二次函數與一元二次方程知識點及經典例題

1、二次函數y=ax2bxc與ax2bxc =0（a0）的關系1、 一元二次方程ax2bxc =0（a0）的根是二次函數y=ax2bxc（a0）與x軸交點的橫坐標，反之y=ax2bxc（a0）與x軸交點的橫坐標是一元二次方程ax2bxc =0（a0）的根；52、 一元二次方程ax2bxc =0（a0）根情況的判別即二次函數y=ax2bxc（a0）與x軸交點個數情況：判別式直接看方程平移例1：拋物線y=ax2bxc圖像如下， 則 ax2bxc =0的根有 （ ）個ax2bxc+30的根有（ ）個ax2bxc40的根有（ ）個 x例2：若關于x的不等式組 無解，則二次函數y=（a-2）x2-x與X x

2、 軸交點有（ ）個；例3：一元二次方程與X軸的交點個數為（ ）個；例4：二次函數y=ax2bxc（a0）的圖像如圖所示，根據圖像解答下列問題：（1） 寫出方程ax2bxc =0的兩個根；（2） 寫出不等式ax2bxc >0的解集；（3） 寫出y隨x的增大而減小的自變量x的取值范值；（4） 若方程ax2bxc =k有兩個不相等的實數根，求k的取什范圍。 32213、 韋達定理在二次函數y=ax2bxc（a0）中的應用（） 已知其中一個交點，求另一個交點：例5：若拋物線與X軸的一個交點是（2，0）則另一個交點是（ ）； 求兩交點A,B線段的長度例6：若拋物線與X軸的交點為A，B，且AB的長度

3、為10，求a 利用韋達定理求面積：例7：拋物線與X軸的一個交點是A(3，0），另一個交點是B，且與y軸交于點C， （1）求m的值；（2）求點B的坐標；（3）該二次函數圖象上有一點D（x，y）（其中x>0，y>0），使，求點D的坐標。y例5：已知如圖，二次函數與x軸于A,B兩點，若OA:OB=3:1，求mxBAO例6：已知二次函數的圖像交x軸于A(，0)、B（，0）兩點，交y軸正半軸于點C，且。（1） 求此二次函數的解析式； （）（2） 是否存在過點D(0，)的直線與拋物線交于點M、N,與x軸交于E點，使得M、N關于點E對稱？若存在，求直線MN的解析式；若不存在，請說明理由。4、 拋

4、物線ax2bxc =0與x軸交點及對稱軸之間的關系；設拋物線與x軸的交點為A(，0)和B（，0）則對稱軸為直線，拋物線任縱坐標相等的兩點關于對稱軸對稱，即若有，則則對稱軸為直線。31例10：已知二次函數的部分圖像如圖所示，則關于x的一元二次方程的解是（ ）5. 若二次函數y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的圖象與坐標軸共有兩個交點，則a可取( )6. 已知二次函數y=ax2+bx+c（a0）經過點M（-1，2）和點N（1，-2），交x軸于A，B兩點，交y軸于C則：b=-2； 該二次函數圖象與y軸交于負半軸； 存在這樣一個a，使得M、A、C三點在同一條直線上； 若a=1，則OAOB=OC2以

5、上說法正確的有（） A B C D解析：解：二次函數y=ax2+bx+c（a0）經過點M（-1，2）和點N（1，-2），2ab+c 2a+b+c解得b=-2 故該選項正確方法一：二次函數y=ax2+bx+c，a0該二次函數圖象開口向上點M（-1，2）和點N（1，-2），直線MN的解析式為y=-2x，根據拋物線的圖象的特點必然是當-1x1時，二次函數圖象在y=-2x的下方，該二次函數圖象與y軸交于負半軸；方法二：由可得b=-2，a+c=0，即c=-a0，所以二次函數圖象與y軸交于負半軸故該選項正確根據拋物線圖象的特點，M、A、C三點不可能在同一條直線上故該選項錯誤當a=1時，c=-1，

6、該拋物線的解析式為y=x2-2x-1當y=0時，0=x2-2x+c，利用根與系數的關系可得 x1x2=c，即OAOB=|c|，當x=0時，y=c，即OC=|c|=1=OC2，若a=1，則OAOB=OC2，故該選項正確 總上所述正確 故選C7. 如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數y1=kx+b（k0）與反比例函數y2m/x(m0)交于A（-2，n）及另一點B，與兩坐標軸分別交于點C、D過A作AHx軸于H，若OC=2OH，且ACH的面積為9（1）求一次函數與反比例函數的解析式及另一交點B的坐標；（2）根據函數圖象，直接寫出當y1y2時自變量x的取值范圍解析：（1）A（-2，n），OH=2，O

7、C=2OH=4，CH=2+4=6，SACH1/2CH|yA|1/2×6n9n=3，（2分）A（-2，3），C（4，0），一次函數圖象過點A（-2，3），C（4，0），y11/2x+2（4分）3m/-2，m=-6y26/x，B（6，-1）；（8分）（2）x-2或0x6（10分）8. 已知二次函數y=x2+ax+a-2(1)說明y=ax2+ax+a-2與x軸有兩個不同交點（2）求出交點距離（用a的 表達式）解析：(1)因為a2-4(a-2)=(a-2)2+40，（即y=0時，方程x2+ax+a-20有兩個不同的實數根），故y=x2+ax+a-2與x軸有兩個不同交點。 （2）令交點坐標為（x1,0)、(x2,0),且：x2x1，故：交點距離x2-