高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(精華版)

1、高中數(shù)學(xué)必修 +選修知識(shí)點(diǎn)歸納新課標(biāo)人教 A 版一、集合1、把研究的對(duì)象統(tǒng)稱為 元素 ，把一些元素組成的總 體叫做 集合 。集合三要素： 確定性、互異性、無 序性 。2 、 只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，就稱這兩個(gè) 集合相等 。3、常見集合： 正整數(shù)集合 ：N*或N ，整數(shù)集合 ： Z ，有理數(shù)集合 ：Q，實(shí)數(shù)集合 ： R.4、集合的表示方法： 列舉法、描述法 .§1.1.2、集合間的基本關(guān)系1、一般地，對(duì)于兩個(gè)集合 A 、 B，如果集合 A 中任 意一個(gè)元素都是集合 B 中的元素，則稱集合 A 是 集合 B 的子集 。記作 A B.2、 如果集合 A B，但存在元素 x B ，且

2、 x A， 則稱集合 A 是集合 B 的真子集 .記作： A B.3、 把不含任何元素的集合叫做 空集.記作： .并規(guī)定： 空集合是任何集合的子集 .4、 如果集合 A中含有 n個(gè)元素，則集合 A有 2n個(gè)子 集， 2n 1個(gè)真子集 .§1.1.3、集合間的基本運(yùn)算1、一般地，由所有屬于集合 A 或集合 B 的元素組成 的集合，稱為集合 A與 B的并集 .記作： A B.2、一般地，由屬于集合 A 且屬于集合 B 的所有元素組成的集合，稱為 A與 B的交集 .記作： A B.3、全集、補(bǔ)集 ？CU A x | x U,且x U§1.2.1、函數(shù)的概念1、設(shè) A、B 是非空的

3、數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng) 關(guān)系 f ，使對(duì)于集合 A 中的任意一個(gè)數(shù) x，在集 合 B 中都有惟一確定的數(shù) f x 和它對(duì)應(yīng)， 那么就 稱 f :A B為集合 A到集合 B的一個(gè)函數(shù)，記 作： y f x ,x A.2、一個(gè)函數(shù)的構(gòu)成要素為： 定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域. 如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同， 并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則稱 這兩個(gè)函數(shù)相等 .§1.2.2、函數(shù)的表示法1、 函數(shù)的三種表示方法： 解析法、圖象法、列表法 .§1.3.1、單調(diào)性與最大(小)值1、注意函數(shù)單調(diào)性的證明方法：(1)定義法： 設(shè) x1、x2 a, b, x1 x2那么f (x1) f (x2) 0

4、f ( x)在 a, b 上是增函數(shù)；f (x1) f (x2) 0f ( x)在 a, b上是減函數(shù) .步驟：取值作差變形定號(hào)判斷格 式 ： 解 ： 設(shè) x1,x2 a,b 且 x1 x2 ， 則 ： f x1 f x2 =(2)導(dǎo)數(shù)法： 設(shè)函數(shù) y f (x) 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)， 若 f (x) 0，則 f (x)為增函數(shù)； 若 f (x) 0，則 f (x)為減函數(shù).§1.3.2、奇偶性1、一般地，如果對(duì)于函數(shù) f x 的定義域內(nèi)任意一個(gè)x ，都有 f x f x ，那么就稱函數(shù) f x 為偶函數(shù) .偶函數(shù)圖象關(guān)于 y軸對(duì)稱 .2、一般地，如果對(duì)于函數(shù) f x 的定義域內(nèi)任意一

5、個(gè)x ，都有 f x f x ，那么就稱函數(shù) f x 為 奇函數(shù) . 奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 .知識(shí)鏈接：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)1、函數(shù) y f(x)在點(diǎn) x0 處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù) y f (x) 在點(diǎn) x0處的導(dǎo)數(shù)是曲線 y f (x) 在 P(x0, f (x0) 處的切線的斜率 f (x0 ) ，相應(yīng)的切線方 程是 y y0 f (x0)(x x0).2、幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù) C' 0 ； (xn )' nxn 5、函數(shù)的極值 極值定義：極值是在 x0附近所有的點(diǎn)，都有 f (x)< f (x0) ， 則 f(x0)是函數(shù) f (x)的極大值；極值是在 x 0附近所有的點(diǎn)，

6、都有 f (x)> f (x0)， 則 f(x0)是函數(shù) f (x)的極小值 . 判別方法：如果在 x0附近的左側(cè) f'(x)>0，右側(cè) f '(x)<0， ；(sin x)' cosx； (cos x) 'sin x； (a ) a lna ； (e ) e ；' 1 ' 1 (log a x)'； (ln x) 'xln a x其中 n 1,n N .2 、 當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)， a a ； 當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)， n an a .3、我們規(guī)定：n a m m an*a 0,m,n N ,m 1 ；1 a n 1n

7、 n 0 ； ayy=ax0<a<1a>11o aras ar s a 0,r,s Q ；4、運(yùn)算性質(zhì)：3、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則1) (u v)' u' v' .2) (uv)' u'v uv' .3)(u)vuv uv2v(v 0) . ar ars a 0,r,s Q ； ab r ar br a 0,b 0,r Q .§2.1.2、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)4、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù) y f (g(x) 的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y f(u),u g(x) 的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為 yx yu ux ， 即 y對(duì) x的導(dǎo)數(shù)等于 y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與 u對(duì)

8、 x的導(dǎo)數(shù)的 乘積 .解題步驟 : 分層層層求導(dǎo)作積還原 .x1、記住圖象： y ax a 0,a 12、性質(zhì)： §2.2.1、對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算x1、指數(shù)與對(duì)數(shù)互化式： ax N x logaN ；2、對(duì)數(shù)恒等式： alogaN N .3、基本性質(zhì)： loga1 0，loga a 1.那么 f(x0 )是極大值；如果在 x0 附近的左側(cè) f '(x) < 0，右側(cè) f '(x) >0， 那么 f(x0 )是極小值 .6、求函數(shù)的最值(1) 求 y f (x) 在 (a, b)內(nèi)的極值(極大或者極小值)(2) 將 y f (x) 的各極值點(diǎn)與 f (a), f

9、 (b) 比較，其中 最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為極小值。§2.1.1、指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算 1、一般地，如果 xn a，那么 x叫做 a 的n次方根。4、運(yùn)算性質(zhì)：當(dāng) a 0,a 1,M 0,N 0時(shí)： log a MN log a M log a N ； log aMNlogaM loga N；§3.1.1、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)1、方程 f x 0 有實(shí)根 log a M n nlog a M函數(shù) y f x 的圖象與 x 軸有交點(diǎn)5、換底公式： logab logc blog c aa 0,a 1,c 0,c 1,b 0 .6、重要公式： logan bm m lo

10、ga b an7、倒數(shù)關(guān)系： log a ba 0,a 1,b 0,b 1 .logba§2.2.2、對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)函數(shù) y f x 有零點(diǎn) .2、零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù) y f x 在區(qū)間 a,b 上的圖象是連續(xù)不斷 的一條曲線，并且有 f a f b 0 ，那么函數(shù)y f x 在區(qū)間 a,b 內(nèi)有零點(diǎn)，即存在 c a,b ，使得 f c0，這個(gè) c也就是方程 f x0 的根.1、記住圖象： y log a x a 0,a 1 yy=log ax0<a<1o1a>12、性質(zhì)：§2.3、冪函數(shù)第一章：空間幾何體1、空間幾何體的結(jié)構(gòu)常見的多面體有：棱柱、

11、棱錐、棱臺(tái)；常見的旋轉(zhuǎn)體有： 圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球。棱柱： 有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且 每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍 成的多面體叫做棱柱。棱臺(tái)： 用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與 截面之間的部分，這樣的多面體叫做棱臺(tái)。2、空間幾何體的三視圖和直觀圖 把光由一點(diǎn)向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影 的投影線交于一點(diǎn)；把在一束平行光線照射下的投影叫 平行投影，平行投影的投影線是平行的。3、空間幾何體的表面積與體積1、幾種冪函數(shù)的圖象：圓錐側(cè)面積： S側(cè)面r lrl圓臺(tái)側(cè)面積： S側(cè)面r l R l直線與方程體積公式：V柱體 S h ；1V錐體 S h

12、 ；3y2 y11、傾斜角與斜率： k tan 2 1 x2 x12、直線方程：1V臺(tái)體 S上S上S下S下h臺(tái)體3 上 上下下球的表面積和體積：2 4 3S球 4 R ， V球R .3第二章：點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1、公理 1：如果一條直線上兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條 直線在此平面內(nèi)。2、公理 2：過不在一條直線上的三點(diǎn)， 有且只有一個(gè)平面。3、公理 3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它 們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。4、公理 4： 平行于同一條直線的兩條直線平行 .5、定理： 空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這 兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。6、線線位置關(guān)系： 平行、相交、異面。

13、7 、線面位置關(guān)系： 直線在平面內(nèi)、直線和平面平行、直 線和平面相交。8、面面位置關(guān)系： 平行、相交。9、線面平行：判定： 平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則 該直線與此平面平行（簡稱線線平行，則線面平行） 。性質(zhì)： 一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一 平面與此平面的交線與該直線平行（簡稱線面平行，則 線線平行）。10、面面平行：判定： 一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行， 則這兩個(gè)平面平行（簡稱線面平行，則面面平行） 。性質(zhì)： 如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么 它們的交線平行（簡稱面面平行，則線線平行） 。11、線面垂直：定義： 如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的

14、任意一條直線， 那么就說這條直線和這個(gè)平面垂直。判定： 一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直， 則該直線與此平面垂直（簡稱線線垂直，則線面垂直）性質(zhì)： 垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。12、面面垂直：定義： 兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面 角，就說這兩個(gè)平面互相垂直。判定： 一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè) 平面垂直（簡稱線面垂直，則面面垂直） 。性質(zhì)： 兩個(gè)平面互相垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的 直線垂直于另一個(gè)平面。 （簡稱面面垂直， 則線面垂直）點(diǎn)斜式：y y0 k x x0斜截式：y kx b兩點(diǎn)式：y y1 y2 y1x x1 x2 x1截距式：xy1ab一

15、般式：Ax By C 03、對(duì)于直線：l1: y k1x b1,有l(wèi)2 : y k2x b2 l1 /l 2k1 k21 2b1 b2l1和 l2相交 k1 k2；l1和 l2重合k1 k2b1 b2 l1 l2k1k21.4、對(duì)于直線：l1: A1x B1y C1 0,有l(wèi)2 : A2x B2y C2 0 l1 /l 2A1B2 A2B1B1C2 B2C1l1和 l2相交 A1B2 A2B1；A1B2 A2B1 l1 和 l2 重合1 2 2 1B1C2 B2C1 l1 l2A1A2 B1B2 0.5、兩點(diǎn)間距離公式：P1P2x2x1y2 y1則dC1 C26、點(diǎn)到直線距離公式：Ax0 By

16、0 Cd 0 0 A2 B27、兩平行線間的距離公式：l1： Ax By C1 0 與 l2 ： Ax By C2 0平行，第四章：圓與方程1、圓的方程： 標(biāo)準(zhǔn)方程： x a 2 y b 2 r 2其中圓心為 ( a, b) ，半徑為 r .一般方程： x2 y2 Dx Ey F 0. 其中圓心為 ( D, E ) ，半徑為 r 1 D2 E2 4F .2 2 22、直線與圓的位置關(guān)系直線 Ax By C 0與圓 (x a)2 (y b) 2 r 2 的位置關(guān)系有三種:dr相離0;dr相切0;dr相交0.弦長公式： l 2 r 2 d21 k2 (x1 x2)2 4x1x23、兩圓位置關(guān)系：

17、d O1O21、抽樣方法：簡單隨機(jī)抽樣(總體個(gè)數(shù)較少) 系統(tǒng)抽樣(總體個(gè)數(shù)較多) 分層抽樣(總體中差異明顯) 注意：在 N 個(gè)個(gè)體的總體中抽取出 n 個(gè)個(gè)體組成樣本， 每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)(概率)均為 n 。N2、總體分布的估計(jì)：一表二圖：頻率分布表數(shù)據(jù)詳實(shí) 頻率分布直方圖分布直觀 頻率分布折線圖便于觀察總體分布趨勢 注：總體分布的密度曲線與橫軸圍成的面積為1。莖葉圖：莖葉圖適用于數(shù)據(jù)較少的情況，從中便于看出數(shù)據(jù) 的分布，以及中位數(shù)、眾位數(shù)等。個(gè)位數(shù)為葉，十位數(shù)為莖，右側(cè)數(shù)據(jù)按照從小到大 書寫，相同的數(shù)據(jù)重復(fù)寫。3、總體特征數(shù)的估計(jì)：平均數(shù)： x x1 x2 x3xn ；n取值為 x1,x2,

18、 ,xn 的頻率分別為 p1,p2, ,pn，則其 平均數(shù)為 x1p1 x2p2xn pn；注意：頻率分布表計(jì)算平均數(shù)要取組中值。方差與標(biāo)準(zhǔn)差：一組樣本數(shù)據(jù) x1,x2, ,xn2 1 n 2 方差： s2(xi x) ；ni1標(biāo)準(zhǔn)差：s2(xi x)注：方差與標(biāo)準(zhǔn)差越小，說明樣本數(shù)據(jù)越穩(wěn)定。 平均數(shù)反映數(shù)據(jù)總體水平；方差與標(biāo)準(zhǔn)差反映數(shù)據(jù)的 穩(wěn)定水平。線性回歸方程變量之間的兩類關(guān)系：函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系； 制作散點(diǎn)圖，判斷線性相關(guān)關(guān)系 線性回歸方程： y bx a (最小二乘法)外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含d R r ； d R r ；R r d R r； d R r ； d R r .nxi yi n

19、xy b i 1n xi2 nx2 注意：線性回歸直線經(jīng)過定 (x,y) 。 i1P1P2x2 x12 y2 y1 2 z2 z1 23、空間中兩點(diǎn)間距離公式：統(tǒng)計(jì)a y bx 第三章：概率 1、隨機(jī)事件及其概率：隨機(jī)事件 A 的概率： P(A) m,0 P(A) 1.n2、古典概型：特點(diǎn)：所有的基本事件只有有限個(gè)；每個(gè)基本事件都是等可能發(fā)生。 古典概型概率計(jì)算公式：一次試驗(yàn)的等可能基本事 件共有 n 個(gè)，事件 A 包含了其中的 m 個(gè)基本事件，則 事件 A 發(fā)生的概率 P(A) m.n3、幾何概型： 幾何概型的特點(diǎn)：所有的基本事件是無限個(gè)； 每個(gè)基本事件都是等可能發(fā)生。 幾何概型概率計(jì)算公式

20、： P(A) d的測度 ；D的測度 ； 其中測度根據(jù)題目確定，一般為線段、角度、面積、 體積等。4、互斥事件： 不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件稱為互斥事件； 如果事件 A1,A2, , An任意兩個(gè)都是互斥事件， 則稱 事件 A1,A2, , An 彼此互斥。如果事件 A ，B 互斥，那么事件 A+B 發(fā)生的概率， 等于事件 A，B 發(fā)生的概率的和，即： P(A B) P(A) P(B) 如果事件 A1,A2, , An彼此互斥，則有： P(A1 A2An) P(A1) P(A2 )P(An)對(duì)立事件：兩個(gè)互斥事件中必有一個(gè)要發(fā)生，則稱 這兩個(gè)事件為對(duì)立事件。事件 A 的對(duì)立事件記作 AP(A) P

21、(A) 1,P(A) 1 P(A)對(duì)立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是對(duì)立事 件。必修 4 數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)第一章：三角函數(shù) §1.1.1、任意角1、 正角、負(fù)角、零角、象限角 的概念 .2、 與角 終邊相同的角的集合：2k ,k Z .1、把長度等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角叫做1 弧度的角 .2、3、 弧長公式 ： ln R R1804、扇形面積公式 ： S n R 1lR .360 2§1.2.1、任意角的三角函數(shù)1、設(shè) 是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)yP x,y ，那么： sin y, cos x, tanx2、 設(shè)點(diǎn) A x ,y 為角 終邊上任意一點(diǎn)， 那么：(設(shè)

22、r x2 y2sin y ，cosx ，tany ，cotxrrxy函數(shù)線的畫法3、 sin ，cos ， tan 在四個(gè)象限的符號(hào)和三角 §1.2.2、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式1 、 平 方 關(guān) 系22sin cos1.2、 商數(shù)關(guān)系 ： tancos3、 倒數(shù)關(guān)系： tan cot 1§ 1.3 、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式(概括為 “奇變偶不變，符號(hào)看象限” k Z )1、誘導(dǎo)公式一 ：sin 2k sin , cos 2k cos , （其中： k Z ）tan 2k tan .§1.1.2、弧度制2、 誘導(dǎo)公式二sinsin ,coscos ,tan tan .

23、3、誘導(dǎo)公式三 ：sinsin ,coscos ,tantan .4、誘導(dǎo)公式四 ：sinsin ,coscos ,tantan .5、誘導(dǎo)公式五 ：sincos ,2cossin .26、誘導(dǎo)公式六 ：sincos ,sincos ,2cossin .cossin .2§ 1.4.1 、正弦、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)1、記住正弦、余弦函數(shù)圖象：y=sinx-52y-2 13272-4 -7 -3 -2 -3 -o 2 5 34x2222y=cosxy-5-37-3 2 -2 1232-4 -7 -2 -3o 2 54x22-1222、能夠?qū)φ請(qǐng)D象講出正弦、余弦函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)：定義域、值

24、域、最大最小值、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心、奇偶性、單調(diào)性、周期性 .3、會(huì)用 五點(diǎn)法作圖 .y sin x 在 x 0, 2 上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)為：3（0，0）（，2 ，1）（， ，0）（，32 ，-1）（，2 ，0）.§ 1.4.3 、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)y=tanxy1、記住正切函數(shù)的圖象：-32- -2o2323、正切函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)：定義域、值域、對(duì)稱中心、奇偶性、單調(diào)性、周期性周期函數(shù)定義 ：對(duì)于函數(shù) f x ，如果存在一個(gè)非零常數(shù) T，使得當(dāng) x 取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有 f x T f x ，那么函數(shù) f x 就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù) T叫做這個(gè)函數(shù)的周期 .圖表歸納：正弦、余弦

25、、正切函數(shù)的圖像及其性質(zhì)y sin xy cosxy tanx圖象定義域RR x| x k ,k Z值域-1,1-1,1R最值x 2k,k Z時(shí)， ymax 12x 2k,k Z時(shí)， ymin12x 2k ,k Z時(shí)， ymax 1x 2k ,k Z時(shí)， ymin1無周期性T2T2T奇偶性奇偶奇單調(diào)性 kZ在2k ,2k 上單調(diào)遞增 22在2k ,2k 3 上單調(diào)遞減22在2k,2k 上單調(diào)遞增在 2k ,2k上單調(diào)遞減在 (k ,k ) 上單調(diào)遞增22對(duì)稱性 kZ對(duì)稱軸方程： x k2對(duì)稱中心 (k ,0)對(duì)稱軸方程： x k 對(duì)稱中心 (k ,0)2無對(duì)稱軸k對(duì)稱中心 ( ,0)21橫坐標(biāo)

26、變?yōu)樵瓉淼?|1 | 倍§1.5 、函數(shù) y Asin x 的圖象1、對(duì)于函數(shù)：y Asin x B A 0, 0 的周期2T2、能夠講出函數(shù) y sin x 的圖象與y Asin x B 的圖象之間的平移伸縮變 換關(guān)系 . 先平移后伸縮：y sin x 平移 | | 個(gè)單位 y si nx橫坐標(biāo)不變y Asi n x縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍縱坐標(biāo)不變yAsin x(左加右減)平移 |B| 個(gè)單位 y Asin x B 先伸縮后平移：y sin x 橫坐標(biāo)不變yAsin x縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍縱坐標(biāo)不變yAsin x(上加下減)1橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?|1 | 倍平移 個(gè)單位 y Asi n

27、 x(左加右減)平移 |B| 個(gè)單位 y Asin x B(上加下減)3、三角函數(shù)的周期，對(duì)稱軸和對(duì)稱中心函數(shù) y sin( x ) ，xR及函數(shù) y cos( x ) ， 2xR(A, , 為常數(shù)，且 A0) 的周期 T 2 ；函|降冪公式：cos22 sin21(1 cos2 )12(1 cos2 )數(shù) y tan( x ) ， x k ,k Z (A, , 為2常數(shù)，且 A0) 的周期 T.|對(duì) 于 y Asi n( x)和 y Acos( x ) 來說， 對(duì)稱中心與零點(diǎn)相聯(lián)系，對(duì)稱軸與最值點(diǎn)聯(lián)系 . 求函數(shù) y Asin( x ) 圖像的對(duì)稱軸與對(duì)稱中心，只需令 x k (k Z) 與

28、 x k (k Z) 2解出 x即可 .4 、由圖像確定三角函數(shù)的解析式利用圖像特征： A ymax ymin ， B ymax ymin22 要根據(jù)周期來求 , 要用圖像的關(guān)鍵點(diǎn)來求 .第三章、三角恒等變換§3.1.2 、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式1、sin sin cos cos sin3、 tan22tan .21 tansin2 1 cos24、 tan1 cos2 sin2§ 3.2 、簡單的三角恒等變換 1、 注意 正切化弦、平方降次 2、輔助角公式22y asinx bcosx a b sin(x ) ( 其中輔 助角 所在 象限由 點(diǎn) (a,b) 的象

29、限 決 定 , tanb ).a第二章：平面向量1、 三角形加法法則 和 平行四邊形加法法則 .2、sin sin cos cos sin3、 cos cos cos sin sin4、 cos cos cos sin sin變形 ： sin cos 21 sin 2 .5、tan1tatnan ttaann .6、tan1tatnan ttaann .§ 3.1.3 、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、sin2 2sin cos ，2 、 三角形減法法則 和平行四邊形減法法則升冪公式：222、cos2cos2sin222cos21 1 2sin2 .變形如下：21 cos22cos2

30、21 cos2 2sin 2向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義1、 規(guī)定：實(shí)數(shù) 與向量 a 的積是一個(gè)向量，這種運(yùn) 算叫做 向量的數(shù)乘 .記作： a ，它的長度和方向 規(guī)定如下： a a ,當(dāng) 0 時(shí) , a 的方向與 a 的方向相同；當(dāng)0時(shí), a 的方向與 a的方向相反2、 平面向量共線定理 ：向量 aa 0 與 b 共線，當(dāng) 且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù) ，使 b a.平面向量基本定理： 如果 e1,e2 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不 共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)任一向量a ，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) 1, 2，使 a 1e1 2e2 .§ 2.3.2 、平面向量的正交分解及坐標(biāo)表1、 a xi yj x,y .

31、§ 2.3.3 、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1、 設(shè) a x1,y1 ,b x2,y2 ，則： a b x1 x2 ,y1 y2 ， a b x1x2 y1 y2 ax12 y12 a b a b 0 x1x2 y1y2 0 a/b a bx1y2 x2y1 02、3、設(shè) A x1,y1 ,B x2,y2 ，則：ABx2 x1y2 y1 .兩向量的夾角公式abx1 x2 y1 y2x12 y12 x 22 y 22必修 5 數(shù)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)第一章：解三角形 a b x1 x2,y1 y2 ， ax1, y1 ， a/bx1y2 x2 y1 .1、正弦定理：2、A x1, y1 ,B x2, y2

32、 則： AB x2 x1,y2 y1 .ABC中：1、設(shè) A x1,y1 ,B x2,y2 ,C x3,y3 ，則absinA sinBcsinC2R.其中 R為 ABC 外接圓的半徑）a 2Rsin A,b 2Rsin B,c 2RsinC;線段 AB中點(diǎn)坐標(biāo)為 x12x2 , y12y2 ，sinA a ,sinB2Rb ,sinC2Rc2Ra:b:c sin A :sin B :sin C.§ 2.4.1 、平面向量數(shù)量積1、a b a b cos .2、a在 b 方向上的投影為：3、元素。a cos .2、余弦定理：a2 b2 c2 2bccos A, b2 a2 c2 2a

33、c cosB, c2 a2 b2 2ab cosC.4、a2 .5、 a b a b 0.§2.4.2、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角1、 設(shè) a x1,y1 ,b x2 ,y2 ，則：cosAcosBcosC22bc2bc2 2 2acb2ac222abc2ab用途：已知三角形兩邊及其夾角，求其它元素； ABC的重心坐標(biāo)為 x1 x32 x3 , y1 y32 y3 用途：已知三角形兩角和任一邊，求其它元素；已知三角形兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其它已知三角形三邊，求其它元素。做題中兩個(gè)定理經(jīng)常結(jié)合使用3、三角形面積公式：111S ABCab sin CbcsinA acsin B

34、ABC 2 2 24、三角形內(nèi)角和定理：在 ABC中，有 A B C C (A B)C A B2C 2 2(A B).2 2 25、一個(gè)常用結(jié)論：在 ABC 中， a b sin A sin B A B; 若sin 2A sin2B,則A B或A B . 特別注意，2 在三角函數(shù)中， sin A sinB A B 不成立。第二章：數(shù)列1、數(shù)列中 an與 Sn之間的關(guān)系：S1, (n 1)an1 注意通項(xiàng)能否合并。Sn Sn 1,(n 2).2、等差數(shù)列：定義：如果一個(gè)數(shù)列從第 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前 一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，即 an an 1=d ，(n2， nN )，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差

35、數(shù)列。等差中項(xiàng)：若三數(shù) a、A、 b成等差數(shù)列abA2通項(xiàng)公式： an a1 (n 1)d am (n m)d或 an pn q ( p 、 q是常數(shù)) .前 n 項(xiàng)和公式：n n 1 n a1 anSn na1d22常用性質(zhì)： 若 m n p q m,n,p,q N ，則am an ap aq ；下標(biāo)為等差數(shù)列的項(xiàng) ak ,ak m,ak 2m, ，仍組成等差數(shù)列；數(shù)列 an b ( ,b 為常數(shù))仍為等差數(shù)列；若 an 、 bn是等差數(shù)列，則 kan 、kan pbn (k、 p是非零常數(shù) )、ap nq( p,q N * ) 、，也成等 差數(shù)列。單調(diào)性： an 的公差為 d ，則：) d

36、0an為遞增數(shù)列；) d0an為遞減數(shù)列；) d0an為常數(shù)列；數(shù)列 an 為等差數(shù)列an pn q( p,q 是常數(shù))若等差數(shù)列 an 的前 n項(xiàng)和 Sn，則 Sk、S2k Sk、S3k S2k 是等差數(shù)列。3、等比數(shù)列定義：如果一個(gè)數(shù)列從第 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前 一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)， 那么這個(gè)數(shù)列就叫做等 比數(shù)列。等比中項(xiàng)：若三數(shù) a、G、b 成等比數(shù)列G2 ab,( ab 同號(hào))。 反之不一定成立。通項(xiàng)公式： an a1qn 1 amqn ma1 1 qa1 anq前 n 項(xiàng)和公式： Sn1 nn 1 q 1 q常用性質(zhì) 若 m n p q m,n,p,q N ，則am an a

37、p aq ； ak ,ak m ,ak 2m , 為等比數(shù)列，公比為 q k (下標(biāo)成 等差數(shù)列 ,則對(duì)應(yīng)的項(xiàng)成等比數(shù)列 )數(shù)列 an ( 為不等于零的常數(shù)) 仍是公比為 q 的等比數(shù)列；正項(xiàng)等比數(shù)列 an ；則 lgan 是公差為lg q的等差 數(shù)列；若 an 是等比數(shù)列，則 can ，an2 ， 1 ，ananr (r Z) 是等比數(shù)列， 公比依次是 q，q2，1，qr.q單調(diào)性：a1 0,q 1或a1 0,0 q 1 an 為遞增數(shù)列；a1 0,0 q 1或a1 0,q 1 an 為遞減數(shù)列；1)若 p 1時(shí)，數(shù)列 an 為等差數(shù)列2)若 q 0時(shí)，數(shù)列 a n 為等比數(shù)列q 1an 為

38、常數(shù)列；類型 倒數(shù)變換法：形如 an 1 an pan 1an( p為常數(shù)且 p 0 )的遞推q 0 an 為擺動(dòng)數(shù)列；既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列是常數(shù)列。若等比數(shù)列 an 的前 n項(xiàng)和 Sn，則 Sk、S2k Sk、11式： 兩邊同除于 an 1an ，轉(zhuǎn)化為 1 1 p 形式， an an 1化歸為 an 1pan q 型求出 1 的表達(dá)式，再求an ；S3k S2k 是等比數(shù)列an 1f (n 1)4、非等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法類型 觀察法： 已知數(shù)列前若干項(xiàng)， 求該數(shù)列 的通項(xiàng)時(shí)，一般對(duì)所給的項(xiàng)觀察分析，尋找規(guī)律，從 而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)。類型 公式法：若已知數(shù)列的前

39、 n項(xiàng)和 Sn與 an 的關(guān)系，求數(shù)列 an 的通項(xiàng) an 可用公式S1, (n 1)an1 構(gòu)造兩式作差求解。nSn Sn 1,(n 2)類型 累加法：形如 an 1 an f (n)型的遞推數(shù)列 (其中 f (n)是關(guān) an an 1 f (n 1)于 n 的函數(shù))可 構(gòu)造： an 1 an 2 f (n 2).a2 a1 f (1)類型 累乘法：a形如 an 1 an f (n) an 1 f(n) 型的遞推數(shù)列 (其an5、非等差、等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式的求法錯(cuò)位相減法若數(shù)列 an 為等差數(shù)列，數(shù)列 bn 為等比數(shù)列， 則數(shù)列 an bn 的求和就要采用此法 . 將數(shù)列 an bn

40、的每一項(xiàng)分別乘以 bn 的公比， 然后在錯(cuò)位相減，進(jìn)而可得到數(shù)列an bn 的前 n 項(xiàng)和.此法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式時(shí)所用的方 法.裂項(xiàng)相消法一般地，當(dāng)數(shù)列的通項(xiàng) ann (an b1)(an b 2) ( a, b1 ,b2 , c為常數(shù)) 時(shí)，往往可將 an 變成兩項(xiàng)的差， 采用裂項(xiàng)相消法求和 .可用待定系數(shù)法進(jìn)行裂項(xiàng)：中 f(n) 是關(guān)于 n 的函數(shù)) 可構(gòu)造：an 1an 2f (n 2)設(shè) an，通分整理后與原式相an b1 an b2類型 構(gòu)造數(shù)列法：a2a1f(1)比較，根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等得b2 b1，從而可得形如 an 1 pan q (其中 p, q均為常數(shù)且

41、p 0 )c(an b1)(an b2)c(b2 b1)an b1an b 2).型的遞推式：1常見的拆項(xiàng)公式有：n(n 1)1 1 1 1(倒數(shù)法則) a b 0 1 b1;a b 0 a1 1b2、幾個(gè)重要不等式1 ( 1 1 );(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1 a2 b2 2ab a， b R ,當(dāng)且僅當(dāng) a b 時(shí)取a b a b( a b);分組法求和 有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列， 若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常 見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.一般分兩步：找通向項(xiàng)公式由通項(xiàng)公式確定如何分組 ." " 號(hào)）

42、 . 變形公式： ab（基本不等式）22ab2a b ab a， b R ,(當(dāng)且僅當(dāng) a b 時(shí)取到等號(hào)）變形公式： a b 2 abab a b2倒序相加法用基本不等式求最值時(shí)（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個(gè)條件 “一正、二定、三相等如果一個(gè)數(shù)列 an ，與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和， 則可用把正著寫與倒著寫的兩個(gè)和式相加，就得到了一個(gè)常數(shù)列的和，這種求和方法稱為倒序相加法。特征：a1 an a2 an 1 .記住常見數(shù)列的前 1 2 3 . nn 項(xiàng)和： n(n 1) 若 ab 0, 則 b a 2abba若ab 0,則2 （當(dāng)僅當(dāng) a=b 時(shí)取等號(hào)）ab3、幾個(gè)著

43、名不等式當(dāng)僅當(dāng) a=b 時(shí)取等號(hào)）ab a b222ab25、元二次不等式的解法 1 3 5 . (2n 1) n2;1 12 22 32 . n2n(n 1)(2n 1).6第三章：不等式§ 3.1 、不等關(guān)系與不等式1、不等式的基本性質(zhì)a2 b2 (a b)22求一元二次不等式 ax2 bx c 0（或 0）（對(duì)稱性）2(a 0, b2 4ac 0) 解集的步驟：（傳遞性）a b,b c a c（可加性）c b d cbd bc一化 二判 三求 四畫a b a c b c（同向可加 性） a b,c da（異向可減 性） a b,c da （可積性） a b,c 0 aca b,

44、c 0 ac bc（ 同向正數(shù) 可乘性） a b 0,c d 0 ac bd（異向正數(shù) 可除性） a b 0,0 c d a bcd（平方法則） a b 0 an bn （n N,且n 1）（開方法則） a b 0 n a n b（n N,且n 1）化二次項(xiàng)前的系數(shù)為正數(shù) . 判斷對(duì)應(yīng)方程的根 . 求對(duì)應(yīng)方程的根 . 畫出對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象 .五解集：根據(jù)圖象寫出不等式的解集 . 規(guī)律：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為正時(shí)， 小于取中間， 大于取兩邊 .6、高次不等式的解法： 穿根法 .分解因式，把根標(biāo)在數(shù)軸上，從右上方依次往下穿 （ 奇穿偶切 ），結(jié)合原式不等號(hào)的方向， 寫出不等式的 解集.7、分式不等式的解法：

45、先 移項(xiàng)通分 標(biāo)準(zhǔn)化，則f(x) 0 f (x) g(x) 0g(x)(“ 或 ”時(shí)同理)f(x)f (x) g(x) 00g(x)g(x) 0規(guī)律：把分式不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式求解 .9、指數(shù)不等式的解法：當(dāng) a 1時(shí), af(x) ag(x)f(x) g(x)當(dāng) 0 a 1時(shí), af (x) ag(x)f (x) g(x)規(guī)律：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化 .10、對(duì)數(shù)不等式的解法當(dāng) a 1時(shí) ,f (x) 0loga f (x) loga g(x)g(x) 0f (x) g(x) 當(dāng) 0 a 1時(shí) ,f (x) 0loga f (x) loga g(x)g(x) 0f (x) g(x)規(guī)律

46、：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化 .11、含絕對(duì)值不等式的解法：對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，分類討論的標(biāo)準(zhǔn)有：討論 a與 0 的大小；討論 與 0 的大小； 討論兩根的大小 .14、恒成立問題不等式 ax2 bx c 0 的解集是全體實(shí)數(shù)(或恒成 立)的條件是：當(dāng) a 0 時(shí) b 0,c 0;當(dāng) a 0 時(shí) a 00.不等式 ax2 bx c 0 的解集是全體實(shí)數(shù)(或恒成 立)的條件是：當(dāng) a 0 時(shí) b 0,c 0;當(dāng) a 0 時(shí) a 00. f(x) a 恒成立f(x)max a;f (x) a恒成立 f (x) max a; f(x) a 恒成立f(x)min a;定義法：a (a 0)a (a 0)平

47、方法： f (x) g(x)f 2(x) g2(x).同解變形法，其同解定理有： x a a x a(a 0); x a x a或 x a(a 0); f (x) g(x) g(x) f(x) g(x) (g(x) 0)f(x) a 恒成立f ( x) min a.專題一：常用邏輯用語1、四種命題及其相互關(guān)系 f(x) g(x) f(x) g(x)或f (x) g(x) (g(x) 0)規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào) .12、含有兩個(gè)(或兩個(gè)以上)絕對(duì)值的不等式的解法： 規(guī)律：找零點(diǎn)、劃區(qū)間、分段討論去絕對(duì)值 、每段中 取交集，最后取各段的并集 .13、含參數(shù)的不等式的解法四種命題的真假性之間的

48、關(guān)系：、兩個(gè)命題 互為逆否命題 ，它們 有相同的真假性 ； 、兩個(gè)命題為 互逆命題或互否命題 ，它們的 真假性 沒有關(guān)系3、充分條件、必要條件與充要條件若 p q ，但 q p ，則 p 是 q 充分而不必要條件 ; 若 p q ，但 q p ，則 p 是 q 必要而不充分條件 ;2解形如 ax2 bx c 0 且含參數(shù)的不等式時(shí)，要若 p q且qp，則 p 是 q的充要條件；若 p q且 q p，則 p是q 的既不充分也不必要條 件.4、復(fù)合命題復(fù)合命題有三種形式： p或q( p q)； p且 q ( p q)；非 p( p ).復(fù)合命題的真假判斷“ p或q ”形式復(fù)合命題的真假判斷方法：

49、一真必真 ； “ p且q ”形式復(fù)合命題的真假判斷方法： 一假必假 ； “非 p ”形式復(fù)合命題的真假判斷方法： 真假相對(duì) .5、全稱量詞與存在量詞全稱量詞與全稱命題短語“所有的” “任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做 全稱 量詞，并用符號(hào)“ ”表示 .含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題 .存在量詞與特稱命題短語“存在一個(gè)” “至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做 存在量詞 ，并用符號(hào)“ ”表示. 含有存在量詞的命題， 叫做特稱命題 .全稱命題與特稱命題的符號(hào)表示及否定全稱命題 p： x ,p(x) ，它的否定 p：x0 , p(x0). 全稱命題的否定是特稱命題焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在 x 軸上焦點(diǎn)在 y 軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程22 xy2 2 1 a b 0ab22y2 特稱命題 p ： x0, p( x0 ), ，它的否定p ： , p(x). 特稱命題的否定是全稱命題2 1 a b 0 ab第一定義到兩定點(diǎn) F1 、F2的距離之和等于常數(shù) 2a，即|MF1| |MF2 | 2a(2a |F1F2|)范圍a x a 且 b y bb x b 且 a y a頂點(diǎn)1 a,0 、 2 a,01 0, b 、 2 0,b1 0, a 、 2 0,a1 b,0 、 2 b,0軸長長軸的長 2a 短軸的長 2b對(duì)稱性關(guān)于 x 軸、 y 軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱焦點(diǎn)F1 c,0