第三章第8講函數(shù)模型及其應(yīng)用

1、考綱要求考綱研讀1.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長(zhǎng)特征，知道直線上升、指數(shù)增長(zhǎng)、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義2了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用.函數(shù)模型及其應(yīng)用是高考的重點(diǎn)函數(shù)除了涉及方程、不等式、數(shù)列等知識(shí)，還可滲透到三角、立體幾何、解析幾何，甚至還呈現(xiàn)于概率知識(shí)中，它具有題源豐富、跨學(xué)科綜合的特征解題時(shí)應(yīng)注意把握問(wèn)題主線，明確問(wèn)題實(shí)質(zhì)，運(yùn)用有關(guān)知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)換.第8講函數(shù)模型及其應(yīng)用1學(xué)習(xí)過(guò)的基本初等函數(shù)主要有指數(shù)函數(shù)一次函數(shù)、二次函數(shù)、正(反)比例函數(shù)、三角函數(shù)、_、_、_等對(duì)數(shù)函數(shù)冪函數(shù)要熟練掌握這些函數(shù)的圖象與性

2、質(zhì)，以便利用它們來(lái)解決一些非基本函數(shù)的問(wèn)題2用基本初等函數(shù)解決非基本函數(shù)問(wèn)題的途徑(1)化整為零：即將非基本函數(shù)“拆”成基本初等函數(shù)，以便用已知知識(shí)解決問(wèn)題(2)圖象變換：某些非基本函數(shù)的圖象可看成是由基本初等函數(shù)圖象通過(guò)圖象變換得到的，搞清了變換關(guān)系，便可借助基本初等函數(shù)解決非基本函數(shù)問(wèn)題二次函數(shù)模型3在解決某些應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，通常要用到的一些函數(shù)模型_、_、_、_、_、分式函數(shù)模型、分段函數(shù)模型等4三種函數(shù)增長(zhǎng)的條件：冪函數(shù)模型當(dāng) a1 時(shí)，指數(shù)函數(shù) yax 是增函數(shù)，并且當(dāng) a 越大時(shí)，其函數(shù)的增長(zhǎng)就越快一次函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型對(duì)數(shù)函數(shù)模型當(dāng) a1 時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù) ylogax 是增函數(shù)，并且

3、當(dāng) a 越小時(shí)，其函數(shù)的增長(zhǎng)就越快當(dāng) x0，n0 時(shí)，冪函數(shù) yxn 是增函數(shù)，并且當(dāng) n 越大時(shí)，其函數(shù)的增長(zhǎng)就越快5三種函數(shù)增長(zhǎng)速度的比較直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)模型的增長(zhǎng)的含義：當(dāng) a1，n0 時(shí)，那么當(dāng) x 足夠大時(shí)，一定有指數(shù)函數(shù)值增長(zhǎng)快于冪函數(shù)值增長(zhǎng)，冪函數(shù)值增長(zhǎng)快于對(duì)數(shù)函數(shù)值增長(zhǎng)也就是說(shuō)，指數(shù)函數(shù)值增長(zhǎng)最快，人們常稱這種現(xiàn)象為“指數(shù)爆炸”1某一種商品降價(jià) 10%后，欲恢復(fù)原價(jià)，則應(yīng)提價(jià)()D300一臺(tái)計(jì)算機(jī)，9 年后的價(jià)格大約是_元3某計(jì)算機(jī)集團(tuán)公司生產(chǎn)某種型號(hào)計(jì)算機(jī)的固定成本為 200萬(wàn)元，生產(chǎn)每臺(tái)計(jì)算機(jī)的可變成本為 3 000 元，每臺(tái)計(jì)算機(jī)的售價(jià)為 5 000

4、 元?jiǎng)t：(1)總成本 C(萬(wàn)元)關(guān)于總產(chǎn)量 x(臺(tái))的函數(shù)關(guān)系式為_；C2000.3x(xN*)(2)單位成本 P(萬(wàn)元)關(guān)于總產(chǎn)量 x(臺(tái))的函數(shù)關(guān)系式為_；0.3(xN*)P200 x(3)銷售收入 R(萬(wàn)元)關(guān)于總產(chǎn)量 x(臺(tái))的函數(shù)關(guān)系式為_；R0.5x(xN*)(4)利潤(rùn) L(萬(wàn)元)關(guān)于總產(chǎn)量 x(臺(tái))的函數(shù)關(guān)系式為_L0.2x200(xN*)4一等腰三角形的周長(zhǎng)是 20，底邊 y 是關(guān)于腰長(zhǎng) x 的函數(shù)，它的解析式為_5已知函數(shù) y12x 和 y2x2.當(dāng) x(2,4時(shí)，函數(shù)_的值增長(zhǎng)快；當(dāng) x(4，)時(shí)，函數(shù)_的值增長(zhǎng)快y202x(5x10)y2x2 y12x考點(diǎn)1正比例、反比例

5、和一次函數(shù)類的實(shí)際問(wèn)題例1：某商店出售茶壺和茶杯，茶壺每個(gè)定價(jià) 20 元，茶杯每個(gè)定價(jià) 5 元，該店推出兩種優(yōu)惠辦法：(1) 買一個(gè)茶壺贈(zèng)送一個(gè)茶杯；(2) 按總價(jià)的 92%付款某顧客需要購(gòu)茶壺 4 個(gè)，茶杯若干(不少于 4 個(gè))，若需茶杯 x個(gè)，付款數(shù)為 y(元)，試分別建立兩種優(yōu)惠辦法中 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系，并討論顧客選擇哪種優(yōu)惠方法更合算解析：由優(yōu)惠辦法(1)可得函數(shù)關(guān)系式：y12045(x4)5x60(x4)由優(yōu)惠辦法(2)可得函數(shù)關(guān)系式：y2(5x420)92%4.6x73.6(x4)比較：y1y20.4x13.6(x4)當(dāng) 0.4x13.60，即 x34 時(shí)，y1y2，即當(dāng)購(gòu)買

6、茶杯個(gè)數(shù)大于 34 時(shí)，優(yōu)惠辦法(2)合算當(dāng)0.4x13.60，即x34 時(shí)，兩種優(yōu)惠辦法一樣合算當(dāng)0.4x13.60，即4x34 時(shí)，y1y2，優(yōu)惠辦法(1)合算本題考查的是建立一次函數(shù)模型，并應(yīng)用一次函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的能力第一種優(yōu)惠辦法，實(shí)際付款是 4 個(gè)茶壺的錢和(x4)個(gè)茶杯的錢第二種優(yōu)惠辦法只需將貨款總數(shù)乘以 92%，而后再作差比較二者的大小即可【互動(dòng)探究】1一批物資要用 11 輛汽車從甲地運(yùn)到 360 千米外的乙地，批物資至少需要()CA10 小時(shí)B11 小時(shí) C12 小時(shí)D13 小時(shí)考點(diǎn)2分段函數(shù)類的實(shí)際問(wèn)題例2：某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為250 萬(wàn)元，每生產(chǎn) x450(

7、萬(wàn)元)每件商品售價(jià)為 0.05 萬(wàn)元通過(guò)市場(chǎng)分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完(1)寫出年利潤(rùn) L(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量 x(千件)的函數(shù)解析式；(2)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？所以，當(dāng)產(chǎn)量為 100 千件時(shí)，該廠在這一商品中所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為 1 000 萬(wàn)元現(xiàn)實(shí)生活中有很多問(wèn)題是用分段函數(shù)表示的，如出租車計(jì)費(fèi)，個(gè)人所得稅計(jì)算，郵政資費(fèi)等等，故分段函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)生活的重要模型本題的分段函數(shù)考查二次函數(shù)前者配方，后者利用基本不等式【互動(dòng)探究】2通過(guò)研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的接受能力依賴于老師引入概念和描述問(wèn)題所用的時(shí)間講座開始時(shí)，學(xué)生興趣激增；中間有一

8、段不太長(zhǎng)的時(shí)間，學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散分析結(jié)果和實(shí)驗(yàn)表明，用f(x)表示學(xué)生掌握和接受概念的能力，x 表示提出概念和講授概念的時(shí)間(單位：分)，可有以下的關(guān)系式：(1)開講后多少分鐘，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)？能維持多少時(shí)間？(2)一個(gè)數(shù)學(xué)難題，需要 55(或以上)的接受能力，上課開始 30分鐘內(nèi)，求能達(dá)到該接受能力要求的時(shí)間共有多少分鐘？(3)如果每隔 5 分鐘測(cè)量一次學(xué)生的接受能力，再計(jì)算平均值Mf(5)f(10)f(30)6，它能高于 45 嗎？故當(dāng)0 x10時(shí)，f(x)遞增，最大值為：f(10)0.1(3)259.959.顯然，當(dāng)16x30時(shí)，f(x)遞減，f(

9、x)31610759.因此，開講后10分鐘，學(xué)生達(dá)到最強(qiáng)的接受能力，并維持6分鐘(2)依題意，當(dāng)0 x10時(shí)，令f(x)55，則(x13)249.6x10.當(dāng)10 x16時(shí)，f(x)59符合要求解：(1)030，函數(shù)在25,30上是減函數(shù)，因此t25 時(shí)，y 有最大值1 125 元，因?yàn)? 125870，所以在第25 天日銷售額最大，最大值為1 125 元二次函數(shù)是我們比較熟悉的函數(shù)模型，建立二次函數(shù)模型可以求出函數(shù)的值域或最值解決實(shí)際中的優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，一定要分析自變量的取值范圍利用配方法求最值時(shí)，一定要注意對(duì)稱軸與給定區(qū)間的關(guān)系：若對(duì)稱軸在給定的區(qū)間內(nèi)，可在對(duì)稱軸處取一最值，在離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)的端

10、點(diǎn)處取另一最值；若對(duì)稱軸不在給定的區(qū)間內(nèi)，最值在區(qū)間的端點(diǎn)處取得另外在實(shí)際的問(wèn)題中，還要考慮自變量為整數(shù)的問(wèn)題【互動(dòng)探究】3某汽車運(yùn)輸公司購(gòu)買了一批豪華大客車投入客運(yùn)，據(jù)市場(chǎng)分析，每輛客車營(yíng)運(yùn)的總利潤(rùn) y 萬(wàn)元與營(yíng)運(yùn)年數(shù) x(xN)的關(guān)系為yx220 x36.(1)每輛客車從第幾年起開始盈利？(2)每輛客車營(yíng)運(yùn)多少年，可使其營(yíng)運(yùn)的總利潤(rùn)最大？(3)每輛客車營(yíng)運(yùn)多少年，可使其營(yíng)運(yùn)的平均利潤(rùn)最大？考點(diǎn)4 實(shí)際應(yīng)用中對(duì)模擬函數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)例4：福布斯 2009 年中國(guó)富豪榜發(fā)布后，有人認(rèn)為中國(guó)富豪受益于活躍的股票市場(chǎng)，得益于強(qiáng)勁的資本市場(chǎng)股票有風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)考慮中長(zhǎng)期投資，若某股票上市時(shí)間能持續(xù) 15 年，預(yù)

11、測(cè)上市初期和后期會(huì)因供求及市場(chǎng)前景分析使價(jià)格呈連續(xù)上漲態(tài)勢(shì)，而中期有將出現(xiàn)供大于求使價(jià)格連續(xù)下跌現(xiàn)有三種價(jià)格隨發(fā)行年數(shù)的模擬函數(shù)：(A)f(x)pqx；(B)f(x)logqxp；(C)f(x)(x1)(xq)2p(以上三式中 p，q 均為常數(shù)，且 q2)(1)為準(zhǔn)確研究其價(jià)格走勢(shì)，應(yīng)選哪種價(jià)格模擬函數(shù)？為什么？(2)若 f(1)4，f(3)6，求出所選函數(shù) f(x)的解析式；一般散戶為保證個(gè)人的收益，通?？紤]打算在價(jià)格下跌期間出售股票，請(qǐng)問(wèn)他們會(huì)在哪幾個(gè)年份出售？所以函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，可以出現(xiàn)兩個(gè)遞增區(qū)間和一個(gè)遞減區(qū)間所以應(yīng)選f(x)(x1)(xq)2p為其價(jià)格模擬函數(shù)(2)由f(1)4，f(3)6，得p4，q4，(其中q2舍去)，所以f(x)x39x224x12(1x15，xN*)由知：f(x)3x218x2402x4，所以f(x)在區(qū)間(2,4)上單調(diào)遞減故他們會(huì)在發(fā)行的第2,3年出售解數(shù)學(xué)應(yīng)用題應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)：(1)在引入自變量建立目標(biāo)函數(shù)解決函數(shù)應(yīng)用題時(shí)：要注意自變量的取值范圍；要檢驗(yàn)所得結(jié)果，必要時(shí)運(yùn)用估算和近似計(jì)算，使結(jié)果符合實(shí)際問(wèn)題的要求(2)在實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化過(guò)程中，要充分使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言，如引入字母、列表、畫圖、建立坐標(biāo)系