三角公式及推導(祥盡解釋)

1、三角公式及 推導 （祥盡解釋）1-誘導公式：常用的誘導公式有以下幾組：公式一：設為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：sin（2k）sincos（2k）costan（2k）tancot（2k）cot公式二：設為任意角，+的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間的關系：sin（）sincos（）costan（）tancot（）cot公式三：任意角與 -的三角函數(shù)值之間的關系：sin（）sincos（）costan（）tancot（）cot公式四：利用公式二和公式三可以得到-與的三角函數(shù)值之間的關系：sin（）sincos（）costan（）tancot（）cot公式五：利用公式一和公式三可以得到2

2、-與的三角函數(shù)值之間的關系：sin（2）sincos（2）costan（2）tancot（2）cot公式六：/2±及3/2±與的三角函數(shù)值之間的關系：sin（/2）coscos（/2）sintan（/2）cotcot（/2）tansin（/2）coscos（/2）sintan（/2）cotcot（/2）tansin（3/2）coscos（3/2）sintan（3/2）cotcot（3/2）tansin（3/2）coscos（3/2）sintan（3/2）cotcot（3/2）tan(以上kz) 誘導公式記憶口訣規(guī)律總結上面這些誘導公式可以概括為：對于k·/2

3、77;(kz)的個三角函數(shù)值，當k是偶數(shù)時，得到的同名函數(shù)值，即函數(shù)名不改變；當k是奇數(shù)時，得到相應的余函數(shù)值，即sincos;cossin;tancot,cottan. （奇變偶不變）然后在前面加上把看成銳角時原函數(shù)值的符號。（符號看象限）上述的記憶口訣是：奇變偶不變，符號看象限。公式右邊的符號為把視為銳角時，角k·360°+（kz），-、180°±，360°-所在象限的原三角函數(shù)值的符號可記憶水平誘導名不變；符號看象限。各種三角函數(shù)在四個象限的符號如何判斷，也可以記住口訣“一全正；二正弦；三為切；四余弦” 這十二字口訣的意思就是說： 第一象

4、限內任何一個角的四種三角函數(shù)值都是“”； 第二象限內只有正弦是“”，其余全部是“”； 第三象限內切函數(shù)是“”，弦函數(shù)是“”； 第四象限內只有余弦是“”，其余全部是“” 公式七：額外的定義2-同角三角函數(shù)基本關系同角三角函數(shù)的基本關系式倒數(shù)關系:tan ·cot1sin ·csc1cos ·sec1商的關系：sin/costansec/csccos/sincotcsc/sec平方關系：sin2()cos2()11tan2()sec2()1cot2()csc2()證明：同角三角函數(shù)關系六角形記憶法六角形記憶法：（參看圖片或參考資料鏈接）構造以"上弦、中切、下

5、割；左正、右余、中間1"的正六邊形為模型。（1）倒數(shù)關系：對角線上兩個函數(shù)互為倒數(shù)；（2）商數(shù)關系：六邊形任意一頂點上的函數(shù)值等于與它相鄰的兩個頂點上函數(shù)值的乘積。（主要是兩條虛線兩端的三角函數(shù)值的乘積）。由此，可得商數(shù)關系式。（3）平方關系：在帶有陰影線的三角形中，上面兩個頂點上的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點上的三角函數(shù)值的平方。3-兩角和差公式兩角和與差的三角函數(shù)公式sin（）sincoscossinsin（）sincoscossincos（）coscossinsincos（）coscossinsin         

6、       tantantan（）-              1tan ·tan                tantantan（）              1tan ·tan 和差公式的證明：(1) 兩角差的余弦y A B O C

7、 x(-) 令AO=BO=r點A的橫坐標為點A的縱坐標為點B的橫坐標為點B的縱坐標為由余弦公式可得：綜上得：(2) 兩角和的余弦(3) 兩角和的正弦(4) 兩角差的正弦(5) 兩角和的正切(6) 兩角差的正切4-二倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式（升冪縮角公式）表示一：sin22sincos證明：因為 sin(a +b)=sina×cosb+cosa×sinb，令a=b=q ，所以，可得：sin2q=2×sinq×cosq 表示二：（以正切表示二倍角）sin2q= 證明：sin2q=2sinqcosq=2 cos2q =2tanq() = 余弦二倍角

8、公式：表示一：cos2cos2()sin2()2cos2()112sin2()證明：因為由和角公式：cos(a +b)=cosa×cosb-sina×sinb，令a=b=q ，所以，可得： cos2q=cos2q-sin2q=2cos2q-1=1-2sin2q表示二：cos2q= 證明：cos2q=2cos2q-1 = -1 = -1 =          2tantan2       1tan2()證明：因為由和角公式：tan(a +b)= ，令a=b=q ，所以

9、，可得： tan2q= 結論：利用tanq可以將sin2q，cos2q，tan2q表示出來，整理如下： (a) sin2q= (b) cos2q= (c) tan2q= 用三角形直觀表示如下：（圖）6-半角公式半角的正弦、余弦和正切公式（降冪擴角公式）               1cos或：sin2(/2)              2        &#

10、160;       1cos cos2(/2)               2               1cos tan2(/2)              1cos7-萬能公式萬能公式推導附推導：sin2=2sincos=2sincos/(cos2()+sin2

11、().*，（因為cos2()+sin2()=1）再把*分式上下同除cos2()，可得sin2tan2/(1tan2()然后用/2代替即可。同理可推導余弦的萬能公式。正切的萬能公式可通過正弦比余弦得到。8-三倍角公式三倍角的正弦、余弦和正切公式 (a)sin3q= 3sinq -4sin3q證明：sin3q=sin(q+2q)=sinqcos2q+cosqsin2q =sinq(1-2sin2q)+cosq(2sinqcosq) = sinq(1-2sin2q)+2sinqcos2q = sinq(1-2sin2q)+2sinq(1-sin2q) = 3sinq -4sin3q(b)cos3q=

12、4cos3q -3cosq證明：cos3q=cos(q+2q)=cosqcos2q-sinqsin2q =cosq(2cos2q-1)-sinq(2sinq cosq) = cosq(2cos2q-1)-2sin2qcosq = cosq(2cos2q-1)-2(1-cos2q)cosq =4cos3q -3cosqsin33sin4sin3()cos34cos3()3cos      3tantan3()tan3       13tan2()三倍角公式推導附推導：tan3sin3/cos3(sin2co

13、scos2sin)/(cos2cos-sin2sin)(2sincos2()cos2()sinsin3()/(cos3()cossin2()2sin2()cos)上下同除以cos3()，得：tan3(3tantan3()/(1-3tan2()sin3sin(2)sin2coscos2sin2sincos2()(12sin2()sin2sin2sin3()sin2sin2()3sin4sin3()cos3cos(2)cos2cossin2sin(2cos2()1)cos2cossin2()2cos3()cos(2cos2cos3()4cos3()3cos即sin33sin4sin3()cos34

14、cos3()3cos三倍角公式聯(lián)想記憶記憶方法：諧音、聯(lián)想正弦三倍角：3元 減 4元3角（欠債了(被減成負數(shù))，所以要“掙錢”(音似“正弦”)）余弦三倍角：4元3角 減 3元（減完之后還有“余”）注意函數(shù)名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。9-積化和差公式積化和差公式推導附推導：首先,我們知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2同理,若把兩式相減,就得到c

15、osa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2同樣的,我們還知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb所以,把兩式相加,我們就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb所以我們就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2同理,兩式相減我們就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2這樣,我們就得到了積化和差的四個公式:sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2c

16、osa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2也可以這樣證：10-和差化積公式 和差化積的公式推導：好,有了積化和差的四個公式以后,我們只需一個變形,就可以得到和差化積的四個公式.我們把上述四個公式中的a+b設為x,a-b設為y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2把a,b分別用x,y表示就可以得到和差化積的四個公式:sinx+siny=2sin(x+y)/2)*cos(x-y)/2)sinx-siny=2cos(x+y)/2)*sin(x-y)/2)cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/

17、2)cosx-cosy=-2sin(x+y)/2)*sin(x-y)/2) 11-輔助角公式，其中，的象限由的符號確定。                    12-任意三角形面積公式：Ca bh d B c A13-余弦定理：任意三角形一角的余弦等于兩鄰邊的平方和減對邊的平方之差與兩鄰邊積的兩倍之比。證明：如Figure II,（證完）14-正弦定理Ac OB a C如 Figure III,c為ABC外接圓的直徑,同理：15-海倫公式（任意三角形已知三邊求面積）證明16-特殊的三角函數(shù)值（表）sin01cos10tan01N/A17：其它一些恒等變換的有用公式：也必須熟記 (a)cos2q=cos2q-sin2q=2cos2q-1=1-2sin2q (b) cosa=2cos2 - 1=1-2sin2 (c)cos2q= ，sin2q=18：一些常用的高次方降次-有用的公式：(a)sin4q+cos4q=(sin2q+cos2q)2-2sin2qcos2q=1-2s