東北大學(xué)2011-2012(1)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)試題及答案

1、東北大學(xué)2011-2012(1般率統(tǒng)計(jì)試題及參考答案3 .已知X:N(巧,。；),丫：N(坊,。；)，且PX-|PY-k21,正確的是(A)01=仃2；(B)01。2.4 .設(shè)XI,X2，Xn是來(lái)自總體N(R,。2)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，X,S2分別為樣本均值和樣本方差,不正確的是.5 .對(duì)原假設(shè) HO和備擇假設(shè) HI,為犯第一類(lèi)錯(cuò)誤.(A)HI真，拒絕 HI；(B)HI不真，拒絕 HI；(C)HI真，接受 HI;(D)HI不真，接受 HI.二、填空題(每小題 4 分，共 20 分)1 .設(shè)事件 AI,A2,A3相互獨(dú)立，且 P(Ai)=1/3(i=1,2,3),則 AI,A2,A3至少發(fā)生一個(gè)的概

2、率為2 .設(shè)隨機(jī)變量 X,Y,Z 相互獨(dú)立，概率密度函數(shù)分別為貝 UR3X丫才尸3 .二維正態(tài)變量(X,Y)：N(-2,1,8,15,0),則Y:,X 與丫(獨(dú)立，不獨(dú)立，相關(guān))-、選擇題(每小題 3 分，共 15 分)1.隨機(jī)事件ABUABUAB發(fā)生，意味著(A)A,B都發(fā)生；(C)A,B恰好有一個(gè)發(fā)生；f23、2.設(shè)隨機(jī)變量 X:,40.6,0,x2,(A)F(x)=0.4,-2x3,0.6,x之3.0,x2,(C)F(x)=0.4,-2x3.(B)A,B至多有一個(gè)發(fā)生；(D)A,B至少有一個(gè)發(fā)生.則 X 的分布函數(shù)為.0.4,x-2,I(B)F(x)=0.6,-2x3.0,x-2,I(D

3、)F(x)=0.4,-2x3.X-1一一(A)=N(0,1);(B)(J；,.n_2(n-1)S.2(J2,，、X2,、(n-1);(C)r:t(n);(D)X X 與S相互獨(dú)立.Sn11fX(x)=20，1:x：3,其他，131e2yfy(y)=20，y-0,y0,1Jz)2fZ(z)=-e2,-z,2二4 .設(shè)X,S2是二項(xiàng)總體 B(10,0.4)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的樣本均值和樣本方差，則 E(X-S2)=.2.25.設(shè)某次考試的成績(jī)服從正態(tài)分布N（R,。），其中巴仃均未知.隨機(jī)調(diào)出其中 36 位考生的成績(jī),算得平均分是 66.5,標(biāo)準(zhǔn)差為 15.為檢驗(yàn)這次考試的平均成績(jī)是否為 70 分，應(yīng)提

4、出原假設(shè)、備擇假設(shè)以及檢驗(yàn)用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量分別為.XY102三、（12 分）設(shè)隨機(jī)變量（X.Y）的分布律為00.20.30,（1）求 Z=2X-Y 的分布律；（2）求100.40.1Cov（X,Y）;（3）判斷 X,Y 的獨(dú)立性與相關(guān)性.四、（共 11 分）ax,0：x：二2,.1 .（6 分）設(shè)隨機(jī)變量X:f（x）=小（1）求常數(shù) a；（2）求分布函數(shù) F（x）.0,其他.2-,x0,2 .(5 分)設(shè)隨機(jī)變量X:f(x)=4n(1+x)求Y=lnX的概率密度函數(shù).0,x0,五、（12 分）設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）在由直線 x=2,y=x/2 及 x 軸所圍成的區(qū)域內(nèi)服從均勻分布，求：（1）f

5、X(x),fYX(yx);(2)Z=X+Y 的概率分布六、（10 分）某系統(tǒng)裝有三個(gè)電子元件.假設(shè)：系統(tǒng)啟動(dòng)時(shí)它們同時(shí)開(kāi)始工作；三個(gè)元件工作狀態(tài)相互獨(dú)立，且無(wú)故障工作的時(shí)間 Ti（i=1,2,3）均服從參數(shù)為九（九0）的指數(shù)分布；只要有一個(gè)元件在工作，系統(tǒng)就能正常工作（正常工作的時(shí)間記為 T）.（1）求參數(shù)為九的指數(shù)分布的分布函數(shù)；（2）給出 T 與 T1、T2、T3的函數(shù)關(guān)系；（3）求 T 的概率密度函數(shù).七、（共 12 分）axa0:二x：11.（6 分）設(shè)隨機(jī)變量X:f（x）=,其中a（a0）未知，為&,Xn是來(lái)自總體 X 的0,其他，簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求a的矩估計(jì).X023_12.

6、（6 分）已知總體 X 的分布律為/口 2口.口、，其中日（0日1）未知；總體 X 的一組PU1UU（1U）樣本值中有 3 個(gè)為 0、4 個(gè)為 2、2 個(gè)為 3,求 9 的最大似然估計(jì).八、（8 分）基于人一年內(nèi)的死亡率為 0.1%,并經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研，某保險(xiǎn)公司設(shè)計(jì)了一種年險(xiǎn)：參加保險(xiǎn)的人，只須在一年的第一天交付保險(xiǎn)費(fèi) 10 元，一旦死亡，家屬可從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取 2000 元.試問(wèn)：（1）至少有多少人參加該保險(xiǎn)才能保證保險(xiǎn)公司虧本的概率為 0?（提示：首先設(shè)參保人數(shù)，再設(shè)隨機(jī)變量，表示出保險(xiǎn)公司“不虧本”事件，然后利用中心極限定理計(jì)算概率）（2）若一年內(nèi)有 n 人投保，則保險(xiǎn)公司一年內(nèi)所獲利潤(rùn)、平

7、均利潤(rùn)各是多少？（3）結(jié)合（1）、（2）的結(jié)果，簡(jiǎn)單談?wù)勀銓?duì)保險(xiǎn)及保險(xiǎn)公司的看法.（本題約定：0M（x）1,x4;（x）=1,x 之 4）3_L(1-e)3,t0,FT(t)=PTMt=Pmax工,T2,T3Mt=PT1Et,T2Mt,T3Mt=F；(t)0,t0.fT(t)=3e-t(1-e-t)2,t0,0,t0.答案:、1.19/27;2.2;1_(y)23. N(1,15)或_=eF-；獨(dú)立;.30二4. 1.6;5. HO邛=70,HO：W70;X-70S.n、（1）Z-2-1012P-00.20.400.4(2)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=1*2*0.105*0

8、.4=0(3)PX=1,丫=1=0W0.1=PX=1PY=1,所以 X,丫不獨(dú)立.因?yàn)?Cov(XY)=0,Q(X)0,JD(Y)#0,所以 p(X,Y)=0,故 X 丫不相關(guān).四、1.(1)ff(x)dx=121axdx=1,a=-0,x0,11-e，x,x0f(x)=0,x、0.F(x)=PXix=0,x,0.(2)T=maxT1,T2,T3(3)1,0；x；2,0:y；x/2,f(x,y)=o,其他.五、當(dāng)0 x父2時(shí)，f(yx)=f(x，y)YXf(x)I。3dz,0z2，3z,z39=0,0 得日的最大似然估計(jì)=.7八、設(shè)有 n 人參加保險(xiǎn)，其中有 X 人在一年內(nèi)死亡，則X:B(n,0.001).根據(jù)中心極限定理可知,X:N(0.001n,0.0010.999n(1)不虧本：10n=2000X,不虧本的概率為 0,即0.005n-