三角形中做輔助線的技巧

1、 三角形中做輔助線的技巧口訣： 三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。1、 由角平分線想到的輔助線 口訣：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對(duì)稱性；b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。對(duì)于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩

2、種。從角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線；利用角平分線，構(gòu)造對(duì)稱圖形（如作法是在一側(cè)的長邊上截取短邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對(duì)稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。與角有關(guān)的輔助線（一）、截取構(gòu)全等如圖1-2，AB/CD，BE平分BCD，CE平分BCD，點(diǎn)E在AD上，求證：BC=AB+CD。已知：如圖1-4，在ABC中，C=2B,AD平分BAC，求證：AB-AC=CD（二）、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等過角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題。例1 如圖2-1，已知ABAD, BAC=FAC,

3、CD=BC。求證：ADC+B=180例2 已知如圖2-3，ABC的角平分線BM、相交于點(diǎn)P。求證：BAC的平分線也經(jīng)過點(diǎn)P。練習(xí)：1如圖2-4AOP=BOP=15，PC/OA，PDOA， 如果PC=4，則PD=（ ） A 4 B 3 C 2 D 12.已知：如圖2-6,在正方形ABCD中，E為CD 的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC 上的點(diǎn)，F(xiàn)AE=DAE。求證：AF=AD+CF。 3.已知：如圖2-7，在RtABC中，ACB=90,CDAB，垂足為D，AE平分CAB交CD于F，過F作FH/AB交BC于H。求證CF=BH。（三）：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相

4、交，則截得一個(gè)等腰三角形，垂足為底邊上的中點(diǎn)，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交）。例1 已知：如圖3-1，BAD=DAC，ABAC,CDAD于D，H是BC中點(diǎn)。求證：DH=（AB-AC）分析：延長CD交AB于點(diǎn)E，則可得全等三角形。問題可證。例2.已知：如圖3-2，AB=AC，BAC=90，AD為ABC的平分線，CEBE.求證：BD=2CE。分析：給出了角平分線給出了邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，可延長此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形。例3已知：如圖3-3在ABC中，AD、

5、AE分別BAC的、外角平分線，過頂點(diǎn)B作BFAD，交AD的延長線于F，連結(jié)FC并延長交AE于M。求證：AM=ME。分析：由AD、AE是BAC外角平分線，可得EAAF，從而有BF/AE，所以想到利用比例線段證相等。例3 已知：如圖3-4，在ABC中，AD平分BAC，AD=AB，CMAD交AD延長線于M。求證：AM=（AB+AC）分析：題設(shè)中給出了角平分線AD，自然想到以AD為軸作對(duì)稱變換，作ABD關(guān)于AD的對(duì)稱AED，然后只需證DM=EC，另外由求證的結(jié)果AM=（AB+AC），即2AM=AB+AC，也可嘗試作ACM關(guān)于CM的對(duì)稱FCM，然后只需證DF=CF即可。練習(xí)：1 已知：在ABC中，AB=

6、5，AC=3，D是BC中點(diǎn)，AE是BAC的平分線，且CEAE于E，連接DE，求DE。2 已知BE、BF分別是ABC的ABC的角與外角的平分線，AFBF于F，AEBE于E，連接EF分別交AB、AC于M、N，求證MN=BC（四）、以角分線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線有角平分線時(shí)，常過角平分線上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形。或通過一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖4-1和圖4-2所示。BDCA例1 如圖，BCBA，BD平分ABC，且AD=CD，求證：A+C=180。ABECD例2 如圖，ABCD，AE、DE分別平分BAD各ADE，求證：A

7、D=AB+CD。練習(xí)：1. 已知，如圖，C=2A，AC=2BC。求證：ABC是直角三角形。ABCD2已知：如圖，AB=2AC，1=2，DA=DB，求證：DCACCABAEBDCABDC123已知CE、AD是ABC的角平分線，B=60，求證：AC=AE+CD4已知：如圖在ABC中，A=90，AB=AC，BD是ABC的平分線，求證：BC=AB+AD二、 由線段和差想到的輔助線口訣：線段和差及倍半，延長縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一三角去。遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí)，一般方法是截長補(bǔ)短法：1、截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；2、補(bǔ)短：將一條短線

8、段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。對(duì)于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個(gè)三角形中證明。一、 在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如直接證不出來，可連接兩點(diǎn)或廷長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例1、 已知如圖1-1：D、E為ABC兩點(diǎn),求證:AB+ACBD+DE+CE.二、 有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，如：例如：如圖3-1：已知AD為ABC的中線，且1=2,3=4,求證：BE+CFEF。三、截長補(bǔ)短法作輔助

9、線。例如：已知如圖6-1：在ABC中，ABAC，1=2，P為AD上任一點(diǎn)求證：AB-ACPB-PC。DAECB例1如圖，AC平分BAD，CEAB，且B+D=180，求證：AE=AD+BE。例2如圖，在四邊形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，AD+AB=2AE，求證：ADC+B=180例3已知：如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，A=108，BD平分ABC。DCBA求證：BC=AB+DC。MBDCA例4如圖，已知RtABC中，ACB=90，AD是CAB的平分線，DMAB于M，且AM=MB。求證：CD=DB?！痉椒ňv】常用輔助線添加方法倍長中線ABC中 方式1： 延長AD到E， AD是

10、BC邊中線 使DE=AD， 連接BE 方式2：間接倍長 作CFAD于F， 延長MD到N， 作BEAD的延長線于E 使DN=MD，連接BE 連接CD【經(jīng)典例題】例1：ABC中，AB=5，AC=3，求中線AD的取值圍提示：畫出圖形，倍長中線AD，利用三角形兩邊之和大于第三邊例2：已知在ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延長線上，DE交BC于F，且DF=EF，求證：BD=CE方法1：過D作DGAE交BC于G，證明DGFCEF方法2：過E作EGAB交BC的延長線于G，證明EFGDFB方法3：過D作DGBC于G，過E作EHBC的延長線于H 證明BDGECH例3：已知在ABC中，AD是BC邊上的

11、中線，E是AD上一點(diǎn)，且BE=AC，延長BE交AC于F，求證：AF=EF提示：倍長AD至G，連接BG，證明BDGCDA 三角形BEG是等腰三角形例4：已知：如圖，在中，D、E在BC上，且DE=EC，過D作交AE于點(diǎn)F，DF=AC.求證：AE平分提示：方法1：倍長AE至G，連結(jié)DG方法2：倍長FE至H，連結(jié)CH例5：已知CD=AB，BDA=BAD，AE是ABD的中線，求證：C=BAE提示：倍長AE至F，連結(jié)DF 證明ABEFDE（SAS）進(jìn)而證明ADFADC（SAS）【融會(huì)貫通】1、在四邊形ABCD中，ABDC，E為BC邊的中點(diǎn)，BAE=EAF，AF與DC的延長線相交于點(diǎn)F。試探究線段AB與AF

12、、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論提示：延長AE、DF交于G 證明AB=GC、AF=GF 所以AB=AF+FC2、如圖，AD為的中線，DE平分交AB于E，DF平分交AC于F. 求證：提示：方法1：在DA上截取DG=BD，連結(jié)EG、FG證明BDEGDE DCFDGF 所以BE=EG、CF=FG利用三角形兩邊之和大于第三邊方法2：倍長ED至H，連結(jié)CH、FH證明FH=EF、CH=BE利用三角形兩邊之和大于第三邊3、已知：如圖，DABC中，C=90，CMAB于M，AT平分BAC交CM于D，交BC于T，過D作DE/AB交BC于E，求證：CT=BE.提示：過T作TNAB于N 證明BTNECD三、由中點(diǎn)

13、想到的輔助線 口訣：三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。在三角形中，如果已知一點(diǎn)是三角形某一邊上的中點(diǎn)，那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的中線、中位線、加倍延長中線及其相關(guān)性質(zhì)（直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形底邊中線性質(zhì)），然后通過探索，找到解決問題的方法。（一）、中線把原三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形即如圖1，AD是ABC的中線，則SABD=SACD=SABC（因?yàn)锳BD與ACD是等底同高的）。例1如圖2，ABC中，AD是中線，延長AD到E，使DE=AD，DF是DCE的中線。已知ABC的面積為2，求：CDF的面積。（二）、由中點(diǎn)應(yīng)想到利用三角形的中位線例2如圖3，在

14、四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，BA、CD的延長線分別交EF的延長線G、H。求證：BGE=CHE。（三）、由中線應(yīng)想到延長中線例3圖4，已知ABC中，AB=5，AC=3，連BC上的中線AD=2，求BC的長。例4如圖5，已知ABC中，AD是BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：ABC是等腰三角形。（四）、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)例5如圖6，已知梯形ABCD中，AB/DC，ACBC，ADBD，求證：AC=BD。（五）、角平分線且垂直一線段，應(yīng)想到等腰三角形的中線例6如圖7，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，BD平分ABC交AC于點(diǎn)D，CE垂直于BD，交BD的

15、延長線于點(diǎn)E。求證：BD=2CE。（六）中線延長口訣：三角形中有中線，延長中線等中線。題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常延長加倍此線段，再將端點(diǎn)連結(jié)，便可得到全等三角形。例一：如圖4-1：AD為ABC的中線，且1=2，3=4，求證：BE+CFEF。例二：如圖5-1：AD為ABC的中線，求證：AB+AC2AD。練習(xí)：BADC861 如圖，AB=6，AC=8，D為BC 的中點(diǎn)，求AD的取值圍。BECDA2 如圖，AB=CD，E為BC的中點(diǎn)，BAC=BCA，求證：AD=2AE。DMCDEDADBD3 如圖，AB=AC，AD=AE，M為BE中點(diǎn)，BAC=DAE=90。求證：AMDC。4，已知ABC，AD

16、是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖5-2，求證EF=2AD。5 已知：如圖AD為ABC的中線，AE=EF，求證：BF=AC ABDCEF鞏固練習(xí)1、如圖，分別為的，邊的中點(diǎn)，將此三角形沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處若，則等于（ ）A B C DCDBAABCD2、如圖所示，圖中三角形的個(gè)數(shù)共有（ ）A1個(gè) B2個(gè) C3 個(gè) D4個(gè)3、 如圖，的周長為32，且于，的周長為24，那么的長為4、長度為2、3、4、5的四條線段，從中任取三條線段能組成三角形的概率是_5、如圖，在ABC中，ADBC于D，且ABC2C.求證：CDAB+BD.DCBACABEDO6、如圖，在ABC中，BAC、BCA的平分線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作DEAC，分別交AB、BC于點(diǎn)D、E.試猜想線段AD、CE、DE的數(shù)量關(guān)