同濟大學高等數學第六版第七章第五節(jié)可降階的高階微分方程

1、某些二階微分方程某些二階微分方程變量代換變量代換一階微分方程一階微分方程可降階的微分方程可降階的微分方程降階法降階法一一. 型的微分方程型的微分方程) ,( yxfy 二二. 型的微分方程型的微分方程) ,( yyfy 五、小結五、小結 思考題思考題型型的的微微分分方方程程二二、),(yxfy ),(yyfy 三、三、 型的微分方程型的微分方程),(yyfy ( )( )nyf x一一、型型的的微微分分方方程程四、齊次方程四、齊次方程第四節(jié) 可降階的高階微分方程（differential equation of higher order）定義：二階及二階以上的微分方程統稱為 高階微分方程。一般

2、形式為：注：一般的高階微分方程沒有普遍的解法，處理問題的基本原則是降階。( )( , , , ,)0.nF x y y yy( )( )nyf x一、型的微分方程解法：解法：特點：特點：.x等等式式右右端端僅僅含含有有自自變變量量(1)1(2)12( ).( )nnyf x dxCyf x dxC dxC 則同理可得依次積分下去，就可得通解依次積分下去，就可得通解.( )( )nyf x在兩邊積分cosyxx例. 求微分方程的通解.例.3sin2的的通通解解求求微微分分方方程程xeyx 解解次次，得得對對所所給給方方程程連連續(xù)續(xù)積積分分兩兩123cos321cxeyx 2123sin941cx

3、cxeyx ( , )yf x y二、型的微分方程py 設設,pdxdpy 則則特點：特點：. y 右右端端不不顯顯含含未未知知函函數數解法：解法：. ），（方程變?yōu)榉匠套優(yōu)閜xfp 關于關于x, p的的一一階微分方程，設其通解為階微分方程，設其通解為),(1Cxp 即即),(1Cxdxdyp 故方程的故方程的 通解為：通解為：21CdxCxy ),( 例(5)(4)0.xyy求微分方程的通解例0.xyy求微分方程的通解例例. 求微分方程求微分方程 yxyx 212)(滿足初滿足初始條件始條件3 100 xxyy,的特解的特解.)( )1()1ln(ln .12 , 12122CeCxCypC

4、xpdxxxpdppy 即即兩兩端端積積分分得得可可得得代代入入方方程程并并分分離離變變量量后后設設解解：. 13 3 xxy所求特解為所求特解為 33 10 Cyx，得，得由條件由條件233Cxxy 積分得積分得 )1(3 2xy 故故1120 Cyx得得又又由由條條件件三、三、 ),(yyfy 型型特點：特點：方程中不明顯地含有自變量方程中不明顯地含有自變量x.解法：解法：)(ypy 設設,dydPpdxdydydpy 則則方程化為關于方程化為關于y , p 的一階微分方程的一階微分方程),(pyfdydpp 設它的通解為：設它的通解為：),(1Cypy 分離變量并積分，可得原方程的通解為

5、：分離變量并積分，可得原方程的通解為：.),(21CxCydy .02的通解的通解求方程求方程 yyy解一解一,dydPpy 則則),(ypy 設設代入原方程得代入原方程得 , 02 PdydPPy, 0)( PdydPyP即即，由由0 PdydPy,1yCP 可得可得.12xCeCy 所以原方程的通解為所以原方程的通解為，即即yCdxdy1 例例 解二解二,12y兩端同乘不為零因子兩端同乘不為零因子, 0)(22 yydxdyyyy,1yCy 故故從而通解為從而通解為.12xCeCy 解三解三原方程變?yōu)樵匠套優(yōu)?yyyy 兩邊積分兩邊積分,得得，1lnlnlnCyy ，即即yCy1 原方程

6、的通解為原方程的通解為.12xCeCy 例例 求方程求方程 的通解。的通解。2 ( )0yyyy例例 求方程求方程 的通解。的通解。23 ( )( )0yyyy特點：特點：解法：解法：),(),()()(nknyyyxFttyy ttyxF 次次齊齊次次函函數數k zdxey可通過變換可通過變換).(,xz得新未知函數得新未知函數將其降階將其降階, zdxzey,)(2 zdxezzy,),()1()( zdxnnezzzy四、齊次方程四、齊次方程, zdxke代入原方程并消去代入原方程并消去( )( , ,)0nF x y yy階方程階方程的的得新函數得新函數)1()( nxz. 0),()

7、1( nzzzxf.)(22的通解的通解求方程求方程yxyyyx 解解, zdxey設設代入原方程代入原方程,得得,122xzxz ,121xCxz 解其通解為解其通解為.1212)1(xCdxxCxxeCey 原方程通解為原方程通解為例例.2的通解的通解求方程求方程yyyxyxy 解解, zdxey設設，zxz ,xCz 解其通解為解其通解為.212xCCxdxeCey 原方程通解為原方程通解為代入原方程代入原方程,得得例例 五、小結五、小結通過適當的變量代換降階求解下列方程通過適當的變量代換降階求解下列方程( )nyf x( ),(yxfy ),(yyfy 齊次方程齊次方程逐次積分令, )(xpy xpydd 則令, )(ypy yppydd