冪級數(shù)及其收斂性ppt課件

1、power series冪級數(shù)及其收斂性冪級數(shù)及其收斂性11.1.定義定義nnnxa 0如下形式的函數(shù)項級數(shù)如下形式的函數(shù)項級數(shù)nnnxxa)(00 稱為稱為的的冪級數(shù)冪級數(shù),. 為常數(shù)為常數(shù)其中其中na的的冪級數(shù)冪級數(shù). .定義定義)(0 xx 稱為稱為x nnxxaxxaa)()(0010冪冪 級級 數(shù)數(shù)22. .收斂半徑和收斂域收斂半徑和收斂域 201xxxnn, 1 時時當當 |x|, 1 時時當當 |x|級數(shù)級數(shù)).1 , 1( 冪冪 級級 數(shù)數(shù)級數(shù)的級數(shù)的收斂域收斂域項部分和項部分和前前 n121 nnxxxSxxn 11;11 x 原級數(shù)收斂于原級數(shù)收斂于.原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散3

2、證證0lim 0 nnnxa收斂收斂 00 )1(nnnxa阿貝爾阿貝爾 (Abel)(挪威挪威) 18021829nnnxa 0nnnxa 0|x|x|0 定理定理1 1 （阿貝爾第一定理）（阿貝爾第一定理）)0( 00 xxx在在|x|x|0 處處在在 0 xx 則它在滿足則它在滿足不等式不等式絕對收斂絕對收斂;發(fā)散發(fā)散.收斂收斂,發(fā)散發(fā)散,如果級數(shù)如果級數(shù)則它在滿足不等式則它在滿足不等式的一切的一切 x 處處如果級數(shù)如果級數(shù)的一切的一切 x 處處從而數(shù)列從而數(shù)列0nnxa有界有界, 即有常數(shù)即有常數(shù) M 0,使得使得) , 2 , 1 , 0( 0 nM|x|ann4|x|annnnn|

3、xx|x|a00 n|xx|M0 , 1 0時時當當 |xx|, | 00收斂收斂等比級數(shù)等比級數(shù) nnxxM, 0收斂收斂 nnn|x|a 0 nnnxa即級數(shù)即級數(shù)|xxx|annnn00 |x|x|0 ; )(0絕對收斂絕對收斂|x|x| 冪冪 級級 數(shù)數(shù), )2(0時發(fā)散時發(fā)散假設(shè)當假設(shè)當xx 由由 (1) 結(jié)論結(jié)論,這與所設(shè)矛盾這與所設(shè)矛盾.使級數(shù)收斂使級數(shù)收斂,則級數(shù)則級數(shù)時應(yīng)收斂時應(yīng)收斂,0 xx 當當?shù)幸稽c但有一點 x1 適合適合|x|x01 |x|x|0 ) , 2 , 1 , 0( 0 nM|x|ann5Ox 推論推論nnnxa 1也不是在整個數(shù)軸上都收斂也不是在整個數(shù)軸

4、上都收斂,則必有一個完全確則必有一個完全確冪級數(shù)冪級數(shù) 絕對收斂絕對收斂;, 時時當當R|x| , 時時當當R|x| 冪級數(shù)冪級數(shù) 發(fā)散發(fā)散.冪級數(shù)冪級數(shù), 時時與與當當RxRx 可能收斂也可能發(fā)散可能收斂也可能發(fā)散. .冪冪 級級 數(shù)數(shù)幾何說明幾何說明R R收斂區(qū)域收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域如果冪級數(shù)如果冪級數(shù)不是僅在不是僅在 x = 0 一點收斂一點收斂,定的正數(shù)定的正數(shù) R 存在存在, 它具有下列性質(zhì)它具有下列性質(zhì):6正數(shù)正數(shù) R 稱為冪級數(shù)的稱為冪級數(shù)的規(guī)定規(guī)定, R問問: :如何求冪級數(shù)的收斂半徑如何求冪級數(shù)的收斂半徑?稱為冪級數(shù)的稱為冪級數(shù)的 ),(RR 定義定義收斂

5、半徑收斂半徑. .收斂區(qū)間收斂區(qū)間. .冪冪 級級 數(shù)數(shù)(1) 冪級數(shù)只冪級數(shù)只在在 x = 0 處收斂處收斂, 0 R收斂區(qū)間收斂區(qū)間; 0 x(2) 冪級數(shù)對一切冪級數(shù)對一切 x 都都收斂收斂,收斂區(qū)間收斂區(qū)間).,( 收斂區(qū)間連同收斂端點稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間連同收斂端點稱為冪級數(shù)的收斂域收斂域.7證證, 0 nnn|x|a對級數(shù)對級數(shù)|x|a|x|annnnn11lim |x|a|annn1lim 且且, 0 )1(時時當當 , 0 )2(時時當當 , )3(時時當當 ;1 R; R. 0 R定理定理2 2nnnxa 0設(shè)冪級數(shù)設(shè)冪級數(shù)的所有系數(shù)的所有系數(shù)0 nannnaa1lim ）或

6、或 nnn|alim (冪冪 級級 數(shù)數(shù)由正項級數(shù)的由正項級數(shù)的比值判別法比值判別法,8, )0( lim )1(1存在存在如果如果 |aa|nnn, 1 時時當當 |x| 0 nnnxa級數(shù)級數(shù), 1 時時當當 |x| 0nnn|x|a級數(shù)級數(shù) 0nnnxa|x|a|a|x|a|x|annnnnnnn111limlim .1 R收斂半徑收斂半徑冪冪 級級 數(shù)數(shù)絕對收斂絕對收斂;發(fā)散發(fā)散,從而從而發(fā)散發(fā)散. 比值判別法比值判別法則則9, 0 )2( 如果如果, 0lim11 |x|a|x|annnnn 0 nnn|x|a級數(shù)級數(shù) 0nnnxa; R, )3( 如果如果, 0 x則則 0 nnn

7、xa級數(shù)級數(shù)冪冪 級級 數(shù)數(shù)收斂收斂,從而級數(shù)從而級數(shù)絕對收斂絕對收斂. 收斂半徑收斂半徑發(fā)散發(fā)散. 收斂半徑收斂半徑|x|a|a|x|a|x|annnnnnnn111limlim 則則,lim11 |x|a|x|annnnn. 0 R10例例 求下列冪級數(shù)的求下列冪級數(shù)的收斂半徑收斂半徑與與收斂域收斂域:解解)1(nnnnn 21)1(21lim1. 2 R收收斂斂半半徑徑 1)()2(nnnx 12)!2() !()3(nnxnnnnnnxn)21(2)1()4(1 12)1(nnnnx21 |aa|nnn1lim )1(2lim nnn 1 R冪冪 級級 數(shù)數(shù)11, 2 時時當當 x,2

8、 時時當當 x,)1( 1 nnn級數(shù)為級數(shù)為,1 1 nn級數(shù)為級數(shù)為收斂收斂. 調(diào)和調(diào)和級數(shù)級數(shù), 發(fā)散發(fā)散.收斂域為收斂域為).2 , 2 , , 0 R 1)( )2(nnnx解解nn lim 12)1(nnnnxnnn|a lim 冪冪 級級 數(shù)數(shù)收斂域收斂域0收斂半徑收斂半徑12|aa|nnn1lim 12)!2() !()3(nnxnn)22)(12()1(lim2 nnnn )!2() !(!)1(2! )1(lim22nnnnn 41 . 4 R收斂半徑收斂半徑解解 1 R冪冪 級級 數(shù)數(shù)13級數(shù)為正項級數(shù)級數(shù)為正項級數(shù) 124)!2() !(nnnn因為因為, 112221

9、 nnuunn所以所以. 0lim nnu.4)!2() !( 12發(fā)散發(fā)散故級數(shù)故級數(shù) nnnn對應(yīng)的數(shù)項級數(shù)也對應(yīng)的數(shù)項級數(shù)也發(fā)散發(fā)散.當當 x = 4 時時, 4 時時當當 x).4 , 4( 12)!2() !()3(nnxnn故收斂域為故收斂域為冪冪 級級 數(shù)數(shù)14,2121 |x|t|)1 , 0( xnnnnxn)21(2)1()4(1 , 0 時時當當 x,1 1 nn級數(shù)為級數(shù)為, 1 時時當當 x,)1( 1 nnn級數(shù)為級數(shù)為發(fā)散發(fā)散;收斂收斂.故收斂域為故收斂域為21 ,21 xt令令nnnntn2)1(1 解解還有別的方法嗎還有別的方法嗎 |aa|Rnnn1limnn

10、n21lim (0,1.即即亦即亦即時原級數(shù)時原級數(shù)收斂收斂.冪冪 級級 數(shù)數(shù)15解解是是缺偶次冪缺偶次冪的冪級數(shù)的冪級數(shù).)()(lim1xuxunnn 例例 求函數(shù)項級數(shù)求函數(shù)項級數(shù) 的收斂域的收斂域.)!12() 1(ln120 nxxnnn去掉第一項去掉第一項,1232|)!12()!32(|lim nnnxnnx)32)(22(|lim2 nnxn所以所以,去掉第一項去掉第一項, 級數(shù)處處收斂級數(shù)處處收斂.定義域為定義域為0 因為第一項因為第一項 lnx 的的所以所以, 原級數(shù)的原級數(shù)的收斂域收斂域是是冪冪 級級 數(shù)數(shù), 0 x)., 0( 比值判別法比值判別法16例例nnnxa 1

11、設(shè)冪級數(shù)設(shè)冪級數(shù)nnnxb 1與與的的收斂半徑分別為收斂半徑分別為,3135與與則冪級數(shù)則冪級數(shù)nnnnxba 122的的收斂半徑為收斂半徑為( )5)(A35)(B31)(C51)(DA分析分析22nnnbac 設(shè)設(shè) 1nncc 212122nnnnabba2121 nnnnaabb535322 冪冪 級級 數(shù)數(shù)17討論冪級數(shù)討論冪級數(shù) 的收斂域的收斂域.13)1(201 nnnnx解解 此級數(shù)是缺項的冪級數(shù)此級數(shù)是缺項的冪級數(shù),作變換作變換,令令,2xy 級數(shù)變?yōu)榧墧?shù)變?yōu)?3)1(01 nnnny它的收斂半徑它的收斂半徑)13(1)13(1lim1 nnnyR. 3 當當 y = 3時時,

12、 級數(shù)為級數(shù)為,133)1(01 nnnn發(fā)散發(fā)散.不滿足定理不滿足定理 2 的條件的條件.冪冪 級級 數(shù)數(shù)18故故 y(0) 的冪級數(shù)收斂域為的冪級數(shù)收斂域為因此因此, 原冪級數(shù)收斂域為原冪級數(shù)收斂域為.33 x收斂半徑收斂半徑.3 R即即. 30 y, 302 x冪冪 級級 數(shù)數(shù)19確定函數(shù)項級數(shù)確定函數(shù)項級數(shù) 的收斂域的收斂域. 1)(nxnnnxn解解 對任意固定的對任意固定的x,xnnnnxnxu )()(nxnnxnxu 11)(0 即即用用比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式:)(limxunn 而級數(shù)而級數(shù) 是是p = x的的p 級數(shù)級數(shù), 11nxn所以所以, 當當n充分

13、大時充分大時,有有nnnx 1limxe xn1發(fā)散發(fā)散.故級數(shù)的收斂域為故級數(shù)的收斂域為. 1 x,),(充充分分大大時時當當任任意意nx 可視為可視為.正正項項級級數(shù)數(shù)冪冪 級級 數(shù)數(shù)時時1 x收斂收斂.時時1 x20.)3(311的收斂域的收斂域求冪級數(shù)求冪級數(shù)nnnxn 解解,)3(31)(nnnxnxu 由由nnnnnxnxn)3(31)3(3)1(1lim11 |3|)1(3lim xnnn|3|31 x, 1|3|31 x令令)6 , 0( x即即)()(lim1xuxunnn 得得冪冪 級級 數(shù)數(shù)21內(nèi)內(nèi)在開區(qū)間在開區(qū)間)6 , 0()3(311nnnxn ,0時時當當 x,6

14、時時當當 x的收斂域為的收斂域為因而因而nnnxn)3(311 ).6, 0nnn1)1(1 11nn冪冪 級級 數(shù)數(shù)處處收斂處處收斂.收斂收斂發(fā)散發(fā)散221. 代數(shù)運算性質(zhì)代數(shù)運算性質(zhì)(1) 加減法加減法 00nnnnnnxbxa,)(0 nnnnxba 21,minRRR ),(RRx 00nnnnnnxbxa和和設(shè)設(shè)冪冪 級級 數(shù)數(shù)冪級數(shù)的性質(zhì)冪級數(shù)的性質(zhì)的收斂半徑各為的收斂半徑各為R1和和R2 ,23(2) 乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa 0nnnxc),(RRx (其中其中)0110bababacnnnn (3) 除法除法 00nnnnnnxbxa 0nnnxc)0(0

15、nnnxb收斂域內(nèi)收斂域內(nèi)(相除后的收斂區(qū)間可能比原相除后的收斂區(qū)間可能比原來兩級數(shù)的收斂區(qū)間小得多來兩級數(shù)的收斂區(qū)間小得多)冪冪 級級 數(shù)數(shù)242. .和函數(shù)的分析運算性質(zhì)和函數(shù)的分析運算性質(zhì), 0 0 Rxannn的收斂半徑為的收斂半徑為設(shè)冪級數(shù)設(shè)冪級數(shù)冪冪 級級 數(shù)數(shù)定理定理3（阿貝爾第二定理）（阿貝爾第二定理）), 0( Rr 則則. , 上一致收斂上一致收斂該冪級數(shù)在閉區(qū)間該冪級數(shù)在閉區(qū)間rr 內(nèi)閉一致收斂內(nèi)閉一致收斂證證), 0(Rr , 0絕對收斂絕對收斂級數(shù)級數(shù) nnnra. 0收斂收斂即即 nnn|r|a, rrx 由于由于,nnnn|r|a|x|a ,-M 判判別別法法可可

16、知知從從而而由由. , 0上上一一致致收收斂斂在在rrxannn 25, 0 )1(0 Rxannn的收斂半徑為的收斂半徑為設(shè)冪級數(shù)設(shè)冪級數(shù). ),( )(內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間RRxs 則其和函數(shù)則其和函數(shù)的端點處收斂的端點處收斂, 則其和函數(shù)在該端點單側(cè)連續(xù)則其和函數(shù)在該端點單側(cè)連續(xù).冪冪 級級 數(shù)數(shù)如果冪級數(shù)在收斂區(qū)間如果冪級數(shù)在收斂區(qū)間證證),(RRx ),( R|x|r 取取).,(, RRrrx 則則由阿貝爾第二定理知由阿貝爾第二定理知, , 0上一致收斂上一致收斂在在rrxannn . , )( 處連續(xù)處連續(xù)在在因而其和函數(shù)因而其和函數(shù)rrxxs 的任意性即知的任意性即知由由

17、),( RRx . ),( )(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在RRxs 26, 0 )2(0 Rxannn的收斂半徑為的收斂半徑為設(shè)冪級數(shù)設(shè)冪級數(shù), ),( )(內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在區(qū)區(qū)間間RRxs 則其和函數(shù)則其和函數(shù)冪冪 級級 數(shù)數(shù)),( RRx 且且)()(0 nnnxaxs 11nnnxna 0)(nnnxa. R斂斂半半徑徑仍仍為為逐逐項項求求導(dǎo)導(dǎo)所所得得冪冪級級數(shù)數(shù)收收27冪冪 級級 數(shù)數(shù), 0 )3(0 Rxannn的收斂半徑為的收斂半徑為設(shè)冪級數(shù)設(shè)冪級數(shù), ),( )(內(nèi)內(nèi)可可積積在在區(qū)區(qū)間間RRxs 則其和函數(shù)則其和函數(shù)),( RRx 且且 xnnnxxxaxxs000d)(d)( 011nn

18、nxna 00d)(nxnnxxa. R斂斂半半徑徑仍仍為為逐逐項項求求導(dǎo)導(dǎo)所所得得冪冪級級數(shù)數(shù)收收28解解. 1的和函數(shù)的和函數(shù)求冪級數(shù)求冪級數(shù) nnnx(1) 求收斂域求收斂域|aa|Rnnn1lim )1(11lim n/nn, 1 時時當當 x,1 1 nn級數(shù)為級數(shù)為發(fā)散發(fā)散;, 1 時時當當 x,)1( 1 nnn級數(shù)為級數(shù)為1 收斂收斂.故級數(shù)的求收斂域為故級數(shù)的求收斂域為).1 , 1 例例冪冪 級級 數(shù)數(shù)收斂半徑收斂半徑29)1ln()( xxs 即即 xxsd)( 1)()(nnnxxsx 11, 11 時時且當且當 x)(xs),1ln(x xxx0d11 11nnx).

19、11( x(2) 求求和函數(shù)和函數(shù), )( 1 nnxsnx的和函數(shù)為的和函數(shù)為設(shè)冪級數(shù)設(shè)冪級數(shù), 0)0( s, )1 , 1 )( 連連續(xù)續(xù)在在則則 xs0 x)0( s 冪冪 級級 數(shù)數(shù)從而從而,此外此外. 2ln)1ln(lim)1(1 xsx. 11 ),1ln()( , xxxs綜上綜上30)1ln()( xxs 即即 1)(nnnxxs xnnxx011d, 11 時時且當且當 x),1ln(x xxx0d11 101dnxnxx).11( x,此外此外或者或者, )( 1 nnxsnx的和函數(shù)為的和函數(shù)為設(shè)冪級數(shù)設(shè)冪級數(shù), 0)0( s, )1 , 1 )( 連連續(xù)續(xù)在在則則

20、xs. 2ln)1ln(lim)1(1 xsx冪冪 級級 數(shù)數(shù). 11 ),1ln()( , xxxs綜上綜上31例例 求冪級數(shù)求冪級數(shù) 的和函數(shù)的和函數(shù).1121 nnnxn解解 容易知道級數(shù)的容易知道級數(shù)的收斂域收斂域).2 , 2 冪冪 級級 數(shù)數(shù)設(shè)和函數(shù)為設(shè)和函數(shù)為 s(x), 即即,21)(11 nnnxnxs則有則有 11nn21121x )( xxs 11)2( nnx21x 21)2 , 2 x )(xsx xnnnxn 1211121 nnnxnnx)2(32)0(0)(sxxs xx0)2ln( xxxxs0d )(xxxd210 )2ln(x )21ln(x 2ln 因此

21、因此,).2 , 0()0 , 2 ),21ln(1)( xxxxs此外此外, 顯然有顯然有.21)0( s綜上綜上, 0 ,21)2 , 0()0 , 2 ),21ln(12111xxxxxnnnn冪冪 級級 數(shù)數(shù)xxxs 21 )(33.2)1(122的和的和求級數(shù)求級數(shù) nnn解解 222)1(1nnn,11)(22nnxnxs 可設(shè)可設(shè)1 R收收斂斂半半徑徑nnxnnxs 111121)(2nnn 211122nnxnn 2111121,0時時當當 x例例冪冪 級級 數(shù)數(shù)34121121 nnxnx121121 nnxnx nxnx12x 11逐項求導(dǎo)逐項求導(dǎo)),1ln(x nxnx1

22、211 n3 nnnxnxg 11)(設(shè)設(shè) 11)(nnxxg則則積分積分0)0( g得得)(xg)1ln(x 冪冪 級級 數(shù)數(shù)xxggxgxd)()0()(0 35知知由由)1ln()(xxg 2)(123xxxgxnnn 2)1ln(2xxx )(xs代入代入2)1ln(21)1ln(21)(2xxxxxxs 得得 nxnx12 nxnx1211 n3 n得得令令,21 x 212)1(122snnn. 2ln4385 冪冪 級級 數(shù)數(shù)36解解).1 , 1( )1( 1 的收斂區(qū)間為的收斂區(qū)間為冪級數(shù)冪級數(shù)nnxnn容易知道容易知道,)1()( 1nnxnnxs 設(shè)設(shè)例例. 2)1( 1

23、的和的和求求 nnnn 11)1()(nnxnnxxs).21(2)1( 1snnnn 則則冪冪 級級 數(shù)數(shù) 1)1(nnxnx 11)(nnxx)(11 nnxx)1(2 xxxxxxx 111123)1(2xx . 8)21(2)1( ,1 snnnn因此因此37 12)1()1(nnnnx求求 的收斂域與和函數(shù)的收斂域與和函數(shù).提示提示解解令令12 xy 112)1()1()1(nnnnnnynnx, 1lim1 nnnaaR1112 x22 x收斂域為收斂域為1 y當當 時時, 1)1(1nnn收斂收斂,1 y當當 時時, 1)1()1(nnnn收斂收斂,11 y即即冪冪 級級 數(shù)數(shù)38 )(2ys 11nnny 11