剛體力學(xué)習(xí)題答案.docx

1、第三章剛體力學(xué)習(xí)題答案3-1如圖3-1示,輕桿長度為21,兩端各固定小球,A球質(zhì)量為2m、B球質(zhì)量為m,桿可繞過中央的水平軸O在鉛垂面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng),求桿與豎直方向成角時(shí)的角加速度.|QA解：系統(tǒng)受外力有三個(gè),即A,B受到的重力和軸的支撐作用力,軸的作用力對(duì)軸的力皆為零,故力矩為零,系統(tǒng)只受兩個(gè)重力矩作用.以順時(shí)針方向作為運(yùn)動(dòng)的正方向,那么A球受力矩為正,B球受力矩為負(fù),兩個(gè)重力的力臂相等為dIsin,故合力矩為M2mglsinmglsuimglsill系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為兩個(gè)小球可視為質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和J2ml2ml23ml2應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律MJ有：mglsin3ml"解得gsin31“2計(jì)算

2、題扁鴻所嚓需鬻那既耨廉贊輪為質(zhì)量均勻魏騁柱體M,物體間的摩擦,設(shè)mi=50kg.m2=200kg.M=15kg,r=0.1m.解：分別以mi,n滑輪為研究對(duì)象,受力圖如圖b所示.對(duì)mi,m2運(yùn)用牛頓定律,有m2gm2aTimia對(duì)滑輪運(yùn)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律,有1,T2rTir_Mi-2又,聯(lián)立以上4個(gè)方程,得3-3飛輪質(zhì)量為60kg,半徑為0.25m,當(dāng)轉(zhuǎn)速為1000r/mni時(shí),要在5s內(nèi)令其制動(dòng),求制動(dòng)力F,設(shè)閘瓦與飛輪間摩擦系數(shù)=,飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可按勻質(zhì)圓盤計(jì)算,閘桿尺寸如下圖.解：以飛輪為研究對(duì)象,飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1,mR,制動(dòng)前角速度1000二1rad/s,制動(dòng)時(shí)角加速度為6U-制動(dòng)時(shí)閘瓦對(duì)飛輪

3、的壓力為Fn,閘瓦與飛輪間的摩擦力FfFn,運(yùn)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律,FfRJ4-mR22llmR那么Fn以閘桿為研究對(duì)象,在制動(dòng)力F和飛輪對(duì)閘瓦的壓力Fn的力矩作用下閘桿保持平衡,兩力矩的作用力臂分別為(0.500.75)m和h=0-501111那么有3-4FlFn1111mR120.500.75600.252teeo157N20.4560設(shè)有均勻圓盤,質(zhì)量為m,半徑為R,可繞過盤中央的光滑豎直軸在水平桌面上轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤與桌面間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為,假設(shè)用外力推動(dòng)它使其角速度到達(dá)0時(shí),撤去外力,求：(1)此后圓盤還能繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)多少時(shí)間(2)上述過程中摩擦力矩所做的功m解：(1)撤去外力后,盤在摩擦力矩NC作用下停

4、止轉(zhuǎn)動(dòng)-設(shè)盤質(zhì)量密度為充H,那么有R72Mfg2Ldt-mgRo3根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律Mf,jmR2JJJ23Rto3Ro4g(2)根據(jù)動(dòng)能定理有摩擦力的功Wf0_J021luR:0243-5如題3-6圖所示,一勻質(zhì)細(xì)桿質(zhì)量為m,長為1,可繞過一端O的水平軸向由轉(zhuǎn)動(dòng),桿于水平位置由靜止開始擺下.求:(1)初始時(shí)刻的角加速度；(2)桿轉(zhuǎn)過角時(shí)的角速度.解：(1)由轉(zhuǎn)動(dòng)定律,有mg-12(4ml2)3迎21(2)由機(jī)械能守恒定律,有3-6固定在一起的兩個(gè)同軸均勻圓柱體可繞其光滑的水平對(duì)稱軸OO轉(zhuǎn)動(dòng),設(shè)大小圓柱體的半徑分別為R和1,質(zhì)量分別為M和m.繞在兩柱體上的細(xì)繩分別與物體mi和m2相連,mi和m2那么

5、掛在圓柱體的兩側(cè),如3-8圖所示.設(shè)R=0.20m4,=0.10m.m=4kg,M=10kg,mi=m2=2kg,且開始時(shí)mi,m2離地均為h=2m.求:(1)柱體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角加速度：解：設(shè)ai,a2和P分別為mi,m2和柱體的加速度及角加度,方向如圖(如圖b).(2)兩側(cè)細(xì)繩的張力.(a)圖(b)圖(1)nn,1112和柱體的運(yùn)動(dòng)方程如下：T2m2gm232migTimiaiTiRT2rI式中TiTiJ2T2,32r,aiR而I±MR：1mr222由上式求得Rmirm2A2g1 nuR2mL100.2021_40.220.20220.1022 23 .13ra

6、ds2(2)由式T2m2r1U2g20.106.1329.820.8N由式T1migmiR29.8317.1N3-7-風(fēng)扇轉(zhuǎn)速為900r/min,當(dāng)馬達(dá)關(guān)閉后,風(fēng)扇均勻減速,止動(dòng)前它轉(zhuǎn)過了75轉(zhuǎn),在此過程中制動(dòng)力做的功為,求風(fēng)扇的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和摩擦力矩.解：設(shè)制動(dòng)摩擦力矩為M,風(fēng)扇轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J,止動(dòng)前風(fēng)扇的角位移2N,摩擦力矩所做的功為AMM2N摩擦力所做的功應(yīng)等于風(fēng)扇轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量,即A01J222A2(44.4)J2(9002/60)20.01kgmA444M0.0942Nm3-8質(zhì)量為M、半徑為1的圓柱體,在傾斜角的粗糙斜面上從距地面h高處只滾不滑2N275解：在滾動(dòng)過程中,

7、圓柱體受重力Mg和斜面的摩而下,試求圓柱體滾止地面時(shí)的瞬時(shí)角速度擦力F作用,設(shè)圓柱體滾止地面時(shí),質(zhì)心在瞬時(shí)速率為v,那么此時(shí)質(zhì)心的平動(dòng)動(dòng)能為XMv2,與此同時(shí),2動(dòng),其轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為4J2.將勢(shì)能零點(diǎn)取在地面上,初始時(shí)刻圓柱體的勢(shì)能為Mgh,由于2圓柱體只滾不滑而下,摩擦力為靜摩擦力,對(duì)物體不做功,只有重力做功,機(jī)械能守恒,于是有MghLMvz1J222式中J4Mi-2,vr,代入上式得23-9一個(gè)輕質(zhì)彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)k2.0N/m.它的一端固定,另一端通過條細(xì)繩繞過一個(gè)定滑輪和一個(gè)質(zhì)量為m=80g的物體相連,如下圖.定滑輪可看作均勻圓盤,它的質(zhì)量為M=100g.半徑r=0.05m,先用手托住物體m

8、,使彈簧處于其自然長度,然后松手.求物體m下降h=0.5ni時(shí)的速度為多大忽略滑輪軸上的摩擦,并認(rèn)為繩在滑輪邊緣上不打滑.m組成的系統(tǒng)機(jī)解：由于只有保守力彈性力、重力做功,所以由彈簧、滑輪和物體械能守恒,故有mghLkli：Linniv：222Vr,ILMl'22J2mghklr1.48m/sLMm的水平桌面上,它可繞通過其端點(diǎn)O且與桌面垂直的固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng).另有水平運(yùn)動(dòng)3-10有一質(zhì)量為mi、長為1的均勻細(xì)棒,靜止平放在滑動(dòng)摩擦系數(shù)為圖3-12的質(zhì)量為1112的小滑塊,從側(cè)面垂直于棒與棒的另一端A相碰撞,設(shè)碰撞時(shí)間極短.小滑塊在碰撞前后的速度分別為V1和V2,如圖示,求碰撞后從細(xì)棒開

9、始轉(zhuǎn)動(dòng)到停止轉(zhuǎn)動(dòng)的過程所需的時(shí)間棒繞O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jirmii23解：對(duì)棒和滑塊組成的系統(tǒng),由于碰撞時(shí)間極短,所以棒和滑塊所受的摩擦力矩遠(yuǎn)小于相互間的沖量矩,故可認(rèn)為合外力矩為零,所以系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒,且碰撞階段棒的角位移忽略不計(jì),由角動(dòng)量守恒得1,m2Vlim2V2Imil-3碰撞后在在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中棒受到的摩擦力矩為t111,Mg-dxLmgl0121由角動(dòng)量定理得轉(zhuǎn)動(dòng)過程中tMfdt0Unil2°3聯(lián)立以上三式解得：t2m2一Vxmig3/1哈雷彗星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道是一個(gè)橢圓.它離太陽最近距離為ri=X1010m時(shí)的速率是VI=XlOms-l,它離太陽最遠(yuǎn)時(shí)的速率是v2=X102m

10、-s4,這時(shí)它離太陽的距離以為多少太陽位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn).解：哈雷彗星繞太陽運(yùn)動(dòng)時(shí)受到太陽的引力即有心力的作用,所以角動(dòng)量守恒：又由于哈雷彗星在近日點(diǎn)及遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)的速度都與軌道半徑垂直,故有rimvi12mv2/.r2X.75IO1.5/6IO,5.26IO12mV29.081023-12平板中央開一小孔,質(zhì)量為m的小球用細(xì)線系住,細(xì)線穿過小孔后掛一質(zhì)量為Mi的重物.小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng),當(dāng)半徑為ro時(shí)重物到達(dá)平衡.今在Mi的下方再掛質(zhì)量為M2和半徑為多少圖3-14的物體,如314圖.試問這時(shí)小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度解：在只掛重物時(shí)Nh,小球作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力為Mig,即M1gmro0掛上M2后

11、,那么有(M1M2)gmr重力對(duì)圓心的力矩為零,故小球?qū)A心的角動(dòng)量守恒.即1020I2聯(lián)立、得romvormv3-13如圖示,長為1的輕桿,兩端各固定質(zhì)量分別為m和2m的小球,桿可繞水平光滑軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng),轉(zhuǎn)軸O距兩端的距離分別為1/3或21/3.原來靜止在豎直位置.今有-質(zhì)量為m的小球,以水平速度vo與桿下端的小球m做對(duì)心碰撞,碰后以vo/2的速度返回,試求碰撞后輕桿所獲得的角速度圖3-13解：將桿與兩端的小球視為一剛體,水平飛來的小球m與剛體視為一系統(tǒng),在碰撞過程中,外力包括軸O處的作用力和重力,均不產(chǎn)生力矩,故合外力矩為零,系統(tǒng)角動(dòng)量守恒-選逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正方向,那么由角動(dòng)量守恒得v

12、o21m232m(_)2321mvo一3J.今3解得到213-14圓盤形飛輪A質(zhì)量為m,半徑為I,最初以角速度0轉(zhuǎn)動(dòng),與A共軸的圓盤形飛輪B質(zhì)量為4m泮徑為2r,最初靜止,如下圖,兩飛輪嚙合后,以同一速度轉(zhuǎn)動(dòng),求及嚙合過程中機(jī)械能的損失.解：以兩飛輪組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象,由于運(yùn)動(dòng)過程中系統(tǒng)無外力矩作用,1,Lmr20上_4m(2r/角動(dòng)量守恒,有222得o初始機(jī)械能為Wi嚙合后機(jī)械能為W2LLm0,22J-J-11112,22J-HIDo,41 1)一4m(2r)22 2那么機(jī)械能損失為wW1W2444mr202174：-LLinr：0217416W17173-15如圖示,勻質(zhì)圓盤半徑為r,質(zhì)

13、量為mi,可繞過中央的垂軸O轉(zhuǎn)動(dòng).初時(shí)盤靜止,一質(zhì)量為m2的/彈速度v沿與盤半徑成160的方向擊中盤邊緣后以速度v/2沿與半徑方向成230的方向反彈,求盤獲得的角速度.解：對(duì)于盤和子彈組成的系統(tǒng),撞擊過程中軸O的支撐力的力臂為零,不提供力矩,其他外力矩的沖量矩可忽略不計(jì),故系統(tǒng)對(duì)軸.的角動(dòng)量守恒,即LiL2,初時(shí)盤的角動(dòng)量為零,只有子彈有角動(dòng)量,故Lim2vrsin60末態(tài)中盤和子彈都有角動(dòng)量,設(shè)盤的角速度為,那么V1,L2m?-rsin30_mir-22V12故有m：vr加60m：r-iinSO可解得：2百lm2V2mir3-16一人站在一勻質(zhì)圓板狀水平轉(zhuǎn)臺(tái)的邊緣,轉(zhuǎn)臺(tái)的軸承處的摩擦可忽略不

14、計(jì),人的質(zhì)量為111',轉(zhuǎn)臺(tái)的質(zhì)量為10m',半徑為R.最初整個(gè)系統(tǒng)是靜止的,這人把一質(zhì)量為m的石子水平地沿轉(zhuǎn)臺(tái)的邊緣的切線方向投出,石子的速率為v相對(duì)于地面.求石/投出后轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度與人的線速度.解：以人、轉(zhuǎn)臺(tái)和石廣組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象,由于系統(tǒng)無外力矩作用,角動(dòng)量守恒,設(shè)轉(zhuǎn)臺(tái)角速度的轉(zhuǎn)向與投出的石子速度v方向一致,初始時(shí)系統(tǒng)角動(dòng)量為零,得JmRv0人和轉(zhuǎn)臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JL10m'R:mR；代入上式后得2mv6mR人的線速度為VRmv6m其中負(fù)號(hào)表示轉(zhuǎn)臺(tái)角速度轉(zhuǎn)向和人的線速度方向與假設(shè)方向相反-3-17一人站在轉(zhuǎn)臺(tái)上,兩臂平舉,兩手各握一個(gè)m4kg、啞鈴距轉(zhuǎn)臺(tái)軸io0.

15、8m,起初轉(zhuǎn)臺(tái)以2的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)然后此人放下兩臂使啞鈴與軸相距設(shè)人與轉(zhuǎn)orad/s,r0.2m,臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不變,且J5kgm2,轉(zhuǎn)臺(tái)與軸間摩擦忽略不計(jì),求轉(zhuǎn)臺(tái)角速度變?yōu)槎啻笳麄€(gè)系統(tǒng)的動(dòng)能改變了多少解：以人、轉(zhuǎn)臺(tái)和啞鈴組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象,由于系統(tǒng)無外力矩作用,角動(dòng)量守恒,有(J2mro2)o(J2mr2)J2mro25240.82、,nAf0212.0rad/sJ2mr25240.22動(dòng)能的增量為1,1WWW-(J2mr2).-(J2mr0,°22°°4-(5240.22)122-4(5240.82)(2)222=183J3-18如3-20圖所示,質(zhì)量為M,長為1

16、的均勻直棒,可繞垂直于棒一端的水平軸O無摩擦地轉(zhuǎn)圖18動(dòng),它原來靜止在平衡位置上.現(xiàn)有質(zhì)量為m的彈性小球飛來,正好在棒的下端與棒垂直地相撞.相撞后,使棒從平衡位置處擺動(dòng)到最大角度30.處.(1)設(shè)這碰撞為彈性碰撞,試計(jì)算小球初速V0的值：(2)相撞時(shí)小球受到多大的沖量解：(1)設(shè)小球的初速度為V0,棒經(jīng)小球碰撞后得到的初角速度為,而小球的速度變?yōu)閂,按題意,小球和棒做彈性碰撞,所以碰撞時(shí)遵從角動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律,可列式:mvolImvl1.1T.mvo-U2J-niv：222上兩式中ILMb,碰撞過程極為短暫,可認(rèn)為棒沒有顯著的角位移：碰撞后,棒從豎直3位置上擺到最大角度由式得30&

17、#176;,按機(jī)械能守恒定律可列式：LI2Mg_(lCOS30)221；-(1cos30)江(1S'I12由式由式所以求得vo1-(1.)-(1-LM.)?nil23mV6(2y/-33mM12mQ)相碰時(shí)小球受到的沖量為Fdtmvmvmvo由式求得1FdtmvmvoIM13V6(26)Mq6負(fù)號(hào)說明所受沖量的方向與初速度方向相反.3-19如圖示,一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I,半徑為R的定滑輪上面繞有細(xì)繩K量為M的物體A現(xiàn)有-質(zhì)量為m的子彈在距轉(zhuǎn)軸_的水2,并沿水平方向拉著個(gè)質(zhì)平方向以速度vo射入并固定在定滑輪的邊緣,使滑輪拖住A在水平面上滑輪.求1子彈射入并固定在滑輪邊緣后,滑輪開始轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角速

18、度.2假設(shè)定滑輪拖著物體A剛好轉(zhuǎn)一圈而停止,求物體A與水平面間的摩擦系數(shù)軸上摩擦力忽略不計(jì)圖3-19DraM1解：1子彈射入定滑輪前后,子彈、定滑輪及物體A構(gòu)成的系統(tǒng)R,角動(dòng)量守恒mvo2mRIMR解得mvoR2(mR2MR2)2定滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)過程中物體1-(I2mR2MR?)解得A受的摩擦力所做的功等于系統(tǒng)動(dòng)能的增量Mg2Rm2voR16Mg(mR2MR2I)3-20行星在橢圓軌道上繞太陽運(yùn)動(dòng),太陽質(zhì)量為mi,行星質(zhì)量為m2,行星在近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)離太陽中央的距離分別為口和n,求行星在軌道上運(yùn)動(dòng)的總能量解：將行星和太陽視為一個(gè)系統(tǒng),由于只有引力做功,系統(tǒng)機(jī)械能守恒,設(shè)行星在近口點(diǎn)12mim212

19、mim2和遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)的速率分別為_m2V2-G_1_?212Gmini2fl12和V,有1mvVI2211GII222Gl2行星在軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí),受太陽的萬有引力作用,引力的方向始終指向太陽,以太陽為參考點(diǎn),行星所受力矩為零,故行星時(shí)太陽的角動(dòng)量守恒miivi1111212V2行星在軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)的總能量為1 7cmmE_mivrG_i_22 ri聯(lián)立以上三式得：E3-21半徑為R質(zhì)量為m'的勻質(zhì)圓盤水平放置,可繞通過圓盤中央的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng).圓盤邊緣及R/2處設(shè)置了兩條圓形軌道,質(zhì)量都為m的兩個(gè)玩具小車分別沿兩軌道反向運(yùn)行,相對(duì)于圓盤的線速度值同為V.假設(shè)圓盤最初靜止,求兩小車開始轉(zhuǎn)動(dòng)后圓盤的角速度.解：設(shè)兩小車和圓盤運(yùn)動(dòng)方向如下圖,以圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)方向?yàn)檎?外軌道上小車相對(duì)于地11面的角動(dòng)量為mR(RV),內(nèi)軌道上