設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，求證存在 " (a,b)，使得 bf(b)af(a)=f)©+f(©b - a-nnb ab a f(a) f (b)例19、設(shè)f (x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，求證存在：(a,b)，使得二 n'nf( ) f ( ), n_11例20、設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(0 a b)使得 f (b) 一 f(a)

13、二 in b f ()a求證存在；:二(a,b)，例21、設(shè)f (x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(0 a b) 使得 f (b) - f (a)b -a十2 ab b2)m例21-1、設(shè)函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，在開區(qū)間f (x)0。若極限 lim f (2xa)y x - a 在(a,b)內(nèi) f(x) 0 ；b2 -在(a,b)內(nèi)存在，使一廠Ja f (x)dxf (-在(a,b)內(nèi)存在與(2)中相異的點(diǎn)，使2 2 2：f ( )(b - a -存在，證明:求證存在：;:二(a,b)，(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且(1)(3)(1)因 limx >af (2x - a)x

14、 aba f(x)dxo存在，故lim f (2x- a)ia十又因 f (x)0= f (x) f (a) = 0 x二 0= f (a)二 0(a,b)(2)法一、2x設(shè) F (x)二 x ,g(x)二 a f (t)dt(a 乞 x -用柯西中值定理，于是 -(a,b)，使XF(b)- F(a) g(b) - g(a)b2 - a2af (t)dt -xf(t)dt ('(x2)f(t)dt)-8X8X2；f()2 2即a f (x)dx8X8X法二、b2 - a2設(shè)丁f (x)dxx2xdx 二aa2；kf (x)dx-2x 二 kf (x)f(t)dt8X8X令 F (x)二

15、 x22 2F(a) = a ,F(b) = bbk a f (x)dx = b2 2 2-(b - a a8X8X-F(a)=F(b)在a,b上用羅爾定理即可。(3)因 f()二 f( )-0二 f( )- f(a), 在a,上應(yīng)用拉格朗日中值定理，知(a,)使f( f ( )( -a)從而由(2)的結(jié)論得b2 a2= 2 二 2:f(x)dx f( ) f ( )( - a)'222b即 f ( )(b - a )a f(x)dx-a8題型5、含有f ()(或更高階導(dǎo)數(shù))的介值問題例22、 設(shè)f(x)在0,1上二階可導(dǎo)，且f(0)=f(1),試證至少存在一個(gè)：(0,1),使2f (

16、)1 -例23、( 012, 8分)設(shè)f(x)在-a,a(a . 0)上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(0)=0(1) 寫出f(x)的帶拉氏余項(xiàng)的一階麥克勞林公式。(2) 證明在-a, a上至少存在一個(gè) 使得3 aa3f ( )=3 f(x)dx _a例24、設(shè)f(x)在-1, 1上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(-1)=0, f(1)=1, f (0)=0,證明:在 (-1,1)內(nèi)存在一點(diǎn)，使得f ( ) = 3.題型6、雙介值問題F，)=0例25、例1、設(shè)f (x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，0 ： a ： b，求證存在',(a,b) 使得 f ()二 (a b)2耳例26、( 051，12

17、分)已知函數(shù)f(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0) =0, f(1) =1證明：(1)存在 (0,1)，使得f ( ) =1 -(2)存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，(0,1)使得f ( )f ( )=1題型7、綜合題例27-1、f(x)在0,1連續(xù),(0,1)可導(dǎo),f(0)=0 ,f(1)=1，證明:對(duì)于任意的正數(shù) mi,m2.存在 X1, X2 (0,1)，使(xjm2f (X2)m1m2m1只需證匹旦f (xi)f (X2)1,由于0mi故由介值定理,(0,1)，從而m2=1 - f()m2F面只需證明f(fgf()f (X2)由拉格朗日中值定理,x/(0, ) (0,1), ( ,1) (0,1)使 f( )- f(0)f (兒)及W=f (X2)即牯及加從而4匚“(v Mf (X1)f (X2)例 27、(0