中考沖刺代幾綜合問題知識講解(提高)

1、中考沖刺：代幾綜合問題一知識講解提升撰稿：李愛國審稿：杜少波【中考展望】代幾綜合題是初中數(shù)學(xué)中覆蓋面最廣、綜合性最強(qiáng)的題型.近幾年的中考壓軸題多以代幾綜合題的形式出現(xiàn).解代幾綜合題一般可分為“認(rèn)真審題、理解題意；探求解題思路；正確解答三個步驟,解代幾綜合題必須要有科學(xué)的分析問題的方法.數(shù)學(xué)思想是解代幾綜合題的靈魂,要善于挖掘代幾綜合題中所隱含的重要的轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論的思想、方程不等式的思想等,把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,建立數(shù)學(xué)模型,這是學(xué)習(xí)解代幾綜合題的關(guān)鍵.題型一般分為：1方程與幾何綜合的問題；2函數(shù)與幾何綜合的問題；3動態(tài)幾何中的函數(shù)問題；4直角坐標(biāo)系中的幾何問題；5幾何圖

2、形中的探究、歸納、猜測與證實問題題型特點：一是以幾何圖形為載體,通過線段、角等圖形尋找各元素之間的數(shù)量關(guān)系,建立代數(shù)方程或函數(shù)模型求解；二是把數(shù)量關(guān)系與幾何圖形建立聯(lián)系,使之直觀化、形象化,從函數(shù)關(guān)系中點與線的位置、方程根的情況得出圖形中的幾何關(guān)系.以形導(dǎo)數(shù),由數(shù)思形,從而尋找出解題捷徑.解代幾綜合題要靈活運用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)化,關(guān)鍵是要從題目中尋找這兩局部知識的結(jié)合點,從而發(fā)現(xiàn)解題的突破口.【方法點撥】方程與幾何綜合問題是中測試題中常見的中檔題,主要以一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系為背景,結(jié)合代數(shù)式的恒等變形、解方程組、解不等式組、函數(shù)等知識.其根本形式有：求代數(shù)

3、式的值、求參數(shù)的值或取值范圍、與方程有關(guān)的代數(shù)式的證實.函數(shù)型綜合題主要有：幾何與函數(shù)結(jié)合型、坐標(biāo)與幾何、方程與函數(shù)結(jié)合型問題,是各地中測試題中的熱點題型.主要是以函數(shù)為主線,建立函數(shù)的圖象,結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)、方程等解題.解題時要注意函數(shù)的圖象信息與方程的代數(shù)信息的相互轉(zhuǎn)化.例如函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)即為相應(yīng)方程的根；點在函數(shù)圖象上即點的坐標(biāo)滿足函數(shù)的解析式等.函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點,也是難點,更是中考命題的主要考查對象,由于這類題型能較好地考查學(xué)生的函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想,能較全面地反映學(xué)生的綜合水平,有較好的區(qū)分度,因此是各地中考的熱點題型.幾何綜合題考查知識點多、

4、條件隱晦,要求學(xué)生有較強(qiáng)的理解水平,分析水平,解決問題的水平,對數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法有較強(qiáng)的駕馭水平,并有較強(qiáng)的創(chuàng)新意識與創(chuàng)新水平.1 .幾何型綜合題,常以相似形與圓的知識為考查重點,并貫穿其他幾何、代數(shù)、三角等知識,以證實、計算等題型出現(xiàn).2 .幾何計算是以幾何推理為根底的幾何量的計算,主要有線段和弧長的計算,角的計算,三角函數(shù)值的計算,以及各種圖形面積的計算等.3 .幾何論證題主要考查學(xué)生綜合應(yīng)用所學(xué)幾何知識的水平.4 .解幾何綜合題應(yīng)注意以下幾點：1注意數(shù)形結(jié)合,多角度、全方位觀察圖形,挖掘隱含條件,尋找數(shù)量關(guān)系和相等關(guān)系；2注意推理和計算相結(jié)合,力求解題過程的標(biāo)準(zhǔn)化；3注意掌握常規(guī)的證題

5、思路,常規(guī)的輔助線作法；4注意靈活地運用數(shù)學(xué)的思想和方法.【典型例題】類型一、方程與幾何綜合的問題命1.如圖,在梯形ABCM,AD/BC,ZA=90,AB=7,AD=2BC=3.問：線段AB上是否存在點P,使得以P、AD為頂點的三角形與以P、B、C為頂點的三角形相似假設(shè)存在,這樣的總共有幾個并求出AP的長；假設(shè)不存在,請說明理由.【思路點撥】由于以P、A、D為頂點的三角形與以P、BC為頂點的三角形相似時的對應(yīng)點不能確定,故應(yīng)分兩種情況討論.【答案與解析】解：存在. AD/BC,/A=90,/B=90,PAAD當(dāng)PAN4PBC時,=PBBC.AD=2BC=3設(shè)AP=x,PB=7-x,那么7Xx2

6、3,14 AP=.a5PAAD當(dāng)人口.4BPC時,=BCBPAD=2,BC=3設(shè)設(shè)AP=x,PB=7-x, .AP=1或AP=6.14由可知,P點距離A點有二個位置：AP=,AP=1,AP=6.5【總結(jié)升華】此題考查的是相似三角形的判定,解答此題時要注意分類討論,不要漏解.舉一反三：【變式】有一張矩形紙片ABCDAB=2,AD=5把這張紙片折疊,使點A落在邊BC上的點E處,折痕為MNMN交AB于M交AD于N.(1)假設(shè)BE=J2,試畫出折痕MN的位置,并求這時AM的長；(2)點E在BC上運動時,設(shè)BE=x,AN=y,試求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出x的取值范圍；(3)連接DEL,是否存在這樣的

7、點E,使彳AMEWDNE相似假設(shè)存在,請求出這時BE的長；假設(shè)不存在,請說明理由.A|DBIC【答案】(1)畫出正確的圖形.(折痕MN5須與ARAD相交).設(shè)AM=t,那么ME=t,MB=2-t,由bM+B=mE,彳導(dǎo)t=3,即AM=3.(2)如圖(a),BE=x,設(shè)BM=a貝Ua2+x2=(2-a)2,a2+x2=4-4a+a2,4-x2a=4,2,24-x4xAM=2-BM=2=x2452x25又AM=MEDN=NE=NA=,2解得：x=1或x=4.又.5-.21x0)秒,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點.和點P.矩形ABCM三個頂點為A(1,0)、B(1,5)、D(4,0).求c、b(可以

8、用含t的代數(shù)式表示)；當(dāng)t1時,拋物線與線段AB交于點M.在點P的運動過程中,你認(rèn)為/AMP勺大小是否會變化假設(shè)變化,說明理由；假設(shè)不變,求出/AMP勺值；在矩形ABCD勺內(nèi)部(不含邊界),把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點稱為“好點.假設(shè)拋物線將這些“好點分成數(shù)量相等的兩局部,請直接寫出t的取值范圍.【思路點撥】(1)由拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點O和點P,將點O與P的坐標(biāo)代入方程即可求得c,b;(2)當(dāng)x=1時,y=1-t,求得M的坐標(biāo),那么可求得/AMP勺度數(shù)；(3)根據(jù)圖形,可直接求得答案.【答案與解析】解：(1)把x=0,y=0代入y=x2+bx+c,得c=0,再把x=t,y=0代入y=x2

9、+bx,得t2+bt=0,t0,b=-t;(2)不變.,一拋物線的解析式為：y=x2-tx,且M的橫坐標(biāo)為1,當(dāng)x=1時,y=1-t, .M(1,1-t),AM=|1-t|=t-1, OP=t,AP=t-1,AM=AP /PAM=90,/AMP=45;/o、711(3)vtv.23左邊4個好點在拋物線上方,右邊4個好點在拋物線下方:左邊3個好點在拋物線上方,右邊3個好點在拋物線下方:那么有-4vy2-3,-2vy3-1,無解;即-4v4-2tV-3,-2V9-3tV-1,二4且笆11,解得7t11；23323左邊2個好點在拋物線上方,左邊1個好點在拋物線上方,左邊0個好點在拋物線上方,右邊2個

10、好點在拋物線下方:右邊1個好點在拋物線下方:右邊0個好點在拋物線下方:無解;無解;無解;一.,一一711綜上所述,t的取值范圍是：7vtv11.23【總結(jié)升華】此題考查了二次函數(shù)與點的關(guān)系.此題綜合性很強(qiáng),難度適中,解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用.類型三、動態(tài)幾何中的函數(shù)問題C3.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,二次函數(shù)y=ax2+2ax+c的圖像與y軸交于C(0,3),與x軸交于A、B兩點,點B的坐標(biāo)為(-3,0)(1)求二次函數(shù)的解析式及頂點D的坐標(biāo)；OM四邊形ACDM成面積為1:2的兩局部,P在何處時CPB的面積最大最大面積是多(2)點M是第二象限內(nèi)拋物線上的一動點,假設(shè)直線求

11、出此時點M的坐標(biāo)；(3)點P是第二象限內(nèi)拋物線上的一動點,問：點少并求出此時點P的坐標(biāo).【思路點撥】(1)拋物線的解析式中只有兩個待定系數(shù),因此只需將點B、C的坐標(biāo)代入其中求解即可.(2)先畫出相關(guān)圖示,連接OD后發(fā)現(xiàn)：SaobdS四邊形acd=2:3,因此直線.皿須經(jīng)過線段BD才有可能符合題干的要求；設(shè)直線0Mtl線段BD的交點為E,根據(jù)題干可知：OBE多邊形OEDCA勺面積比應(yīng)12該是1:2或2:1,即OBE的面積是四邊形ACDB0積的、或：,所以先求出四邊形ABDC勺面積,進(jìn)而得到OBE的面積后,可確定點E的坐標(biāo),首先求出直線0E(即直線0M的解析式,聯(lián)立拋物線的解析式后即可確定點M的坐

12、標(biāo)(注意點M的位置).(3)此題必須先得到關(guān)于CPB面積的函數(shù)表達(dá)式,然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)來求出CPB的面積最大值以及對應(yīng)的點P坐標(biāo)；通過圖示可發(fā)現(xiàn),4CPB的面積可由四邊形OCPB勺面積減去0CB勺面積求得,首先設(shè)出點P的坐標(biāo),四邊形OCPB勺面積可由OCPOPB勺面積和得出.【答案與解析】c=3,a=-1,解：(1)由題意,得：W解得：i9a-6ac=0.c=3.所以,二次函數(shù)的解析式為：y=-x2-2x+3,頂點D的坐標(biāo)為(-1,4)(2)畫圖由A、B、C、D四點的坐標(biāo),易求四邊形ACDB勺面積為9.直線BD的解析式為y=2x+6.設(shè)直線OMW直線BD交于點E,那么AOBE的面積可以為3或

13、6.當(dāng)-2),直線OE勺解析式為y=-x.2-x=-x-2x3.亨(舍),乂222m(3,322).1一當(dāng)Sobe=父9=6時,同理可得M點坐標(biāo).3M點坐標(biāo)為(-1,4).(3)如圖,連接OP,設(shè)P點的坐標(biāo)為(m,n),丁點P在拋物線上,n=-m2-2m+3,一SACPB=SacpoSaopb_Sacob11_1-OC|-m|OBn-OCOB2223二一一m23n-9=旦n-m-3222-3m23m-3m-27.22283m0,.當(dāng)m=3時,n=15.4CPB的面積有最大值2248當(dāng)點P的坐標(biāo)為(3,15)時,CPB的面積有最大值,且最大值為27248、4【總結(jié)升華】(2)問中,此題主要考查了

14、二次函數(shù)解析式確實定、圖形面積的解法以及二次函數(shù)的應(yīng)用等知識;一定先要探究一下點M的位置,以免出現(xiàn)漏解的情況.舉一反三：【變式】如下圖,四邊形OABB矩形,點AC的坐標(biāo)分別為(3,0),(0,1),點D是線段BC上的動點(與端點BC不重合),過點D作直線y=-1x+b交折線OAW點E.2(1)記ODE勺面積為S,求S與b的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)點E在線段OA上時,假設(shè)矩形OAB暖于直線DE的對稱圖形為四邊形OABC,試探究OAB1G與矩形OABC勺重疊局部的面積是否發(fā)生變化,假設(shè)不變,求出該重疊局部的面積；假設(shè)改變,請說明理由.【答案】(1)由題意得B(3,1).3假設(shè)直線經(jīng)過點A(3,0)時,

15、那么b=-25假設(shè)直線經(jīng)過點B(3,1)時,那么b=-2假設(shè)直線經(jīng)過點C(0,1)時,那么b=1.3假設(shè)直線與折線OABW交點在OA上時,即1b一如圖1,此時點E(2b,0)2.S=LOE-CO=1X2bx1=b.22假設(shè)直線與折線OAB勺交點在BA上時,即-b0,頂點F(1,2),設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-1)2+2,(aw0).如圖1,當(dāng)EF=PF時,eF=pP,12+(n-2)2=5,解得m=0(舍去),出=4.P(0,4),4=a(0-1)2+2,解得a=2,拋物線的解析式為y=2(x-1)2+2.如圖2,當(dāng)EP=FP時,EP2=FF2,5(舍去)2當(dāng)EF=EP時,EP=j53,這

16、種情況不存在.如圖3,作點E關(guān)于x軸的對稱點E,作點F關(guān)于y軸的對稱點F,連結(jié)EF,分別與x軸、y軸交于點M.E(3,-1)、N,那么點MN就是所求.連結(jié)NF、ME.F(-1,2),NF=NF,ME=ME.BF=4,BE=3.FN+NM+ME=FN+NM+ME=FE=732+42=5.又EF=J5,FN+MN+ME+EF=5,此時四邊形MNFE勺周長最小值為5+,5.(2-n)2+1=(1-n)2+9,解得n=【總結(jié)升華】此題考查了平面直角坐標(biāo)系、等腰直角三角形、拋物線解析式的求法、利用軸對稱求最短距離以及數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想.分類討論的思想要依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn),對問題分類、求解,要特別注

17、意分類原那么是不重不漏,最簡分類常見的依據(jù)是：一是依據(jù)概念分類,如判斷直角三角形時明確哪個角可以是直角,兩個三角形相似時分清哪兩條邊是對應(yīng)邊；二是依運動變化的圖形中的分界點進(jìn)行分類,如幾何與函一個圖形在運動過程中,與另一個圖形重合局部可以是三角形,也可以是四邊形、五邊形等數(shù)的綜合題是中考常見的壓軸題型,解決這類問題主要分為兩步：一是利用線段的長確定出幾何圖形中各點的坐標(biāo)；二是用待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式.類型五、幾何圖形中的探究、歸納、猜測與證實問題5.如下圖,以等腰三角形AOB的斜邊為直角邊向外作第2個等腰直角三角形ABA,再以等腰直角三角形ABA的斜邊為直角邊向外作第3個等腰直角三角形AiBB

18、1,如此作下去,假設(shè)OA=OB=1那么第n個等腰直角三角形的面積S=(n為正整數(shù)).AiAOBiB【思路點撥】此題要先根據(jù)的條件求出S、S2的值,然后通過這兩個面積的求解過程得出一般性的規(guī)律,進(jìn)而可得出Sn的表達(dá)式.【答案與解析】根據(jù)直角三角形的面積公式,得S=-=2-1;根據(jù)勾股定理,得：AB=J2,那么S2=1=2;AiB=2,那么S=2：依此類推,發(fā)現(xiàn)：Sn=2n-2.【總結(jié)升華】此題要先從簡單的例子入手得出一般化的結(jié)論,然后根據(jù)得出的規(guī)律去求特定的值.舉一反三：【變式】閱讀下面的文字,答復(fù)后面的問題.求3+32+33+3100的值.解：令S=3+32+33+-+3100(1),將等式兩邊提示乘以3得到：3s=32+33+34+3101(2),(2)-(1)得至k2S=301-3J01cs=3_32101.3+32+33