高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)]第五章平面向量與復(fù)數(shù)章末大盤點

1、一、數(shù)形結(jié)合思想一、數(shù)形結(jié)合思想向量的加、減、數(shù)乘等線性運算有著豐富的幾何背景，向量的加、減、數(shù)乘等線性運算有著豐富的幾何背景，同時，向量的坐標表示又為向量運算的代數(shù)化提供了可能同時，向量的坐標表示又為向量運算的代數(shù)化提供了可能.因此，向量融數(shù)、形于一體，具有幾何形式與代數(shù)形式的因此，向量融數(shù)、形于一體，具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份雙重身份”，自然處于中學(xué)數(shù)學(xué)知識的重要交匯點，自然處于中學(xué)數(shù)學(xué)知識的重要交匯點.顯然，顯然，形成并自覺運用數(shù)形結(jié)合的思想方法是解決向量與其他問形成并自覺運用數(shù)形結(jié)合的思想方法是解決向量與其他問題的關(guān)鍵題的關(guān)鍵.【示例示例1】已知已知a，b是兩個非零向量，是兩個

2、非零向量，|a|b|ab|，則則a與與ab的夾角為的夾角為_解析解析如圖所示，設(shè)如圖所示，設(shè)OAa，OBb，則則BAab，OCab.由由|a|b|ab|，得，得OBABOAOAB60.OAB為正三角形為正三角形OAC120，COA30.a與與ab的夾角為的夾角為30.答案答案30領(lǐng)悟領(lǐng)悟利用向量加法的平行四邊形法則轉(zhuǎn)化為平面幾利用向量加法的平行四邊形法則轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，直觀形象何問題，直觀形象二、等價轉(zhuǎn)化的思想二、等價轉(zhuǎn)化的思想等價轉(zhuǎn)化的實質(zhì)是將難解的問題化為易解的問題，將復(fù)等價轉(zhuǎn)化的實質(zhì)是將難解的問題化為易解的問題，將復(fù)雜問題化為簡單的問題來處理雜問題化為簡單的問題來處理.在本章中，可利

3、用向量的坐在本章中，可利用向量的坐標運算法則，把向量的運算轉(zhuǎn)化為實數(shù)的運算，即將向量的標運算法則，把向量的運算轉(zhuǎn)化為實數(shù)的運算，即將向量的加、減、實數(shù)與向量的積和數(shù)量積的運算，轉(zhuǎn)化為實數(shù)的加、加、減、實數(shù)與向量的積和數(shù)量積的運算，轉(zhuǎn)化為實數(shù)的加、減、乘的運算減、乘的運算.把一些幾何問題的證明轉(zhuǎn)化為向量的代數(shù)運把一些幾何問題的證明轉(zhuǎn)化為向量的代數(shù)運算，無不體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化思想算，無不體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化思想.【示例示例2】(2009上海高考上海高考)已知已知ABC的角的角A、B、C所對的所對的邊分別是邊分別是a、b、c，設(shè)向量，設(shè)向量m(a，b)，n(sinB，sinA)，p(b2，a2)(1)若若mn

4、，求證：，求證：ABC為等腰三角形；為等腰三角形；(2)若若mp，邊長，邊長c2，角，角C，求，求ABC的面積的面積解解(1)證明：證明：mn，asinAbsinB，即即ab，其中，其中R是三角形是三角形ABC外接圓半徑，外接圓半徑，ab.ABC為等腰三角形為等腰三角形(2)由題意可知由題意可知mp0，即，即a(b2)b(a2)0.abab.由余弦定理可知，由余弦定理可知，4a2b2ab(ab)23ab，即即(ab)23ab40，ab4(舍去舍去ab1)，SabsinC4sin3領(lǐng)悟領(lǐng)悟向量的坐標表示就是把向量位置關(guān)系及有關(guān)運向量的坐標表示就是把向量位置關(guān)系及有關(guān)運算轉(zhuǎn)化為數(shù)的問題用代數(shù)運算研

5、究向量問題就是等價轉(zhuǎn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)的問題用代數(shù)運算研究向量問題就是等價轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)化思想的體現(xiàn)三、函數(shù)與方程的思想三、函數(shù)與方程的思想向量作為一種運算工具，與函數(shù)和方程是密切相關(guān)的向量作為一種運算工具，與函數(shù)和方程是密切相關(guān)的.例如，向量例如，向量a，b的坐標中含有參數(shù)的坐標中含有參數(shù)t時，計算時，計算ab時，即把時，即把ab視為關(guān)于視為關(guān)于t的函數(shù)；解決共線向量時，則常常借助的函數(shù)；解決共線向量時，則常常借助ba來確定來確定，求，求的方法即利用向量相等的充要條件列出方程的方法即利用向量相等的充要條件列出方程(組組)來求解來求解.【示例示例3】ABC中，中，A最大，最大，C最小，且最小，且A2C

6、，ac2b，求此三角形三邊之比求此三角形三邊之比解解ABC中，由正弦定理得中，由正弦定理得 2cosC，即，即cosC由余弦定理得由余弦定理得cosC 2bac，整理得整理得(2a3c)(a2c2)0，解得，解得ac或或ac.AC，ac，ac不合題意不合題意當當ac時，時，b(ac)c，a b cc c c6 5 4.故此三角形三邊之比為故此三角形三邊之比為6 5 4.領(lǐng)悟領(lǐng)悟在應(yīng)用正、余弦定理解三角形時，常用到三在應(yīng)用正、余弦定理解三角形時，常用到三角函數(shù)的有關(guān)公式，要注意各公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，角函數(shù)的有關(guān)公式，要注意各公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，本題中求解本題中求解a，c主要利用了解方程的思想，體

7、現(xiàn)了余主要利用了解方程的思想，體現(xiàn)了余弦定理與方程的聯(lián)系弦定理與方程的聯(lián)系答案：答案：1(2009遼寧高考改編遼寧高考改編)已知復(fù)數(shù)已知復(fù)數(shù)z12i，那么，那么_.解析：解析：由由z12i知知12i，于是于是i.2(2009湖北高考改編湖北高考改編)投擲兩顆骰子，得到其向上的點數(shù)分投擲兩顆骰子，得到其向上的點數(shù)分為為m和和n，則復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)(mni)(nmi)為實數(shù)的概率為為實數(shù)的概率為_解析：解析：(mni)(nmi)2mn(n2m2)i，它為實數(shù)的，它為實數(shù)的等價條件是等價條件是m2n2，又，又m，n均為正整數(shù)，均為正整數(shù)，mn.故問故問題事件所含基本事件有題事件所含基本事件有(1,1)，

8、(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)六個，試驗含有六個，試驗含有36個基本事件，所以個基本事件，所以答案：答案：3.(2009全國卷全國卷改編改編)設(shè)非零向量設(shè)非零向量a、b、c滿足滿足|a|b|c|， abc，則，則a，b.解析：解析：abc，|c|2|ab|2a22abb2.又又|a|b|c|，2abb2，即即2|a|b|cosa，b|b|2.cosa，ba，b120.答案：答案：1204.(2009福建高考福建高考)若若abi(i為虛數(shù)單位，為虛數(shù)單位，a，bR)，則，則 ab.答案：答案：2即即1iabi，a1，b1，ab2.解析：解析：abi，abi，5.(20

9、09湖南高考湖南高考)如圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一如圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起，若起，若則則x，y.解析：解析：設(shè)設(shè)則由題意：則由題意：又又BED60，顯然顯然與與的夾角為的夾角為45.由由(1-x)得：得：1cos45(x1)12.x+1.同理，在同理，在(x1)兩邊與兩邊與取數(shù)量積可得取數(shù)量積可得y答案：答案：1+6(2010揚州模擬揚州模擬)已知已知2ab(1，)，c(1，)，且，且 ac3，|b|4，則，則b與與c的夾角為的夾角為_解析：解析：2ab(1，)，c(1，)，(2ab)c2acbc(1，)(1，)2.又又ac3，bc4，cosb，c，所以，所以b與與c

10、的夾角為的夾角為.答案：答案：7(2010鹽城模擬鹽城模擬)已知已知D為為ABC的邊的邊BC上的中點，上的中點，ABC 所在平面內(nèi)有一點所在平面內(nèi)有一點P，滿足，滿足PABPCP0，則，則等于等于_解析：解析：由于由于D為為BC邊上的中點，因此由向量加法的平行四邊邊上的中點，因此由向量加法的平行四邊形法則，易知形法則，易知PBPC2PD，因此結(jié)合，因此結(jié)合PABPCP0即得即得PA2PD，因此易得，因此易得P、A、D三點共線且三點共線且D是是PA的中點，所以的中點，所以1.答案：答案：18.(2009浙江高考浙江高考)在在ABC中，角中，角A，B，C所對的邊分別為所對的邊分別為a， b，c，且

11、滿足，且滿足cos=3.(1)求求ABC的面積；的面積；(2)若若c1，求，求a的值的值.解：解：(1)因為因為cos所以所以cosA=2cos2-1=,sinA=.又由又由=3,得得bccosA3，所以，所以bc5.因此因此SABCbcsinA2.(2)由由(1)知，知，bc5.又又c1，所以，所以b5，由余弦定理，得由余弦定理，得a2b2c22bccosA20，所以所以a=2129(2009廣東高考廣東高考)已知向量已知向量a(sin，2)與與b(1，cos)互相垂直，其中互相垂直，其中(0，)(1)求求sin和和cos的值；的值；(2)若若sin()，0，求，求cos的值的值解：解：(1

12、)ab，sin1(2)cos0sin2cos.sin2cos21，4cos2cos21cos2(0，)，cossin(2)法一：法一：由由sin()有，有，sincoscossinsin2cos，sin2cos25cos22cos15cos22cos0.解得解得cos，cos0，cos.法二：法二：0，.所以所以cos()故故coscos()coscos()sinsin()10(2010南通高三調(diào)研南通高三調(diào)研)ABC中，角中，角A的對邊長等于的對邊長等于2，向量向量m(2,2cos21)，向量，向量n(sin，1)(1)當當mn取最大值時，求角取最大值時，求角A的大小；的大小；(2)在在(1)的條件下，求的條件下，求ABC面積的最大值面積的最大值解：解：(1)mn2sin(2cos21)2sincos(BC)因為因為ABC，所以，所以BCA，于是于是mn2sincosA2sin22sin12(sin)2因為因為(0，)，所以當且僅當，所以當且僅當sin，即即A時，時，mn取得最大值取得最大值.故故mn取得最大值時角取得最大值時角A.(2)設(shè)角設(shè)角A，B，C所對的邊長分別為所對的邊長分別為a，b，c，由余弦定理，得由余弦定理，得b2c2a22bccosA，即即